Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

Q: Cum rezolv o ecuație de tipul a · x=b cu coeficient fracționar?

Împarți ambele părți la coeficientul a. Dacă a este o fracție, împărțirea la a înseamnă înmulțire cu inversul lui.

Q: Cum rezolv o ecuație de tipul x:a=b?

x:a=b înseamnă x/a=b, deci x=a · b. Înmulțești ambele părți cu a, în loc să împarți.

Q: Cum verific soluția unei ecuații cu numere raționale?

Înlocuiești valoarea găsită în locul lui x în ecuația inițială și calculezi ambele părți. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

Q: Cum transform o problemă în ecuație?

Notezi cu x mărimea necunoscută, traduci relația din enunț într-o egalitate cu x, rezolvi ecuația, verifici soluția și interpretezi rezultatul în contextul problemei.

Ce vei învăța

Rezolvi ecuații de tipul $x+a=b$ cu coeficienți raționali.
Rezolvi ecuații de tipul $a\cdot x=b$ și $x:a=b$ cu coeficienți raționali.
Simplifici rezultatul unei ecuații cu coeficienți fracționari.
Rezolvi ecuații cu două operații, de tipul $a\cdot x+b=c$
Elimini numitorii unei ecuații cu mai multe fracții, aplicând aceeași operație în ambele părți.
Calculezi cu numere zecimale într-o ecuație.
Verifici soluția unei ecuații prin înlocuire.
Transpui o problemă simplă într-o ecuație cu coeficienți raționali, o rezolvi și interpretezi rezultatul.

Recomandat înainte: Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor, Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

Ideea de bază

O ecuație cu coeficienți raționali se rezolvă cu aceleași operații inverse pe care le știi deja: adunarea se anulează prin scădere, înmulțirea prin împărțire. Diferența este că acum lucrezi cu fracții și zecimale, nu doar cu numere întregi.

Ecuația $x:a=b$ înseamnă $\dfrac{x}{a}=b$ deci $x=a\cdot b$ Nu o confunzi cu ecuația $a\cdot x=b$ în care $x$ este împărțit la $a$ nu înmulțit.

Când o ecuație are mai multe fracții cu numitori diferiți, poți înmulți fiecare termen din ambele părți cu un multiplu comun al numitorilor, ca să lucrezi mai departe doar cu numere întregi.

Ce știi deja

Știi deja ce este o ecuație cu o necunoscută și cum se rezolvă cu numere întregi, prin operații inverse aplicate în ambele părți ale egalității.

x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}

Aceeași idee rămâne valabilă și acum: rezolvi ecuația găsind valoarea lui $x$ pentru care egalitatea devine adevărată. Ce se schimbă este că numerele din ecuație pot fi fracții sau zecimale.

Ecuații de tipul $x+a=b$

Folosești operația inversă în ambele părți ale ecuației, ca la numerele întregi, aplicată acum fracțiilor și zecimalelor.

x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}

x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}

scazi 1/3 din ambele părți

x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}

numitor comun 6

x = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}

x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}

aduni 3/4 în ambele părți

x = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4}

x = \dfrac{5}{4}

x + (-0{,}5) = 1{,}2

x - 0{,}5 = 1{,}2

x + (-0,5) este același lucru cu x - 0,5

x = 1{,}2 + 0{,}5

aduni 0,5 în ambele părți

x = 1{,}7

Ecuații de tipul $a\cdot x=b$

Când coeficientul lui $x$ este o fracție sau un zecimal, împarți ambele părți ale ecuației la acel coeficient. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversul ei.

\dfrac{2}{3}x = 4

x = 4 : \dfrac{2}{3}

împarți ambele părți la 2/3

x = 4 \cdot \dfrac{3}{2}

împărțirea la o fracție e înmulțire cu inversul

x = 6

-\dfrac{3}{5}x = 6

x = 6 : \left(-\dfrac{3}{5}\right)

x = 6 \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right)

x = -10

1{,}5x = 4{,}5

x = 4{,}5 : 1{,}5

împarți ambele părți la 1,5

x = 3

Împarți, nu înmulți

La $a\cdot x=b$ ca să afli $x$ împarți la coeficientul $a$ Dacă înmulțești în loc să împarți, obții un rezultat greșit.

