Lecția 3 din 9 · Numere naturale

Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Înmulțirea e o adunare repetată scrisă pe scurt. Aici vezi cum înmulțești numere mari, cum grupezi factorii ca să-ți fie ușor, cum scoți factorul comun și cum verifici un produs prin estimare.

~ 24 min de citit

Ce vei învăța

  • Recunoști factorii și produsul și înmulțești numere naturale, inclusiv cu 10, 100 și 1 000.
  • Folosești comutativitatea și asociativitatea ca să grupezi factorii convenabil.
  • Aplici distributivitatea ca să calculezi mai ușor în minte.
  • Scoți factorul comun dintr-o sumă sau o diferență de produse.
  • Estimezi un produs înainte de a-l calcula.

Recomandat înainte: Adunarea și scăderea numerelor naturale

Ideea de bază

Înmulțirea pune la un loc mai multe grupe egale. 4⋅64 \cdot 6 înseamnă 4 grupe de câte 6, adică 6+6+6+6=246 + 6 + 6 + 6 = 24. Numerele înmulțite se numesc factori, iar rezultatul se numește produs.

La înmulțire poți schimba ordinea factorilor și îi poți grupa cum vrei. Poți desface un factor incomod într-o sumă sau o diferență, sau poți aduna la loc două produse care au un factor comun. Toate astea scurtează calculul.

Înmulțirea: factori și produs

Numerele pe care le înmulțești se numesc factori, iar rezultatul se numește produs. Scriem a⋅b=pa \cdot b = p.

Înmulțirea e o adunare repetată. 5⋅35 \cdot 3 înseamnă 5 grupe de câte 3, adică 3+3+3+3+3=153 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Tot atât dă și 3⋅53 \cdot 5, adică 3 grupe de câte 5.

Ca să înmulțești un număr cu o singură cifră, înmulțești ordin cu ordin, de la unități. Când produsul de pe un ordin trece de 9, scrii cifra unităților lui și treci restul la ordinul următor.

213⋅4213 \cdot 4Unități: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12, scrii 2, ții 1.
=852= 852Zeci: 1⋅4+1=51 \cdot 4 + 1 = 5. Sute: 2⋅4=82 \cdot 4 = 8.

Ca să înmulțești cu 10, 100 sau 1 000, adaugi la dreapta numărului atâtea zerouri câte are 10, 100 sau 1 000.

47⋅100=4 70047 \cdot 100 = 4\,700
320⋅1 000=320 000320 \cdot 1\,000 = 320\,000

Factori care se termină în zerouri

La 25⋅4025 \cdot 40 înmulțești întâi părțile fără zerouri, 25⋅4=10025 \cdot 4 = 100, apoi adaugi zeroul de la 40: 25⋅40=1 00025 \cdot 40 = 1\,000.

Proprietățile înmulțirii

Înmulțirea are patru proprietăți pe care le folosești des:

  • Comutativitate: a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a. Poți schimba ordinea factorilor.
  • Asociativitate: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c). Poți grupa factorii cum vrei.
  • Element neutru: a⋅1=aa \cdot 1 = a. Înmulțirea cu 1 nu schimbă numărul.
  • Înmulțirea cu 0: a⋅0=0a \cdot 0 = 0. Un produs este 0 doar dacă măcar un factor este 0.

La ce folosesc primele două: schimbi ordinea și grupezi factorii ca să obții un număr rotund, apoi înmulțești în minte.

4⋅17⋅254 \cdot 17 \cdot 25Schimb ordinea: 4⋅25=1004 \cdot 25 = 100.
=(4⋅25)⋅17= (4 \cdot 25) \cdot 17
=100⋅17= 100 \cdot 17
=1 700= 1\,700

Distributivitatea față de adunare și scădere

Distributivitatea leagă înmulțirea de adunare și de scădere. Un factor înmulțit cu o paranteză se înmulțește cu fiecare număr din ea.

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅ca \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

O folosești ca să spargi un factor incomod într-un număr rotund plus sau minus un rest mic.

7⋅1037 \cdot 103103=100+3103 = 100 + 3.
=7⋅100+7⋅3= 7 \cdot 100 + 7 \cdot 3
=700+21= 700 + 21
=721= 721
6⋅986 \cdot 9898=100−298 = 100 - 2.
=6⋅100−6⋅2= 6 \cdot 100 - 6 \cdot 2
=600−12= 600 - 12
=588= 588

Scoaterea factorului comun

Distributivitatea merge și invers. Dacă două produse au un factor la fel, îl poți scoate în față. Acel factor se numește factor comun.

a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

E util mai ales când suma sau diferența rămasă în paranteză iese un număr rotund.

