Divizori și multipli

Când împarți 12 la 3, obții exact 4, fără rest. Spunem că 3 divide 12, sau că 3 este divizor al lui 12. Spunem și că 12 este multiplu al lui 3.

Nu orice împărțire iese exact. $12 : 5$ dă rest, deci 5 nu divide 12. Divizorii și multiplii sunt legați direct de împărțirea cu rest 0, pe care ai învățat-o deja.

Un număr natural $a$ divide un număr natural $b$ dacă împărțirea lui $b$ la $a$ are rest 0. Altfel spus, $b$ se împarte exact la $a$.

În schimb, $12 : 5$ nu iese exact, așa că 5 nu divide 12.

Un divizor al unui număr $b$ este orice număr natural nenul care îl împarte exact pe $b$.

Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12. Verifici fiecare împărțind 12 la el:

Un multiplu al unui număr $a$ este orice număr de forma $a \cdot k$, unde $k$ este un număr natural ($k = 0, 1, 2, 3, \dots$).

Multiplii lui 4 se obțin înmulțind 4 pe rând cu 0, 1, 2, 3, ...:

Deci multiplii lui 4 sunt $0, 4, 8, 12, 16, 20, \dots$. Șirul nu se termină niciodată: un număr are infinit de mulți multipli, fiindcă poți alege $k$ oricât de mare.

Când un număr îl divide pe altul, relația are două nume: primul este divizor, al doilea este multiplu.

Regula scurtă: divizorul este numărul care se împarte exact în celălalt, iar multiplul este numărul care se obține înmulțind divizorul cu un număr natural. Aici, $12 = 3 \cdot 4$: 3 este divizor al lui 12, iar 12 este multiplu al lui 3.

Scriem $a \mid b$ și citim „$a$ divide $b$” pentru a spune scurt că $a$ este divizor al lui $b$ (adică $b$ este multiplu al lui $a$).

• $4 \mid 20$, pentru că $20 : 4 = 5$, rest 0.
• $6 \nmid 20$, pentru că $20 : 6$ nu iese exact (citim „6 nu divide 20”).

Cea mai sigură metodă este să cauți perechi de numere care înmulțite dau numărul dorit. Pentru 18, încerci pe rând de la 1 în sus:

Te oprești când numărul din stânga ajunge la cel din dreapta, fiindcă de acolo perechile s-ar repeta ($6 \cdot 3$ e aceeași pereche cu $3 \cdot 6$). Fiecare pereche îți dă doi divizori deodată.

Divizorii lui 18, scriși în ordine, sunt: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Ca să obții multiplii lui $a$, înmulțești $a$ pe rând cu $0, 1, 2, 3, \dots$. Nu cauți, ci construiești șirul direct.

Multiplii lui 6 sunt $0, 6, 12, 18, \dots$, un șir care nu se oprește niciodată. Spre deosebire de divizori (o listă finită), multiplii unui număr sunt mereu infiniți de mulți.

Divizorii comuni ai două numere sunt numerele care apar în listele de divizori ale amândurora.

Divizorii lui 12 sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$, iar divizorii lui 18 sunt $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Divizorii comuni ai lui 12 și 18 sunt $1, 2, 3, 6$: numerele care apar în ambele liste.

La fel, un multiplu comun a două numere apare în listele de multipli ale amândurora. Multiplii lui 4 sunt $0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots$, iar multiplii lui 6 sunt $0, 6, 12, 18, 24, \dots$. Printre multiplii de mai sus, multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt $0, 12, 24$, iar șirul continuă.

0 poate fi multiplu, dar nu poate fi divizor. Aici se fac cele mai multe greșeli.

5 divide 0, pentru că $0 : 5 = 0$, rest 0. Scriem $5 \mid 0$. De fapt, orice număr nenul divide 0, fiindcă $0 = a \cdot 0$ pentru orice $a$.

În schimb, 0 nu divide 5. Scriem $0 \nmid 5$. Motivul e simplu: împărțirea la 0 nu are sens, deci 0 nu poate fi divizorul niciunui număr.

• Orice număr natural nenul se divide pe sine: $a \mid a$.
• 1 divide orice număr natural: $1 \mid a$, pentru orice $a$.
• Orice număr natural este multiplu al lui 1.
• 0 este multiplu al oricărui număr natural nenul, dar 0 nu este divizor al niciunui număr.