Bisectoarele și cercul înscris. Mediatoarele și cercul circumscris

Bisectoarea pornește dintr-un vârf și împarte unghiul în două unghiuri egale. Punctele ei sunt egal depărtate de laturile unghiului. De aceea punctul comun al celor trei bisectoare, $I$, este la aceeași distanță de toate laturile și este centrul unui cerc care atinge toate laturile: cercul înscris.

Mediatoarea unei laturi este perpendiculară pe latură în mijlocul ei. Punctele ei sunt egal depărtate de capetele laturii. De aceea punctul comun al celor trei mediatoare, $O$, este la aceeași distanță de toate vârfurile și este centrul unui cerc care trece prin toate vârfurile: cercul circumscris.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care îl împarte în două unghiuri egale. În triunghiul $ABC$, bisectoarea unghiului $A$ se desenează ca segmentul $AD$, cu $D$ pe latura $BC$, pentru care $\angle BAD = \angle DAC$.

Pe figură, arcele la fel arată cele două unghiuri egale. Dacă $\angle A = 68°$, fiecare jumătate are $68° : 2 = 34°$.

Un triunghi are trei unghiuri, deci trei bisectoare: $AD$ din $A$, $BE$ din $B$ și $CF$ din $C$. Le construiești exact ca în lecția despre bisectoarea unui unghi, cu rigla și compasul, sau cu raportorul: măsori unghiul și îl împarți la $2$.

Cele trei bisectoare ale unui triunghi trec prin același punct. Spunem că sunt concurente. Punctul lor comun se notează cu $I$ și se numește incentrul triunghiului.

• Incentrul este mereu în interiorul triunghiului, oricum ar fi triunghiul.
• Ca să găsești $I$, ajung două bisectoare: a treia trece oricum prin punctul lor comun.
• Concurența bisectoarelor se acceptă fără demonstrație în clasa a VI-a. O poți verifica pe orice desen făcut atent.

Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Distanța de la un punct la o latură se măsoară pe perpendiculară, ca în lecția despre drepte perpendiculare.

Și invers: un punct din interiorul unghiului, egal depărtat de laturile lui, este pe bisectoare.

Pentru incentru: $I$ este pe bisectoarea lui $\angle A$, deci este egal depărtat de $AB$ și $AC$. Este și pe bisectoarea lui $\angle B$, deci egal depărtat de $BA$ și $BC$. Așadar $I$ este la aceeași distanță de toate cele trei laturi.

Cercul înscris în triunghiul $ABC$ are centrul în incentrul $I$ și raza egală cu distanța de la $I$ la laturi. El atinge fiecare latură într-un singur punct, adică este tangent la toate cele trei laturi.

1. Construiește bisectoarele a două unghiuri, de exemplu din $A$ și din $B$. Punctul lor comun este $I$.
2. Din $I$ du perpendiculara pe $BC$. Piciorul ei este punctul $T$.
3. Deschide compasul la $IT$, pune vârful în $I$ și trasează cercul.

De ce atinge și celelalte laturi: distanța de la $I$ la fiecare latură este egală cu $IT$, adică cu raza. Din lecția despre cerc știi că o dreaptă aflată la distanța egală cu raza de centru este tangentă la cerc.

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui. Un triunghi are trei laturi, deci trei mediatoare: a lui $BC$, a lui $CA$ și a lui $AB$.

Mediatoarea lui $BC$ se construiește cu compasul, ca în lecția despre drepte perpendiculare:

1. Deschide compasul la mai mult de jumătate din $BC$.
2. Cu vârful în $B$, trasează un arc deasupra și unul dedesubtul lui $BC$.
3. Cu aceeași deschidere și vârful în $C$, trasează arce care le taie pe primele în $X$ și $Y$.
4. Dreapta $XY$ este mediatoarea lui $BC$. Ea taie $BC$ în mijlocul $M$.

Mediatoarele celor trei laturi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează cu $O$ și se numește circumcentrul triunghiului.

Ca și la bisectoare, ajung două mediatoare pentru a găsi $O$; a treia trece prin același punct.

Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului. Dacă $P$ este pe mediatoarea lui $AB$, atunci $PA = PB$.

Și invers: un punct egal depărtat de $A$ și de $B$ este pe mediatoarea lui $AB$.

Pentru circumcentru: $O$ este pe mediatoarea lui $AB$, deci $OA = OB$, și pe mediatoarea lui $BC$, deci $OB = OC$. Rezultă $OA = OB = OC$. Din $OA = OC$, $O$ este și pe mediatoarea lui $CA$: iată de ce trec toate trei prin $O$.

Cercul circumscris triunghiului $ABC$ are centrul în circumcentrul $O$ și raza $OA = OB = OC$. El trece prin toate cele trei vârfuri.

1. Construiește mediatoarele a două laturi, de exemplu $BC$ și $CA$. Punctul lor comun este $O$.
2. Deschide compasul la $OA$, pune vârful în $O$ și trasează cercul.
3. Verifică: cercul trece și prin $B$ și prin $C$.

Sunt noțiuni diferite. Bisectoarea din $A$ ajunge pe $BC$ în $D$, mediatoarea lui $BC$ trece prin mijlocul $M$. În general $D$ și $M$ sunt puncte diferite, iar $I$ și $O$ sunt puncte diferite.