Lecția 4 din 9 · Numere naturale

Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Împărțirea desparte un număr în grupe egale. Uneori iese fix, alteori rămâne un rest. Aici vezi cum împarți, ce înseamnă restul, cum scrii teorema împărțirii cu rest și cum verifici rezultatul.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

  • Recunoști deîmpărțitul, împărțitorul, câtul și restul.
  • Faci împărțirea exactă și o verifici prin înmulțire.
  • Faci împărțirea cu rest și scrii teorema împărțirii cu rest.
  • Verifici o împărțire cu proba D=I^⋅C+RD = Î \cdot C + R (deîmpărțit, împărțitor, cât, rest).
  • Afli deîmpărțitul sau împărțitorul necunoscut dintr-o împărțire cu rest.

Recomandat înainte: Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Ideea de bază

Când împarți, iei un număr și îl desparți în grupe egale. Numărul pe care îl împarți se numește deîmpărțit, numărul de grupe (sau mărimea unei grupe) este împărțitorul, iar câte intră într-o grupă îți spune câtul.

Nu orice împărțire iese fix. Dacă după ce ai format grupele egale mai rămân câteva unități care nu ajung pentru încă o grupă, acelea sunt restul. Restul este mereu mai mic decât împărțitorul.

Împărțirea exactă

La împărțire, numărul pe care îl împarți se numește deîmpărțit, numărul la care împarți se numește împărțitor, iar rezultatul se numește cât. Scriem a:b=ca : b = c.

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii. Dacă a:b=ca : b = c, atunci c⋅b=ac \cdot b = a. De aici verifici orice împărțire exactă: înmulțești câtul cu împărțitorul și trebuie să obții deîmpărțitul.

72:8=972 : 8 = 9Caut numărul care înmulțit cu 8 dă 72.
9⋅8=729 \cdot 8 = 72Probă.

Împărțirea exactă este împărțirea care iese fix, fără rest.

  • 0:a=00 : a = 0. Dacă nu ai nimic de împărțit, fiecare grupă primește 0.
  • a:a=1a : a = 1, dacă aa nu este 0.
  • a:1=aa : 1 = a. Dacă faci o singură grupă, în ea intră tot.

Nu se împarte la 0

Împărțirea la 0 nu are sens. Nu poți face 0 grupe, iar niciun număr înmulțit cu 0 nu dă un deîmpărțit diferit de 0. Împărțitorul este mereu diferit de 0.

Împărțirea cu 10, 100, 1 000

Ca să împarți un număr care se termină în zerouri la 10, 100 sau 1 000, tai de la coada lui atâtea zerouri câte are 10, 100 sau 1 000.

4 800:100=484\,800 : 100 = 48
35 000:1 000=3535\,000 : 1\,000 = 35

Dacă și împărțitorul se termină în zerouri, tai la fel de multe zerouri de la amândouă numerele, apoi împarți ce a rămas.

5 600:705\,600 : 70Tai un zero de la fiecare.
=560:7= 560 : 7
=80= 80

Împărțirea cu rest

De multe ori împărțirea nu iese fix. Formezi grupele egale cât poți, iar ce rămâne pe dinafară este restul.

La 29:429 : 4 poți forma 7 grupe de câte 4, adică 28. Mai rămâne 1, care nu ajunge pentru încă o grupă. Deci câtul este 7 și restul este 1.

Restul este mereu mai mic decât împărțitorul

Dacă restul ar fi egal cu împărțitorul sau mai mare, ai mai putea forma cel puțin o grupă. La împărțirea la 4, restul poate fi doar 0, 1, 2 sau 3.

Ca să găsești câtul, cauți cel mai mare număr care înmulțit cu împărțitorul nu trece de deîmpărțit. Restul este ce mai lipsește până la deîmpărțit.

45:745 : 77⋅6=427 \cdot 6 = 42, iar 7⋅7=497 \cdot 7 = 49 trece de 45.
45=7⋅6+345 = 7 \cdot 6 + 3Cât 6, rest 3. Restul 3 este mai mic decât 7.

Teorema împărțirii cu rest

Orice împărțire cu rest se poate scrie ca o înmulțire plus restul. Aceasta este teorema împărțirii cu rest.

În cuvinte: deîmpărțitul este egal cu împărțitorul înmulțit cu câtul, la care adaugi restul, iar restul este mai mic decât împărțitorul.