Ecuații de tipul $x:a=b$

Ecuația $x:a=b$ înseamnă $\dfrac{x}{a}=b$ Este diferită de $a\cdot x=b$ aici $x$ este împărțit la $a$ nu înmulțit. Ca să afli $x$ faci operația inversă împărțirii, adică înmulțești ambele părți cu $a$

x : a = b \;\Longrightarrow\; x = a \cdot b, \quad a \ne 0

x : 4 = 3

x = 4 \cdot 3

înmulțești ambele părți cu 4

x = 12

x : \dfrac{2}{3} = 6

x = \dfrac{2}{3} \cdot 6

înmulțești ambele părți cu 2/3

x = 4

x : (-5) = 2

x = (-5) \cdot 2

înmulțești ambele părți cu -5

x = -10

Nu confunda $a\cdot x=b$ cu $x:a=b$

La $a\cdot x=b$ împarți la $a$ ca să afli $x$ La $x:a=b$ înmulțești cu $a$ ca să afli $x$ Operația inversă e diferită în cele două cazuri.

Coeficienți raționali. Simplificarea rezultatului

Când coeficientul și termenul din partea dreaptă sunt amândoi fracții, împarți ca de obicei, la coeficient, și simplifici rezultatul la final.

\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}

x = \dfrac{9}{8} : \dfrac{3}{4}

x = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{3}

x = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}

simplifici cu 12

-\dfrac{2}{5}x = -\dfrac{6}{5}

x = -\dfrac{6}{5} : \left(-\dfrac{2}{5}\right)

x = -\dfrac{6}{5} \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)

doi negativi, rezultat pozitiv

x = \dfrac{30}{10} = 3

Simplifică mereu la final

O soluție corectă dar nesimplificată, precum $\dfrac{36}{24}$ în loc de $\dfrac{3}{2}$ nu este greșită matematic, dar merită scrisă în forma cea mai simplă.

Ecuații cu două operații

Când necunoscuta este atât înmulțită cu un coeficient, cât și implicată într-o adunare sau o scădere, rezolvi în doi pași: întâi elimini termenul adunat sau scăzut, apoi împarți la coeficient.

\dfrac{1}{2}x + 3 = 5

\dfrac{1}{2}x = 5 - 3

scazi 3 din ambele părți

\dfrac{1}{2}x = 2

x = 2 : \dfrac{1}{2}

împarți la 1/2

x = 4

\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 1

\dfrac{3}{4}x = 1 + \dfrac{1}{2}

aduni 1/2 în ambele părți

\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{2}

x = \dfrac{3}{2} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3}

împarți la 3/4

x = 2

1{,}2x + 0{,}6 = 3

1{,}2x = 3 - 0{,}6

scazi 0,6 din ambele părți

1{,}2x = 2{,}4

x = 2{,}4 : 1{,}2

împarți la 1,2

x = 2

Eliminarea numitorilor

Când o ecuație are mai multe fracții cu numitori diferiți, poți lucra direct cu ele, aducându-le la același numitor la fiecare pas, sau poți întâi să elimini numitorii. A elimina numitorii înseamnă să înmulțești fiecare termen din ambele părți ale ecuației cu un multiplu comun al tuturor numitorilor. Este exact aceeași operație aplicată peste tot în ecuație, nu un truc separat.

\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}

6 \cdot \dfrac{x}{2} + 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 6 \cdot \dfrac{5}{6}

înmulțești fiecare termen cu 6, multiplu comun al numitorilor 2, 3 și 6

3x + 2 = 5

3x = 3

scazi 2 din ambele părți

x = 1

Verifici direct în ecuația inițială: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ egalitate adevărată.

