Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral – Clasa a VI-a

Ce vei învăța

Recunosc baza, vârful principal și unghiurile de la bază ale unui triunghi isoscel.
Demonstrez și aplic proprietatea unghiurilor de la bază și reciproca ei.
Folosesc faptul că, în triunghiul isoscel, bisectoarea, mediana și înălțimea din vârful principal coincid.
Arăt că un triunghi este isoscel când două dintre aceste segmente (bisectoare, mediană, înălțime), duse din același vârf, coincid.
Aplic proprietățile triunghiului echilateral: trei laturi egale, trei unghiuri de $60°$

Recomandat înainte: Metoda triunghiurilor congruente

Ideea de bază

Triunghiul isoscel are două laturi egale. De aici rezultă două unghiuri egale, cele de la bază, și un segment din vârf care este în același timp bisectoare, mediană și înălțime.

Proprietățile merg și invers: dacă un triunghi are două unghiuri egale, atunci este isoscel. Fiecare proprietate are o demonstrație, iar reciproca are demonstrația ei, separată.

Triunghiul isoscel: baza, vârful principal, unghiurile de la bază

Un triunghi isoscel are două laturi egale (congruente). Dacă $AB = AC$

$AB$ și $AC$ sunt laturile egale;
$BC$ a treia latură, este baza;
$A$ vârful în care se întâlnesc laturile egale, este vârful principal;
$\angle B$ și $\angle C$ alăturate bazei, sunt unghiurile de la bază; $\angle A$ este unghiul din vârf.

AB = AC

A

este vârful principal,

BC

este baza, iar

\angle B

și

\angle C

sunt unghiurile de la bază.

Baza nu este neapărat „jos”

Baza este latura opusă vârfului principal, oriunde ar fi desenată. În $\triangle MNP$ cu $MN = MP$ baza este $NP$ chiar dacă triunghiul este desenat culcat.

MN = MP

vârful principal este

M

baza este

NP

unghiurile de la bază sunt

\angle N

și

\angle P

Ce înseamnă „direct” și „reciproc”

O proprietate are forma „dacă se întâmplă $A$ atunci se întâmplă $B$ $A$ este ipoteza (ce știm), $B$ este concluzia (ce rezultă). Aceasta este proprietatea directă.

Reciproca schimbă rolurile: „dacă se întâmplă $B$ atunci se întâmplă $A$ Reciproca este o afirmație nouă. Poate fi adevărată sau falsă, deci trebuie demonstrată separat.

Proprietatea directă și reciproca ei
Tipul	Ipoteza (dacă …)	Concluzia (atunci …)
Directă	$AB = AC$	$\angle B = \angle C$
Reciprocă	$\angle B = \angle C$	$AB = AC$

O reciprocă poate fi falsă

„Dacă un număr se termină în $0$ atunci este par” este adevărată. Reciproca, „dacă un număr este par, atunci se termină în $0$ este falsă: $12$ este par. De aceea nu folosești niciodată o proprietate „în sens invers” până nu îi demonstrezi reciproca.

Uneltele: criteriile de congruență

Toate demonstrațiile din lecție folosesc metoda triunghiurilor congruente. Criteriile folosite sunt LUL (Latură – Unghi – Latură), LLL (Latură – Latură – Latură) și, pentru triunghiuri dreptunghice, CC (Catetă – Catetă), IC (Ipotenuză – Catetă) și CU (Catetă – Unghi).

Criteriile de congruență folosite în demonstrații
Caz	Denumire	Date
LUL	Latură – Unghi – Latură	două laturi și unghiul cuprins între ele
LLL	Latură – Latură – Latură	cele trei laturi
CC	Catetă – Catetă	cele două catete
IC	Ipotenuză – Catetă	ipotenuza și o catetă
CU	Catetă – Unghi	o catetă și un unghi ascuțit

Mai folosești suma unghiurilor unui triunghi, $180°$ și definițiile bisectoarei, medianei, înălțimii și mediatoarei.

Proprietatea directă: unghiurile de la bază sunt egale

Teoremă

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale: dacă $AB = AC$ atunci $\angle ABC = \angle ACB$

Ideea: ducem bisectoarea unghiului $A$ până pe $BC$ în punctul $D$ Ea împarte triunghiul în două triunghiuri pe care le putem compara. Nu folosim nicio proprietate a isoscelului: doar datele, bisectoarea și latura comună.

Date: $AB = AC$
$AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$
$D$ este pe segmentul $BC$
De demonstrat: $\angle ABC = \angle ACB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$AB = AC$ (dat)
$\angle BAD = \angle CAD$ ( $AD$ este bisectoare)
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABD = \angle ACD$ .

Concluzie

Deci $\angle ABC = \angle ACB$ .

