Unghiuri opuse la vârf, complementare, suplementare, adiacente

Q: Ce sunt unghiurile complementare?

Două unghiuri a căror sumă a măsurilor este 90°. Nu trebuie să aibă același vârf sau o latură comună.

Q: Ce sunt unghiurile suplementare?

Două unghiuri a căror sumă a măsurilor este 180°. Nu trebuie să aibă același vârf sau o latură comună.

Ce vei învăța

Recunosc unghiuri adiacente și explic de ce sunt sau nu sunt adiacente două unghiuri dintr-o figură.
Recunosc unghiuri opuse la vârf și folosesc proprietatea că au măsuri egale.
Folosesc suma unghiurilor în jurul unui punct $360°$ pentru a calcula un unghi necunoscut.
Recunosc unghiuri complementare (suma $90°$ și le calculez.
Recunosc unghiuri suplementare (suma $180°$ și le calculez.
Rezolv probleme simple cu o necunoscută folosind aceste relații.

Recomandat înainte: Tipuri de unghiuri

Ideea de bază

Un unghi are un vârf și două laturi (semidrepte cu originea în vârf). Măsura unui unghi se scrie în grade, de exemplu $38°$ sau $\angle AOB = 38°$

Când desenezi două unghiuri, poți observa două lucruri diferite: cum sunt poziționate unul față de celălalt (au vârf comun? au o latură comună?) și cât este suma măsurilor lor. Cele cinci relații din această lecție folosesc exact aceste două idei.

Unghiuri adiacente

Două unghiuri sunt adiacente dacă îndeplinesc toate cele trei condiții:

au același vârf;
au o latură comună;
interioarele lor nu se suprapun (fiecare unghi este de o parte a laturii comune).

OB

este latura comună.

\angle AOB

și

\angle BOC

sunt adiacente: vârf comun, latură comună, interioare care nu se suprapun.

Dacă cele două unghiuri au același vârf, dar interioarele lor se suprapun, unghiurile NU sunt adiacente, chiar dacă au o latură comună.

\angle AOD

este în interiorul lui

\angle AOB

Cele două unghiuri au vârf comun și latura

OA

comună, dar interioarele lor se suprapun, deci NU sunt adiacente.

Verifică toate cele trei condiții

Vârf comun și latură comună nu sunt suficiente. Verifică mereu și dacă interioarele se suprapun.

Unghiuri opuse la vârf

Când două drepte se intersectează într-un punct, se formează patru unghiuri. Două dintre ele, așezate de o parte și de alta a punctului de intersecție, se numesc unghiuri opuse la vârf.

Proprietate: unghiurile opuse la vârf au măsuri egale.

\angle AOC

și

\angle BOD

sunt opuse la vârf:

64°=64°

\angle COB

și

\angle DOA

sunt opuse la vârf:

116°=116°

De ce sunt egale: $\angle AOC$ și $\angle COB$ sunt suplementare, pentru că $A$ $O$ $B$ sunt pe aceeași dreaptă, deci $\angle AOC = 180° - \angle COB$ Din același motiv, $\angle BOD$ și $\angle COB$ sunt suplementare, deci $\angle BOD = 180° - \angle COB$ Ambele sunt egale cu $180° - \angle COB$ deci $\angle AOC = \angle BOD$

Opuse la vârf ≠ adiacente

Unghiurile opuse la vârf au același vârf, dar NU au o latură comună (laturile unuia sunt semidreptele opuse laturilor celuilalt). Așadar nu sunt adiacente.

Unghiuri în jurul unui punct

Dacă mai multe unghiuri au același vârf și, împreună, umplu tot spațiul din jurul acelui punct, fără să se suprapună, atunci suma măsurilor lor este $360°$

\begin{aligned}&\text{suma unghiurilor în jurul unui punct} \\ &= 360°\end{aligned}

70°+90°+90°+110°=360°

Unghiuri complementare

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90°$

m_1 + m_2 = 90°

38°+52°=90°

deci

\angle AOM

și

\angle MOB

sunt complementare.

Complementare nu înseamnă neapărat adiacente

Un unghi de $35°$ și un unghi de $55°$ sunt complementare oriunde s-ar afla, chiar dacă nu au același vârf sau o latură comună. Complementare este o relație despre suma măsurilor, nu despre poziție.

Unghiuri suplementare

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este $180°$

m_1 + m_2 = 180°

127°+53°=180°

deci

\angle AOC

și

\angle COB

sunt suplementare.

Suplementare ≠ opuse la vârf

Aici este o singură dreaptă $AB$ împărțită de o semidreaptă $OC$ în două unghiuri adiacente, cu suma $180°$ La unghiurile opuse la vârf sunt două drepte care se intersectează, formând patru unghiuri, iar opusele au măsuri egale. Figurile sunt diferite, nu le confunda.

