Mulțimi definite printr-o proprietate. Intervale de numere reale

Numerele reale $x$ care îndeplinesc condiția $2 \le x \le 5$ formează o mulțime. O poți scrie printr-o proprietate a elementelor:

Aceeași mulțime are un nume mai scurt. Numerele reale dintre $2$ și $5$, cu tot cu capete, formează intervalul $[2, 5]$. Deci $A = [2, 5]$.

Proprietatea, inegalitatea, scrierea $[2, 5]$ și desenul de pe axă sunt patru forme ale aceleiași informații. Dacă știi să treci de la una la alta, știi lecția.

Până acum ai scris mulțimile enumerând elementele: $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Pentru numerele reale asta nu merge. Între $2$ și $5$ sunt infinit de multe numere reale, nu le poți scrie pe toate.

Atunci descrii mulțimea printr-o proprietate comună a elementelor ei. Scrii ce fel de numere iei și ce condiție îndeplinesc.

Se citește: „numerele reale $x$ pentru care $2 \le x \le 5$”. Bara verticală $\mid$ se citește „pentru care” sau „cu proprietatea că”. Partea din stânga barei spune de unde iei numerele ($x \in \mathbb{R}$), partea din dreapta spune ce condiție respectă.

• $\{\, x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \,\}$: numerele reale strict pozitive.
• $\{\, x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x < 4 \,\}$: numerele reale de la $-1$ (inclus) până la $4$ (exclus).
• $\{\, x \in \mathbb{R} \mid x \le 3 \,\}$: numerele reale cel mult egale cu $3$.

Un interval de numere reale este mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două capete, sau a tuturor celor aflate de o singură parte a unui capăt. Capetele pot fi sau nu incluse.

Ideea de „între” se vede cel mai bine pe axă: intervalul este o bucată neîntreruptă din axă. Nu are goluri și nu sare peste numere.

Diferența dintre tipurile de interval stă doar în capete: intră sau nu intră în mulțime. Paranteza îți spune care e cazul.

• Paranteză dreaptă, $[$ sau $]$: capătul este inclus. $x$ poate fi chiar egal cu el.
• Paranteză rotundă, $($ sau $)$: capătul este exclus. $x$ se apropie oricât de mult de el, dar nu îl atinge.

Pe axă, capătul se desenează cu paranteza lui matematică, chiar în punctul acela: paranteză dreaptă pentru capăt inclus, paranteză rotundă pentru capăt exclus. Pentru mulțimea numerelor reale cu $2 \le x < 5$: capătul $2$ este inclus, capătul $5$ este exclus.

Un interval mărginit are două capete, $a$ și $b$, cu $a < b$. Sunt patru feluri, după cum sunt incluse capetele.

• Interval închis $[a, b]$: amândouă capetele incluse. $[a, b] = \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \,\}$.
• Interval deschis $(a, b)$: amândouă capetele excluse. $(a, b) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \,\}$.
• Interval semiînchis $[a, b)$: capătul din stânga inclus, cel din dreapta exclus. $[a, b) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b \,\}$.
• Interval semiînchis $(a, b]$: capătul din stânga exclus, cel din dreapta inclus. $(a, b] = \{\, x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b \,\}$.

„Semiînchis” și „semideschis” înseamnă același lucru: un capăt inclus și unul exclus. Folosim „semiînchis”.

Un interval nemărginit are un singur capăt real. De cealaltă parte, numerele merg la nesfârșit. Folosim simbolul $\infty$ (infinit) ca să arătăm asta.

• $(a, \infty) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x > a \,\}$: toate numerele reale mai mari decât $a$.
• $[a, \infty) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \,\}$: la fel, dar cu $a$ inclus.
• $(-\infty, a) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x < a \,\}$: toate numerele reale mai mici decât $a$.
• $(-\infty, a] = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \le a \,\}$: la fel, dar cu $a$ inclus.

Mulțimea $\mathbb{R}$ însăși se poate scrie ca interval: $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$, nemărginit de amândouă părțile.

Aceeași mulțime, în trei forme. Citește tabelul pe rânduri.

Ca să treci de la o inegalitate la un interval, te uiți la fiecare capăt: ce număr este și ce semn îl leagă de $x$.

1. $\le$ sau $\ge$ la un capăt: capăt inclus, paranteză dreaptă.
2. $<$ sau $>$ la un capăt: capăt exclus, paranteză rotundă.
3. Fără capăt de o parte (numerele merg la nesfârșit): $-\infty$ sau $\infty$, cu paranteză rotundă.

În sens invers, un interval îți dă direct inegalitatea. $(-2, 5]$ înseamnă $-2 < x \le 5$: capătul $-2$ are paranteză rotundă, deci $<$; capătul $5$ are paranteză dreaptă, deci $\le$.

Ca să verifici dacă un număr aparține unui interval, îl pui în locul lui $x$ în inegalitatea intervalului și vezi dacă e adevărată. Ai grijă la capete: acolo contează paranteza.

• $3 \in [2, 5]$: $2 \le 3 \le 5$ este adevărat.
• $2 \in [2, 5]$: capătul $2$ are paranteză dreaptă, deci este inclus.
• $2 \notin (2, 5]$: acum capătul $2$ are paranteză rotundă, deci este exclus.
• $5 \in (2, 5]$: capătul $5$ are paranteză dreaptă, deci este inclus.
• $\pi \in (3, 4)$: $\pi \approx 3{,}14$, iar $3 < 3{,}14 < 4$.

Legătura cu clasele trecute: $x \in [2, 5]$ este același fel de scriere ca $3 \in \{1, 2, 3\}$. Spune că $x$ este unul dintre elementele mulțimii, doar că mulțimea are acum infinit de multe elemente.