Consecință: unghiurile de la bază sunt ascuțite. Două unghiuri egale care împreună au mai puțin de $180°$ au fiecare mai puțin de $90°$

Reciproca: două unghiuri egale dau un triunghi isoscel

Teorema reciprocă

Dacă un triunghi are două unghiuri egale, atunci este isoscel: dacă $\angle ABC = \angle ACB$ atunci $AB = AC$ Laturile egale sunt cele opuse unghiurilor egale.

Aici nu avem voie să folosim teorema directă: ea pornește de la $AB = AC$ adică exact de la ce vrem să obținem. Ducem înălțimea $AD$ cu $D$ pe $BC$ Piciorul $D$ cade între $B$ și $C$ pentru că $\angle B$ și $\angle C$ sunt egale, deci ascuțite.

Date: $\angle ABC = \angle ACB$
$AD \perp BC$ cu $D$ pe $BC$
De demonstrat: $AB = AC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$\angle ADB = \angle ADC$ (unghiuri drepte)
$AD = AD$ (latură comună)
$\angle ABD = \angle ACD$ (dat)

Din aceste egalități, prin criteriul CU (Catetă – Unghi), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AB = AC$ .

Concluzie

Deci $AB = AC$ .

Teorema directă și reciproca ei, comparate
Teorema	Știm	Demonstrăm	Cu ce
Teorema directă	$AB = AC$	$\angle B = \angle C$	bisectoarea din $A$ LUL
Teorema reciprocă	$\angle B = \angle C$	$AB = AC$	înălțimea din $A$ CU

Nu le confunda când scrii justificarea

Dacă folosești $AB = AC$ ca să obții unghiuri egale, justificarea este „unghiurile de la baza triunghiului isoscel”. Dacă folosești unghiuri egale ca să obții laturi egale, justificarea este „reciproca”: triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel.

Bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare: patru definiții diferite

Înainte de proprietatea segmentelor din vârf, amintește-ți ce spune fiecare definiție. Sunt patru noțiuni diferite, chiar dacă într-un caz particular ajung să fie același segment.

Cele patru noțiuni și condiția fiecăreia
Noțiunea	Ce face	Condiția
bisectoarea din $A$	împarte $\angle A$ în două unghiuri egale	$\angle BAD = \angle DAC$
mediana din $A$	merge la mijlocul laturii opuse	$BD = DC$
înălțimea din $A$	este perpendiculară pe latura opusă	$AD \perp BC$
mediatoarea lui $BC$	este perpendiculară pe $BC$ în mijlocul lui	$D$ mijloc și $d \perp BC$

Primele trei pornesc dintr-un vârf. Mediatoarea este o dreaptă legată de o latură: nu trebuie să treacă prin vreun vârf.

Din vârful principal, bisectoarea, mediana și înălțimea coincid

Teoremă

Într-un triunghi isoscel cu $AB = AC$ bisectoarea unghiului $A$ mediana din $A$ și înălțimea din $A$ sunt același segment $AD$ iar dreapta $AD$ este mediatoarea bazei $BC$

Într-un triunghi isoscel,

AD

este bisectoare, mediană, înălțime și se află pe mediatoarea bazei

BC

Pornești de la oricare dintre cele trei roluri și arăți că segmentul le are și pe celelalte două. Mai întâi de la bisectoare:

Date: $AB = AC$
$AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$
$D$ este pe segmentul $BC$
De demonstrat: $D$ este mijlocul segmentului $BC$ (adică $BD = CD$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$AB = AC$ (dat)
$\angle BAD = \angle CAD$ ( $AD$ este bisectoare)
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $BD = CD$ .

Concluzie

Deci $BD = CD$ , adică $D$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Date: $AB = AC$
$AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$
$D$ este pe segmentul $BC$
De demonstrat: $AD \perp BC$ (adică $\angle ADB = \angle ADC$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$AB = AC$ (dat)
$\angle BAD = \angle CAD$ ( $AD$ este bisectoare)
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ADB = \angle ADC$ .

Concluzie

Deci $\angle ADB = \angle ADC$ , adică $AD \perp BC$ : $\angle ADB$ și $\angle ADC$ sunt egale și împreună formează unghiul alungit $BDC$ $180°$ deci fiecare are $90°$ .

De la mediană: cele trei laturi dau LLL. Aceeași congruență dă și $\angle ADB = \angle ADC$ deci mediana este și înălțime (unghiuri egale alăturate, adică drepte).

Date: $AB = AC$
$D$ este mijlocul segmentului $BC$
De demonstrat: $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$ (adică $\angle BAD = \angle CAD$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$AB = AC$ (dat)
$BD = CD$ ( $D$ este mijlocul lui $BC$ )
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle BAD = \angle CAD$ , $\angle ADB = \angle ADC$ .

Concluzie

Deci $\angle BAD = \angle CAD$ , adică $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$ .

De la înălțime: triunghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt dreptunghice în $D$ cu ipotenuzele $AB = AC$ Congruența dă și $\angle BAD = \angle CAD$ deci înălțimea este și bisectoare.

