Metoda triunghiurilor congruente: demonstrații pas cu pas

Q: De ce pot scrie AC = AC?

Pentru că AC este același segment în ambele triunghiuri (latură comună). Un segment este egal cu el însuși.

Ce vei învăța

Aleg perechea de triunghiuri care conține segmentele sau unghiurile de comparat.
Justific fiecare egalitate: dat, latură comună, mijloc, bisectoare, unghiuri opuse la vârf, unghiuri drepte.
Scriu congruența în ordinea corectă și citesc din ea elementele corespunzătoare.
Redactez o demonstrație pe model: Date, De demonstrat, Demonstrație, Concluzie.
Recunosc un raționament circular și o proprietate folosită înainte de a fi demonstrată.

Recomandat înainte: Congruența triunghiurilor dreptunghice (CC, IC, CU, IU)

Ideea de bază

Metoda are trei mișcări: alegi două triunghiuri care conțin elementele de comparat, demonstrezi că sunt congruente, apoi spui că elementele cerute sunt corespunzătoare, deci egale.

Fiecare egalitate din demonstrație are o sursă scrisă în paranteză: este dată, este o latură comună, vine dintr-un mijloc, dintr-o bisectoare, din unghiuri opuse la vârf sau dintr-un rezultat demonstrat mai devreme. „Se vede pe desen” nu este o sursă.

Uneltele: criteriile de congruență

Pentru triunghiuri oarecare folosești LUL (Latură – Unghi – Latură), ULU (Unghi – Latură – Unghi) și LLL (Latură – Latură – Latură). Pentru triunghiuri dreptunghice mai ai CC (Catetă – Catetă), IC (Ipotenuză – Catetă), CU (Catetă – Unghi) și IU (Ipotenuză – Unghi).

Caz	Denumire	Date
LUL	Latură – Unghi – Latură	două laturi și unghiul cuprins între ele
ULU	Unghi – Latură – Unghi	o latură și unghiurile din capetele ei
LLL	Latură – Latură – Latură	cele trei laturi
CC	Catetă – Catetă	cele două catete
IC	Ipotenuză – Catetă	ipotenuza și o catetă
CU	Catetă – Unghi	o catetă și un unghi ascuțit
IU	Ipotenuză – Unghi	ipotenuza și un unghi ascuțit

Ultimele patru sunt doar pentru triunghiuri dreptunghice, cu unghiurile drepte în vârfuri corespondente.

Cele 7 întrebări ale metodei

Ce trebuie să demonstrez? Scrie egalitatea cerută, de exemplu $BC = DC$
Ce triunghiuri conțin elementele respective? Caută un triunghi pentru fiecare element.
Ce date am? Scrie tot ce spune enunțul și ce se vede marcat.
Pot demonstra că triunghiurile sunt congruente? Adună trei egalități, fiecare cu sursa ei.
Prin ce criteriu? Verifică pe ce poziții stau elementele (unghiul cuprins, latura dintre unghiuri).
Ce elemente corespunzătoare rezultă egale? Citește-le din corespondența vârfurilor.
Cum formulez concluzia? Scrie „Deci …” cu exact egalitatea cerută.

Ordinea gândirii

Pornești de la ce trebuie demonstrat, nu de la date. Concluzia îți spune ce triunghiuri cauți.

Cum scrii demonstrația

Enunț: în figură, $AB = AD$ și $\angle BAC = \angle DAC$ Demonstrează că $BC = DC$

$BC$ este în $\triangle ABC$ $DC$ este în $\triangle ADC$ Aceste două triunghiuri au latura $AC$ comună. Redactarea arată așa:

Date: $AB = AD$
$\angle BAC = \angle DAC$
De demonstrat: $BC = DC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$ . Avem:

$AB = AD$ (dat)
$\angle BAC = \angle DAC$ (dat)
$AC = AC$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow D$ $C \leftrightarrow C$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $BC = DC$ .

Concluzie

Deci $BC = DC$ .

Date: ce spune enunțul, nimic în plus.
De demonstrat: egalitatea cerută.
Demonstrație: triunghiurile, trei egalități numerotate, fiecare cu sursa ei, criteriul, congruența în ordinea corectă.
Concluzie: elementele corespunzătoare, apoi „Deci …”.

Pasul 1: găsește triunghiurile

Perechea bună de triunghiuri:

conține segmentele (sau unghiurile) pe care vrei să le compari, câte unul în fiecare triunghi;
are adesea o latură comună;
apare lângă o bisectoare (unghiurile egale sunt de o parte și de alta a ei);
apare lângă un mijloc de segment (cele două jumătăți sunt în triunghiuri diferite);
apare la intersecția a două segmente (unghiurile opuse la vârf).