D=I^⋅C+R,0≤R<I^D = Î \cdot C + R, \qquad 0 \le R < Î

Aici DD este deîmpărțitul, I^Î împărțitorul, CC câtul și RR restul. Pentru numere naturale date, câtul și restul sunt unice: nu există decât o singură pereche cât și rest care merge.

32:632 : 66⋅5=306 \cdot 5 = 30, rest 2.
32=6⋅5+232 = 6 \cdot 5 + 2Împărțitor 6, cât 5, rest 2. 2 este mai mic decât 6.

Când restul este 0, împărțirea este exactă și rămâne D=I^⋅CD = Î \cdot C.

Proba împărțirii

Proba unei împărțiri cu rest o faci chiar cu teorema: înmulțești împărțitorul cu câtul și adaugi restul. Trebuie să obții deîmpărțitul. Verifici și că restul este mai mic decât împărțitorul.

100:7=14 rest 2100 : 7 = 14 \text{ rest } 2
7⋅14+2=98+2=1007 \cdot 14 + 2 = 98 + 2 = 100Probă: deîmpărțitul iese, restul 2 este mai mic decât 7.

O verificare rapidă în minte este estimarea. Rotunjești numerele și vezi cam cât ar trebui să dea câtul. La 612:3612 : 3, câtul este cam 600:3=200600 : 3 = 200, deci un cât de 204 este de așteptat, iar unul de 24 arată o greșeală.

Ordinea numerelor contează

Împărțirea nu este comutativă. 12:3=412 : 3 = 4, dar 3:123 : 12 nu dă același lucru. Nu poți schimba deîmpărțitul cu împărțitorul.

Împărțirea nu este nici asociativă. Dacă ai mai multe împărțiri una după alta, le faci în ordine, de la stânga la dreapta.

(24:4):2=6:2=3(24 : 4) : 2 = 6 : 2 = 3
24:(4:2)=24:2=1224 : (4 : 2) = 24 : 2 = 12Alt rezultat. Parantezele schimbă totul.

Împărțirea unei sume

Dacă fiecare termen se împarte exact, poți împărți pe rând: (a+b):c=a:c+b:c(a + b) : c = a : c + b : c. De exemplu (60+24):6=10+4=14(60 + 24) : 6 = 10 + 4 = 14.

Aflarea unui număr necunoscut

Din teorema împărțirii cu rest afli orice număr îți lipsește, dacă le cunoști pe celelalte.

  • Deîmpărțitul necunoscut: D=I^⋅C+RD = Î \cdot C + R. Înmulțești împărțitorul cu câtul și adaugi restul.
  • Împărțitorul sau câtul necunoscut: scazi restul din deîmpărțit, apoi împarți: (D−R):C(D - R) : C sau (D−R):I^(D - R) : Î.

Un număr împărțit la 9 dă câtul 12 și restul 5. Ce număr este?

D=9⋅12+5D = 9 \cdot 12 + 5
D=108+5=113D = 108 + 5 = 113Probă: 113:9=12113 : 9 = 12 rest 5.

La împărțirea lui 95 la un număr obții câtul 7 și restul 4. Care este împărțitorul?

I^=(95−4):7Î = (95 - 4) : 7
I^=91:7=13Î = 91 : 7 = 13Restul 4 este mai mic decât 13, deci răspunsul e bun.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: împărțire exactă cu probă

Calculează 288:6288 : 6 și verifică.

Vezi rezolvarea
288:6=48288 : 6 = 486⋅40=2406 \cdot 40 = 240, mai rămâne 48; 6⋅8=486 \cdot 8 = 48.
48⋅6=28848 \cdot 6 = 288Probă.

Exemplul 2: numere care se termină în zerouri

Calculează 4 200:1004\,200 : 100 și 5 600:805\,600 : 80.

Vezi rezolvarea
4 200:100=424\,200 : 100 = 42Tai două zerouri de la 4 2004\,200.
5 600:805\,600 : 80Tai un zero de la fiecare.
=560:8=70= 560 : 8 = 70

Exemplul 3: împărțire cu rest, identifică termenii

Împarte 47 la 5. Scrie deîmpărțitul, împărțitorul, câtul și restul.

