Cum știu dacă scriu ∈ sau ∉?

Cauți obiectul în mulțime. Dacă îl găsești printre elemente, scrii ∈. Dacă nu îl găsești, scrii ∉. Semnul stă mereu între un element (în stânga) și o mulțime (în dreapta).

Mulțimi: descriere, notații și reprezentări – Clasa a VI-a

Ce vei învăța

Spui ce este o mulțime și ce sunt elementele ei.
Descrii o mulțime prin enumerare, printr-o proprietate caracteristică sau printr-o diagramă.
Treci o mulțime de la o formă de scriere la alta.
Folosești corect semnele $\in$ și $\notin$ pentru relația dintre un element și o mulțime.
Recunoști o mulțime numerică și una nenumerică.

Ideea de bază

O mulțime este o grupare de obiecte bine precizate și diferite între ele. Obiectele din grupare se numesc elementele mulțimii.

„Bine precizate” înseamnă că despre orice obiect poți spune clar dacă face sau nu parte din mulțime. „Diferite între ele” înseamnă că un element se scrie o singură dată, chiar dacă l-ai numi de mai multe ori.

Mulțimile se notează cu litere mari: $A$ $B$ $C$ $M$ Elementele se scriu între acolade și se despart prin virgulă: $A = \{1, 2, 3\}$

Ce este o mulțime

Gândește-te la o mulțime ca la o cutie în care pui câteva obiecte. Nu contează ordinea în care le pui și nu contează dacă spui de două ori același obiect. Contează doar ce se află în cutie.

Elementele unei mulțimi pot fi numere, dar și litere, cuvinte, puncte, figuri. Important este să știi exact care obiecte sunt înăuntru.

„Zilele săptămânii” este o mulțime: sunt exact șapte obiecte precizate.
„Numerele naturale mai mici decât $5$ este o mulțime: $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
„Câteva numere mari” nu este o mulțime: nu se știe care sunt.

Un element se scrie o singură dată

În cuvântul „banana” apar literele b, a, n. Mulțimea literelor din care este format cuvântul este $\{b, a, n\}$ nu $\{b, a, n, a, n, a\}$

Descrierea prin enumerare

Cea mai directă descriere: scrii între acolade toate elementele, despărțite prin virgulă. Se mai numește descriere prin listare.

A = \{1, 2, 3, 4, 5\}

Citești „mulțimea $A$ este formată din elementele $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ Ordinea nu contează, deci $\{1, 2, 3\}$ și $\{3, 1, 2\}$ sunt aceeași mulțime.

Când elementele urmează un tipar clar și sunt multe, poți pune trei puncte, dar numai dacă tiparul este evident din primele elemente:

B = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}

Acoladele nu sunt paranteze rotunde

O mulțime se scrie cu acolade: $\{ \}$ Dacă scrii $A = (1, 2, 3)$ sau $A = 1, 2, 3$ nu ai scris o mulțime.

Descrierea prin proprietate caracteristică

Uneori elementele sunt prea multe ca să le scrii pe toate, sau vrei să spui scurt ce au ele în comun. Atunci descrii mulțimea printr-o proprietate pe care o au toate elementele ei și doar ele.

În scris, folosești o bară verticală care se citește „cu proprietatea că” sau „astfel încât”:

A = \{\,x \mid x \text{ natural},\ x < 5\,\}

Se citește „mulțimea numerelor naturale $x$ mai mici decât $5$ Scrisă prin enumerare, aceeași mulțime este $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$

Ca să treci de la proprietate la enumerare, cauți toate obiectele care respectă proprietatea. Ca să treci invers, cauți ce au în comun elementele din listă.