Prima pereche pe care o vezi nu este neapărat cea bună. Mai jos, $O$ este mijlocul lui $AB$ și al lui $CD$ și vrem $AD = BC$ Se văd patru triunghiuri cu vârful în $O$

\triangle AOC

și

\triangle BOD

sunt congruente, dar dau

AC = BD

Pentru

AD = BC

trebuie triunghiurile care le conțin:

\triangle AOD

și

\triangle BOC

De unde vin egalitățile

Sursa	Ce îți dă	Cum scrii
dat	o egalitate din enunț	$AB = AD$ (dat)
latură comună	un segment din ambele triunghiuri	$AC = AC$ (latură comună)
mijloc	cele două jumătăți ale segmentului	$BM = MC$ $M$ mijlocul lui $BC$
bisectoare	cele două unghiuri pe care le formează	$\angle AOD = \angle DOB$ $OD$ bisectoare)
opuse la vârf	două unghiuri egale la intersecție	$\angle AOC = \angle BOD$ (opuse la vârf)
unghiuri drepte	două unghiuri de $90°$	$\angle A = \angle D = 90°$ (perpendiculare)
rezultat anterior	o egalitate deja demonstrată	$\angle BAC = \angle DAC$ (din congruența de la pasul 1)

Latura comună. Dacă segmentul $AC$ este latură a ambelor triunghiuri, atunci $AC = AC$ un segment este egal cu el însuși. De aceea poate fi una dintre cele trei egalități, fără să fie marcată pe figură.

AC

este latură a lui

\triangle ABC

și a lui

\triangle ADC

este latura lor comună, deci

AC = AC

Unghiurile opuse la vârf. Când două segmente se intersectează, unghiurile opuse la vârf sunt egale (proprietate cunoscută). Ele sunt câte unul în fiecare triunghi cu vârful în punctul de intersecție.

\angle AOC

și

\angle BOD

sunt opuse la vârf, deci

\angle AOC = \angle BOD

Bisectoarea. Dacă $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ ea îl împarte în două unghiuri egale. Fiecare unghi este în alt triunghi, iar $OD$ (sau o parte din ea) este adesea latura comună.

OD

este bisectoarea unghiului

AOB

deci

\angle AOD = \angle DOB

Mijlocul unui segment. Dacă $M$ este mijlocul lui $BC$ atunci $BM = MC$ Cele două jumătăți sunt laturi în triunghiuri diferite.

M

este mijlocul segmentului

BC

deci

BM = MC

Corespondența după congruență

Ordinea literelor din $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$ spune cine cu cine corespunde: primul cu primul, al doilea cu al doilea, al treilea cu al treilea. Deci $A \leftrightarrow C$ $B \leftrightarrow D$ $D \leftrightarrow B$

AB = CD

și

AD = CB

iar

BD

este latură comună. Congruența este

\triangle ABD \equiv \triangle CDB

Scrierea cu

\triangle CBD

în dreapta ar fi greșită.

Latura $AB$ corespunde laturii $CD$ (primele două litere din fiecare triunghi).
$\angle BAD$ (vârful $A$ corespunde lui $\angle DCB$ (vârful $C$
$\angle ABD$ (vârful $B$ corespunde lui $\angle CDB$ (vârful $D$

Scrie corespondența din date, nu din desen

Pornește de la egalitățile găsite: $AB = CD$ pune $A$ $B$ în dreptul lui $C$ $D$ (sau $D$ $C$ Verifică apoi cu a doua egalitate. Abia la final scrie congruența.

Nu folosi concluzia ca premisă

O egalitate pe care trebuie s-o demonstrezi nu poate apărea printre pașii care duc la congruență. Altfel „demonstrezi” ceva presupunând că e deja adevărat: raționament circular.

Enunț: $AB = DC$ și $AC = DB$ Demonstrează că $\angle ABC = \angle DCB$ Iată o demonstrație greșită:

Demonstrație greșită: citește-o și găsește greșeala

Date: $AB = DC$
$AC = DB$
De demonstrat: $\angle ABC = \angle DCB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle DCB$ . Avem:

$AB = DC$ (dat)
$\angle ABC = \angle DCB$ (dat)
$BC = CB$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow C$ $C \leftrightarrow B$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABC = \angle DCB$ .

Concluzie

Concluzia scrisă: $\angle ABC = \angle DCB$ .

Unde este greșeala

Pasul 2 este chiar ce trebuia demonstrat: $\angle ABC = \angle DCB$ nu este printre date. Demonstrația „dovedește” concluzia folosind-o. Corect: folosește a doua egalitate dată, $AC = DB$ și criteriul LLL (vezi exemplul rezolvat „Corectează demonstrația circulară”).

Verificare rapidă

Compară fiecare pas cu rândul „De demonstrat”. Dacă un pas este chiar acea egalitate, demonstrația este circulară.

Ce nu ai voie să folosești (încă)

„Se vede pe desen că sunt egale.” Desenul poate fi înșelător; o egalitate se justifică.
Proprietățile triunghiului isoscel (unghiurile de la bază egale, bisectoarea din vârf care este și mediană): le vei demonstra în lecția despre triunghiul isoscel. Până atunci nu le folosești ca premise.
Un criteriu fără datele lui complete: la LUL unghiul trebuie să fie cuprins între cele două laturi.
O egalitate citită din alte triunghiuri decât cele demonstrate congruente.

