Calculator operații cu intervale
Introdu două intervale reale și alege operația. Vezi rezultatul scris corect, pașii de calcul și reprezentarea pe axa numerelor.
Completează capetele celor două intervale sau alege infinitul pentru un capăt. Rezultatul apare imediat.
Ce este un interval
Un interval este o mulțime de numere reale cuprinse între două capete. De exemplu conține toate numerele de la 1 la 5. Un interval poate merge și la infinit, cum este .
Capăt deschis și capăt închis
Croșeta sau spune că numărul din capăt aparține intervalului. Paranteza sau spune că nu aparține. Infinitul nu este număr, deci are mereu paranteză rotundă.
Reuniunea intervalelor
conține numerele din A sau din B. Dacă intervalele se suprapun sau se ating fără gol, rezultatul este un singur interval. Altfel rămân două intervale, scrise cu între ele.
Intersecția intervalelor
conține numerele care sunt și în A, și în B. Ia cel mai mare capăt stâng și cel mai mic capăt drept. Dacă intervalele nu au numere comune, rezultatul este .
Diferența intervalelor
conține numerele din A care nu sunt în B. Dacă B se află în interiorul lui A, rămân două intervale. Un capăt închis al lui B devine capăt deschis în rezultat, și invers.
Exemple
- Intersecție cu suprapunere
- Un singur punct comun, capătul 2 este închis în ambele
- Același capăt, dar deschis într-un interval, deci nu rămâne niciun număr
- Reuniune cu gol între intervale
- Reuniune cu capete care se ating, 2 aparține unuia dintre intervale
- Diferență cu B în interiorul lui A
Lecții conexe
Intervale de numere reale: definiție, notație, reprezentare pe axă
O proprietate a numerelor, o inegalitate, o scriere cu paranteze și un desen pe axă pot spune exact același lucru. Toate descriu aceeași mulțime de numere reale. Un interval este numele acestei mulțimi când numerele stau „între” niște capete, iar parantezele îți spun dacă acele capete intră sau nu.
Operații cu intervale: intersecția și reuniunea
Un interval este o mulțime de numere reale, așa că poți face cu el aceleași operații ca la orice mulțime: intersecție și reuniune. Diferența e că rezultatul se citește direct de pe axă, iar regula capătului contează de fiecare dată.
Inecuații de gradul I în ℝ: rezolvare, sens, interval
O inecuație seamănă cu o ecuație, dar în loc de semnul egal are un semn de inegalitate, iar soluția ei nu este de obicei un singur număr, ci un interval întreg de numere. Reguli aproape identice cu cele de la ecuații, plus una singură, esențială, care schimbă tot: sensul inegalității.
Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență
Ai descris mulțimi și le-ai comparat între ele. Aici combini două mulțimi ca să obții una nouă: aduni toate elementele lor, păstrezi doar elementele comune sau scoți dintr-o mulțime elementele celeilalte.
Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale
Unele rădăcini pătrate ies exact, ca rădăcina din 4, care este 2. Altele, ca rădăcina din 2, nu se pot scrie ca fracție de numere întregi. Numerele de acest fel se numesc iraționale. Împreună cu numerele raționale, ele formează mulțimea numerelor reale.
Întrebări frecvente
Ce înseamnă paranteză rotundă la un interval?
Paranteza rotundă arată că acel capăt nu aparține intervalului. În (2,5) numerele 2 și 5 nu fac parte din interval, dar orice număr dintre ele face. Capetele infinite au mereu paranteză rotundă.
Ce înseamnă paranteză pătrată?
Paranteza pătrată arată că acel capăt aparține intervalului. În [2,5] numerele 2 și 5 fac parte din interval, împreună cu toate numerele dintre ele.
Cum calculez intersecția a două intervale?
Alegi cel mai mare capăt stâng și cel mai mic capăt drept. Dacă primul este mai mic decât al doilea, ele formează intervalul intersecției. Un capăt este inclus doar dacă este închis în intervalul care îl stabilește, iar la capete egale doar dacă este închis în ambele.
Cum calculez reuniunea?
Dacă intervalele se suprapun sau se ating fără gol, reuniunea este un singur interval, de la cel mai mic capăt stâng la cel mai mare capăt drept. Dacă între ele rămâne un gol, reuniunea se scrie cu ∪ între cele două intervale.
Ce înseamnă mulțimea vidă?
Mulțimea vidă, notată ∅, este mulțimea fără niciun element. Apare, de exemplu, la intersecția a două intervale care nu au numere comune. Intervalele (2,2), [2,2) și (2,2] sunt tot mulțimea vidă, pe când [2,2] are un singur element.