Instrument

Calculator inecuații de gradul I

Q: Cum se rezolvă o inecuație de gradul I?

Faci aceleași operații în ambele membre: aduni sau scazi termeni ca să ai x într-un singur membru și numerele în celălalt, apoi împarți la coeficientul lui x. Pentru 2x + 3 < 11 scazi 3 și obții 2x < 8, apoi împarți la 2 și obții x < 4.

Q: Când se schimbă sensul unei inecuații?

Când înmulțești sau împarți ambele membre cu un număr negativ. De exemplu, din -2x -2. La adunare, scădere sau la înmulțirea și împărțirea cu un număr pozitiv, sensul rămâne același.

Scrie o inecuație de gradul I și vezi soluția, intervalul soluțiilor, reprezentarea pe axa numerelor și pașii de rezolvare. Calculatorul arată explicit când se schimbă sensul inecuației.

Inecuație

Folosește litera x, numere întregi sau zecimale, semnele + și - și unul dintre semnele <, >, <= sau >=. Nu se acceptă paranteze, puteri sau fracții cu x.

Rezultatul

Scrie o inecuație de gradul I, de exemplu 3 - 2x <= 7, și vezi rezolvarea pas cu pas.

Ce este o inecuație

O inecuație este o comparație între două expresii care conține o necunoscută, cu unul dintre semnele $<$ , $>$ , $\le$ sau $\ge$ . Cea de gradul I are forma $ax+b<cx+d$ , iar x apare doar la puterea 1. Soluțiile sunt toate numerele care fac comparația adevărată.

Cum rezolvăm o inecuație de gradul I

Facem aceeași operație în ambele membre, până rămâne x singur. Pentru $2x+3<11$ scădem 3 din ambele membre și obținem $2x<8$ , apoi împărțim ambele membre la 2 și obținem $x<4$ .

Când se schimbă sensul inecuației

Dacă înmulțim sau împărțim ambele membre cu un număr negativ, sensul se inversează. Numerele își schimbă ordinea când le înmulțim cu un număr negativ, de exemplu $1<3$ devine $-2>-6$ după înmulțirea cu -2. Deci din $-2x<4$ obținem $x>-2$ .

Soluția ca interval

Soluția $x<4$ este intervalul $(-\infty,4)$ , iar $x\ge4$ este $[4,+\infty)$ . Paranteza rotundă înseamnă că numărul nu este inclus, cea pătrată că este inclus.

Reprezentarea pe axa numerelor

Pe axă evidențiem semidreapta soluțiilor. Capătul este deschis când numărul nu este soluție ( $<$ sau $>$ ) și închis când este soluție ( $\le$ sau $\ge$ ). Săgeata arată direcția spre care soluțiile continuă.

Inecuații adevărate pentru orice x

Dacă termenii cu x dispar și rămâne o inegalitate adevărată, de exemplu $3<5$ , soluția este mulțimea numerelor reale, adică $(-\infty,+\infty)$ .

Inecuații fără soluții

Dacă termenii cu x dispar și rămâne o inegalitate falsă, de exemplu $5<3$ , nu există soluții, iar mulțimea soluțiilor este $\varnothing$ . La egalitate contează semnul, deoarece $5<5$ este falsă, dar $5\le5$ este adevărată.

Exemple

Sensul se păstrează: scădem 3, apoi împărțim la 2 $2x+3<11 \Rightarrow x<4$
Doi termeni cu x: scădem 2x, adunăm 4, apoi împărțim la 3 $5x-4\ge2x+8 \Rightarrow x\ge4$
Sensul se inversează: împărțim la -2 $3-2x\le7 \Rightarrow x\ge-2$
Adevărată pentru orice x: rămâne 3 < 5 $2x+3<2x+5 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$
Fără soluții: rămâne 5 < 3 $2x+5<2x+3 \Rightarrow \varnothing$

3-2x\le7 \;\Leftrightarrow\; -2x\le4 \;\Leftrightarrow\; x\ge-2

Lecții conexe

Inecuații de gradul I în ℝ: rezolvare, sens, interval
O inecuație seamănă cu o ecuație, dar în loc de semnul egal are un semn de inegalitate, iar soluția ei nu este de obicei un singur număr, ci un interval întreg de numere. Reguli aproape identice cu cele de la ecuații, plus una singură, esențială, care schimbă tot: sensul inegalității.

Instrumente conexe

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o inecuație de gradul I?

Faci aceleași operații în ambele membre: aduni sau scazi termeni ca să ai x într-un singur membru și numerele în celălalt, apoi împarți la coeficientul lui x. Pentru 2x + 3 < 11 scazi 3 și obții 2x < 8, apoi împarți la 2 și obții x < 4.

Când se schimbă sensul unei inecuații?

Când înmulțești sau împarți ambele membre cu un număr negativ. De exemplu, din -2x < 4, împărțind la -2, obții x > -2. La adunare, scădere sau la înmulțirea și împărțirea cu un număr pozitiv, sensul rămâne același.

Cum scriu soluția unei inecuații ca interval?

Soluția x < 4 se scrie (-∞, 4), iar x ≥ 4 se scrie [4, +∞). Paranteza rotundă se folosește când numărul nu este inclus, adică la < și >. Paranteza pătrată se folosește când numărul este inclus, adică la ≤ și ≥. Infinitul are mereu paranteză rotundă.

Ce înseamnă că o inecuație nu are soluții?

Înseamnă că, după reducerea termenilor cu x, rămâne o inegalitate falsă între două numere, de exemplu 5 < 3. Nicio valoare a lui x nu o poate face adevărată, deci mulțimea soluțiilor este ∅. Exemplu: 2x + 5 < 2x + 3.

Ce înseamnă că orice număr real este soluție?

Înseamnă că, după reducerea termenilor cu x, rămâne o inegalitate adevărată între două numere, de exemplu 3 < 5. Ea este adevărată pentru orice x, deci soluția este mulțimea numerelor reale, adică intervalul (-∞, +∞). Exemplu: 2x + 3 < 2x + 5.