Ce folosești liber

Datele enunțului, latura comună, definiția mijlocului și a bisectoarei, unghiurile opuse la vârf, unghiurile drepte date prin perpendiculare și rezultatele demonstrate mai devreme în aceeași problemă.

Ce poți demonstra cu metoda

Cerința	Ce demonstrezi de fapt
două segmente egale	sunt laturi corespunzătoare în două triunghiuri congruente
două unghiuri egale	sunt unghiuri corespunzătoare în două triunghiuri congruente
$M$ este mijlocul lui $CD$	$M$ este pe $CD$ și $MC = MD$
$OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$	$P$ este în interiorul unghiului și $\angle AOP = \angle POB$

Recapitulare

Pornește de la concluzie: ce triunghiuri conțin elementele cerute?
Trei egalități, fiecare cu sursa ei: dat, latură comună, mijloc, bisectoare, opuse la vârf, unghiuri drepte, rezultat anterior.
Verifică poziția elementelor înainte de a numi criteriul.
Scrie congruența în ordinea corespondenței și citește din ea elementele corespunzătoare.
Niciun pas nu este chiar concluzia.

Exemple rezolvate

Latura comună: două unghiuri egale

În figură, $AB = AD$ și $CB = CD$ Demonstrează că $\angle ABC = \angle ADC$

Vezi rezolvarea

$\angle ABC$ este în $\triangle ABC$ $\angle ADC$ în $\triangle ADC$ Cele două triunghiuri au latura $AC$ comună, deci avem trei laturi.

Date: $AB = AD$
$CB = CD$
De demonstrat: $\angle ABC = \angle ADC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$ . Avem:

$AB = AD$ (dat)
$BC = DC$ (dat)
$AC = AC$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow D$ $C \leftrightarrow C$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABC = \angle ADC$ .

Concluzie

Deci $\angle ABC = \angle ADC$ .

Bisectoarea: două segmente egale

$OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$ iar $OA = OB$ Demonstrează că $PA = PB$

Vezi rezolvarea

$PA$ și $PB$ sunt în $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ Bisectoarea dă unghiurile din $O$ iar $OP$ este latura comună. Unghiul din $O$ este cuprins între $OA$ și $OP$ LUL.

Date: $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$
$OA = OB$
De demonstrat: $PA = PB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ . Avem:

$OA = OB$ (dat)
$\angle AOP = \angle BOP$ ( $OP$ este bisectoare)
$OP = OP$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $P \leftrightarrow P$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $PA = PB$ .

Concluzie

Deci $PA = PB$ .

Mijlocul unui segment

$M$ este mijlocul lui $BC$ $AB = DC$ și $\angle ABC = \angle DCB$ Demonstrează că $MA = MD$

Vezi rezolvarea

$MA$ este în $\triangle ABM$ $MD$ în $\triangle DCM$ Mijlocul dă $BM = MC$ Unghiul dat $\angle ABC$ este același cu $\angle ABM$ pentru că $M$ este pe $BC$

Date: $M$ este mijlocul segmentului $BC$
$AB = DC$
$\angle ABC = \angle DCB$
De demonstrat: $MA = MD$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABM$ și $\triangle DCM$ . Avem:

$AB = DC$ (dat)
$\angle ABM = \angle DCM$ (dat)
$BM = CM$ ( $M$ este mijlocul lui $BC$ )

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABM \equiv \triangle DCM$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow C$ $M \leftrightarrow M$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $MA = MD$ .

Concluzie

Deci $MA = MD$ .

Unghiuri opuse la vârf: un punct este mijloc

Segmentele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ $OA = OB$ și $\angle OAC = \angle OBD$ Demonstrează că $O$ este mijlocul lui $CD$

Vezi rezolvarea

$O$ este mijlocul lui $CD$ înseamnă $OC = OD$ $O$ este deja pe $CD$ $OC$ este în $\triangle OAC$ $OD$ în $\triangle OBD$ Latura $OA$ este între unghiurile din $A$ și din $O$ ULU.

Date: segmentele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$
$OA = OB$
$\angle OAC = \angle OBD$
De demonstrat: $O$ este mijlocul segmentului $CD$ (adică $OC = OD$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAC$ și $\triangle OBD$ . Avem:

$\angle OAC = \angle OBD$ (dat)
$OA = OB$ (dat)
$\angle AOC = \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf)

Din aceste egalități, prin criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi), rezultă $\triangle OAC \equiv \triangle OBD$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $C \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $OC = OD$ .

Concluzie

Deci $OC = OD$ , adică $O$ este mijlocul segmentului $CD$ .

