Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

Iei două intervale, $A = [1, 5]$ și $B = [3, 7]$. Amândouă sunt mulțimi de numere reale, deci te poți întreba: ce numere sunt în amândouă? Ce numere sunt în cel puțin unul dintre ele?

• Intersecția, $A \cap B$: numerele comune, aflate și în $A$, și în $B$.
• Reuniunea, $A \cup B$: numerele aflate în cel puțin unul dintre ele.

Pentru $A = [1, 5]$ și $B = [3, 7]$, numerele comune sunt cele de la $3$ la $5$, iar numerele din cel puțin unul dintre intervale sunt cele de la $1$ la $7$. Deci:

Restul lecției explică exact de ce, cum citești rezultatul pe axă și ce se schimbă atunci când intervalele nu se suprapun sau nu se opresc niciodată.

În clasa a VI-a ai învățat operațiile cu mulțimi: intersecția $A \cap B$ înseamnă elementele comune, iar reuniunea $A \cup B$ înseamnă elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.

Un interval de numere reale este tot o mulțime, doar că are infinit de multe elemente și se scrie cu paranteze, nu prin enumerare. Asta înseamnă că intersecția și reuniunea funcționează la fel: te uiți ce numere sunt comune, respectiv ce numere sunt în cel puțin unul dintre intervale. Singura noutate este că acum răspunsul se citește pe axă, nu numărând elemente.

Intersecția $A \cap B$ este mulțimea numerelor reale care aparțin și lui $A$, și lui $B$ în același timp.

Regula capătului pentru intersecție: un capăt intră în $A \cap B$ doar dacă aparține la amândouă intervalele. Dacă un capăt este exclus fie și dintr-unul singur, este exclus și din intersecție.

Pentru $A = [1, 5]$ și $B = [3, 7]$: numerele comune sunt cele de la $3$ la $5$. Capătul $3$ este în $A$ (fiindcă $1 \le 3 \le 5$) și în $B$ (fiindcă $3 \le 3$), deci intră. Capătul $5$ este în $A$ (capătul lui) și în $B$ (fiindcă $3 \le 5 \le 7$), deci intră și el.

Pe axă, intersecția este porțiunea unde cele două intervale se suprapun.

Reuniunea $A \cup B$ este mulțimea numerelor reale care aparțin lui $A$, sau lui $B$, sau amândurora.

Regula capătului pentru reuniune: un capăt intră în $A \cup B$ dacă aparține la CEL PUȚIN unul dintre intervale. E suficient să fie inclus într-unul singur ca să fie inclus și în rezultat.

Pentru $A = [1, 5]$ și $B = [3, 7]$: reuniunea acoperă tot ce este în cel puțin unul, adică de la $1$ la $7$. Capătul $1$ este în $A$, deci intră. Capătul $7$ este în $B$, deci intră.

Pe axă, reuniunea este toată porțiunea acoperită de oricare dintre cele două rânduri, chiar dacă doar unul dintre ele ajunge acolo.

Când cele două intervale se ating exact într-un punct, regula capătului decide totul.

Pentru $A = [1, 3]$ și $B = [3, 5]$, amândouă includ $3$ (capăt cu paranteză dreaptă). Deci $3$ aparține la amândouă și intră în intersecție. Cum $3$ este singurul număr comun, intersecția are un singur element:

Reuniunea acoperă tot, fără gol, fiindcă cele două intervale se ating exact în $3$:

Dar dacă unul dintre intervale exclude capătul comun, situația se schimbă complet. Pentru $A = [1, 3)$ și $B = [3, 5]$: $3$ NU este în $A$ (paranteză rotundă), deși este în $B$. Cum $3$ nu aparține la amândouă, intersecția nu are niciun element:

Reuniunea, în schimb, rămâne fără gol. Numerele lui $A$ merg până aproape de $3$, iar $B$ preia exact din $3$, deci acoperă tot de la $1$ la $5$:

Două intervale sunt disjuncte dacă nu au niciun număr comun, adică între ele rămâne un gol.

Pentru $A = [1, 2]$ și $B = [4, 5]$, nu există niciun număr real care să fie și în $A$, și în $B$. Nu au nimic comun, iar intersecția lor este mulțimea vidă:

Reuniunea nu poate fi comprimată într-un singur interval, fiindcă între $2$ și $4$ rămân numere care nu aparțin nici lui $A$, nici lui $B$ (de exemplu $3$). Reuniunea se scrie ca ea însăși: DOUĂ intervale legate prin $\cup$.

Simbolul $\varnothing$ înseamnă mulțimea vidă, mulțimea care nu are niciun element. Când două intervale nu au numere comune, intersecția lor se scrie $\varnothing$, nu se lasă necompletată.

Regula capătului rămâne aceeași și când unul sau amândouă intervalele sunt nemărginite. Doar că, spre infinit, nu există niciun capăt de verificat.

Pentru $A = (-\infty, 4]$ și $B = [2, \infty)$: numerele comune sunt cele care satisfac și $x \le 4$, și $x \ge 2$, adică exact $2 \le x \le 4$.

Reuniunea acoperă tot: orice număr real este ori $\le 4$, ori $\ge 2$ (de multe ori amândouă). Nu rămâne niciun număr real neacoperit, deci reuniunea este chiar $\mathbb{R}$.