Recapitulare pe domenii pentru Evaluarea Națională

La Evaluarea Națională, o problemă de geometrie în spațiu cere și calcul cu radicali, iar o problemă cu funcții cere și ecuații. De aceea recapitularea nu se oprește la clasa a VIII-a: temele din clasele V–VII sunt baza pe care se sprijină tot restul.

Temele sunt grupate în patru domenii: numere și algebră, funcții și date, geometrie plană, geometrie în spațiu. Dacă o temă nu-ți este clară, lecțiile din linkul de la finalul ei o explică pas cu pas, cu exerciții.

Lecția este împărțită în patru domenii și 16 teme, de la clasa a V-a la clasa a VIII-a. Fiecare temă are noțiunile și formulele de bază, un exemplu rezolvat și linkuri spre lecțiile complete. Citește tema, rezolvă exemplul fără să te uiți la rezolvare, iar dacă nu-ți iese, deschide lecția indicată.

• Ordinea operațiilor: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta. Parantezele se calculează primele: rotunde, apoi drepte, apoi acolade.
• Reguli de calcul cu puteri: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ (pentru $a \neq 0$, $m \geq n$), $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$; $a^0 = 1$ pentru $a \neq 0$.
• Împărțirea cu rest: deîmpărțitul este egal cu împărțitorul înmulțit cu câtul, plus restul, iar restul este mai mic decât împărțitorul. Exemplu: $47 = 6 \cdot 7 + 5$, cu $5 < 6$.
• Un pătrat perfect este pătratul unui număr natural: $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
• Criterii de divizibilitate: cu $2$, ultima cifră pară; cu $5$, ultima cifră $0$ sau $5$; cu $10^n$, ultimele $n$ cifre sunt $0$; cu $3$ sau cu $9$, suma cifrelor se divide cu $3$, respectiv cu $9$.
• Un număr prim are exact doi divizori: $1$ și el însuși. $0$ și $1$ nu sunt nici prime, nici compuse.
• Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) se obține din descompunerile în factori primi luând factorii comuni la puterea cea mai mică; cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) se obține luând toți factorii, comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
• Pentru două numere naturale nenule $a$ și $b$: produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. este egal cu $a \cdot b$.

Exemplu: calculează cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor $12$ și $18$.

• Amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea fracției: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$, pentru $k \neq 0$.
• Adunarea și scăderea: aduci fracțiile la același numitor (cel mai mic multiplu comun al numitorilor), apoi aduni sau scazi numărătorii.
• Înmulțirea: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Împărțirea: înmulțești cu inversa, $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.
• Fracția $\dfrac{a}{b}$ dintr-un număr $N$ este $\dfrac{a}{b} \cdot N$; $p\%$ din $N$ este $\dfrac{p}{100} \cdot N$.
• Fracții zecimale: $0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. O fracție periodică simplă: $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$; una mixtă: $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{1}{6}$.

Exemplu: calculează $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ și $15\%$ din $240$.

• Relații: $x \in A$ (aparține), $A \subset B$ (inclusă). Operații: reuniunea $A \cup B$ (elementele din cel puțin una), intersecția $A \cap B$ (elementele comune), diferența $A \setminus B$ (elementele din $A$ care nu sunt în $B$).
• Cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor ei.
• Mulțimile de numere: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• Opusul lui $a$ este $-a$. Modulul este distanța până la $0$ pe axă: $|a| = a$ dacă $a \geq 0$ și $|a| = -a$ dacă $a < 0$.
• Regula semnelor la înmulțire și împărțire: semne egale dau rezultat pozitiv, semne diferite dau rezultat negativ.
• Puterile unui număr negativ: exponent par, rezultat pozitiv; exponent impar, rezultat negativ. Atenție: $-3^2 = -9$, dar $(-3)^2 = 9$.
• Puteri cu exponent negativ: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, pentru $a \neq 0$.

Exemplu: pentru $A = \{1, 2, 3, 4\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$, scrie $A \cup B$, $A \cap B$ și $A \setminus B$, apoi calculează $(-2)^3 - (-3)^2$.