Date: $AB = AC$
$AD \perp BC$ cu $D$ pe $BC$
De demonstrat: $D$ este mijlocul segmentului $BC$ (adică $BD = CD$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$\angle ADB = \angle ADC$ (unghiuri drepte)
$AB = AC$ (dat)
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul IC (Ipotenuză – Catetă), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $BD = CD$ , $\angle BAD = \angle CAD$ .

Concluzie

Deci $BD = CD$ , adică $D$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Mediatoarea. $AD$ este perpendiculară pe $BC$ și trece prin mijlocul $D$ al lui $BC$ îndeplinește ambele condiții ale mediatoarei.

Doar din vârful principal

Proprietatea este despre segmentul dus din vârful dintre laturile egale. Din $B$ sau din $C$ bisectoarea, mediana și înălțimea sunt, în general, trei segmente diferite.

Din

B

bisectoarea

BE

și mediana

BF

ajung în puncte diferite:

B

nu este vârful principal.

Reciprocele: două dintre ele coincid, deci triunghiul este isoscel

Reciproca schimbă ipoteza: nu mai știm că triunghiul este isoscel. Știm doar că, din vârful $A$ un segment $AD$ are două roluri deodată. Rezultă $AB = AC$ în fiecare dintre cele trei cazuri.

Cele trei reciproce
$AD$ este …	Criteriul	Concluzia
înălțime și mediană	CC	$AB = AC$
înălțime și bisectoare	CU	$AB = AC$
bisectoare și mediană	LUL + reciproca unghiurilor de la bază	$AB = AC$

Înălțime și mediană. Triunghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt dreptunghice în $D$ cu catetele $BD = CD$ și $AD$ comună.

Date: $AD \perp BC$ cu $D$ pe $BC$
$D$ este mijlocul segmentului $BC$
De demonstrat: $AB = AC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$\angle ADB = \angle ADC$ (unghiuri drepte)
$BD = CD$ ( $D$ este mijlocul lui $BC$ )
$AD = AD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul CC (Catetă – Catetă), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AB = AC$ .

Concluzie

Deci $AB = AC$ .

Înălțime și bisectoare. Catetă comună $AD$ și unghiurile ascuțite din $A$ egale.

Date: $AD \perp BC$ cu $D$ pe $BC$
$AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$
De demonstrat: $AB = AC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$\angle ADB = \angle ADC$ (unghiuri drepte)
$AD = AD$ (latură comună)
$\angle BAD = \angle CAD$ ( $AD$ este bisectoare)

Din aceste egalități, prin criteriul CU (Catetă – Unghi), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AB = AC$ .

Concluzie

Deci $AB = AC$ .

Bisectoare și mediană. Aici $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ au $BD = CD$ $AD$ comună și unghiurile din $A$ egale, dar unghiul nu este cuprins între laturile egale, deci LUL nu se aplică direct. Construcție ajutătoare: prelungim $AD$ dincolo de $D$ cu $DE = AD$ și unim $C$ cu $E$

Date: $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$
$D$ este mijlocul segmentului $BC$
$D$ este mijlocul segmentului $AE$
De demonstrat: $AB = AC$ adică $\triangle ABC$ este isoscel

Demonstrație

Pasul 1. Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ECD$ . Avem:

$BD = CD$ ( $D$ este mijlocul lui $BC$ )
$\angle ADB = \angle EDC$ (unghiuri opuse la vârf)
$AD = ED$ ( $D$ este mijlocul lui $AE$ )

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ECD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow E$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AB = EC$ , $\angle BAD = \angle CED$ .

Pasul 2. Continuăm fără congruențe:

$\angle CED = \angle BAD$ (din congruența de la pasul 1) și $\angle BAD = \angle CAD$ $AD$ bisectoare), deci $\angle CEA = \angle CAE$
În $\triangle ACE$ unghiurile din $E$ și din $A$ sunt egale, deci, după reciproca proprietății unghiurilor de la bază, $CA = CE$
Din $AB = EC$ (pasul 1) și $EC = CA$ rezultă $AB = AC$

Concluzie

Deci $AB = AC$ adică $\triangle ABC$ este isoscel.

Triunghiul echilateral: trei laturi, trei unghiuri de 60°

Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale. Are deci și două laturi egale, așa că este un caz particular de triunghi isoscel, în care oricare vârf poate fi vârf principal.

AB = BC = CA

și

\angle A = \angle B = \angle C = 60°

Proprietatea directă

Dacă un triunghi are toate laturile egale, atunci are toate unghiurile egale, de câte $60°$

$AB = AC$ deci $\angle B = \angle C$ (unghiurile de la bază, vârful principal $A$
$BA = BC$ deci $\angle A = \angle C$ (unghiurile de la bază, vârful principal $B$
Rezultă $\angle A = \angle B = \angle C$ Suma lor este $180°$ deci fiecare are $180° : 3 = 60°$

Reciproca

Dacă un triunghi are toate unghiurile egale, atunci are toate laturile egale, deci este echilateral.

