Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea

Un număr rațional se poate scrie sub forma $\dfrac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi și $b \ne 0$.

$\dfrac{3}{4}$, $-\dfrac{5}{2}$, $7$, $0$, $1{,}25$ și $-0{,}5$ sunt toate numere raționale. Orice număr întreg este și el rațional, pentru că $7 = \dfrac{7}{1}$.

Ca la numerele întregi, fiecare număr rațional are un loc pe axa numerelor, un opus și un modul. Poziția pe axă decide ordinea: cel din stânga este mai mic.

Un număr rațional este orice număr care se poate scrie sub forma $\dfrac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere întregi și $b \ne 0$.

• $\dfrac{3}{4}$ este rațional: $a = 3$, $b = 4$.
• $-\dfrac{5}{2}$ este rațional: $a = -5$, $b = 2$.
• $7$ este rațional, pentru că $7 = \dfrac{7}{1}$.
• $0$ este rațional, pentru că $0 = \dfrac{0}{1}$.
• $1{,}25$ este rațional, pentru că $1{,}25 = \dfrac{5}{4}$.
• $-0{,}5$ este rațional, pentru că $-0{,}5 = -\dfrac{1}{2}$.

Același număr rațional poate apărea scris ca fracție sau ca zecimal. Este important să recunoști că e vorba de același număr.

• $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$
• $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$
• $-\dfrac{1}{2} = -0{,}5$

Recunoști forma potrivită pentru fiecare situație: fracția e uneori mai simplă pentru calcul exact, zecimalul e uneori mai simplu pentru comparare rapidă.

Opusul lui $a$ este $-a$. Pe axă, opusul stă la aceeași distanță de $0$, dar de partea cealaltă.

• Opusul lui $\dfrac{3}{5}$ este $-\dfrac{3}{5}$.
• Opusul lui $-1{,}2$ este $1{,}2$.
• Opusul lui $0$ este $0$.

Modulul lui $x$, scris $\lvert x\rvert$, este distanța de la $x$ la $0$ pe axă. O distanță nu este niciodată negativă.

• $\left\lvert \dfrac{3}{4}\right\rvert = \dfrac{3}{4}$
• $\left\lvert -\dfrac{3}{4}\right\rvert = \dfrac{3}{4}$
• $\lvert -1{,}5\rvert = 1{,}5$
• $\lvert 0\rvert = 0$

Opusul și modulul sunt idei diferite, deși uneori coincid ca valoare. Pentru $-\dfrac{2}{3}$:

• opusul este $\dfrac{2}{3}$ (schimbă semnul);
• modulul este $\dfrac{2}{3}$ (distanța față de $0$, tot pozitivă).

Pentru $\dfrac{2}{3}$ (deja pozitiv):

• opusul este $-\dfrac{2}{3}$ (devine negativ);
• modulul este $\dfrac{2}{3}$ (rămâne același, pentru că numărul e deja pozitiv).

Ca la numerele întregi, compararea depinde de semne.

1. Semne diferite: orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.
2. Ambele pozitive: compari direct valorile.
3. Ambele negative: cel mai apropiat de $0$ este mai mare.

• $-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}$ (semne diferite)
• $\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}$ (ambele pozitive)
• $-\dfrac{2}{5} > -\dfrac{3}{4}$ (ambele negative, $-\dfrac{2}{5}$ e mai aproape de $0$)

Pentru fracții folosești metodele deja cunoscute: același numitor, același numărător sau aducere la același numitor.

Compară $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{3}{5}$.

Când una dintre valori e fracție și cealaltă e zecimal, aduci ambele la aceeași formă. Alegi transformarea zecimal ↔ fracție care e exactă și naturală pentru numerele date.

Compară $0{,}6$ și $\dfrac{2}{3}$.

Compară $-0{,}75$ și $-\dfrac{2}{3}$.

Așezi numerele raționale pe axă exact ca pe numerele întregi, doar că acum unele repere cad între marcaje.

Ordonează crescător: $-\dfrac{3}{2}$, $0$, $\dfrac{1}{2}$, $-0{,}25$, $1$.

1. $-\dfrac{3}{2} = -1{,}5$ este cel mai mic, fiind cel mai departe de $0$ dintre negative.
2. $-0{,}25$ este negativ, dar mai aproape de $0$ decât $-1{,}5$.
3. $0$ urmează.
4. $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ vine după $0$.
5. $1$ este cel mai mare.

Ordonează descrescător: $2$, $-\dfrac{1}{4}$, $1{,}5$, $-2$, $\dfrac{3}{4}$.

1. $2$ este cel mai mare.
2. $1{,}5$ urmează.
3. $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ vine după $1{,}5$.
4. $-\dfrac{1}{4} = -0{,}25$ este primul negativ, mai aproape de $0$.
5. $-2$ este cel mai mic, cel mai departe de $0$ dintre negative.

Un modul mai mare nu înseamnă un număr mai mare, mai ales la numere negative.

$\left\lvert -\dfrac{3}{2}\right\rvert = \dfrac{3}{2}$ și $\left\lvert -\dfrac{1}{2}\right\rvert = \dfrac{1}{2}$, deci $\left\lvert -\dfrac{3}{2}\right\rvert > \left\lvert -\dfrac{1}{2}\right\rvert$.

Dar $-\dfrac{3}{2} < -\dfrac{1}{2}$: cu cât un negativ e mai departe de $0$ (modul mai mare), cu atât e mai mic ca număr.