• Proprietatea fundamentală a proporțiilor: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$ (produsul extremilor este egal cu produsul mezilor).
• Într-un șir de rapoarte egale, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$.
• Mărimi direct proporționale: când una crește de $k$ ori, și cealaltă crește de $k$ ori; raportul lor este constant.
• Mărimi invers proporționale: când una crește de $k$ ori, cealaltă scade de $k$ ori; produsul lor este constant.
• Regula de trei simplă: așezi datele pe două rânduri și verifici întâi dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale.

Exemplu: află $x$ din $\dfrac{x}{6} = \dfrac{4}{3}$. Apoi: $3$ kilograme de mere costă $24$ de lei; cât costă $5$ kilograme?

• Pentru $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ este numărul nenegativ al cărui pătrat este $a$. Pentru orice număr real $a$, $\sqrt{a^2} = |a|$.
• Pentru $a, b \geq 0$: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$; pentru $a \geq 0$, $b > 0$: $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$.
• Scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$, pentru $a, b \geq 0$. Exemplu: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
• Se adună sau se scad doar radicalii asemenea: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Nu există o regulă pentru $\sqrt{a + b}$.
• Raționalizarea numitorului: $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$, pentru $b > 0$.
• Numerele iraționale (de exemplu $\sqrt{2}$, $\pi$) au o infinitate de zecimale fără perioadă. Raționalele și iraționalele formează împreună mulțimea $\mathbb{R}$.
• Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este $\dfrac{a + b}{2}$; media geometrică a numerelor nenegative $a$ și $b$ este $\sqrt{ab}$.

Exemplu: calculează $\sqrt{18} + \sqrt{8}$ și media geometrică a numerelor $2$ și $8$.

• Se adună sau se scad doar termenii asemenea (aceeași parte literală): $3x^2 - 5x + 2x^2 + x = 5x^2 - 4x$.
• Pătratul unei sume: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• Pătratul unei diferențe: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• Produsul sumei cu diferența: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
• Descompunerea în factori: întâi factorul comun, apoi formulele de calcul prescurtat sau gruparea termenilor.
• Condiția de existență a unei fracții algebrice: numitorul este diferit de $0$.
• Se simplifică doar factori comuni ai numărătorului și numitorului, după descompunere; niciodată termeni ai unei sume.

Exemplu: descompune $x^3 - 4x$, apoi simplifică $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$, pentru $x \neq -1$.

• Ecuația $ax + b = 0$, cu $a \neq 0$, are soluția unică $x = -\dfrac{b}{a}$.
• Ecuația $x^2 = a$: pentru $a > 0$, $x = \pm\sqrt{a}$; pentru $a = 0$, $x = 0$; pentru $a < 0$ nu are soluții reale.
• Un sistem de două ecuații liniare se rezolvă prin substituție (scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă) sau prin reducere (aduni ecuațiile, după ce ai făcut coeficienții unei necunoscute opuși).
• Intervale: $[a, b]$ include capetele, $(a, b)$ nu le include. Reuniunea și intersecția se citesc cel mai sigur pe axa numerelor.
• Inecuații: când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
• Ecuația de gradul al II-lea $ax^2 + bx + c = 0$, cu $a \neq 0$: o aduci la forma unui produs de factori, prin factor comun, formule de calcul prescurtat sau grupare, apoi folosești proprietatea produsului nul.
• Proprietatea produsului nul: $A \cdot B = 0$ exact atunci când $A = 0$ sau $B = 0$. Exemplu: $x(x - 3) = 0$ dă $x = 0$ sau $x = 3$.

Exemplu: rezolvă sistemul $x + y = 7$, $x - y = 1$ și ecuația $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• Un punct $M(x, y)$ are abscisa $x$ (pe axa $Ox$) și ordonata $y$ (pe axa $Oy$). Punctele de pe $Ox$ au ordonata $0$, cele de pe $Oy$ au abscisa $0$.
• Distanța dintre punctele $A(x_1, y_1)$ și $B(x_2, y_2)$: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• O funcție $f : A \to B$ asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$. Graficul ei este mulțimea punctelor $(x, f(x))$.
• Punctul $M(m, n)$ aparține graficului lui $f$ exact atunci când $f(m) = n$.
• Graficul funcției liniare $f(x) = ax + b$ este o dreaptă. Intersecția cu $Oy$ este $(0, b)$; intersecția cu $Ox$ se află rezolvând $f(x) = 0$.