$\angle B = \angle C$ deci $AB = AC$ (reciproca unghiurilor de la bază).
$\angle A = \angle C$ deci $BA = BC$ (aceeași reciprocă).
Rezultă $AB = AC = BC$ triunghiul este echilateral.

Isoscel cu un unghi de 60°

Un triunghi isoscel cu un unghi de $60°$ este echilateral. Dacă unghiul din vârf are $60°$ unghiurile de la bază au $(180° - 60°) : 2 = 60°$ Dacă un unghi de la bază are $60°$ și celălalt are $60°$ iar al treilea $180° - 120° = 60°$ În ambele cazuri toate unghiurile sunt egale, deci, după reciprocă, triunghiul este echilateral.

Fiecare vârf al echilateralului este vârf principal, deci din fiecare vârf bisectoarea, mediana și înălțimea coincid.

În triunghiul echilateral, din fiecare vârf bisectoarea, mediana și înălțimea coincid.

Isoscel sau echilateral?

Isoscel și echilateral: când coincid bisectoarea, mediana și înălțimea
Triunghiul	Laturi egale	Unghiuri egale	Coincid
isoscel (neechilateral)	exact două	exact două (cele de la bază)	doar din vârful principal
echilateral	toate trei	toate trei, de câte $60°$	din fiecare vârf

Orice triunghi echilateral este isoscel. Invers nu: un isoscel cu unghiul din vârf de $40°$ are unghiurile $40°$ $70°$ $70°$ și nu este echilateral.

Recapitulare

Recapitulare: proprietăți directe și reciproce
Dacă …	atunci …	Tip
$AB = AC$	$\angle B = \angle C$	directă
$\angle B = \angle C$	$AB = AC$	reciprocă
$AB = AC$ și $AD$ este bisectoare, mediană sau înălțime	$AD$ este toate trei și e pe mediatoarea lui $BC$	directă
$AD$ are două dintre rolurile bisectoare, mediană, înălțime	$AB = AC$	reciprocă
$AB = BC = CA$	$\angle A = \angle B = \angle C = 60°$	directă
$\angle A = \angle B = \angle C$	$AB = BC = CA$	reciprocă

Exemple rezolvate

Baza și vârful principal

În $\triangle MNP$ $MN = MP$ Care este baza, care este vârful principal și care sunt unghiurile de la bază?

Vezi rezolvarea

Laturile egale, $MN$ și $MP$ se întâlnesc în $M$ acesta este vârful principal. Baza este latura opusă lui, $NP$ Unghiurile de la bază sunt $\angle N$ și $\angle P$ deci $\angle N = \angle P$

Unghiul din vârf dat

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$ $\angle A = 40°$ Află $\angle B$ și $\angle C$

Vezi rezolvarea

$\angle B = \angle C$ (unghiurile de la bază). Împreună au $180° - 40° = 140°$ deci fiecare are $140° : 2 = 70°$

Un unghi de la bază dat

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$ $\angle B = 65°$ Află $\angle A$

Vezi rezolvarea

$\angle C = \angle B = 65°$ (unghiurile de la bază). Atunci $\angle A = 180° - 65° - 65° = 50°$

Reciproca: din unghiuri, laturi

În $\triangle ABC$ $\angle B = \angle C = 50°$ și $AB = 7\text{ cm}$ Cât este $AC$

Vezi rezolvarea

Triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel (reciproca). Laturile egale sunt opuse unghiurilor egale: $AC$ este opusă lui $\angle B$ $AB$ este opusă lui $\angle C$ Deci $AC = AB = 7\text{ cm}$

Care laturi sunt egale?

Un triunghi $ABC$ are $\angle A = 70°$ $\angle B = 40°$ $\angle C = 70°$ Este isoscel? Care laturi sunt egale și care este vârful principal?

Vezi rezolvarea

$\angle A = \angle C$ deci triunghiul este isoscel (reciproca). Latura opusă lui $\angle A$ este $BC$ cea opusă lui $\angle C$ este $AB$ Deci $BA = BC$ iar vârful principal este $B$ cel cu unghiul diferit.

Bisectoarea din vârf

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $AD$ este bisectoarea unghiului $A$ cu $D$ pe $BC$ și $BC = 10\text{ cm}$ Află $BD$ și $\angle ADB$

Vezi rezolvarea

BC = 10\text{ cm}

Bisectoarea din vârful principal este și mediană, deci $D$ este mijlocul lui $BC$ $BD = 10 : 2 = 5\text{ cm}$ Este și înălțime, deci $\angle ADB = 90°$

Mediana din vârf

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $\angle BAC = 80°$ și $D$ este mijlocul lui $BC$ Află $\angle BAD$ și $\angle ADB$

Vezi rezolvarea

\angle BAC = 80°

Mediana din vârful principal este și bisectoare: $\angle BAD = 80° : 2 = 40°$ Este și înălțime: $\angle ADB = 90°$ Verificare în $\triangle ABD$ $\angle B = 180° - 40° - 90° = 50°$ iar din $\triangle ABC$ $\angle B = (180° - 80°) : 2 = 50°$

Înălțimea din vârf

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $AD \perp BC$ $D$ pe $BC$ și $BD = 4\text{ cm}$ Cât este $BC$

Vezi rezolvarea

Înălțimea din vârful principal este și mediană, deci $DC = BD = 4\text{ cm}$ și $BC = 8\text{ cm}$

Reciproca liniilor, cu calcul

În $\triangle ABC$ $AD \perp BC$ și $D$ este mijlocul lui $BC$ $AB = 9\text{ cm}$ $BC = 8\text{ cm}$ Află perimetrul.