Aceeași mulțime, două forme de scriere
Prin proprietate	Prin enumerare
numerele naturale pare mai mici decât $10$	$\{0, 2, 4, 6, 8\}$
divizorii numărului $12$	$\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
literele cuvântului „carte”	$\{c, a, r, t, e\}$

Reprezentarea prin diagramă

A treia formă este desenul. Închizi elementele într-o linie curbă, de obicei un oval, și scrii lângă ea litera mulțimii. Această reprezentare se numește diagramă Venn-Euler.

A

2

4

6

8

5

4 \in A

5 \notin A

Mulțimea

A = \{2, 4, 6, 8\}

Ce este scris în oval aparține mulțimii; ce este scris în afară nu.

Diagrama nu adaugă informație nouă față de enumerare. Ajută să vezi dintr-o privire ce este înăuntru și ce este afară, iar mai târziu ajută la compararea a două mulțimi.

Element și mulțime: apartenența

Între un obiect și o mulțime există o singură întrebare: obiectul este sau nu element al mulțimii. Răspunsul se scrie cu două semne.

$x \in A$ se citește $x$ aparține mulțimii $A$ sau $x$ este element al lui $A$
$x \notin A$ se citește $x$ nu aparține mulțimii $A$

Pentru $A = \{2, 4, 6, 8\}$ avem $6 \in A$ pentru că $6$ este scris în mulțime, și $7 \notin A$ pentru că $7$ nu este scris în mulțime.

B

a

e

i

m

a \in B

m \notin B

B

este mulțimea vocalelor din cuvântul „aisberg”.

Semnele $\in$ și $\notin$ leagă un element de o mulțime

În stânga lui $\in$ stă un singur element. În dreapta stă o mulțime. Nu scrii $\{2\} \in A$ pentru a spune că $2$ este în $A$ scrii $2 \in A$

O mulțime poate să nu aibă niciun element. Se numește mulțimea vidă și se notează $\varnothing$ sau $\{\ \}$ De exemplu, mulțimea numerelor naturale mai mari decât $3$ și mai mici decât $4$ este vidă.

Mulțimi numerice și nenumerice

Împarți mulțimile în două grupe după felul elementelor lor.

O mulțime numerică are numai numere ca elemente: $\{0, 1, 2, 3\}$ mulțimea numerelor impare, divizorii lui $20$
O mulțime nenumerică are ca elemente alte obiecte: litere, cuvinte, puncte, elevi, figuri geometrice.

Mulțime	Elemente	Fel
$\{2, 4, 6, 8\}$	numere	numerică
numerele naturale mai mici decât $1000$	numere	numerică
$\{a, b, c\}$	litere	nenumerică
elevii dintr-o clasă	persoane	nenumerică
vârfurile unui triunghi	puncte	nenumerică

Regulile de scriere sunt aceleași pentru amândouă. O mulțime nenumerică se scrie tot cu acolade și se poate desena tot cu o diagramă. Semnele $\in$ și $\notin$ funcționează la fel: $a \in \{a, b, c\}$ și $d \notin \{a, b, c\}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: scrie prin enumerare

Scrie prin enumerare mulțimea numerelor naturale mai mari decât $2$ și mai mici sau egale cu $7$

Vezi rezolvarea

Caut numerele naturale strict mai mari decât $2$ încep de la $3$ Merg până la $7$ care este acceptat pentru că este „mai mic sau egal cu $7$

A = \{3, 4, 5, 6, 7\}

Atenție la capete: $2$ nu intră (nu este mai mare decât el însuși), $7$ intră.

Exemplul 2: de la proprietate la listă

Scrie prin enumerare mulțimea $B = \{\,x \mid x \text{ divizor al lui } 18\,\}$

Vezi rezolvarea

Caut toate numerele care împart exact $18$ Le iau pe rând: $1$ și $18$ $2$ și $9$ $3$ și $6$

B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}

Le-am scris în ordine crescătoare ca să nu îmi scape niciunul, dar ordinea nu schimbă mulțimea.