Comparație între relații și o precauție importantă

Cele cinci relații, într-o privire
Relație	Ce spune despre poziție	Ce spune despre sumă
Adiacente	vârf comun, latură comună, interioare disjuncte	orice sumă
Opuse la vârf	același vârf, laturi opuse (fără latură comună)	măsuri egale
În jurul unui punct	umplu tot spațiul din jurul vârfului	$360°$
Complementare	orice poziție (nu neapărat adiacente)	$90°$
Suplementare	orice poziție (nu neapărat adiacente)	$180°$

Adiacente ≠ suplementare

Adiacente: relație de poziție (vârf comun, latură comună, interioare disjuncte), fără nicio condiție despre sumă. Suplementare: relație de sumă $180°$ fără nicio condiție despre poziție. Pot fi și amândouă: două unghiuri adiacente ale căror laturi necomune formează o dreaptă sunt adiacente și suplementare.

Desenul ajută, dar nu este dovadă de măsură

Un unghi desenat mai mare sau mai mic pe hârtie nu înseamnă automat că măsura lui este cea sugerată vizual. Măsurile se calculează din datele date sau se măsoară cu raportorul, nu se ghicesc din cum „pare” desenul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoști unghiuri adiacente

În figura de mai jos, $OB$ este între $OA$ și $OC$ Sunt $\angle AOB$ și $\angle BOC$ unghiuri adiacente?

Vezi rezolvarea

Verific cele trei condiții: $\angle AOB$ și $\angle BOC$ au același vârf $O$ au latura $OB$ comună; interiorul lui $\angle AOB$ (între $OA$ și $OB$ nu se suprapune cu interiorul lui $\angle BOC$ (între $OB$ și $OC$

Toate cele trei condiții sunt îndeplinite, deci $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt adiacente.

Exemplul 2: unghiul opus la vârf

Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ Măsura unghiului $\angle AOC$ este $85°$ Care este unghiul opus la vârf lui $\angle AOC$ și ce măsură are?

Vezi rezolvarea

Unghiul opus la vârf lui $\angle AOC$ este $\angle BOD$ este format din semidreptele opuse $OB$ și $OD$

Unghiurile opuse la vârf au măsuri egale, deci $\angle BOD = 85°$

Exemplul 3: unghi necunoscut în jurul unui punct

Trei unghiuri în jurul unui punct $O$ au măsurile $95°$ $110°$ și $x$ Calculează $x$

Vezi rezolvarea

Suma unghiurilor în jurul unui punct este $360°$

95° + 110° + x = 360°

205° + x = 360°

x = 360° - 205° = 155°

$x = 155°$

Exemplul 4: complementul unui unghi

Un unghi $\angle AOM$ are $52°$ Calculează măsura complementului lui.

Vezi rezolvarea

Complementul unui unghi de $52°$ este unghiul care, adunat cu el, dă $90°$

x = 90° - 52° = 38°

Complementul are $38°$

Exemplul 5: suplementul unui unghi

Un unghi $\angle AOC$ are $118°$ Calculează măsura suplementului lui.

Vezi rezolvarea

x = 180° - 118° = 62°

Suplementul are $62°$

Exemplul 6: problemă cu necunoscută (complementare)

Două unghiuri complementare au măsurile $x$ și $29°$ Calculează $x$

Vezi rezolvarea

Unghiurile sunt complementare, deci suma lor este $90°$

x + 29° = 90°

x = 90° - 29° = 61°

$x = 61°$

Exemplul 7: problemă cu necunoscută (suplementare)

Două unghiuri suplementare au măsurile $x$ și $142°$ Calculează $x$

Vezi rezolvarea

Unghiurile sunt suplementare, deci suma lor este $180°$

x + 142° = 180°

x = 180° - 142° = 38°

$x = 38°$

Exemplul 8: mai multe relații în aceeași figură

Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ $\angle AOC = 73°$ Calculează $\angle COB$ $\angle BOD$ și $\angle DOA$

Vezi rezolvarea

$\angle COB$ este suplementul lui $\angle AOC$ pentru că $A$ $O$ $B$ sunt pe aceeași dreaptă.

\angle COB = 180° - 73° = 107°

$\angle BOD$ este opus la vârf lui $\angle AOC$ deci are aceeași măsură.

\angle BOD = 73°

$\angle DOA$ este opus la vârf lui $\angle COB$ deci are aceeași măsură.