Vezi rezolvarea

BC = 8\text{ cm}

$AD$ este înălțime și mediană, deci triunghiul este isoscel cu $AC = AB = 9\text{ cm}$ (reciproca, criteriul CC). Perimetrul este $9 + 9 + 8 = 26\text{ cm}$

Triunghiul echilateral

Un triunghi echilateral are perimetrul $18\text{ cm}$ Află latura și unghiurile.

Vezi rezolvarea

Laturile sunt egale: $18 : 3 = 6\text{ cm}$ Unghiurile sunt egale, deci au câte $60°$

Isoscel cu un unghi de 60°

În $\triangle ABC$ $AB = AC$ și $\angle A = 60°$ Arată că triunghiul este echilateral.

Vezi rezolvarea

$\angle B = \angle C$ (unghiurile de la bază) și $\angle B + \angle C = 180° - 60° = 120°$ deci $\angle B = \angle C = 60°$ Toate unghiurile au $60°$ deci toate laturile sunt egale (reciproca pentru echilateral).

Problemă în doi pași

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $\angle B = 35°$ iar $AD$ este bisectoarea unghiului $A$ Află $\angle BAD$

Vezi rezolvarea

Pasul 1: $\angle C = \angle B = 35°$ deci $\angle A = 180° - 70° = 110°$ Pasul 2: bisectoarea îl împarte în două: $\angle BAD = 110° : 2 = 55°$

Altfel: bisectoarea din vârf este și înălțime, deci în $\triangle ABD$ $\angle BAD = 180° - 90° - 35° = 55°$

Afirmația falsă

Ana spune: „În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ bisectoarea din $B$ este și mediană.” Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Nu. Proprietatea este doar pentru vârful principal, $A$ Din $B$ bisectoarea $BE$ și mediana $BF$ ajung în puncte diferite ale lui $AC$ (figura). Ar coincide doar dacă și $BA = BC$ adică dacă triunghiul ar fi echilateral.

Găsește greșeala

Un elev vrea să demonstreze că, dacă $AB = AC$ și $D$ este mijlocul lui $BC$ atunci $\angle ABC = \angle ACB$ Unde greșește?

Vezi rezolvarea

Demonstrație greșită: citește-o și găsește greșeala

Date: $AB = AC$
$D$ este mijlocul segmentului $BC$
De demonstrat: $\angle ABC = \angle ACB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ . Avem:

$AB = AC$ (dat)
$\angle ABD = \angle ACD$ („triunghiul este isoscel”)
$BD = CD$ ( $D$ este mijlocul lui $BC$ )

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow C$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABD = \angle ACD$ .

Concluzie

Concluzia scrisă: $\angle ABD = \angle ACD$ .

Unde este greșeala

Pasul 2 spune chiar ce trebuia demonstrat: $\angle ABD = \angle ACD$ este $\angle ABC = \angle ACB$ $D$ este pe $BC$ Justificarea „triunghiul este isoscel” înseamnă „unghiurile de la bază sunt egale”, adică exact teorema. Corect: cu $D$ mijlocul lui $BC$ ai trei laturi, $AB = AC$ $BD = CD$ și $AD$ comună, deci criteriul LLL, fără niciun unghi.

Greșeli frecvente

Baza este mereu latura de jos a desenului.
Baza este latura opusă vârfului principal (vârful dintre laturile egale), oricum ar fi așezat triunghiul.
Folosești „unghiurile de la bază sunt egale” ca să demonstrezi chiar această proprietate.
Asta este raționament circular. Proprietatea se demonstrează cu o congruență (bisectoarea din vârf, LUL, sau mediana, LLL).
Din $\angle B = \angle C$ scrii $AB = AC$ și justifici „unghiurile de la baza triunghiului isoscel”.
Aici folosești reciproca: triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel. Proprietatea directă merge în sens invers.
Laturile egale sunt „cele de lângă” unghiurile egale.
Laturile egale sunt opuse unghiurilor egale. Dacă $\angle A = \angle C$ atunci $BC = BA$
În orice triunghi isoscel, bisectoarea din orice vârf este și mediană.
Doar din vârful principal. Din vârfurile bazei segmentele sunt diferite (dacă triunghiul nu este echilateral).
Bisectoarea, mediana și înălțimea sunt același lucru.
Sunt noțiuni diferite, cu definiții diferite. Doar în triunghiul isoscel, din vârful principal, ajung să fie același segment.
Un triunghi echilateral nu este isoscel.
Echilateralul are și două laturi egale, deci este un caz particular de isoscel.
$AD$ este bisectoare și mediană, deci $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ prin LUL.”
Unghiul din $A$ nu este cuprins între $AD$ și $BD$ Pentru acest caz se prelungește mediana (dublarea medianei).