\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} = 1

4 \cdot \dfrac{x}{4} + 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 \cdot 1

înmulțești fiecare termen cu 4

x + 2 = 4

x = 2

Aceeași operație, peste tot

Când elimini numitorii, înmulțești cu același număr fiecare termen din ambele părți ale ecuației, nu doar termenii cu fracții. Ecuația rămâne echilibrată exact ca la orice altă operație aplicată unei egalități.

Zecimale în ecuații

Cu zecimale calculezi de obicei direct, fără să transformi în fracții. Transformi doar dacă îți e mai comod pentru numerele date.

0{,}5x = 2

x = 2 : 0{,}5

x = 4

Puteai la fel de bine să scrii $0{,}5$ ca $\dfrac{1}{2}$ și să rezolvi $\dfrac{1}{2}x=2$ cu același rezultat $x=4$ Alegi forma care îți e mai comodă.

2{,}5x - 1{,}5 = 8{,}5

2{,}5x = 8{,}5 + 1{,}5

aduni 1,5 în ambele părți

2{,}5x = 10

x = 10 : 2{,}5

împarți la 2,5

x = 4

Verificarea soluției

Verifici o soluție înlocuind valoarea găsită în locul lui $x$ în ecuația inițială și calculând ambele părți. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

\dfrac{1}{2}x + 3 = 5, \quad x = 4

\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 3

înlocuiești x cu 4

= 2 + 3

= 5

egalitate adevărată, deci x=4 este soluția

Verifică mereu

La ecuații cu fracții sau zecimale este ușor să greșești un semn sau o simplificare. Verificarea prin înlocuire îți arată sigur dacă soluția este corectă.

Traducerea unui text în ecuație

Multe probleme descriu în cuvinte o relație care se scrie direct ca ecuație. Recunoști cuvintele cheie și le traduci în simboluri.

„Jumătate dintr-un număr este 7” $\to \dfrac{1}{2}x = 7$
„Trei sferturi dintr-un număr sunt 9” $\to \dfrac{3}{4}x = 9$
„Un număr mărit cu 1,5 este 4” $\to x + 1{,}5 = 4$

După ce scrii ecuația, o rezolvi exact ca pe orice altă ecuație de acest tip.

Probleme care conduc la ecuații

La o problemă, urmezi mereu aceiași pași: notezi necunoscuta, construiești ecuația, o rezolvi, verifici soluția și interpretezi rezultatul în context.

Problema 1. Trei cincimi dintr-o sumă de bani reprezintă 45 de lei. Ce sumă a avut inițial persoana?

x = \text{suma inițială, în lei}

\dfrac{3}{5}x = 45

trei cincimi din sumă înseamnă 45 de lei

x = 45 : \dfrac{3}{5} = 45 \cdot \dfrac{5}{3}

x = 75

Verific: $\dfrac{3}{5} \cdot 75 = 45$ egalitate adevărată. Suma inițială a fost de 75 de lei.

Problema 2. Un obiect costă $x$ lei. După o reducere de o cincime din preț, suma rămasă de plată este 80 de lei. Care a fost prețul inițial?

x - \dfrac{1}{5}x = 80

prețul, minus o cincime din preț

\dfrac{4}{5}x = 80

x = 80 : \dfrac{4}{5} = 80 \cdot \dfrac{5}{4}

x = 100

Verific: $\dfrac{4}{5} \cdot 100 = 80$ egalitate adevărată. Prețul inițial a fost de 100 de lei.

Problema 3. Un ciclist parcurge aceeași distanță $x$ în fiecare zi, timp de 4 zile, apoi încă 2,5 km. În total parcurge 22,5 km. Ce distanță parcurge zilnic?

4x + 2{,}5 = 22{,}5

4 zile la distanța x, plus 2,5 km

4x = 22{,}5 - 2{,}5

4x = 20

x = 5

Verific: $4 \cdot 5 + 2{,}5 = 20 + 2{,}5 = 22{,}5$ egalitate adevărată. Ciclistul parcurge 5 km în fiecare zi.