Două surse: mijloc și unghiuri opuse la vârf

$O$ este mijlocul segmentelor $AB$ și $CD$ Demonstrează că $AC = BD$

Vezi rezolvarea

Enunțul nu dă niciun unghi, dar intersecția dă unghiurile opuse la vârf $\angle AOC$ și $\angle BOD$ Unghiul din $O$ este cuprins între $OA$ și $OC$

Date: $O$ este mijlocul segmentului $AB$
$O$ este mijlocul segmentului $CD$
De demonstrat: $AC = BD$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAC$ și $\triangle OBD$ . Avem:

$OA = OB$ ( $O$ este mijlocul lui $AB$ )
$\angle AOC = \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf)
$OC = OD$ ( $O$ este mijlocul lui $CD$ )

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAC \equiv \triangle OBD$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $C \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AC = BD$ .

Concluzie

Deci $AC = BD$ .

Corespondența hotărăște concluzia

În patrulaterul $ABCD$ $AB = CD$ și $AD = CB$ Demonstrează că $\angle BAD = \angle DCB$

Vezi rezolvarea

Diagonala $BD$ împarte figura în $\triangle ABD$ și $\triangle CDB$ cu $BD$ comună. $AB = CD$ și $AD = CB$ dau $A \leftrightarrow C$ $B \leftrightarrow D$ $D \leftrightarrow B$

Date: $AB = CD$
$AD = CB$
De demonstrat: $\angle BAD = \angle DCB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle CDB$ . Avem:

$AB = CD$ (dat)
$AD = CB$ (dat)
$BD = DB$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow C$ $B \leftrightarrow D$ $D \leftrightarrow B$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle BAD = \angle DCB$ .

Concluzie

Deci $\angle BAD = \angle DCB$ .

Unghiul din $A$ corespunde unghiului din $C$ de aceea $\angle BAD = \angle DCB$ Cu ordinea greșită $\triangle CBD$ ai fi pus $AB$ în dreptul lui $CB$ deși datele spun $AB = CD$

Triunghiuri dreptunghice: punctul de pe bisectoare

$OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ $MA \perp OA$ și $MB \perp OB$ Demonstrează că $MA = MB$

Vezi rezolvarea

$\triangle OAM$ și $\triangle OBM$ sunt dreptunghice în $A$ și $B$ $OM$ este ipotenuza comună, iar bisectoarea dă un unghi ascuțit: IU.

Date: $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$
$MA \perp AO$
$MB \perp BO$
De demonstrat: $MA = MB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAM$ și $\triangle OBM$ . Avem:

$\angle OAM = \angle OBM$ (unghiuri drepte)
$OM = OM$ (latură comună)
$\angle AOM = \angle BOM$ ( $OM$ este bisectoare)

Din aceste egalități, prin criteriul IU (Ipotenuză – Unghi), rezultă $\triangle OAM \equiv \triangle OBM$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $M \leftrightarrow M$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $MA = MB$ .

Concluzie

Deci $MA = MB$ .

O semidreaptă este bisectoare

$OA = OB$ și $PA = PB$ cu $P$ în interiorul unghiului $AOB$ Demonstrează că $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$

Vezi rezolvarea

Trebuie arătat $\angle AOP = \angle POB$ Unghiurile sunt în $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ cu $OP$ comună: trei laturi.

Date: $OA = OB$
$PA = PB$
De demonstrat: $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$ (adică $\angle AOP = \angle BOP$ )

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ . Avem:

$OA = OB$ (dat)
$PA = PB$ (dat)
$OP = OP$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $P \leftrightarrow P$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle AOP = \angle BOP$ .

Concluzie

Deci $\angle AOP = \angle BOP$ , adică $OP$ este bisectoarea unghiului $AOB$ .

Două perechi posibile, doar una utilă

$O$ este mijlocul lui $AB$ și al lui $CD$ Demonstrează că $AD = BC$

Vezi rezolvarea

Perechea $\triangle AOC$ $\triangle BOD$ este congruentă, dar conține $AC$ și $BD$ nu $AD$ și $BC$ Alegem $\triangle AOD$ și $\triangle BOC$ și unghiurile opuse la vârf $\angle AOD$ $\angle BOC$

Date: $O$ este mijlocul segmentului $AB$
$O$ este mijlocul segmentului $CD$
De demonstrat: $AD = BC$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle OAD$ și $\triangle OBC$ . Avem:

$OA = OB$ ( $O$ este mijlocul lui $AB$ )
$\angle AOD = \angle BOC$ (unghiuri opuse la vârf)
$OD = OC$ ( $O$ este mijlocul lui $CD$ )

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle OAD \equiv \triangle OBC$ .

Corespondența vârfurilor: $O \leftrightarrow O$ $A \leftrightarrow B$ $D \leftrightarrow C$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $AD = BC$ .

Concluzie

Deci $AD = BC$ .

Demonstrație în doi pași

$AB = AD$ $CB = CD$ și $P$ este un punct pe $AC$ Demonstrează că $PB = PD$

Vezi rezolvarea

$PB$ și $PD$ sunt în $\triangle ABP$ și $\triangle ADP$ Avem $AB = AD$ și $AP$ comună, dar lipsește unghiul din $A$ Îl obținem întâi dintr-o altă congruență, apoi îl folosim ca rezultat anterior.