Exerciții

Ușor

În $\triangle RST$ din figură, $SR = ST$ Care este baza? Ce unghiuri sunt egale?
Arată răspunsul
Răspuns: baza $RT$ $\angle R = \angle T$
Laturile egale se întâlnesc în $S$ vârful principal. Baza este latura opusă lui, $RT$ iar unghiurile de la bază sunt $\angle R$ și $\angle T$
Clasifică după laturi triunghiul din figură. Are unghiuri egale?
Arată răspunsul
Răspuns: oarecare; nu are două unghiuri egale
Dacă ar avea două unghiuri egale, ar fi isoscel (reciproca). Laturile sunt toate diferite, deci nu este.
În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $\angle B = 72°$ Cât este $\angle C$
Arată răspunsul
Răspuns: $72°$
Unghiurile de la bază sunt egale.
În triunghiul isoscel din figură, află $\angle B$ și $\angle C$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle B = \angle C = 75°$
$(180° - 30°) : 2 = 75°$
În triunghiul isoscel din figură, află $\angle A$
Arată răspunsul
Răspuns: $44°$
$\angle B = \angle C = 68°$ (unghiurile de la bază), deci $\angle A = 180° - 2 \cdot 68° = 44°$
Un triunghi echilateral are latura de $5\text{ cm}$ Cât este perimetrul? Cât are fiecare unghi?
Arată răspunsul
Răspuns: $15\text{ cm}$ $60°$
În $\triangle ABC$ $\angle B = \angle C = 50°$ Cât măsoară $\angle A$
Arată răspunsul
Răspuns: $80°$
$\angle A=180°-50°-50°=80°$
Scrie reciproca afirmației: „Dacă un triunghi are toate laturile egale, atunci are toate unghiurile egale.”
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă un triunghi are toate unghiurile egale, atunci are toate laturile egale.

Mediu

Unghiurile triunghiului $ABC$ din figură sunt $\angle A = 55°$ $\angle B = 55°$ $\angle C = 70°$ Ce laturi sunt egale? Care este vârful principal?
Arată răspunsul
Răspuns: $CA = CB$ vârful principal $C$
$\angle A = \angle B$ deci triunghiul este isoscel (reciproca). Latura opusă lui $\angle A$ este $BC$ cea opusă lui $\angle B$ este $CA$ Vârful principal este $C$ cel cu unghiul diferit.
În $\triangle PQR$ cu $PQ = PR$ $PS$ este bisectoarea unghiului $P$ cu $S$ pe $QR$ iar $SR = 6{,}5\text{ cm}$ Află $QR$ și $\angle PSQ$
Arată răspunsul
Răspuns: $QR = 13\text{ cm}$ $\angle PSQ = 90°$
Bisectoarea din vârful principal este și mediană, deci $QS = SR = 6{,}5\text{ cm}$ și $QR = 13\text{ cm}$ Este și înălțime, deci $\angle PSQ = 90°$
În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ $D$ este mijlocul lui $BC$ și $\angle B = 64°$ Află $\angle BAD$ și $\angle ADC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle BAD = 26°$ $\angle ADC = 90°$
$\angle C = \angle B = 64°$ deci $\angle BAC = 180° - 128° = 52°$ Mediana din vârful principal este și bisectoare: $\angle BAD = 52° : 2 = 26°$ Este și înălțime: $\angle ADC = 90°$
În $\triangle ABC$ cu $AB=AC$ și $AD\perp BC$ ce rol are punctul $D$ pe segmentul $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: Este mijlocul segmentului $BC$
Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârful principal este și mediană.
Un triunghi isoscel are un unghi de $100°$ Care sunt celelalte două unghiuri?
Arată răspunsul
Răspuns: $40°$ și $40°$
Unghiul de $100°$ nu poate fi la bază (unghiurile de la bază sunt ascuțite), deci este în vârf: $(180° - 100°) : 2 = 40°$
Un triunghi isoscel are un unghi de $50°$ Ce valori pot avea celelalte două unghiuri?
Arată răspunsul
Răspuns: $50°$ și $80°$ (dacă $50°$ este la bază) sau $65°$ și $65°$ (dacă $50°$ este în vârf)
Completează demonstrația: $AB = AC$ (dat), $\angle BAD = \angle CAD$ (…), $AD = AD$ (…). Deci, prin criteriul …, $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ și $\angle ABD = \ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $AD$ bisectoare; latură comună; LUL; $\angle ACD$
În $\triangle MNP$ $MQ \perp NP$ și $Q$ este mijlocul lui $NP$ $MN = 7{,}5\text{ cm}$ și $NQ = 3\text{ cm}$ Află perimetrul.
Arată răspunsul
Răspuns: $21\text{ cm}$
$MQ$ este înălțime și mediană, deci triunghiul este isoscel cu $MP = MN = 7{,}5\text{ cm}$ (reciproca). $NP = 2 \cdot 3 = 6\text{ cm}$ iar perimetrul este $7{,}5 + 7{,}5 + 6 = 21\text{ cm}$
Direct sau reciproc? „Știm că $\angle P = \angle Q$ în $\triangle MPQ$ și deducem $MP = MQ$
Arată răspunsul
Răspuns: reciproc (din unghiuri egale deducem laturi egale)