Metodă de lucru

Identifici necunoscuta și forma ecuației.
Dacă ecuația are mai multe fracții cu numitori diferiți, poți elimina numitorii, înmulțind fiecare termen din ambele părți cu un multiplu comun al lor.
Elimini întâi termenul adunat sau scăzut, folosind operația inversă în ambele părți.
Împarți sau înmulți cu coeficientul lui $x$ după caz, atâta timp cât coeficientul este nenul.
Simplifici rezultatul, dacă se poate.
Verifici soluția prin înlocuire în ecuația inițială.
La o problemă, interpretezi soluția în contextul enunțului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ecuație cu adunare de fracții

Rezolvă ecuația $x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

Vezi rezolvarea

Scazi $\dfrac{1}{3}$ din ambele părți, operația inversă adunării.

x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}

x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}

x = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Exemplul 2: ecuație cu scădere

Rezolvă ecuația $x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$

Vezi rezolvarea

Aduni $\dfrac{3}{4}$ în ambele părți, operația inversă scăderii.

x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}

x = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4}

x = \dfrac{5}{4}

Exemplul 3: coeficient fracționar

Rezolvă ecuația $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}$

Vezi rezolvarea

Împarți ambele părți la $\dfrac{3}{4}$ adică înmulțești cu inversul $\dfrac{4}{3}$

\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}

x = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{3}

x = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}

Exemplul 4: coeficient negativ

Rezolvă ecuația $-\dfrac{3}{5}x = 6$

Vezi rezolvarea

Împarți ambele părți la $-\dfrac{3}{5}$ adică înmulțești cu inversul $-\dfrac{5}{3}$

-\dfrac{3}{5}x = 6

x = 6 \cdot \left(-\dfrac{5}{3}\right)

x = -10

Exemplul 5: coeficient zecimal, cu verificare

Rezolvă ecuația $1{,}5x = 4{,}5$ și verifică soluția.

Vezi rezolvarea

Împarți ambele părți la $1{,}5$

1{,}5x = 4{,}5

x = 4{,}5 : 1{,}5

x = 3

Verific: $1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5$ egalitate adevărată, deci $x=3$ este soluția.

Exemplul 6: ecuație în doi pași

Rezolvă ecuația $\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 1$

Vezi rezolvarea

Întâi elimini termenul $-\dfrac{1}{2}$ apoi împarți la coeficientul $\dfrac{3}{4}$

\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 1

\dfrac{3}{4}x = 1 + \dfrac{1}{2}

aduni 1/2 în ambele părți

\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{2}

x = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3}

împarți la 3/4

x = 2

Exemplul 7: eliminarea numitorilor

Rezolvă ecuația $\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

Vezi rezolvarea

Înmulțești fiecare termen din ambele părți cu 6, multiplu comun al numitorilor 2, 3 și 6.

\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}

3x + 2 = 5

3x = 3

x = 1

Exemplul 8: problemă în context, cu verificare

Trei cincimi dintr-o sumă de bani reprezintă 45 de lei. Ce sumă a avut inițial persoana?

Vezi rezolvarea

Notezi cu $x$ suma inițială, în lei, și construiești ecuația.

\dfrac{3}{5}x = 45

x = 45 \cdot \dfrac{5}{3}

x = 75

Verific: $\dfrac{3}{5} \cdot 75 = 45$ egalitate adevărată. Suma inițială a fost de 75 de lei.