Date: $AB = AD$
$CB = CD$
$P$ este pe segmentul $AC$
De demonstrat: $PB = PD$

Demonstrație

Pasul 1. Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$ . Avem:

$AB = AD$ (dat)
$BC = DC$ (dat)
$AC = AC$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow D$ $C \leftrightarrow C$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle BAC = \angle DAC$ .

Pasul 2. Considerăm triunghiurile $\triangle ABP$ și $\triangle ADP$ . Avem:

$AB = AD$ (dat)
$\angle BAP = \angle DAP$ (din $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ )
$AP = AP$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), rezultă $\triangle ABP \equiv \triangle ADP$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow D$ $P \leftrightarrow P$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $PB = PD$ .

Concluzie

Deci $PB = PD$ .

Corectează demonstrația circulară

$AB = DC$ și $AC = DB$ Demonstrează că $\angle ABC = \angle DCB$ fără să folosești concluzia (vezi demonstrația greșită din secțiunea „Nu folosi concluzia ca premisă”).

Vezi rezolvarea

Varianta greșită scria $\angle ABC = \angle DCB$ ca „dat”. Datele sunt de fapt două laturi, $AB = DC$ și $AC = DB$ a treia este $BC$ comună.

Date: $AB = DC$
$AC = DB$
De demonstrat: $\angle ABC = \angle DCB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle DCB$ . Avem:

$AB = DC$ (dat)
$AC = DB$ (dat)
$BC = CB$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow C$ $C \leftrightarrow B$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABC = \angle DCB$ .

Concluzie

Deci $\angle ABC = \angle DCB$ .

Găsește greșeala de corespondență

$AB = CD$ și $AD = CB$ Un elev vrea să arate că $\angle ABD = \angle CDB$ și scrie demonstrația de mai jos. Ce greșește?

Vezi rezolvarea

Demonstrație greșită: citește-o și găsește greșeala

Date: $AB = CD$
$AD = CB$
De demonstrat: $\angle ABD = \angle CDB$

Demonstrație

Considerăm triunghiurile $\triangle ABD$ și $\triangle CBD$ . Avem:

$AB = CD$ (dat)
$AD = CB$ (dat)
$BD = BD$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul LLL (Latură – Latură – Latură), rezultă $\triangle ABD \equiv \triangle CBD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow C$ $B \leftrightarrow B$ $D \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $\angle ABD = \angle CBD$ .

Concluzie

Concluzia scrisă: $\angle ABD = \angle CBD$ .

Unde este greșeala

$AB = CD$ pune $A \leftrightarrow C$ și $B \leftrightarrow D$ atunci $D \leftrightarrow B$ Congruența corectă este $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$ iar unghiul care corespunde lui $\angle ABD$ este $\angle CDB$ nu $\angle CBD$ Deci $\angle ABD = \angle CDB$

Greșeli frecvente

Alegi triunghiuri care nu conțin segmentele (unghiurile) de comparat.
Pornește de la concluzie: fiecare element cerut trebuie să fie în câte unul dintre cele două triunghiuri.
Uiți latura comună și crezi că „lipsește o egalitate”.
Un segment care aparține ambelor triunghiuri este egal cu el însuși: $AC = AC$ (latură comună).
„Sunt egale, se vede pe desen.”
Desenul nu este o justificare. Fiecare egalitate vine din date, latură comună, mijloc, bisectoare, unghiuri opuse la vârf sau un rezultat anterior.
Aplici LUL cu un unghi care nu este cuprins între cele două laturi.
La LUL unghiul are vârful în capătul comun al celor două laturi. Altfel datele nu formează criteriul.
Scrii congruența după poziția literelor în desen $\triangle ABD \equiv \triangle CBD$
Scrie-o din egalități: $AB = CD$ $AD = CB$ dau $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$
Folosești chiar concluzia ca unul dintre pași.
Compară fiecare pas cu „De demonstrat”. Concluzia apare doar la sfârșit, după congruență.
Scrii o egalitate fără sursă.
Fiecare pas are justificarea în paranteză: (dat), (latură comună), $M$ mijlocul lui $BC$ etc.
Folosești „unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt egale”.
Proprietățile triunghiului isoscel se demonstrează în lecția următoare. Până atunci folosește doar congruența.
Declari egale două elemente care nu sunt corespunzătoare (sau care nu sunt în triunghiurile demonstrate congruente).
Citește perechile din ordinea congruenței: primul vârf cu primul, al doilea cu al doilea, al treilea cu al treilea.