Exemplul 3: de la listă la proprietate

Găsește o proprietate caracteristică pentru $C = \{5, 10, 15, 20, 25\}$

Vezi rezolvarea

Ce au în comun toate elementele? Sunt toate multipli de $5$ Se opresc la $25$

O descriere prin proprietate: mulțimea multiplilor lui $5$ de la $5$ până la $25$ Sau: $C = \{\,5 \cdot k \mid k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\,\}$

Pot exista mai multe formulări corecte. Contează ca proprietatea să prindă exact aceste elemente, nici mai multe, nici mai puține.

Exemplul 4: reprezintă prin diagramă

Desenează diagrama mulțimii $D = \{1, 3, 5, 7\}$ și arată unde stă numărul $4$

Vezi rezolvarea

D

1

3

5

7

4

3 \in D

4 \notin D

Cele patru elemente se scriu în oval. Numărul $4$ nu este element al lui $D$ deci se scrie în afara ovalului.

Exemplul 5: folosește $\in$

Fie $E = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ Completează cu $\in$ acolo unde este adevărat: $0 \;\square\; E$ $8 \;\square\; E$

Vezi rezolvarea

$0$ este scris în mulțime, deci $0 \in E$ $8$ este scris în mulțime, deci $8 \in E$

Verificarea este mereu aceeași: caut elementul în lista dintre acolade. Dacă îl găsesc, folosesc $\in$

Exemplul 6: folosește $\notin$

Fie $E = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ Este adevărat că $5 \in E$ Dar $10 \in E$

Vezi rezolvarea

$5$ nu apare în listă, deci $5 \in E$ este fals. Scrierea corectă este $5 \notin E$

$10$ ar continua tiparul numerelor pare, dar mulțimea se oprește la $8$ Deci $10 \notin E$

Nu completa singur tiparul

O mulțime scrisă prin enumerare are exact elementele scrise. Nu adăuga elemente doar pentru că ar respecta o regulă.

Exemplul 7: mulțime numerică

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este numerică sau nenumerică? Scrie-o prin enumerare.

Vezi rezolvarea

Elementele sunt numere, deci mulțimea este numerică. Numerele naturale de o cifră sunt de la $0$ la $9$

F = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

Exemplul 8: mulțime nenumerică

Fie $G$ mulțimea literelor distincte din cuvântul „matematica”. Scrie $G$ prin enumerare și spune dacă este numerică. Este adevărat că $k \in G$

Vezi rezolvarea

Iau literele pe rând și o scriu o singură dată pe fiecare: m, a, t, e, i, c.

G = \{m, a, t, e, i, c\}

Elementele sunt litere, deci $G$ este o mulțime nenumerică. Litera k nu apare în cuvânt, deci $k \notin G$

Explicații și exemple video

Greșeli frecvente

Scriu mulțimea fără acolade: $A = 1, 2, 3$ sau cu paranteze rotunde: $A = (1, 2, 3)$
O mulțime se scrie între acolade: $A = \{1, 2, 3\}$ Fără acolade ai scris doar o listă de numere, nu o mulțime.
Scriu un element de mai multe ori: mulțimea literelor din „ana” este $\{a, n, a\}$
Fiecare element se scrie o singură dată: $\{a, n\}$ A repeta un element nu îl adaugă din nou.
Confund elementul cu mulțimea: pentru $A = \{5\}$ spun că $A$ și $5$ sunt același lucru.
$5$ este un număr. $\{5\}$ este o mulțime care are un singur element, pe $5$ Se scrie $5 \in \{5\}$ nu $5 = \{5\}$
Folosesc $\in$ între două mulțimi: $\{2\} \in \{1, 2, 3\}$ ca să spun că $2$ este în mulțime.
$\in$ leagă un element de o mulțime. Elementul $2$ aparține mulțimii, deci scrii $2 \in \{1, 2, 3\}$
La descrierea prin proprietate includ elemente care nu o respectă: pentru „numere naturale pare mai mici decât $10$ scriu și $10$ sau și $3$
Verifici fiecare element: trebuie să fie par și mai mic decât $10$ $10$ nu este mai mic decât $10$ $3$ nu este par. Mulțimea este $\{0, 2, 4, 6, 8\}$