\angle DOA = 107°

Greșeli frecvente

Cred că unghiurile complementare sunt egale.
Complementare înseamnă că suma măsurilor este $90°$ nu că cele două unghiuri au aceeași măsură. De exemplu $30°$ și $60°$ sunt complementare, nu egale.
Confund unghiurile suplementare cu unghiurile opuse la vârf.
Suplementare înseamnă suma $180°$ Opuse la vârf înseamnă măsuri egale și apar la două drepte care se intersectează. Sunt relații diferite: două unghiuri opuse la vârf sunt suplementare doar dacă fiecare are $90°$
Cred că unghiurile adiacente sunt automat complementare.
Adiacent este o relație despre poziție (vârf comun, latură comună, interioare disjuncte), nu despre sumă. Două unghiuri adiacente pot avea orice sumă a măsurilor.
Cred că unghiurile opuse la vârf sunt adiacente, pentru că au același vârf.
Adiacența cere și o latură comună. Unghiurile opuse la vârf au laturile opuse una celeilalte, nu o latură comună, deci nu sunt adiacente.
Cred că suma unghiurilor complementare este $180°$
Suma unghiurilor complementare este $90°$ $180°$ este suma unghiurilor suplementare.
Cred că suma unghiurilor suplementare este $90°$
Suma unghiurilor suplementare este $180°$ $90°$ este suma unghiurilor complementare.
Ghicesc măsura unui unghi după cum pare desenat, mai mare sau mai mic.
Desenele din manual nu sunt mereu la scară exactă. Măsura unui unghi se calculează din date sau se citește cu raportorul, nu se estimează din aspectul figurii.

Exerciții

Ușor

Ce înseamnă că două unghiuri sunt adiacente? Numește toate condițiile.
Arată răspunsul
Răspuns: Au același vârf, au o latură comună și interioarele lor nu se suprapun.
Suma măsurilor a două unghiuri complementare este ___.
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Suma măsurilor a două unghiuri suplementare este ___.
Arată răspunsul
Răspuns: $180°$
Un unghi are $42°$ Calculează complementul lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $48°$
$90°-42°=48°$
Un unghi are $105°$ Calculează suplementul lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $75°$
$180°-105°=75°$
Două drepte se intersectează și formează un unghi de $37°$ Ce măsură are unghiul opus la vârf?
Arată răspunsul
Răspuns: $37°$
Unghiurile opuse la vârf au măsuri egale.
În figură, $\angle AOB = 50°$ $\angle BOC = 60°$ și $\angle AOC = 110°$ Care dintre perechile $\angle AOB$ și $\angle BOC$ $\angle AOB$ și $\angle AOC$ $\angle BOC$ și $\angle AOC$ sunt unghiuri adiacente?
Arată răspunsul
Răspuns: Doar $\angle AOB$ și $\angle BOC$
Au vârful $O$ latura comună $OB$ și interioare disjuncte. Perechile cu $\angle AOC$ au interioarele suprapuse: $\angle AOC$ conține celelalte două.

Mediu

Trei unghiuri în jurul unui punct au măsurile $90°$ $130°$ și $x$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=140°$
$90°+130°+x=360° \Rightarrow x=360°-220°=140°$
Patru unghiuri egale, în jurul unui punct, împart planul în părți egale. Calculează măsura fiecăruia.
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$ fiecare.
$360° : 4 = 90°$
Două unghiuri complementare au măsurile $x$ și $34°$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=56°$
$x+34°=90° \Rightarrow x=56°$
Două unghiuri suplementare au măsurile $x$ și $137°$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=43°$
$x+137°=180° \Rightarrow x=43°$
Două unghiuri au măsurile $47°$ și $53°$ Sunt complementare, suplementare sau nici una, nici alta?
Arată răspunsul
Răspuns: Nici una, nici alta.
$47°+53°=100°$ care nu este nici $90°$ nici $180°$
Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ $\angle AOC=58°$ Calculează $\angle BOD$ și $\angle COB$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle BOD=58°$ $\angle COB=122°$
$\angle BOD$ este opus la vârf lui $\angle AOC$ deci $58°$ $\angle COB$ este suplementul lui $\angle AOC$ $180°-58°=122°$

