Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Q: Cât este un număr împărțit la 0?

Nu este definit. Împărțirea la 0 nu are niciun sens matematic, indiferent de deîmpărțit.

Q: Cât este 0 împărțit la un număr?

Este 0, atât timp cât numărul la care împarți nu este 0. De exemplu 0: 5 = 0.

Q: Rezultatul unei împărțiri de numere întregi este mereu un număr întreg?

Nu. De exemplu 7: 2 nu are un rezultat întreg. Lucrezi doar cu împărțiri exacte, în care deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului.

Ce vei învăța

Înmulțești două numere întregi, oricare ar fi semnele lor.
Determini semnul unui produs sau al unui cât fără să calculezi totul.
Înmulțești un număr întreg cu $0$ cu $1$ și cu $-1$
Stabilești semnul unui produs cu mai mulți factori, după numărul factorilor negativi.
Împarți două numere întregi, când împărțirea este exactă.
Recunoști că împărțirea la $0$ nu este definită și că $0$ împărțit la un număr nenul este $0$
Calculezi expresii care combină înmulțirea, împărțirea, adunarea și scăderea, respectând ordinea operațiilor.

Recomandat înainte: Adunarea și scăderea numerelor întregi

Ideea de bază

La înmulțire și la împărțire, semnul rezultatului depinde doar de semnele numerelor implicate, nu de mărimea lor. Dacă cele două numere au același semn, rezultatul este pozitiv. Dacă au semne diferite, rezultatul este negativ.

Modulul rezultatului se calculează exact ca la numerele naturale: înmulțești sau împarți modulele. Regula semnelor se aplică separat, la final.

Împărțirea la $0$ nu are niciun sens și nu este definită. Este singura excepție importantă de reținut.

Înmulțirea numerelor întregi

Două numere pozitive se înmulțesc exact ca numerele naturale, iar rezultatul este pozitiv.

3 \cdot 4 = 12

Două numere negative se înmulțesc și ele, iar rezultatul este tot pozitiv.

(-3) \cdot (-4) = 12

Când unul dintre numere este pozitiv și celălalt negativ, rezultatul este negativ, indiferent de ordine.

$3 \cdot (-4) = -12$
$(-3) \cdot 4 = -12$

Pozitiv $\cdot$ pozitiv $\to$ pozitiv.
Negativ $\cdot$ negativ $\to$ pozitiv.
Pozitiv $\cdot$ negativ $\to$ negativ.
Negativ $\cdot$ pozitiv $\to$ negativ.

Regula semnelor

Cele patru cazuri de mai sus se rețin printr-o singură idee: la înmulțire, contează dacă semnele sunt la fel sau diferite, nu care sunt numerele.

Aceeași semne, semne diferite

Semne la fel (amândouă pozitive sau amândouă negative) $\to$ rezultat pozitiv. Semne diferite (unul pozitiv, celălalt negativ) $\to$ rezultat negativ.

Un mod natural de a înțelege de ce negativ ori negativ dă pozitiv: gândește-te la un negativ ca la o „schimbare de direcție”. Dacă schimbi direcția o dată (un singur minus), ajungi în partea opusă. Dacă schimbi direcția de două ori (două minusuri), te întorci acolo de unde ai plecat.

Înmulțirea cu $0$ și cu $1$

Orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$ indiferent de semn.

a \cdot 0 = 0

Orice număr înmulțit cu $1$ rămâne neschimbat.

a \cdot 1 = a

Orice număr înmulțit cu $-1$ devine opusul lui.

a \cdot (-1) = -a

$(-7) \cdot 0 = 0$
$(-7) \cdot 1 = -7$
$(-7) \cdot (-1) = 7$

Produse cu mai mulți factori

Când un produs are mai mult de doi factori, semnul rezultatului depinde de câți factori negativi sunt, nu de care sunt ei.

(-2) \cdot (-3) \cdot 4

doi factori negativi

= 6 \cdot 4

(-2) \cdot (-3) = 6

pozitiv

= 24

(-2) \cdot (-3) \cdot (-4)

trei factori negativi

= 6 \cdot (-4)

(-2) \cdot (-3) = 6

pozitiv

= -24

Număr par de factori negativi $\to$ rezultatul este pozitiv.
Număr impar de factori negativi $\to$ rezultatul este negativ.