Greșeli frecvente

La $x + \dfrac{1}{4} = 1$ scad $\dfrac{1}{4}$ doar din partea dreaptă și scriu $x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Greșit. Operația inversă se aplică în ambele părți ale ecuației: $x + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{4}$ adică $x = \dfrac{3}{4}$
La $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{9}{8}$ calculez $x = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{27}{32}$
Greșit. Împarți la coeficient, adică înmulțești cu inversul lui, nu cu fracția inițială: $x = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{2}$
La $x : \dfrac{2}{3} = 6$ scriu $x = 6 : \dfrac{2}{3}$
Greșit. $x:a=b$ înseamnă $x=a\cdot b$ deci înmulțești, nu împarți: $x = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4$
La $-\dfrac{2}{5}x = -\dfrac{6}{5}$ scriu $x = -3$
Greșit la semn. Doi negativi la împărțire dau rezultat pozitiv: $x = -\dfrac{6}{5} : \left(-\dfrac{2}{5}\right) = 3$
La $0{,}5x = 2$ transform $0{,}5$ în $\dfrac{1}{5}$ și rezolv $\dfrac{1}{5}x = 2$
Greșit. $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ nu $\dfrac{1}{5}$ Ecuația corectă este $\dfrac{1}{2}x = 2$ cu soluția $x = 4$
La $\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ înmulțesc cu 6 doar termenul $\dfrac{1}{3}$ și obțin $\dfrac{x}{2} + 2 = \dfrac{5}{6}$
Greșit. Când elimini numitorii, înmulțești cu 6 fiecare termen din ambele părți: $3x + 2 = 5$ adică $x = 1$
Găsesc o valoare pentru $x$ și nu o mai verific în ecuația inițială.
Riscant. La ecuații cu fracții sau zecimale este ușor să greșești un semn sau o simplificare. Verificarea prin înlocuire arată sigur dacă soluția este corectă.

Exerciții

Ușor

Rezolvă ecuația $x + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = \dfrac{2}{5}$
Rezolvă ecuația $x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = \dfrac{3}{4}$
$x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Rezolvă ecuația $\dfrac{1}{3}x = 6$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 18$
Rezolvă ecuația $x : 6 = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 12$
$x = 6 \cdot 2 = 12$
Rezolvă ecuația $0{,}2x = 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 20$
Rezolvă ecuația $x + 0{,}6 = 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 0{,}4$

Mediu

Rezolvă ecuația $-\dfrac{2}{3}x = 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -12$
$x = 8 : \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 8 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -12$
Rezolvă ecuația $x : \dfrac{3}{4} = 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 6$
$x = \dfrac{3}{4} \cdot 8 = 6$
Rezolvă ecuația $-\dfrac{3}{8}x = -\dfrac{9}{8}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$
$x = -\dfrac{9}{8} : \left(-\dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{8}{3} = 3$
Rezolvă ecuația $0{,}8x + 0{,}4 = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 2$
$0{,}8x = 2 - 0{,}4 = 1{,}6$ $x = 1{,}6 : 0{,}8 = 2$
Rezolvă ecuația $\dfrac{1}{3}x + 2 = 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 9$
$\dfrac{1}{3}x = 3$ $x = 3 \cdot 3 = 9$
Rezolvă ecuația $\dfrac{2}{5}x - 1 = 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 5$
$\dfrac{2}{5}x = 2$ $x = 2 : \dfrac{2}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{2} = 5$
Rezolvă ecuația $\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 1$
Înmulțești cu 6: $2x + 1 = 3$ $2x = 2$ $x = 1$

