Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, unghi exterior

Un triunghi se clasifică de două ori: o dată după laturi (câte laturi au aceeași lungime) și o dată după unghiuri (dacă are un unghi drept sau obtuz). Clasificarea se face din date și din marcajele de pe figură, nu din cum arată desenul.

Oricât de mare sau de mic ar fi triunghiul, unghiurile lui au împreună $180°$. Din această regulă afli un unghi lipsă și unghiul exterior.

Fie $A$, $B$, $C$ trei puncte care nu sunt pe aceeași dreaptă (puncte necoliniare). Figura formată din segmentele $AB$, $BC$ și $CA$ se numește triunghiul $ABC$ și se notează $\triangle ABC$.

• Vârfurile: punctele $A$, $B$, $C$.
• Laturile: segmentele $AB$, $BC$, $CA$.
• Unghiurile: $\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle ACB$. Pe scurt le scriem $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, după vârf.

Fiecare unghi are în față o latură care nu trece prin vârful lui: latura opusă. În $\triangle ABC$, latura $BC$ se opune unghiului $A$, latura $CA$ unghiului $B$, iar latura $AB$ unghiului $C$. Invers, spunem că unghiul $A$ se opune laturii $BC$.

Ca la unghiuri, măsura se scrie direct: $\angle A = 70°$. Numele triunghiului se poate citi pornind din orice vârf: $\triangle ABC$, $\triangle BCA$ și $\triangle CAB$ sunt același triunghi.

Compari lungimile celor trei laturi. Sunt trei cazuri.

Triunghiul oarecare (numit și scalen) are toate laturile de lungimi diferite.

Triunghiul isoscel are două laturi de aceeași lungime. Ele se numesc laturile egale (sau laturile laterale), iar a treia latură este baza. Vârful comun al laturilor egale este vârful triunghiului isoscel. Unghiurile $\angle B$ și $\angle C$, alăturate bazei, se numesc unghiurile de la bază; $\angle A$ este unghiul de la vârf.

Triunghiul echilateral are toate cele trei laturi de aceeași lungime. Are deci și două laturi egale, așa că orice triunghi echilateral este și isoscel: echilateralul este un caz particular de triunghi isoscel. Invers nu este adevărat. Triunghiul isoscel de mai sus, cu baza de $6\text{ cm}$, nu este echilateral.

Aici te uiți la cel mai mare unghi al triunghiului.

Triunghiul ascuțitunghic are toate cele trei unghiuri ascuțite (mai mici de $90°$).

Triunghiul dreptunghic are un unghi drept ($90°$). Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Unghiul drept se marchează cu un careu mic, nu cu un arc.

Triunghiul obtuzunghic are un unghi obtuz (mai mare de $90°$).

Cele două clasificări sunt independente. Un triunghi primește un nume după laturi și unul după unghiuri, iar numele complet le cuprinde pe amândouă.

Alte exemple: triunghiul cu laturile de $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ și $5\text{ cm}$ și un unghi drept este oarecare dreptunghic; triunghiul din figura cu unghiurile de $50°$, $70°$ și $60°$, cu laturile diferite, este oarecare ascuțitunghic.

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi:

Pentru triunghiurile cu laturi egale, adunarea se scrie mai scurt. Dacă $\ell$ este lungimea unei laturi egale și $b$ este baza:

• triunghi isoscel: $P = \ell + \ell + b = 2\ell + b$;
• triunghi echilateral: $P = \ell + \ell + \ell = 3\ell$.

În orice triunghi $ABC$, suma măsurilor unghiurilor este $180°$:

De ce? Ducem prin $A$ dreapta $MN$ paralelă cu $BC$ (există una singură, după axioma paralelelor).

1. Dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele, iar $AB$ este o secantă. $\angle MAB$ și $\angle B$ sunt alterne interne, deci $\angle MAB = \angle B$.
2. La fel, cu secanta $AC$: $\angle NAC = \angle C$.
3. În $A$, unghiurile $\angle MAB$, $\angle BAC$ și $\angle NAC$ formează unghiul alungit $\angle MAN$, deci au împreună $180°$.
4. Înlocuind: $\angle B + \angle A + \angle C = 180°$.

Dacă știi două unghiuri, îl afli pe al treilea scăzând din $180°$. De exemplu, pentru $\angle A = 45°$ și $\angle B = 65°$:

Două consecințe. Dacă un triunghi ar avea două unghiuri drepte, acestea ar avea deja $180°$ și pentru al treilea n-ar mai rămâne nimic; cu două unghiuri obtuze s-ar depăși $180°$. Deci un triunghi are cel mult un unghi drept sau obtuz. Iar într-un triunghi dreptunghic, celelalte două unghiuri au împreună $180° - 90° = 90°$: sunt complementare.

Prelungește latura $BC$ dincolo de $C$, până la un punct $D$. Unghiul $\angle ACD$, format de latura $CA$ și de prelungirea $CD$, este un unghi exterior al triunghiului, în vârful $C$.

Unghiul exterior și unghiul interior din același vârf sunt adiacente și suplementare (împreună formează unghiul alungit $\angle BCD$):

Teorema unghiului exterior: un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.

Justificarea vine din cele două egalități cu $180°$: $\angle ACD = 180° - \angle ACB$ și, din suma unghiurilor, $\angle A + \angle B = 180° - \angle ACB$. Cele două rezultate sunt același număr.

Consecință: un unghi exterior este mai mare decât fiecare dintre cele două unghiuri interioare neadiacente cu el. În figură, $120° > 50°$ și $120° > 70°$.