Vezi rezolvarea
47:547 : 55⋅9=455 \cdot 9 = 45, iar 5⋅10=505 \cdot 10 = 50 trece de 47.
47=5⋅9+247 = 5 \cdot 9 + 2Cât 9, rest 47−45=247 - 45 = 2.

Deîmpărțit 47, împărțitor 5, cât 9, rest 2. Restul 2 este mai mic decât 5.

Exemplul 4: scrie teorema împărțirii cu rest

Scrie relația D=I^⋅C+RD = Î \cdot C + R pentru 100:7100 : 7.

Vezi rezolvarea
100:7100 : 77⋅14=987 \cdot 14 = 98, rest 100−98=2100 - 98 = 2.
100=7⋅14+2100 = 7 \cdot 14 + 2Restul 2 este mai mic decât împărțitorul 7.

Exemplul 5: proba unei împărțiri cu rest

Un elev a scris 253:8=31253 : 8 = 31 rest 5. Este corect?

Vezi rezolvarea
8⋅31+58 \cdot 31 + 5Probă.
=248+5=253= 248 + 5 = 253Deîmpărțitul iese.
5<85 < 8Și restul e în regulă. Răspunsul este corect.

Exemplul 6: cel mai mare rest posibil

Care este cel mai mare rest pe care îl poți obține împărțind un număr la 12?

Vezi rezolvarea

Restul este mereu mai mic decât împărțitorul. La împărțirea la 12, restul poate fi 0,1,2,…,110, 1, 2, \dots, 11.

cel mai mare rest=11\text{cel mai mare rest} = 11

Exemplul 7: află deîmpărțitul

Împărțind un număr la 6 obții câtul 15 și restul 4. Ce număr ai împărțit?

Vezi rezolvarea
D=6⋅15+4D = 6 \cdot 15 + 4
D=90+4=94D = 90 + 4 = 94Probă: 94:6=1594 : 6 = 15 rest 4.

Exemplul 8: află împărțitorul

La împărțirea lui 500 la un număr obții câtul 33 și restul 5. Află împărțitorul.

Vezi rezolvarea
I^=(500−5):33Î = (500 - 5) : 33
I^=495:33=15Î = 495 : 33 = 15
5<155 < 15Restul este mai mic decât împărțitorul, deci răspunsul este bun.

Greșeli frecvente

  • 27:4=527 : 4 = 5 rest 7.

    Restul 7 este mai mare decât împărțitorul 4, deci mai încape o grupă. Corect: 27:4=627 : 4 = 6 rest 3.

  • 5:0=05 : 0 = 0, la fel ca 0:50 : 5.

    0:5=00 : 5 = 0, dar 5:05 : 0 nu se poate. Împărțirea la 0 nu are sens.

  • Proba la 50:6=850 : 6 = 8 rest 2 o fac calculând iar 50:650 : 6.

    Faci proba cu înmulțire: 6⋅8+2=506 \cdot 8 + 2 = 50. Proba cu aceeași operație repetă și greșeala.

  • Deîmpărțitul dintr-o împărțire cu cât 15 și rest 4, la împărțitorul 6, este 6⋅15=906 \cdot 15 = 90.

    Ai uitat restul. D=6⋅15+4=94D = 6 \cdot 15 + 4 = 94.

  • 24:4:2=24:(4:2)=1224 : 4 : 2 = 24 : (4 : 2) = 12.

    Împărțirile se fac în ordine, de la stânga la dreapta: (24:4):2=6:2=3(24 : 4) : 2 = 6 : 2 = 3.

Exerciții

Ușor

  1. Calculează 96:896 : 8.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 12

  2. Calculează 4 500:1004\,500 : 100.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 45

  3. Împarte 30 la 4. Spune câtul și restul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Cât 7, rest 2.

    4⋅7=284 \cdot 7 = 28, iar 30−28=230 - 28 = 2.

  4. Calculează 0:150 : 15.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 0

  5. Calculează 156:6156 : 6 și fă proba.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 26

    Probă: 26⋅6=15626 \cdot 6 = 156.

Mediu

  1. Scrie relația D=I^⋅C+RD = Î \cdot C + R pentru 85:985 : 9.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 85=9⋅9+485 = 9 \cdot 9 + 4

    9⋅9=819 \cdot 9 = 81, rest 4.