Ideea: fiecare factor negativ „schimbă direcția” o dată. Un număr par de schimbări te aduce înapoi la pozitiv, un număr impar te lasă în negativ.

Împărțirea numerelor întregi

Împărțirea numerelor întregi respectă aceeași regulă a semnelor ca înmulțirea.

$12 : 3 = 4$ (pozitiv : pozitiv $\to$ pozitiv)
$(-12) : (-3) = 4$ (negativ : negativ $\to$ pozitiv)
$12 : (-3) = -4$ (pozitiv : negativ $\to$ negativ)
$(-12) : 3 = -4$ (negativ : pozitiv $\to$ negativ)

Aceeași regulă, altă operație

Ca la înmulțire: semne la fel $\to$ cât pozitiv, semne diferite $\to$ cât negativ. Modulul câtului este câtul modulelor.

Împărțirea la zero

Împărțirea unui număr la $0$ nu are niciun sens matematic și nu este definită.

$a : 0$ nu este definit

Pentru orice număr $a$ $a : 0$ nu are rezultat. Nu este $0$ nu este $a$ nu este „infinit”. Este pur și simplu o operație care nu se poate face. Reține asta ca pe o regulă fixă, nu o calcula niciodată.

Zero împărțit la un număr nenul

Situația este complet diferită dacă $0$ este deîmpărțitul, nu împărțitorul. Zero împărțit la orice număr diferit de $0$ dă $0$

0 : a = 0, \quad a \neq 0

$0 : 5 = 0$
$0 : (-7) = 0$

Nu confunda cele două cazuri

$0 : 5 = 0$ (este permis, deîmpărțitul este $0$ $5 : 0$ nu este definit (împărțitorul este $0$ Ordinea numerelor contează.

Împărțirea nu dă mereu un rezultat întreg

În mulțimea numerelor întregi, împărțirea a două numere nu are întotdeauna un rezultat întreg. De exemplu, $7 : 2$ nu are un rezultat întreg: niciun număr întreg înmulțit cu $2$ nu dă $7$

În lecțiile despre împărțire lucrezi doar cu cazurile în care împărțirea este exactă, adică deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului.

Ordinea operațiilor

Într-o expresie fără paranteze, înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii.

-3 + 2 \cdot 5

= -3 + 10

întâi înmulțirea

= 7

12 : (-3) + 7

= -4 + 7

întâi împărțirea

= 3

5 - (-2) \cdot 3

= 5 - (-6)

întâi înmulțirea

= 5 + 6

scăderea unui negativ devine adunare

= 11

Paranteze

Parantezele nu schimbă regula semnelor, dar arată clar ce este operație și ce este semnul unui număr.

$(-3) \cdot (-4) = 12$
$18 : (-3) = -6$

(-2) \cdot (5 - 8)

= (-2) \cdot (-3)

calculezi întâi paranteza: 5 - 8 = -3

= 6

Exemple rezolvate

Exemplul 1: pozitiv × pozitiv

Calculează $5 \cdot 6$

Vezi rezolvarea

Amândouă numerele sunt pozitive, deci rezultatul este pozitiv.

5 \cdot 6 = 30

Exemplul 2: negativ × negativ

Calculează $(-6) \cdot (-7)$

Vezi rezolvarea

Semnele sunt la fel (amândouă negative), deci rezultatul este pozitiv. Înmulțești modulele: $6 \cdot 7 = 42$

(-6) \cdot (-7) = 42

Exemplul 3: pozitiv × negativ

Calculează $8 \cdot (-5)$

Vezi rezolvarea

Semnele sunt diferite, deci rezultatul este negativ. Înmulțești modulele: $8 \cdot 5 = 40$

8 \cdot (-5) = -40

Exemplul 4: produs cu trei factori

Calculează $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$

Vezi rezolvarea

Sunt trei factori negativi, număr impar, deci rezultatul este negativ. Înmulțești modulele: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

(-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = -30

Exemplul 5: pozitiv : negativ

Calculează $20 : (-4)$

Vezi rezolvarea

Semnele sunt diferite, deci câtul este negativ. Împarți modulele: $20 : 4 = 5$

20 : (-4) = -5

Exemplul 6: negativ : negativ

Calculează $(-36) : (-9)$

Vezi rezolvarea

Semnele sunt la fel, deci câtul este pozitiv. Împarți modulele: $36 : 9 = 4$

(-36) : (-9) = 4

Exemplul 7: zero în operații

Calculează $0 : (-9) + (-5) \cdot 1$

Vezi rezolvarea

$0$ împărțit la orice număr nenul este $0$ Orice număr înmulțit cu $1$ rămâne neschimbat.