Exerciții

Ușor

Scrie prin enumerare mulțimea numerelor naturale mai mici decât $6$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
Numerele naturale încep de la $0$ $6$ nu intră pentru că nu este mai mic decât el însuși.
Fie $A = \{3, 6, 9, 12\}$ Este adevărat sau fals: $9 \in A$ Dar $7 \in A$
Arată răspunsul
Răspuns: $9 \in A$ adevărat; $7 \in A$ fals, deci $7 \notin A$
$9$ apare în listă, $7$ nu.
Scrie mulțimea literelor distincte din cuvântul „elev”.
Arată răspunsul
Răspuns: $\{e, l, v\}$
Litera e apare de două ori, dar se scrie o singură dată.
Spune dacă mulțimea $\{10, 20, 30\}$ este numerică sau nenumerică.
Arată răspunsul
Răspuns: Numerică.
Toate elementele sunt numere.
Fie $B = \{2, 4, 6, 8\}$ Desenează sau descrie diagrama și spune unde stă numărul $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ $4$ $6$ $8$ în interiorul ovalului $B$ $3$ în afară, pentru că $3 \notin B$

Mediu

Scrie prin enumerare mulțimea $C = \{\,x \mid x \text{ natural},\ 3 \le x < 8\,\}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{3, 4, 5, 6, 7\}$
$3$ intră (mai mare sau egal cu $3$ $8$ nu intră (strict mai mic decât $8$
Scrie prin enumerare mulțimea divizorilor numărului $16$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{1, 2, 4, 8, 16\}$
Perechile de divizori: $1$ și $16$ $2$ și $8$ iar $4$ cu el însuși.
Găsește o proprietate caracteristică pentru mulțimea $\{0, 3, 6, 9, 12, 15\}$
Arată răspunsul
Răspuns: Multiplii lui $3$ de la $0$ până la $15$
Toate elementele se împart exact la $3$ și nu depășesc $15$
Fie $D = \{a, e, i, o, u\}$ Completează cu $\in$ sau $\notin$ $o \;\square\; D$ $b \;\square\; D$ $u \;\square\; D$
Arată răspunsul
Răspuns: $o \in D$ $b \notin D$ $u \in D$
$D$ este mulțimea vocalelor; $b$ este consoană.
Dă un exemplu de mulțime numerică cu $4$ elemente și un exemplu de mulțime nenumerică cu $3$ elemente.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu $\{1, 2, 3, 4\}$ (numerică) și $\{roșu, galben, albastru\}$ (nenumerică).
Orice răspuns este bun dacă prima are numai numere, a doua are alte obiecte, iar elementele sunt distincte.