  2. Fă proba pentru 200:7=28200 : 7 = 28 rest 4.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 7⋅28+4=196+4=2007 \cdot 28 + 4 = 196 + 4 = 200. Corect.

  3. Care este cel mai mare rest pe care îl poți obține la împărțirea la 6?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 5

  4. Împărțind un număr la 8 obții câtul 15 și restul 3. Ce număr este?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 123

    8⋅15+3=120+38 \cdot 15 + 3 = 120 + 3.

  5. Calculează 6 400:806\,400 : 80.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 80

    Tai un zero de la fiecare: 640:8640 : 8.

Provocare

  1. La împărțirea lui 437 la un număr obții câtul 27 și restul 5. Află împărțitorul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 16

    d=(437−5):27=432:27=16d = (437 - 5) : 27 = 432 : 27 = 16. Restul 55 este mai mic decât 1616.

  2. Găsește toate numerele naturale care împărțite la 4 dau câtul 6.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 24, 25, 26, 27

    D=4⋅6+RD = 4 \cdot 6 + R, cu RR din 0, 1, 2, 3.

  3. Un număr împărțit la 7 dă câtul egal cu restul. Câtul este 5. Află numărul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 40

    D=7⋅5+5=40D = 7 \cdot 5 + 5 = 40. Restul 5 este mai mic decât 7.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Cât face 7:07 : 0?

    1. 0
    2. 7
    3. 1
    4. Nu se poate.
    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu se poate.

    Împărțirea la 0 nu are sens.

  2. 2. La 59:659 : 6, restul este:

    1. 5
    2. 4
    3. 6
    4. 3
    Arată răspunsul

    Răspuns: 5

    6⋅9=546 \cdot 9 = 54, iar 59−54=559 - 54 = 5.

  3. 3. Fă proba pentru 40:6=640 : 6 = 6 rest 4.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 6⋅6+4=406 \cdot 6 + 4 = 40

    Împărțitor · cât + rest = deîmpărțit.

  4. 4. Care afirmație este adevărată?

    1. Împărțirea este comutativă.
    2. Restul poate fi egal cu împărțitorul.
    3. Restul este mereu mai mic decât împărțitorul.
    4. Se poate împărți la 0.
    Arată răspunsul

    Răspuns: Restul este mereu mai mic decât împărțitorul.

    Dacă restul ar ajunge la împărțitor, ai mai putea forma o grupă.

  5. 5. Care este cel mai mare rest la împărțirea la 10?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 9

    Restul poate fi 0,1,…,90, 1, \dots, 9.

  6. 6. Un număr împărțit la 8 dă câtul 7 și restul 2. Numărul este:

    1. 58
    2. 56
    3. 72
    4. 16
    Arată răspunsul

    Răspuns: 58

    8⋅7+2=56+2=588 \cdot 7 + 2 = 56 + 2 = 58.

  7. 7. Calculează 3 600:1003\,600 : 100.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 36

    Tai două zerouri.

Întrebări frecvente

De ce nu se poate împărți la 0?

Pentru că nu poți forma 0 grupe și niciun număr înmulțit cu 0 nu îți dă înapoi deîmpărțitul. La 5:05 : 0 nu există niciun cât care să meargă, deci împărțirea la 0 nu are sens.

Cât de mare poate fi restul?

Restul este mereu mai mic decât împărțitorul. La împărțirea la 6, restul poate fi 0, 1, 2, 3, 4 sau 5. Dacă îți iese un rest mai mare, ai luat un cât prea mic.

Cum verific o împărțire cu rest?

Înmulțești împărțitorul cu câtul și adaugi restul. Trebuie să obții deîmpărțitul. La 100:7=14100 : 7 = 14 rest 2 verifici: 7⋅14+2=1007 \cdot 14 + 2 = 100.

Ce înseamnă că împărțirea nu este comutativă?

Că nu poți schimba ordinea numerelor. 12:3=412 : 3 = 4, dar 3:123 : 12 nu dă același rezultat. Deîmpărțitul și împărțitorul au roluri diferite.

Cum aflu deîmpărțitul dacă știu câtul și restul?

Folosești teorema împărțirii cu rest: deîmpărțit = împărțitor · cât + rest. Dacă un număr împărțit la 9 dă câtul 12 și restul 5, atunci numărul este 9⋅12+5=1139 \cdot 12 + 5 = 113.

Ai terminat lecția

Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.