0 : (-9) + (-5) \cdot 1

= 0 + (-5)

= -5

Exemplul 8: expresie mixtă

Calculează $-4 + 3 \cdot (-2) - 6 : (-3)$

Vezi rezolvarea

Faci întâi înmulțirea și împărțirea, de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.

-4 + 3 \cdot (-2) - 6 : (-3)

= -4 + (-6) - (-2)

3 \cdot (-2) = -6

6 : (-3) = -2

= -4 - 6 + 2

scăderea unui negativ devine adunare

= -8

Greșeli frecvente

Scriu $(-3) \cdot (-4) = -12$
Greșit. Negativ ori negativ dă pozitiv: semnele sunt la fel, deci rezultatul este pozitiv. $(-3) \cdot (-4) = 12$
Scriu $(-12) : (-3) = -4$
Greșit. Negativ împărțit la negativ dă pozitiv: semnele sunt la fel. $(-12) : (-3) = 4$
Cred că $5 : 0 = 0$ sau că împărțirea la $0$ este permisă.
Greșit. Împărțirea la $0$ nu este definită, indiferent de deîmpărțit. Nu confunda cu $0 : 5 = 0$ unde $0$ este deîmpărțitul, nu împărțitorul.
Cred că semnul rezultatului depinde de care număr este mai mare, nu de semne.
Greșit. Semnul unui produs sau al unui cât depinde doar de semnele numerelor, niciodată de mărimea lor. $2 \cdot (-100) = -200$ deși $100$ este mult mai mare decât $2$
La un produs cu mai mulți factori, ignor câți factori negativi sunt și presupun că rezultatul este mereu negativ dacă există vreun factor negativ.
Greșit. Contează dacă numărul factorilor negativi este par sau impar. $(-2) \cdot (-3) \cdot 4 = 24$ (doi factori negativi, rezultat pozitiv), dar $(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$ (trei factori negativi, rezultat negativ).

Exerciții

Ușor

Calculează $6 \cdot 7$
Arată răspunsul
Răspuns: $42$
Calculează $(-5) \cdot (-8)$
Arată răspunsul
Răspuns: $40$
Semne la fel, rezultat pozitiv: $5 \cdot 8 = 40$
Calculează $9 \cdot (-3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-27$
Semne diferite, rezultat negativ: $9 \cdot 3 = 27$
Calculează $(-6) \cdot 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $-30$
Semne diferite, rezultat negativ: $6 \cdot 5 = 30$
Calculează $24 : 6$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
Calculează $(-36) : (-4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
Semne la fel, cât pozitiv: $36 : 4 = 9$

Mediu

Calculează $(-2) \cdot (-3) \cdot (-2)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-12$
Trei factori negativi (impar), rezultat negativ: $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$
Calculează $(-14) \cdot 0 + 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
Orice număr înmulțit cu $0$ dă $0$ $(-14) \cdot 0 = 0$ $0 + 5 = 5$
Calculează $45 : (-9)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-5$
Semne diferite, cât negativ: $45 : 9 = 5$
Calculează $-3 + 4 \cdot 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $17$
Întâi înmulțirea: $4 \cdot 5 = 20$ apoi $-3 + 20 = 17$
Calculează $20 : (-4) + 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-2$
Întâi împărțirea: $20 : (-4) = -5$ apoi $-5 + 3 = -2$
Calculează $6 - (-3) \cdot 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
Întâi înmulțirea: $(-3) \cdot 2 = -6$ apoi $6 - (-6) = 6 + 6 = 12$