Provocare

Rezolvă ecuația $\dfrac{5}{6}x = \dfrac{5}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = \dfrac{2}{3}$
$x = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$
Două treimi dintr-o cantitate de făină cântăresc 8 kg. Ce cantitate totală de făină era inițial?
Arată răspunsul
Răspuns: 12 kg.
$\dfrac{2}{3}x = 8$ $x = 8 \cdot \dfrac{3}{2} = 12$
Prețul unui produs s-a redus cu o pătrime din preț, iar suma rămasă de plată este 60 de lei. Care a fost prețul inițial?
Arată răspunsul
Răspuns: 80 de lei.
$x - \dfrac{1}{4}x = 60$ adică $\dfrac{3}{4}x = 60$ $x = 60 \cdot \dfrac{4}{3} = 80$
Un elev rezolvă ecuația $x : \dfrac{1}{2} = 6$ astfel: $x = 6 : \dfrac{1}{2} = 12$ Găsește greșeala și scrie rezolvarea corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$
Greșeala: la $x:a=b$ se înmulțește, nu se împarte. Corect: $x = \dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3$
Rezolvă ecuația $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 1$
Înmulțești cu 6: $4x - 3 = 1$ $4x = 4$ $x = 1$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care este soluția ecuației $x + \dfrac{1}{3} = 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = \dfrac{2}{3}$
$x = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$
2. Care este soluția ecuației $0{,}4x = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 5$
$x = 2 : 0{,}4 = 5$
3. Care este soluția ecuației $-\dfrac{2}{3}x = 4$
1. $x = -6$
2. $x = 6$
3. $x = -\dfrac{8}{3}$
4. $x = \dfrac{8}{3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -6$
$x = 4 : \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -6$
4. Care este soluția ecuației $2x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 1$
$2x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$ $x = 1$
5. Este $x=3$ soluția ecuației $\dfrac{2}{3}x + 1 = 3$
Arată răspunsul
Răspuns: Da
$\dfrac{2}{3} \cdot 3 + 1 = 2 + 1 = 3$ egalitate adevărată.
6. Jumătate dintr-un număr este 9. Care este numărul?
Arată răspunsul
Răspuns: 18
$\dfrac{1}{2}x = 9$ deci $x = 18$
7. Un elev rezolvă $\dfrac{3}{4}x = 6$ astfel: $x = 6 \cdot \dfrac{3}{4} = 4{,}5$ Ce a greșit?
1. Nimic, este corect
2. Trebuia să înmulțească cu inversul coeficientului, adică cu $\dfrac{4}{3}$
3. Trebuia să scadă $\dfrac{3}{4}$
4. Trebuia să adune 6
Arată răspunsul
Răspuns: Trebuia să înmulțească cu inversul coeficientului, adică cu $\dfrac{4}{3}$
Corect: $x = 6 \cdot \dfrac{4}{3} = 8$ Împărțirea la o fracție e înmulțire cu inversul ei, nu cu fracția inițială.
8. Care este soluția ecuației $x : 4 = 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 12$
$x:a=b$ înseamnă $x=a\cdot b$ deci $x = 4 \cdot 3 = 12$

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație de tipul

x+a=b

cu fracții sau zecimale?

Faci operația inversă în ambele părți ale ecuației: dacă este adunare, scazi; dacă este scădere, aduni. Regula e identică cu cea de la numere întregi, doar numerele sunt raționale.

Cum rezolv o ecuație de tipul

a\cdot x=b

cu coeficient fracționar?

Împarți ambele părți la coeficientul $a$ Dacă $a$ este o fracție, împărțirea la $a$ înseamnă înmulțire cu inversul lui.

Cum rezolv o ecuație de tipul

x:a=b

$x:a=b$ înseamnă $\dfrac{x}{a}=b$ deci $x=a\cdot b$ Înmulțești ambele părți cu $a$ în loc să împarți.

Ce înseamnă să elimini numitorii unei ecuații?

Înmulțești fiecare termen din ambele părți ale ecuației cu un multiplu comun al tuturor numitorilor, ca ecuația să rămână doar cu numere întregi. Este aceeași operație aplicată peste tot, nu un truc separat.

Cum verific soluția unei ecuații cu numere raționale?

Înlocuiești valoarea găsită în locul lui $x$ în ecuația inițială și calculezi ambele părți. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

Cum transform o problemă în ecuație?

Notezi cu $x$ mărimea necunoscută, traduci relația din enunț într-o egalitate cu $x$ rezolvi ecuația, verifici soluția și interpretezi rezultatul în contextul problemei.

Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor raționale. Probleme

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce știi deja

Ecuații de tipul $x+a=b$

Ecuații de tipul $a\cdot x=b$

Ecuații de tipul $x:a=b$

Coeficienți raționali. Simplificarea rezultatului

Ecuații cu două operații

Eliminarea numitorilor

Zecimale în ecuații

Verificarea soluției

Traducerea unui text în ecuație

Probleme care conduc la ecuații

Metodă de lucru

Exemple rezolvate