23⋅19+23⋅8123 \cdot 19 + 23 \cdot 81Factor comun: 23.
=23⋅(19+81)= 23 \cdot (19 + 81)
=23⋅100= 23 \cdot 100
=2 300= 2\,300
45⋅78−45⋅6845 \cdot 78 - 45 \cdot 68Factor comun: 45.
=45⋅(78−68)= 45 \cdot (78 - 68)
=45⋅10= 45 \cdot 10
=450= 450

Estimarea unui produs

Înainte să înmulțești numere mari, fă o estimare. Rotunjești fiecare factor la cel mai apropiat număr rotund, înmulțești numerele rotunde și vezi cam cât ar trebui să dea.

39⋅2139 \cdot 21Rotunjesc: 40⋅2040 \cdot 20.
estimare: 40⋅20=800\text{estimare: } 40 \cdot 20 = 800
exact: 39⋅21=819\text{exact: } 39 \cdot 21 = 819Aproape de 800, deci calculul e bun.
312⋅48312 \cdot 48Rotunjesc: 300⋅50300 \cdot 50.
estimare: 300⋅50=15 000\text{estimare: } 300 \cdot 50 = 15\,000
exact: 312⋅48=14 976\text{exact: } 312 \cdot 48 = 14\,976

Dacă rezultatul tău e departe de estimare, ai greșit un pas pe undeva.

Ultima cifră a unui produs

Ultima cifră a unui produs depinde doar de ultimele cifre ale factorilor. Înmulțești ultimele cifre între ele, iar ultima cifră a acelui rezultat este ultima cifră a produsului.

2 534⋅1572\,534 \cdot 157Ultimele cifre: 4⋅7=284 \cdot 7 = 28, deci ultima cifră a produsului este 8.

Produs par sau impar

Dacă măcar un factor este par, produsul este par. Produsul mai multor numere impare este tot impar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: înmulțire cu trecere peste ordin

Calculează 234⋅3234 \cdot 3.

Vezi rezolvarea
234⋅3234 \cdot 3Unități: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12, scrii 2, ții 1.
=702= 702Zeci: 3⋅3+1=103 \cdot 3 + 1 = 10, scrii 0, ții 1. Sute: 2⋅3+1=72 \cdot 3 + 1 = 7.

Exemplul 2: factori cu zerouri la coadă

Calculează 25⋅4025 \cdot 40.

Vezi rezolvarea
25⋅4025 \cdot 40Las deoparte zeroul de la 40.
=25⋅4⋅10= 25 \cdot 4 \cdot 10
=100⋅10= 100 \cdot 10
=1 000= 1\,000

Exemplul 3: grupare convenabilă

Calculează 2⋅39⋅52 \cdot 39 \cdot 5.

Vezi rezolvarea
2⋅39⋅52 \cdot 39 \cdot 52⋅5=102 \cdot 5 = 10, mai ușor de înmulțit.
=(2⋅5)⋅39= (2 \cdot 5) \cdot 39
=10⋅39= 10 \cdot 39
=390= 390

Exemplul 4: distributivitate pentru calcul mintal

Calculează 8⋅1048 \cdot 104.

Vezi rezolvarea
8⋅1048 \cdot 104104=100+4104 = 100 + 4.
=8⋅100+8⋅4= 8 \cdot 100 + 8 \cdot 4
=800+32= 800 + 32
=832= 832

Exemplul 5: scoaterea factorului comun

Calculează 37⋅46+37⋅5437 \cdot 46 + 37 \cdot 54.

Vezi rezolvarea
37⋅46+37⋅5437 \cdot 46 + 37 \cdot 54Factor comun: 37. În paranteză rămâne 46+5446 + 54.
=37⋅(46+54)= 37 \cdot (46 + 54)
=37⋅100= 37 \cdot 100
=3 700= 3\,700

Exemplul 6: factor comun cu scădere

Calculează 62⋅89−62⋅7962 \cdot 89 - 62 \cdot 79.

Vezi rezolvarea
62⋅89−62⋅7962 \cdot 89 - 62 \cdot 79Factor comun: 62.
=62⋅(89−79)= 62 \cdot (89 - 79)
=62⋅10= 62 \cdot 10
=620= 620

Exemplul 7: verificare prin estimare

Un elev a calculat 288⋅51=14 688288 \cdot 51 = 14\,688. Verifică prin estimare.

Vezi rezolvarea
288⋅51288 \cdot 51Rotunjesc: 300⋅50300 \cdot 50.
estimare: 300⋅50=15 000\text{estimare: } 300 \cdot 50 = 15\,000
14 688≈15 00014\,688 \approx 15\,000Rezultatul pare corect.

Exemplul 8: ultima cifră a unui produs

Ce cifră are la unități produsul 763⋅48763 \cdot 48?

Vezi rezolvarea
763⋅48763 \cdot 48Ultimele cifre: 3⋅8=243 \cdot 8 = 24, deci ultima cifră este 4.

Nu e nevoie să faci toată înmulțirea ca să afli doar ultima cifră.

Exerciții rezolvate video

Înmulțirea și factorul comun

Acest videoclip este furnizat de YouTube. Pentru a-l încărca, permite conținutul extern.

Poți modifica această alegere oricând din .