Exerciții

Ușor

Ce latură au comună triunghiurile $EFG$ și $EHG$ din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: $EG$
$EG$ este latură a ambelor triunghiuri, deci $EG = EG$ (latură comună).
$KM$ este bisectoarea unghiului $LKN$ Ce egalitate de unghiuri obții?
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle LKM = \angle MKN$
Bisectoarea împarte unghiul $LKN$ în două unghiuri egale.
$R$ este mijlocul segmentului $PQ$ Ce egalitate de segmente obții?
Arată răspunsul
Răspuns: $PR = RQ$
Segmentele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ Care unghi este opus la vârf cu $\angle AOC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle BOD$
Laturile lui sunt prelungirile laturilor lui $\angle AOC$ $OB$ și $OD$
În figură vrei să demonstrezi $MQ = NP$ Ce triunghiuri alegi?
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle MNQ$ și $\triangle NMP$
Fiecare conține unul dintre segmentele $MQ$ $NP$ au latura $MN$ comună și conțin datele marcate $MP = NQ$ $\angle PMN = \angle QNM$
Completează justificarea: $OP = OP$ (…)”, unde $OP$ este latură în $\triangle OAP$ și în $\triangle OBP$
Arată răspunsul
Răspuns: latură comună
Datele sunt $AB = AD$ $CB = CD$ iar $AC$ este latură comună lui $\triangle ABC$ și $\triangle ADC$ Ce criteriu folosești?
Arată răspunsul
Răspuns: LLL (Latură – Latură – Latură)
Completează justificarea: $\angle AOC = \angle BOD$ (…)”, unde $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$
Arată răspunsul
Răspuns: unghiuri opuse la vârf

Mediu

În figură, $KL = MN$ $LM = NK$ și $KM$ este comună. Completează congruența: $\triangle KLM \equiv \triangle \ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle MNK$
$KL = MN$ $K \leftrightarrow M$ $L \leftrightarrow N$ atunci $M \leftrightarrow K$ Verificare: $LM$ corespunde lui $NK$ (câte două liniuțe).
Știind că $\triangle KLM \equiv \triangle MNK$ ce unghi este egal cu $\angle KML$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle MKN$
Vârful $M$ corespunde lui $K$ $K$ lui $M$ și $L$ lui $N$ $\angle KML \leftrightarrow \angle MKN$
Segmentele $EF$ și $GH$ se intersectează în $K$ $K$ este mijlocul lui $GH$ și $\angle KGE = \angle KHF$ Completează: $\angle KGE = \angle KHF$ (dat), $KG = KH$ (…), $\angle GKE = \angle HKF$ (…). Criteriul este … și rezultă $GE = \ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $K$ este mijlocul lui $GH$ unghiuri opuse la vârf; ULU; $HF$
În $\triangle KGE$ și $\triangle KHF$ latura $KG$ este între unghiurile din $G$ și din $K$ ULU (Unghi – Latură – Unghi), $\triangle KGE \equiv \triangle KHF$ $GE$ și $HF$ sunt opuse unghiurilor egale din $K$ deci $GE = HF$
$KM$ este bisectoarea unghiului $LKN$ și $KL = KN$ De demonstrat: $ML = MN$ Pașii elevului: 1) $KL = KN$ (dat); 2) $ML = MN$ (dat); 3) $KM = KM$ (latură comună); deci LLL. Care pas este greșit și de ce?
Arată răspunsul
Răspuns: pasul 2: $ML = MN$ este chiar concluzia (raționament circular)
Corect: în locul pasului 2, $\angle LKM = \angle NKM$ (bisectoare), unghiul cuprins între $KL$ și $KM$ respectiv $KN$ și $KM$ criteriul LUL.
Segmentele $PQ$ și $RS$ se intersectează în $T$ iar $T$ este mijlocul ambelor. Demonstrează că $\angle TPR = \angle TQS$ (scrie triunghiurile, cele trei egalități cu sursele lor și criteriul).
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle TPR \equiv \triangle TQS$ prin LUL, deci $\angle TPR = \angle TQS$
$TP = TQ$ (mijloc), $\angle PTR = \angle QTS$ (opuse la vârf), $TR = TS$ (mijloc). Unghiurile corespunzătoare din $P$ și $Q$ sunt egale.
Punctul $P$ este în interiorul unghiului $EOF$ $PE \perp OE$ $PF \perp OF$ și $PE = PF$ Prin ce criteriu sunt congruente $\triangle OEP$ și $\triangle OFP$ Ce rezultă despre $OP$
Arată răspunsul
Răspuns: IC (Ipotenuză – Catetă); $\angle EOP = \angle FOP$ deci $OP$ este bisectoarea unghiului $EOF$
Unghiurile drepte sunt în $E$ și $F$ ipotenuza $OP$ este comună, iar catetele $PE = PF$ (dat): IC. Unghiurile corespunzătoare $\angle EOP$ și $\angle FOP$ sunt egale.
Andrei scrie: $AB = DE$ $AC = DF$ și $\angle B = \angle E$ deci LUL.” Ce greșește?
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle B$ nu este cuprins între $AB$ și $AC$ la LUL trebuie $\angle A = \angle D$
Punctele $M$ și $N$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$ cu $MA = MB$ și $NA = NB$ Demonstrează că $MN$ este bisectoarea unghiului $AMB$ și a unghiului $ANB$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle MAN \equiv \triangle MBN$ prin LLL, deci $\angle AMN = \angle BMN$ și $\angle ANM = \angle BNM$
$MA = MB$ (dat), $NA = NB$ (dat), $MN$ latură comună: LLL. Unghiurile corespunzătoare din $M$ sunt egale, la fel cele din $N$