Provocare

Fie $E = \{\,x \mid x \text{ natural},\ x < 20,\ x \text{ multiplu de } 4\,\}$ Scrie $E$ prin enumerare și spune câte elemente are.
Arată răspunsul
Răspuns: $E = \{0, 4, 8, 12, 16\}$ are $5$ elemente.
$0$ este multiplu al oricărui număr; $20$ nu intră pentru că nu este mai mic decât $20$
Se dau mulțimile $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ și $B$ = mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât $10$ Scrie ce numere sunt și în $A$ și în $B$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ $4$ și $6$
$B = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ Dintre acestea, în $A$ se află $2$ $4$ și $6$ $0$ și $8$ nu sunt în $A$
Explică de ce mulțimea numerelor naturale cuprinse strict între $5$ și $6$ este vidă. Cum se notează?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu există niciun număr natural între $5$ și $6$ deci mulțimea nu are elemente. Se notează $\varnothing$
După $5$ urmează direct $6$ între ele nu se află alt număr natural.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care scriere reprezintă o mulțime?
1. $A = 2, 4, 6$
2. $A = (2, 4, 6)$
3. $A = \{2, 4, 6\}$
4. $A = 2; 4; 6$
Arată răspunsul
Răspuns: $A = \{2, 4, 6\}$
O mulțime se scrie între acolade, cu elementele despărțite prin virgulă.
2. Scrie prin enumerare mulțimea numerelor naturale mai mici sau egale cu $4$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$
Pornești de la $0$ și incluzi și pe $4$
3. Fie $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ Care afirmație este adevărată?
1. $4 \in A$
2. $7 \notin A$
3. $5 \in A$
4. $9 \notin A$
Arată răspunsul
Răspuns: $5 \in A$
$5$ apare în listă, deci $5 \in A$ Celelalte afirmații sunt false.
4. Fie $B = \{a, b, c, d\}$ Completează cu $\in$ sau $\notin$ $c \;\square\; B$ și $e \;\square\; B$
Arată răspunsul
Răspuns: $c \in B$ și $e \notin B$
$c$ este scris în mulțime, $e$ nu.
5. Care mulțime este nenumerică?
1. divizorii lui $10$
2. $\{0, 5, 10, 15\}$
3. numerele naturale de o cifră
4. zilele săptămânii
Arată răspunsul
Răspuns: zilele săptămânii
Elementele ei sunt zile, nu numere.
6. Mulțimea literelor distincte din cuvântul „carte” este...
Arată răspunsul
Răspuns: $\{c, a, r, t, e\}$
Toate literele sunt diferite, deci se scriu toate, o singură dată fiecare.
7. Ce se scrie în afara ovalului într-o diagramă a mulțimii $A$
1. elementele lui $A$
2. obiectele care nu aparțin lui $A$
3. litera $A$
4. nimic, diagrama nu are exterior
Arată răspunsul
Răspuns: obiectele care nu aparțin lui $A$
În oval stau elementele mulțimii; în afară stau obiectele care nu îi aparțin.

Întrebări frecvente

De ce folosim acolade la mulțimi?

Acoladele arată că obiectele dintre ele sunt privite împreună, ca o singură mulțime. Este o convenție de scriere: parantezele rotunde și punctul și virgula se folosesc pentru altceva în matematică.

Care este diferența dintre un element și o mulțime?

Elementul este un singur obiect, de exemplu numărul $3$ Mulțimea este gruparea, de exemplu $\{1, 2, 3\}$ Chiar și o mulțime cu un singur element, $\{3\}$ este altceva decât elementul $3$ se scrie $3 \in \{3\}$

Cum știu dacă scriu

\in

sau

\notin

Cauți obiectul în mulțime. Dacă îl găsești printre elemente, scrii $\in$ Dacă nu îl găsești, scrii $\notin$ Semnul stă mereu între un element (în stânga) și o mulțime (în dreapta).

O mulțime poate avea cuvinte sau litere, nu doar numere?

Da. Elementele pot fi litere, cuvinte, puncte, persoane, figuri. O mulțime cu numere se numește numerică, una cu alte obiecte se numește nenumerică. Regulile de scriere sunt aceleași.

Contează ordinea în care scriu elementele?

Nu. $\{1, 2, 3\}$ și $\{3, 2, 1\}$ sunt aceeași mulțime. Le scriem des în ordine crescătoare doar ca să nu ne scape vreunul.

Ce este mulțimea vidă?

Este mulțimea fără niciun element, notată $\varnothing$ sau $\{\ \}$ Apare când nicio proprietate nu este îndeplinită, de exemplu mulțimea numerelor naturale mai mari decât $5$ și mai mici decât $6$

Descrierea, notațiile și reprezentările unei mulțimi

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o mulțime

Descrierea prin enumerare

Descrierea prin proprietate caracteristică

Reprezentarea prin diagramă

Element și mulțime: apartenența

Mulțimi numerice și nenumerice