Exemplu: calculează distanța dintre $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$, apoi află intersecțiile graficului funcției $f(x) = 2x - 4$ cu axele.

• Frecvența unei valori este numărul ei de apariții. Datele se organizează în tabele și se reprezintă prin grafice cu bare, cu linii sau prin diagrame.
• Media aritmetică: suma valorilor împărțită la numărul lor. Media dintr-un tabel de frecvențe: fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei.
• Media aritmetică ponderată: $\dfrac{a_1 p_1 + a_2 p_2 + \ldots + a_n p_n}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}$.
• Mediana: valoarea din mijlocul datelor ordonate crescător; pentru un număr par de valori, media celor două din mijloc.
• Modul: valoarea cu frecvența cea mai mare. Amplitudinea: valoarea maximă minus valoarea minimă.
• Probabilitatea unui eveniment: $P = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$, un număr între $0$ și $1$.

Exemplu: se aruncă un zar. Care este probabilitatea să apară un număr par? Apoi: un elev are nota $8$ cu ponderea $2$ și nota $5$ cu ponderea $1$; calculează media ponderată.

• Tipuri de unghiuri: ascuțit (sub $90^\circ$), drept ($90^\circ$), obtuz (între $90^\circ$ și $180^\circ$), alungit ($180^\circ$).
• Unghiurile complementare au suma $90^\circ$, cele suplementare au suma $180^\circ$. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Unghiurile în jurul unui punct au suma $360^\circ$.
• Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente.
• Două paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente, unghiuri corespondente congruente și unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare. Reciproc, oricare dintre aceste relații arată că dreptele sunt paralele.
• Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă.
• Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe segment prin mijlocul lui; orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului.

Exemplu: complementul unui unghi de $35^\circ$ și suplementul lui.

• Suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$. Un unghi exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.
• Inegalitatea triunghiului: fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Într-un triunghi, unghiului mai mare i se opune latura mai mare.
• Liniile importante și punctele lor de intersecție: bisectoarele se intersectează în centrul cercului înscris; mediatoarele, în centrul cercului circumscris; înălțimile, în ortocentru; medianele, în centrul de greutate.
• Criteriile de congruență: Latură – Unghi – Latură (LUL), Unghi – Latură – Unghi (ULU), Latură – Latură – Latură (LLL).
• Pentru triunghiuri dreptunghice: Catetă – Catetă (CC), Ipotenuză – Catetă (IC), Catetă – Unghi (CU), Ipotenuză – Unghi (IU).
• Triunghiul isoscel are unghiurile de la bază congruente; în el, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea corespunzătoare bazei coincid. Triunghiul echilateral are toate unghiurile de $60^\circ$.
• În triunghiul dreptunghic: mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză; cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză.

Exemplu: un triunghi are două unghiuri de $50^\circ$ și $60^\circ$. Află al treilea unghi și unghiul exterior lui.

• Paralelogramul: laturile opuse paralele și congruente, unghiurile opuse congruente, diagonalele se înjumătățesc.
• Dreptunghiul are diagonalele congruente; rombul are diagonalele perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor; pătratul are toate aceste proprietăți.
• Linia mijlocie în triunghi este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
• Linia mijlocie în trapez este paralelă cu bazele și are lungimea $\dfrac{B + b}{2}$. Trapezul isoscel are laturile neparalele și diagonalele congruente.

Exemplu: un trapez are bazele $10$ și $6$ și înălțimea $5$. Calculează linia mijlocie și aria.