Provocare

În figură, $AB = DC$ și $AC = DB$ Vrei să demonstrezi $\angle BAC = \angle CDB$ Ce pereche de triunghiuri folosești și de ce nu cealaltă pereche congruentă, $\triangle ABD$ și $\triangle DCA$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ (LLL, cu $BC$ comună), deci $\angle BAC = \angle CDB$
$\triangle ABD \equiv \triangle DCA$ (LLL, cu $AD$ comună) este adevărat, dar unghiurile lor din $A$ și din $D$ sunt $\angle BAD$ și $\angle CDA$ nu unghiurile cerute.
$AB = AD$ $CB = CD$ iar $P$ este pe prelungirea segmentului $CA$ dincolo de $A$ Demonstrează că $PB = PD$
Arată răspunsul
Răspuns: întâi $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$ (LLL), deci $\angle BCA = \angle DCA$ apoi $\triangle PCB \equiv \triangle PCD$ (LUL), deci $PB = PD$
Pasul 2: $CB = CD$ (dat), $\angle BCP = \angle DCP$ (sunt chiar $\angle BCA$ și $\angle DCA$ din pasul 1), $CP$ latură comună. Aici unghiul folosit este cel din $C$ pentru că $P$ nu este între $A$ și $C$
De demonstrat: $OC = OD$ Pașii elevului: $OA = OB$ (dat), $OC = OD$ (dat), $AC = BD$ (dat), deci LLL. Ce este greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: $OC = OD$ este chiar concluzia: raționament circular.
Concluzia nu poate fi folosită ca pas. Trebuie găsită altă egalitate, de exemplu unghiurile opuse la vârf, și alt criteriu.
Pe figură sunt marcate mai multe date decât trebuie. Alege două seturi de date, fiecare suficient pentru $\triangle ABC \equiv \triangle ADC$
Arată răspunsul
Răspuns: de exemplu: $AB = AD$ $\angle BAC = \angle DAC$ $AC$ comună (LUL); sau $AB = AD$ $CB = CD$ $AC$ comună (LLL)
Ioana scrie: $\triangle ABD$ este isoscel, deci $\angle ABD = \angle ADB$ Poate folosi asta în această lecție?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: proprietățile triunghiului isoscel nu sunt încă demonstrate; se folosesc doar după lecția despre triunghiul isoscel.
$M$ este mijlocul lui $BC$ și $AM \perp BC$ Scrie demonstrația completă că $AB = AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ prin CC (Catetă – Catetă), deci $AB = AC$
$\angle AMB = \angle AMC = 90°$ $AM \perp BC$ $BM = CM$ $M$ mijloc), $AM$ latură comună. Triunghiurile sunt congruente, deci și ipotenuzele $AB$ și $AC$ sunt egale.
Maria scrie: $\angle AMB = \angle DMC$ pentru că se vede pe desen.” Ce răspunzi? Se poate demonstra?
Arată răspunsul
Răspuns: Desenul nu este justificare. Din $\triangle ABM \equiv \triangle DCM$ (LUL), $\angle AMB$ și $\angle DMC$ sunt corespunzătoare, deci egale.
În figură, $EF = GH$ și $FG = HE$ S-a demonstrat $\triangle EFH \equiv \triangle GHF$ (LLL, cu $FH$ comună). Un elev scrie: „deci $\angle FEG = \angle HGE$ Ce greșește?
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle FEG$ și $\angle HGE$ nu sunt unghiuri ale triunghiurilor $EFH$ și $GHF$ (au latura $EG$ trebuie demonstrat $\triangle EFG \equiv \triangle GHE$ (LLL, cu $EG$ comună).
Dintr-o congruență afli doar elemente ale celor două triunghiuri. $\triangle EFG \equiv \triangle GHE$ $EF = GH$ $FG = HE$ $EG$ comună; abia de aici $\angle FEG = \angle HGE$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $M$ este mijlocul lui $UV$ și al lui $XY$ Vrei să demonstrezi $UX = VY$ Ce triunghiuri alegi?
1. $\triangle MUY$ și $\triangle MVX$
2. $\triangle MUX$ și $\triangle MVY$
3. $\triangle UXY$ și $\triangle VXY$
4. $\triangle UVX$ și $\triangle UVY$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle MUX$ și $\triangle MVY$
Ele conțin $UX$ și $VY$ au $MU = MV$ $MX = MY$ iar unghiurile din $M$ sunt opuse la vârf (LUL).
2. Ce latură au comună $\triangle KLM$ și $\triangle KNM$
1. $KL$
2. $LN$
3. $KM$
4. nu au latură comună
Arată răspunsul
Răspuns: $KM$
$KM$ este latură în ambele triunghiuri, deci $KM = KM$ (latură comună). $LN$ nu este trasată și nu aparține niciunui triunghi.
3. $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ Ce egalitate obții?
1. $OA = OB$
2. $AD = DB$
3. $\angle OAD = \angle OBD$
4. $\angle AOD = \angle DOB$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOD = \angle DOB$
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale; nu spune nimic despre laturi.
4. $\triangle RST \equiv \triangle TUR$ Ce unghi este egal cu $\angle STR$
1. $\angle URT$
2. $\angle UTR$
3. $\angle TUR$
4. $\angle SRT$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle URT$
Al treilea cu al treilea: $T \leftrightarrow R$ Unghiul din $T$ al lui $\triangle RST$ corespunde unghiului din $R$ al lui $\triangle TUR$ adică $\angle URT$ $\angle UTR$ are tot vârful $T$ dar nu este unghiul corespunzător.
5. De demonstrat: $OC = OD$ Elevul scrie: $OA = OB$ (dat), $OC = OD$ (dat), $\angle AOC = \angle BOD$ (opuse la vârf), deci LUL. Ce greșește?
1. criteriul trebuia să fie ULU
2. folosește concluzia ca premisă
3. unghiurile nu sunt opuse la vârf
4. nimic
Arată răspunsul
Răspuns: folosește concluzia ca premisă
$OC = OD$ este ce trebuia demonstrat: raționament circular.
6. Care NU este o justificare acceptată într-o demonstrație?
1. latură comună
2. unghiuri opuse la vârf
3. „se vede pe desen”
4. $M$ este mijlocul lui $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: „se vede pe desen”
7. $N$ este mijlocul lui $GH$ Vrei să demonstrezi $NK = NL$ Ce triunghiuri alegi?
1. $\triangle KNL$ și $\triangle GNH$
2. $\triangle GKH$ și $\triangle GLH$
3. $\triangle GNK$ și $\triangle HNL$
4. $\triangle GKL$ și $\triangle HKL$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle GNK$ și $\triangle HNL$
$NK$ este în $\triangle GNK$ $NL$ în $\triangle HNL$ Ele au $GK = HL$ $GN = NH$ și $\angle KGN = \angle LHN$ (LUL).
8. $M$ este mijlocul segmentului $BC$ Ce egalitate poți scrie cu justificarea $M$ mijlocul lui $BC$
1. $AB = AC$
2. $AM = BC$
3. $BM = MC$
4. $\angle AMB = \angle AMC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BM = MC$
9. Completează: $OA = OB$ $O$ mijlocul lui $AB$ $\angle AOC = \angle BOD$ (…), $OC = OD$ $O$ mijlocul lui $CD$ deci prin … avem $\triangle AOC \equiv \triangle BOD$ și $AC = \ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: unghiuri opuse la vârf; LUL; $BD$
Unghiul din $O$ este cuprins între $OA$ și $OC$ $AC$ corespunde lui $BD$
10. În această lecție poți folosi ca premisă „unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale”?
1. da, oricând
2. nu: se demonstrează în lecția despre triunghiul isoscel
3. doar la LLL
4. doar dacă triunghiul este desenat simetric
Arată răspunsul
Răspuns: nu: se demonstrează în lecția despre triunghiul isoscel

