Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

Un triunghi nu se ghicește după desen, se construiește din date. Cu rigla gradată măsori laturi, cu raportorul unghiuri, iar cu compasul găsești punctele aflate la o distanță dată de un punct.

Datele trebuie să fie și posibile: în orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Iar laturile și unghiurile sunt legate: latura mai mare stă în fața unghiului mai mare.

Un triunghi are șase elemente: trei laturi și trei unghiuri. Nu trebuie să le știi pe toate ca să îl desenezi. Sunt suficiente trei elemente bine alese. Cazurile au nume scurte, din inițiale: L înseamnă latură, U înseamnă unghi, iar ordinea literelor arată ordinea elementelor pe triunghi.

Ordinea literelor contează. În LUL unghiul stă între cele două laturi: vârful lui este punctul comun al laturilor date. Pentru $AB$ și $AC$ unghiul cuprins este $\angle A$, nu $\angle B$ sau $\angle C$. La fel, în ULU unghiurile sunt în capetele laturii date: pentru latura $BC$, unghiurile $\angle B$ și $\angle C$.

Două date nu ajung. Dacă știi doar $AB = 5\text{ cm}$ și $AC = 3\text{ cm}$, poți desena oricâte triunghiuri diferite:

Nici trei unghiuri nu ajung: triunghiurile cu unghiurile de $50°$, $60°$ și $70°$ pot fi mici sau mari, pentru că nicio latură nu este fixată.

Construiește $\triangle ABC$ cu $AB = 5\text{ cm}$, $\angle A = 50°$ și $AC = 4\text{ cm}$.

1. Trasează cu rigla segmentul $AB = 5\text{ cm}$.
2. Așază raportorul cu centrul în $A$ și cu $0°$ pe $AB$. Marchează $50°$ și trasează semidreapta $AX$.
3. Deschide compasul la $4\text{ cm}$, pune vârful în $A$ și taie semidreapta $AX$. Punctul de intersecție este $C$ (sau măsori $4\text{ cm}$ pe $AX$ cu rigla).
4. Unește $B$ cu $C$.

Construiește $\triangle ABC$ cu $BC = 6\text{ cm}$, $\angle B = 50°$ și $\angle C = 60°$.

1. Trasează segmentul $BC = 6\text{ cm}$.
2. Cu raportorul în $B$, trasează semidreapta $BX$ cu $\angle CBX = 50°$.
3. Cu raportorul în $C$, de aceeași parte a lui $BC$, trasează semidreapta $CY$ cu $\angle BCY = 60°$.
4. Punctul în care se întâlnesc $BX$ și $CY$ este vârful $A$.

Al treilea unghi rezultă din suma unghiurilor: $\angle A = 180° - (50° + 60°) = 70°$. Semidreptele se întâlnesc numai dacă cele două unghiuri date au împreună mai puțin de $180°$.

Construiește $\triangle ABC$ cu $AB = 5\text{ cm}$, $AC = 4\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$. Aici lucrezi doar cu rigla și compasul.

1. Trasează segmentul $AB = 5\text{ cm}$.
2. Deschide compasul la $4\text{ cm}$ ($AC$), pune vârful în $A$ și trasează un arc deasupra lui $AB$.
3. Deschide compasul la $3\text{ cm}$ ($BC$), pune vârful în $B$ și trasează un arc care taie primul arc. Punctul comun este $C$.
4. Unește $C$ cu $A$ și cu $B$.

De ce merge: $C$ este pe primul arc, deci $AC = 4\text{ cm}$, și pe al doilea, deci $BC = 3\text{ cm}$. Arcele sunt bucăți din cercurile $\mathcal{C}(A, 4\text{ cm})$ și $\mathcal{C}(B, 3\text{ cm})$.

Încearcă LLL cu laturile de $7\text{ cm}$, $2\text{ cm}$ și $3\text{ cm}$:

Cele două laturi scurte, puse cap la cap, au doar $5\text{ cm}$ și nu ajung să închidă triunghiul. La limită, când suma lor este exact cât a treia latură, arcele se ating chiar pe $AB$:

Inegalitatea triunghiului: în orice triunghi $ABC$, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.

• $AB < AC + CB$
• $BC < BA + AC$
• $CA < CB + BA$

Drumul drept de la $A$ la $B$ este mai scurt decât ocolul prin $C$. Invers, dacă trei lungimi verifică toate cele trei inegalități, cu ele se poate construi un triunghi (LLL).

A treia latură. Dacă două laturi au $4\text{ cm}$ și $7\text{ cm}$, a treia latură $x$ trebuie să fie mai mică decât suma lor și mai mare decât diferența lor: $7 - 4 < x < 7 + 4$, adică $3\text{ cm} < x < 11\text{ cm}$. Condiția din stânga vine din $7 < 4 + x$.

Într-un triunghi, unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Și invers, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.

• Dacă $\angle A > \angle B$, atunci $BC > AC$.
• Dacă $BC > AC$, atunci $\angle A > \angle B$.

Ca să ordonezi laturile, ordonezi unghiurile și iei, pentru fiecare, latura din fața lui. În figură: $80° > 60° > 40°$, deci $BC > AC > AB$.

Consecință: într-un triunghi dreptunghic unghiul drept este cel mai mare, deci ipotenuza este cea mai lungă latură. Într-un triunghi obtuzunghic, cea mai lungă latură este cea opusă unghiului obtuz.