Provocare

Două unghiuri suplementare diferă cu $40°$ unul are cu $40°$ mai mult decât celălalt. Calculează cele două unghiuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $70°$ și $110°$
Notez unghiul mic $x$ celălalt este $x+40°$ $x+(x+40°)=180° \Rightarrow 2x=140° \Rightarrow x=70°$ celălalt $110°$
Un elev spune: „unghiurile opuse la vârf sunt adiacente, pentru că au același vârf.” Explică de ce greșește.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșește pentru că unghiurile opuse la vârf nu au o latură comună, deci nu sunt adiacente.
Adiacența cere vârf comun ȘI latură comună. Unghiurile opuse la vârf au doar vârful comun; laturile uneia sunt semidreptele opuse laturilor celeilalte.
Două drepte se intersectează în $O$ formând patru unghiuri. Unul dintre ele are $25°$ Calculează celelalte trei.
Arată răspunsul
Răspuns: $155°$ $25°$ $155°$
Suplementul lui $25°$ este $180°-25°=155°$ Unghiul opus la vârf lui $25°$ este $25°$ iar opusul lui $155°$ este tot $155°$
Un unghi este de $2$ ori mai mare decât complementul său. Calculează cele două unghiuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $30°$ și $60°$
Notez complementul $x$ unghiul este $2x$ $x+2x=90° \Rightarrow 3x=90° \Rightarrow x=30°$ unghiul $60°$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Două unghiuri sunt adiacente dacă:
1. au același vârf, o latură comună și interioare care nu se suprapun
2. au aceeași măsură
3. suma măsurilor lor este $90°$
4. sunt formate de două drepte care se intersectează
Arată răspunsul
Răspuns: au același vârf, o latură comună și interioare care nu se suprapun
Adiacența este o relație de poziție: vârf comun, latură comună, interioare disjuncte.
2. Pot fi complementare două unghiuri obtuze?
1. Da, întotdeauna
2. Nu: suma lor depășește $90°$
3. Doar dacă sunt egale
4. Doar dacă au împreună $180°$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: suma lor depășește $90°$
Complementare înseamnă suma $90°$ Un unghi obtuz are singur peste $90°$ deci două unghiuri obtuze au împreună peste $180°$
3. Două unghiuri suplementare au aceeași măsură. Cât măsoară fiecare?
1. $45°$
2. $90°$
3. $180°$
4. $60°$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Suplementare înseamnă suma $180°$ două măsuri egale cu suma $180°$ au câte $180° : 2 = 90°$
4. Dacă două drepte se intersectează, unghiurile opuse la vârf formate au:
1. măsuri egale
2. suma $90°$
3. suma $180°$
4. măsuri diferite mereu
Arată răspunsul
Răspuns: măsuri egale
Unghiurile opuse la vârf au mereu măsuri egale.
5. În figură, care pereche este formată din unghiuri adiacente?
1. $\angle AOB$ și $\angle AOC$
2. $\angle BOC$ și $\angle AOC$
3. $\angle AOB$ și $\angle BOC$
4. nicio pereche
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOB$ și $\angle BOC$
Doar $\angle AOB$ și $\angle BOC$ au latura comună $OB$ și interioare disjuncte. $\angle AOC$ le conține pe amândouă.
6. De ce unghiurile opuse la vârf NU sunt adiacente?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că nu au o latură comună.
Laturile unui unghi sunt semidreptele opuse laturilor celuilalt, nu o latură comună.
7. Un unghi are $64°$ Ce măsură are complementul lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $26°$
$90°-64°=26°$
8. Două drepte se intersectează formând un unghi de $48°$ Ce măsură are unghiul suplementar lui, de pe aceeași dreaptă?
Arată răspunsul
Răspuns: $132°$
$180°-48°=132°$
9. Dacă două unghiuri sunt adiacente, sunt ele automat complementare?
1. Da, mereu
2. Nu
3. Doar dacă sunt și opuse la vârf
4. Doar dacă au aceeași măsură
Arată răspunsul
Răspuns: Nu
Adiacența nu spune nimic despre sumă. Suma poate fi orice valoare, nu neapărat $90°$

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile adiacente?

Două unghiuri cu același vârf, o latură comună și interioare care nu se suprapun.

Ce sunt unghiurile opuse la vârf?

Unghiurile formate de două drepte care se intersectează, așezate de o parte și de alta a punctului de intersecție. Au măsuri egale, dar nu au o latură comună.

Ce înseamnă unghiuri în jurul unui punct?

Unghiuri cu același vârf care, împreună, umplu tot spațiul din jurul acelui punct. Suma măsurilor lor este $360°$

Ce sunt unghiurile complementare?

Două unghiuri a căror sumă a măsurilor este $90°$ Nu trebuie să aibă același vârf sau o latură comună.

Ce sunt unghiurile suplementare?

Două unghiuri a căror sumă a măsurilor este $180°$ Nu trebuie să aibă același vârf sau o latură comună.

Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

Ce vei învăța

Ideea de bază

Unghiuri adiacente

Unghiuri opuse la vârf

Unghiuri în jurul unui punct

Unghiuri complementare

Unghiuri suplementare

Comparație între relații și o precauție importantă

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoști unghiuri adiacente

Exemplul 2: unghiul opus la vârf

Exemplul 3: unghi necunoscut în jurul unui punct

Exemplul 4: complementul unui unghi

Exemplul 5: suplementul unui unghi

Exemplul 6: problemă cu necunoscută (complementare)

Exemplul 7: problemă cu necunoscută (suplementare)

Exemplul 8: mai multe relații în aceeași figură

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a