Provocare

În $\triangle ABC$ cu $AB = AC$ și $\angle B = 35°$ calculează $\angle A$
Arată răspunsul
Răspuns: $110°$
$\angle C=35°$ deci $\angle A=180°-35°-35°=110°$
Demonstrează: dacă în $\triangle ABC$ segmentul $AD$ $D$ pe $BC$ este înălțime și mediană, atunci $AB = AC$ Scrie triunghiurile, pașii cu justificări și criteriul.
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ prin CC (Catetă – Catetă), deci $AB = AC$
$\angle ADB = \angle ADC = 90°$ $AD \perp BC$ $BD = CD$ $D$ mijloc), $AD$ latură comună.
De ce, în demonstrația reciprocei $\angle B = \angle C \Rightarrow AB = AC$ nu ai voie să spui „unghiurile de la bază sunt egale, deci $AB = AC$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că proprietatea directă pornește de la $AB = AC$ adică de la concluzia pe care o cauți: ar fi raționament circular. Reciproca se demonstrează separat (înălțimea din $A$ și criteriul CU).
Maria spune: „Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază pot fi obtuze.” Are dreptate? Folosește figura ca exemplu.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Unghiul din vârf poate fi obtuz $120°$ în figură), dar unghiurile de la bază sunt egale și au împreună mai puțin de $180°$ deci fiecare are mai puțin de $90°$
În $\triangle ABC$ $AB = AC$ și $\angle B = 60°$ Arată că $BC = AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle C = 60°$ deci $\angle A = 60°$ toate unghiurile sunt egale, deci triunghiul este echilateral și $BC = AB$
Găsește greșeala: $\triangle ABC$ are $AB = AC$ Atunci bisectoarea din $C$ este și înălțime.”
Arată răspunsul
Răspuns: Proprietatea este doar pentru vârful principal $A$ Din $C$ (sau $B$ bisectoarea și înălțimea nu coincid decât dacă triunghiul este echilateral.
Contraexemplu: dacă $\angle A = 40°$ atunci $\angle B = \angle C = 70°$ Bisectoarea din $C$ face cu $CB$ un unghi de $70° : 2 = 35°$ iar înălțimea din $C$ pe $AB$ face cu $CB$ un unghi de $90° - 70° = 20°$ Unghiurile sunt diferite, deci segmentele sunt diferite.
În $\triangle ABC$ $AD$ $D$ pe $BC$ este bisectoare și mediană. De ce nu ajunge LUL pentru $\triangle ABD$ și $\triangle ACD$ Ce construcție folosești?
Arată răspunsul
Răspuns: Unghiul din $A$ nu este cuprins între $AD$ și $BD$ (laturile egale), deci datele nu formează LUL. Se prelungește $AD$ cu $DE = AD$ $\triangle ABD \equiv \triangle ECD$ (LUL), apoi $\triangle ACE$ are două unghiuri egale, deci $CA = CE = AB$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. În $\triangle XYZ$ din figură, $YX = YZ$ Care este baza?
1. $YX$
2. $XZ$
3. $YZ$
4. nu are bază
Arată răspunsul
Răspuns: $XZ$
Laturile egale se întâlnesc în $Y$ vârful principal. Baza este latura opusă lui, $XZ$ chiar dacă este desenată sus.
2. În $\triangle ABC$ $AB = AC$ și $\angle A = 28°$ Cât este $\angle B$
1. $76°$
2. $28°$
3. $152°$
4. $62°$
Arată răspunsul
Răspuns: $76°$
Unghiurile de la bază sunt egale: $(180° - 28°) : 2 = 152° : 2 = 76°$
3. „Dacă $\angle B = \angle C$ atunci $AB = AC$ Este:
1. proprietatea directă a isoscelului
2. reciproca proprietății unghiurilor de la bază
3. definiția triunghiului echilateral
4. falsă
Arată răspunsul
Răspuns: reciproca proprietății unghiurilor de la bază
4. În $\triangle ABC$ $\angle A = \angle C$ Care laturi sunt egale?
1. $AB = AC$
2. $CA = CB$
3. niciuna
4. $BA = BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BA = BC$
Laturile egale sunt opuse unghiurilor egale: $BC$ (opusă lui $A$ și $BA$ (opusă lui $C$
5. În $\triangle KLM$ din figură, $KL = KM$ și $KT$ este mediana din $K$ Ce mai poți afirma despre $KT$
1. nimic, este doar mediană
2. $KT \perp LM$ dar nu este bisectoare
3. $\angle LKT = \angle MKT$ și $KT \perp LM$
4. $KT \perp KL$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle LKT = \angle MKT$ și $KT \perp LM$
$KL = KM$ deci $K$ este vârful principal, chiar dacă triunghiul este culcat. Din vârful principal, mediana este și bisectoare $\angle LKT = \angle MKT$ și înălțime $KT \perp LM$
6. Care este unghiul unui triunghi echilateral?
1. $45°$
2. $60°$
3. $90°$
4. depinde de latură
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
7. În $\triangle DEF$ cu $DE = DF$ (figura), din $F$ sunt duse înălțimea $FH$ și mediana $FN$ Ce este adevărat?
1. coincid, ca cele duse din $D$
2. sunt segmente diferite, pentru că $F$ nu este vârful principal
3. înălțimea $FH$ trece prin mijlocul lui $DE$
4. mediana $FN$ este perpendiculară pe $DE$
Arată răspunsul
Răspuns: sunt segmente diferite, pentru că $F$ nu este vârful principal
Doar din vârful principal $D$ înălțimea, mediana și bisectoarea coincid. Din $F$ piciorul înălțimii $H$ și mijlocul $N$ sunt puncte diferite.
8. Un triunghi isoscel are un unghi de $60°$ Atunci el este:
1. echilateral
2. dreptunghic
3. obtuzunghic
4. oarecare
Arată răspunsul
Răspuns: echilateral
Cu un unghi de $60°$ toate unghiurile sunt de $60°$ deci toate laturile sunt egale.
9. În $\triangle ABC$ $AD \perp BC$ și $\angle BAD = \angle CAD$ Ce criteriu arată că $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$
1. CU (Catetă – Unghi)
2. LUL
3. LLL
4. nu sunt congruente
Arată răspunsul
Răspuns: CU (Catetă – Unghi)
Unghiuri drepte în $D$ cateta $AD$ comună, unghiurile ascuțite din $A$ egale. Rezultă $AB = AC$
10. Completează demonstrația: $AB = AC$ (dat), $BD = CD$ $D$ mijlocul lui $BC$ $AD$ (…). Criteriul … dă $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ deci $\angle BAD = \ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: latură comună; LLL; $\angle CAD$
Mediana din vârful principal este și bisectoare.