Întrebări frecvente

Ce este metoda triunghiurilor congruente?

Un mod de a demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt egale: le pui în două triunghiuri, arăți că triunghiurile sunt congruente, iar elementele cerute sunt corespunzătoare, deci egale.

Cum știu ce triunghiuri să aleg?

Pornește de la ce trebuie demonstrat: fiecare element cerut trebuie să fie în unul dintre triunghiuri. Caută apoi o latură comună, un mijloc, o bisectoare sau o intersecție care să dea încă egalități.

De ce pot scrie

AC = AC

Pentru că $AC$ este același segment în ambele triunghiuri (latură comună). Un segment este egal cu el însuși.

Ce înseamnă raționament circular?

Folosirea concluziei ca premisă: printre pașii care duc la congruență apare chiar egalitatea care trebuia demonstrată. O astfel de demonstrație nu demonstrează nimic.

Trebuie să scriu mereu criteriul?

Da. Numele criteriului arată că cele trei egalități sunt exact cele cerute (de exemplu, la LUL unghiul este cuprins între laturi).

Pot folosi proprietățile triunghiului isoscel?

Nu încă. Ele se demonstrează chiar cu această metodă, în lecția despre triunghiul isoscel și triunghiul echilateral.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Uneltele: criteriile de congruență

Cele 7 întrebări ale metodei

Cum scrii demonstrația

Pasul 1: găsește triunghiurile

De unde vin egalitățile

Corespondența după congruență

Nu folosi concluzia ca premisă

Ce nu ai voie să folosești (încă)

Ce poți demonstra cu metoda

Recapitulare

Exemple rezolvate

Latura comună: două unghiuri egale

Bisectoarea: două segmente egale

Mijlocul unui segment

Unghiuri opuse la vârf: un punct este mijloc

Două surse: mijloc și unghiuri opuse la vârf

Corespondența hotărăște concluzia

Triunghiuri dreptunghice: punctul de pe bisectoare

O semidreaptă este bisectoare

Două perechi posibile, doar una utilă

Demonstrație în doi pași

Corectează demonstrația circulară

Găsește greșeala de corespondență

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a