• Elemente: centrul, raza, coarda, diametrul (coarda care trece prin centru, egală cu dublul razei), arcul.
• Unghiul la centru are măsura egală cu a arcului cuprins între laturile lui.
• Unghiul înscris are măsura egală cu jumătate din arcul cuprins între laturile lui. Un unghi înscris într-un semicerc este drept.
• Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. Tangentele duse dintr-un punct exterior la cerc sunt congruente.
• Lungimea cercului de rază $r$ este $2\pi r$; aria discului este $\pi r^2$.
• În hexagonul regulat înscris într-un cerc de rază $R$, latura este egală cu $R$.

Exemplu: din punctul $P$, aflat la distanța $13$ de centrul $O$ al unui cerc de rază $5$, se duce tangenta $PA$. Calculează $PA$.

• Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Reciproca arată că o dreaptă este paralelă cu o latură.
• Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat.
• Criterii de asemănare: două unghiuri congruente; două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruent; trei laturi proporționale.
• Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu raportul $k$, raportul ariilor lor este $k^2$.
• În triunghiul $ABC$ cu $\angle A = 90^\circ$ și înălțimea $AD$: teorema lui Pitagora, $BC^2 = AB^2 + AC^2$; teorema înălțimii, $AD^2 = BD \cdot DC$; teorema catetei, $AB^2 = BD \cdot BC$. Înălțimea se mai poate calcula cu $AD = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$.
• Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă $BC^2 = AB^2 + AC^2$, triunghiul este dreptunghic în $A$.
• Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit: sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată, cotangenta este cateta alăturată supra cateta opusă.

Exemplu: în triunghiul $ABC$ cu $\angle A = 90^\circ$, $AD \perp BC$, $BD = 4$ și $DC = 9$. Calculează $AD$ și $AB$.

• Un plan este determinat de trei puncte necoliniare, de o dreaptă și un punct exterior ei, de două drepte concurente sau de două drepte paralele.
• Două drepte în spațiu pot fi concurente, paralele sau necoplanare. Unghiul a două drepte necoplanare se măsoară ducând o paralelă la una dintre ele printr-un punct al celeilalte.
• O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan; atunci este perpendiculară pe orice dreaptă din plan.
• Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Unghiul diedru se măsoară prin unghiul plan corespunzător: două perpendiculare pe muchie, duse în același punct al muchiei, câte una în fiecare plan.
• Teorema celor trei perpendiculare: dacă $PA \perp \alpha$, $A \in \alpha$, și $AB \perp d$, cu $d \subset \alpha$, $B \in d$, atunci $PB \perp d$.
• Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei din punct pe plan; se calculează de obicei într-un triunghi dreptunghic.

Exemplu: $PA \perp (ABC)$, $PA = 6$, iar distanța de la $A$ la dreapta $BC$ este $AD = 8$, cu $D \in BC$. Calculează distanța de la $P$ la dreapta $BC$.

Notații: $A_b$ aria bazei (la trunchi, $A_B$ și $A_b$ sunt ariile bazei mari și bazei mici), $P_b$ perimetrul bazei, $h$ înălțimea, $a_b$ apotema bazei, $a_p$ apotema piramidei, $A_l$ aria laterală, $R$ și $r$ razele bazelor (la sferă, $r$ este raza sferei), $G$ generatoarea. Aria totală este aria laterală plus aria bazei (sau a bazelor).

• Volumul trunchiului de piramidă: $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$.
• Volumul trunchiului de con: $V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$.
• Diagonala cubului cu muchia $\ell$ este $\ell\sqrt{3}$; diagonala paralelipipedului dreptunghic este $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
• La piramida regulată, înălțimea, apotema bazei și apotema piramidei formează un triunghi dreptunghic: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$.
• La con, $G^2 = h^2 + R^2$; la trunchiul de con, $G^2 = h^2 + (R - r)^2$.
• Unitățile: lungimile în centimetri, ariile în centimetri pătrați, volumele în centimetri cubi; $1$ litru $= 1\ \text{dm}^3$ (decimetru cub).

Exemplu: un trunchi de con are razele $4$ și $1$ și înălțimea $4$. Calculează generatoarea, aria laterală și volumul.