Întrebări frecvente

Ce este un triunghi isoscel?

Un triunghi cu două laturi egale. Vârful dintre ele este vârful principal, latura opusă este baza, iar unghiurile alăturate bazei sunt unghiurile de la bază.

De ce sunt egale unghiurile de la baza triunghiului isoscel?

Bisectoarea din vârful principal împarte triunghiul în două triunghiuri congruente (criteriul Latură – Unghi – Latură), iar unghiurile de la bază sunt unghiuri corespunzătoare.

Ce spune reciproca?

Dacă un triunghi are două unghiuri egale, atunci este isoscel. Se demonstrează separat, cu înălțimea din vârf, fără să folosești proprietatea directă.

Care segmente coincid în triunghiul isoscel?

Cele duse din vârful principal: bisectoarea, mediana și înălțimea sunt același segment, care se află pe mediatoarea bazei. Din celelalte vârfuri nu coincid (decât la echilateral).

Triunghiul echilateral este isoscel?

Da. Are toate laturile egale, deci și două laturi egale. Este un caz particular de isoscel.

Cum arăt că un triunghi este echilateral?

Arăți că are toate laturile egale, toate unghiurile egale sau că este isoscel și are un unghi de $60°$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Triunghiul isoscel: baza, vârful principal, unghiurile de la bază

Ce înseamnă „direct” și „reciproc”

Uneltele: criteriile de congruență

Proprietatea directă: unghiurile de la bază sunt egale

Reciproca: două unghiuri egale dau un triunghi isoscel

Bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare: patru definiții diferite

Din vârful principal, bisectoarea, mediana și înălțimea coincid

Reciprocele: două dintre ele coincid, deci triunghiul este isoscel

Triunghiul echilateral: trei laturi, trei unghiuri de 60°

Isoscel sau echilateral?

Recapitulare

Exemple rezolvate

Baza și vârful principal

Unghiul din vârf dat

Un unghi de la bază dat

Reciproca: din unghiuri, laturi

Care laturi sunt egale?

Bisectoarea din vârf

Mediana din vârf

Înălțimea din vârf

Reciproca liniilor, cu calcul

Triunghiul echilateral

Isoscel cu un unghi de 60°

Problemă în doi pași

Afirmația falsă

Găsește greșeala

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a