Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

Din două mulțimi $A$ și $B$ poți construi trei mulțimi noi. Reuniunea $A \cup B$ are toate elementele care sunt în $A$ sau în $B$. Intersecția $A \cap B$ are doar elementele care sunt și în $A$, și în $B$. Diferența $A \setminus B$ are elementele lui $A$ care nu sunt în $B$.

Pentru $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$ avem $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $A \cap B = \{3\}$ și $A \setminus B = \{1, 2\}$.

O diagramă cu două ovale care se suprapun arată dintr-o privire cele trei zone: ce este doar în $A$, ce este comun și ce este doar în $B$.

Scrierea $x \in A$ înseamnă „$x$ este element al mulțimii $A$”. Într-o mulțime fiecare element se scrie o singură dată, iar ordinea nu contează: $\{1, 2, 3\}$ și $\{3, 1, 2\}$ sunt aceeași mulțime.

În lecția trecută ai comparat două mulțimi între ele (incluziune, egalitate). Aici faci altceva: din două mulțimi construiești o mulțime nouă.

Reuniunea mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea tuturor elementelor care apar în $A$ sau în $B$ (sau în amândouă). Se notează $A \cup B$ și se citește „$A$ reunit cu $B$”.

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$. Scriu într-o singură mulțime toate elementele: din $A$ iau $1$, $2$, $3$; din $B$ mai adaug $4$ și $5$. Numărul $3$ este deja scris, deci nu îl mai pun încă o dată.

Dacă toate elementele lui $A$ sunt deja în $B$, atunci $A \cup B = B$. De exemplu, pentru $A = \{2, 4\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ avem $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} = B$.

Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea elementelor care sunt în același timp și în $A$, și în $B$. Se notează $A \cap B$ și se citește „$A$ intersectat cu $B$”.

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$. Verific fiecare element al lui $A$: este și în $B$? $1$ nu, $2$ nu, $3$ da. Singurul element comun este $3$.

Se poate întâmpla ca două mulțimi să nu aibă niciun element comun. Atunci intersecția lor este mulțimea vidă: $A \cap B = \varnothing$.

Două mulțimi sunt disjuncte dacă nu au niciun element comun, adică $A \cap B = \varnothing$.

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{6, 7\}$. Niciun element al lui $A$ nu se află în $B$, deci $A \cap B = \varnothing$. Cele două mulțimi sunt disjuncte.

Diferența $A \setminus B$ este mulțimea elementelor care sunt în $A$, dar nu sunt în $B$. Se citește „$A$ minus $B$” sau „$A$ fără $B$”.

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{3, 4, 5\}$. Pornesc de la elementele lui $A$ și le scot pe cele care sunt și în $B$. Scot $3$, rămân $1$ și $2$.

Ordinea contează. Diferența $B \setminus A$ are elementele lui $B$ care nu sunt în $A$. Pornesc de la $B = \{3, 4, 5\}$ și scot $3$, care este și în $A$. Rămân $4$ și $5$.

Elementul comun nu apare în nicio diferență. $3$ este și în $A$, și în $B$, deci este scos și din $A \setminus B$, și din $B \setminus A$.

Câteva situații se întâlnesc des și merită reținute. Le poți verifica de fiecare dată pe un exemplu, nu trebuie învățate pe de rost.

La reuniune și la intersecție ordinea celor două mulțimi nu contează: $A \cup B = B \cup A$ și $A \cap B = B \cap A$. La diferență, ordinea contează.

Dacă $A \subset B$ (toate elementele lui $A$ sunt în $B$), atunci $A \cap B = A$ și $A \cup B = B$. De exemplu, pentru $A = \{2, 4\}$ și $B = \{1, 2, 3, 4\}$ avem $A \cap B = \{2, 4\}$ și $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.

O diagramă cu două ovale care se suprapun are trei zone. Zona din stânga, doar a lui $A$. Zona din mijloc, comună celor două mulțimi. Zona din dreapta, doar a lui $B$. Ce este scris în afara ovalelor nu face parte din niciuna dintre mulțimi.