Inecuații în mulțimea numerelor întregi. Probleme

O ecuație caută valorile lui $x$ pentru care o egalitate este adevărată. O inecuație caută valorile lui $x$ pentru care o inegalitate este adevărată. De cele mai multe ori, o inecuație are mai multe soluții, nu doar una.

Rezolvi o inecuație la fel ca o ecuație: folosești operații inverse în ambele părți. Diferența apare doar când înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ, situație în care sensul inegalității se schimbă.

Soluțiile unei inecuații în $\mathbb{Z}$ sunt numere întregi. Le poți scrie ca inegalitate, le poți enumera sau le poți reprezenta pe axa numerelor.

O ecuație are semnul „$=$” și, de regulă, o singură soluție. O inecuație are unul dintre semnele $<$, $>$, $\le$, $\ge$ și, de regulă, mai multe soluții.

Recapitulezi pe scurt cele patru semne folosite într-o inecuație.

• $<$: mai mic decât
• $>$: mai mare decât
• $\le$: mai mic sau egal
• $\ge$: mai mare sau egal

La numerele negative, „mai mic” și „mai mare” se citesc pe axa numerelor: dintre două numere, cel mai mic este cel aflat mai la stânga. De aceea $-5<-2$ (numărul $-5$ este la stânga lui $-2$) și $-1>-4$ (numărul $-1$ este la dreapta lui $-4$).

Pentru inecuația $x<3$, orice număr întreg mai mic decât $3$ este soluție. Nu există o singură soluție, ci o mulțime întreagă de soluții.

Soluțiile sunt $2, 1, 0, -1, -2$ și așa mai departe, spre numere tot mai mici. Numărul $3$ nu este soluție, pentru că $3<3$ este fals.

Rezolvi la fel ca la ecuații: folosești operația inversă în ambele părți ale inecuației. Când aduni sau scazi același număr în ambele părți, sensul inegalității nu se schimbă niciodată.

Când împarți sau înmulțești ambele părți ale unei inecuații cu un număr pozitiv, sensul inegalității rămâne neschimbat.

Când înmulțești sau împarți ambele părți ale unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează. Vezi de ce, cu o inegalitate adevărată: $2<5$.

Motivul este pe axă: înmulțirea cu un număr negativ aduce numerele de partea cealaltă a lui $0$ și le inversează ordinea. Dacă $2$ era mai aproape de $0$ decât $5$, atunci $-2$ este mai aproape de $0$ decât $-5$, deci este mai mare.

Verifică prin înlocuire. Pentru $x=-2$ (care respectă $x>-3$): $-2\cdot(-2) = 4<6$, adevărat. Pentru $x=-4$ (care nu respectă $x>-3$): $-2\cdot(-4) = 8<6$, fals. Dacă ai fi lăsat sensul neschimbat, ai fi obținut $x<-3$ și ai fi acceptat greșit numere ca $-4$.

Poți arăta soluțiile unei inecuații pe axa numerelor, marcând numerele întregi care sunt soluții. Fiecare soluție este marcată deasupra axei cu o liniuță groasă și cu numărul ei.

Această lecție este despre inecuații în $\mathbb{Z}$, deci soluțiile sunt numere întregi, nu orice numere. Scrii mulțimea soluțiilor ca inegalitate și, dacă e nevoie, o descrii prin enumerare.

Pentru $x>2$, soluțiile întregi sunt:

Pentru $x\le -1$, soluțiile întregi sunt:

O valoare se verifică prin înlocuire, la fel ca la ecuații. Diferența este că o inecuație are, de regulă, mai multe valori care o verifică, nu doar una.

La probleme, expresiile uzuale se traduc direct în semne de inegalitate.

Problema 1. Un elev are deja 18 puncte la un concurs și trebuie să obțină cel puțin 25 de puncte ca să treacă mai departe. Câte puncte trebuie să mai obțină?

Elevul trebuie să mai obțină cel puțin 7 puncte.

Problema 2. Ana are un buget de 48 de lei pentru caiete. Fiecare caiet costă 6 lei. Câte caiete poate cumpăra, fără să depășească bugetul?

Ana poate cumpăra cel mult 8 caiete.

Problema 3. Un scafandru nu are voie să coboare mai jos de $30$ de metri sub nivelul mării. Notezi cu $x$ altitudinea la care se află, în metri, față de nivelul mării (negativă sub apă). Scrie inecuația care exprimă condiția.

Altitudinea $x$ nu poate fi mai mică decât $-30$, adică scafandrul nu poate fi mai jos de $-30$ m. De exemplu, $x=-25$ este permis, iar $x=-35$ nu este permis, pentru că $-35<-30$.