Provocare

Calculează $(-2) \cdot (5 - 9)$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
Întâi paranteza: $5 - 9 = -4$ apoi $(-2) \cdot (-4) = 8$
Calculează $18 : (-3) \cdot 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-12$
Înmulțirea și împărțirea se fac de la stânga la dreapta: $18 : (-3) = -6$ apoi $-6 \cdot 2 = -12$
Compară $(-3) \cdot (-6)$ și $(-4) \cdot (-4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-3) \cdot (-6) = 18$ este mai mare decât $(-4) \cdot (-4) = 16$
Amândouă produsele sunt pozitive (semne la fel). $(-3) \cdot (-6) = 18$ $(-4) \cdot (-4) = 16$ $18 > 16$
Fără să calculezi tot produsul, spune ce semn are $(-3) \cdot (-5) \cdot (-2) \cdot (-4)$
Arată răspunsul
Răspuns: Pozitiv.
Sunt patru factori negativi, număr par, deci rezultatul este pozitiv.
Găsește numărul care completează: $(-6) \cdot \square = 42$
Arată răspunsul
Răspuns: $-7$
$42 : (-6) = -7$ Verificare: $(-6) \cdot (-7) = 42$
Calculează $(-24) : (-6) + (-3) \cdot (-2) - 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$(-24) : (-6) = 4$ $(-3) \cdot (-2) = 6$ apoi $4 + 6 - 5 = 5$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $(-4) \cdot (-9)$
Arată răspunsul
Răspuns: $36$
Semne la fel, rezultat pozitiv: $4 \cdot 9 = 36$
2. Cât este $7 \cdot (-8)$
1. $-56$
2. $56$
3. $-15$
4. $15$
Arată răspunsul
Răspuns: $-56$
Semne diferite, rezultat negativ: $7 \cdot 8 = 56$ deci $-56$
3. Cât este $(-45) : (-5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
Semne la fel, cât pozitiv: $45 : 5 = 9$
4. Cât este $(-2) \cdot (-3) \cdot (-1)$
1. $6$
2. $-6$
3. $5$
4. $-5$
Arată răspunsul
Răspuns: $-6$
Trei factori negativi (impar), rezultat negativ: $2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$ deci $-6$
5. Cât este $0 : (-8)$
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
Zero împărțit la orice număr nenul este $0$
6. Cât este $12 : 0$
1. $0$
2. $12$
3. $-12$
4. nu este definit
Arată răspunsul
Răspuns: nu este definit
Împărțirea la $0$ nu are niciun rezultat, este nedefinită.
7. Cât este $-5 + 2 \cdot 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Întâi înmulțirea: $2 \cdot 4 = 8$ apoi $-5 + 8 = 3$
8. Cât este $(-3) \cdot (-2) + (-4) : 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
$(-3) \cdot (-2) = 6$ $(-4) : 2 = -2$ apoi $6 + (-2) = 4$

Întrebări frecvente

Cum înmulțești două numere întregi?

Înmulțești modulele lor, apoi stabilești semnul: semne la fel dă rezultat pozitiv, semne diferite dă rezultat negativ. $(-3) \cdot (-4) = 12$ $3 \cdot (-4) = -12$

De ce negativ ori negativ dă pozitiv?

Fiecare semn negativ „schimbă direcția” o dată. Două schimbări de direcție te aduc înapoi la pozitiv, la fel cum două negații într-o propoziție se anulează.

Cum stabilesc semnul unui produs cu mai mulți factori?

Numeri câți factori negativi sunt. Număr par de factori negativi dă rezultat pozitiv, număr impar dă rezultat negativ.

Cât este un număr împărțit la

0

Nu este definit. Împărțirea la $0$ nu are niciun sens matematic, indiferent de deîmpărțit.

Cât este

0

împărțit la un număr?

Este $0$ atât timp cât numărul la care împarți nu este $0$ De exemplu $0 : 5 = 0$

Rezultatul unei împărțiri de numere întregi este mereu un număr întreg?

Nu. De exemplu $7 : 2$ nu are un rezultat întreg. Lucrezi doar cu împărțiri exacte, în care deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului.

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Ce vei învăța

Ideea de bază

Înmulțirea numerelor întregi

Regula semnelor

Înmulțirea cu $0$ și cu $1$

Produse cu mai mulți factori

Împărțirea numerelor întregi

Împărțirea la zero

Zero împărțit la un număr nenul

Împărțirea nu dă mereu un rezultat întreg

Ordinea operațiilor

Paranteze