O sesiune lungă în care se rezolvă pas cu pas exerciții de înmulțire și de scoatere a factorului comun, plus probleme cu „de n ori mai mare”. Uită-te la ea după ce ai parcurs lecția, dacă vrei mai multe exemple.

Deschide pe YouTube · 1 h 1 min

Greșeli frecvente

  • 7⋅0=77 \cdot 0 = 7, la fel ca 7+07 + 0.

    7⋅0=07 \cdot 0 = 0. Orice număr înmulțit cu 0 dă 0. Doar la adunare 0 este element neutru.

  • 5⋅(20+3)=5⋅20+3=1035 \cdot (20 + 3) = 5 \cdot 20 + 3 = 103.

    5⋅(20+3)=5⋅20+5⋅3=100+15=1155 \cdot (20 + 3) = 5 \cdot 20 + 5 \cdot 3 = 100 + 15 = 115. Înmulțești fiecare număr din paranteză, nu doar primul.

  • 25⋅4025 \cdot 40: scriu 25 și adaug două zerouri, 2 5002\,500.

    25⋅4=10025 \cdot 4 = 100, apoi adaugi un singur zero de la 40: 25⋅40=1 00025 \cdot 40 = 1\,000.

  • 6⋅13+6⋅7=6⋅13+7=856 \cdot 13 + 6 \cdot 7 = 6 \cdot 13 + 7 = 85.

    Ai un factor comun, 6: 6⋅13+6⋅7=6⋅(13+7)=6⋅20=1206 \cdot 13 + 6 \cdot 7 = 6 \cdot (13 + 7) = 6 \cdot 20 = 120.

  • 39⋅2139 \cdot 21 e cam 40⋅30=1 20040 \cdot 30 = 1\,200.

    Rotunjești fiecare factor la cel mai apropiat număr rotund: 40⋅20=80040 \cdot 20 = 800. Exact iese 819.

Exerciții

Ușor

  1. Calculează 143⋅4143 \cdot 4.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 572

  2. Calculează 68⋅10068 \cdot 100.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 6 800

  3. Care sunt factorii și cât e produsul în 7⋅97 \cdot 9?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Factorii: 7 și 9. Produsul: 63.

  4. Calculează 12⋅5⋅212 \cdot 5 \cdot 2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 120

    5⋅2=105 \cdot 2 = 10, apoi 12⋅1012 \cdot 10.

  5. Calculează 250⋅8250 \cdot 8.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 2 000

Mediu

  1. Calculează convenabil 4⋅63⋅254 \cdot 63 \cdot 25.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 6 300

    4⋅25=1004 \cdot 25 = 100, apoi 100⋅63100 \cdot 63.

  2. Folosește distributivitatea: 9⋅1029 \cdot 102.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 918

    9⋅100+9⋅2=900+189 \cdot 100 + 9 \cdot 2 = 900 + 18.

  3. Scoate factorul comun și calculează: 28⋅44+28⋅5628 \cdot 44 + 28 \cdot 56.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 2 800

    28⋅(44+56)=28⋅10028 \cdot (44 + 56) = 28 \cdot 100.

  4. Calculează 53⋅17−53⋅753 \cdot 17 - 53 \cdot 7.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 530

    53⋅(17−7)=53⋅1053 \cdot (17 - 7) = 53 \cdot 10.

  5. Estimează 61⋅3961 \cdot 39 rotunjind fiecare factor, apoi spune dacă 2 3792\,379 poate fi rezultatul exact.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Estimare: 60⋅40=2 40060 \cdot 40 = 2\,400. Da, 2 3792\,379 este aproape de 2 4002\,400.

Provocare

  1. Calculează 2⋅8⋅5⋅1252 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 125.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 10 000

    2⋅5=102 \cdot 5 = 10 și 8⋅125=1 0008 \cdot 125 = 1\,000, apoi 10⋅1 00010 \cdot 1\,000.

  2. Ce cifră are la unități produsul 1 234⋅567⋅891\,234 \cdot 567 \cdot 89?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 2

    4⋅7=284 \cdot 7 = 28, deci ultima cifră 8; apoi 8⋅9=728 \cdot 9 = 72, deci ultima cifră 2.

  3. Calculează 15⋅23+15⋅27+15⋅5015 \cdot 23 + 15 \cdot 27 + 15 \cdot 50 scoțând factorul comun.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1 500

    15⋅(23+27+50)=15⋅10015 \cdot (23 + 27 + 50) = 15 \cdot 100.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Cât face 46⋅046 \cdot 0?

    1. 46
    2. 0
    3. 460
    4. 1
    Arată răspunsul

    Răspuns: 0

    Orice număr înmulțit cu 0 dă 0.

  2. 2. Cât face 39⋅1 00039 \cdot 1\,000?

    1. 39 000
    2. 3 900
    3. 390 000
    4. 39
    Arată răspunsul

    Răspuns: 39 000

    Adaugi trei zerouri la 39.

  3. 3. Scoate factorul comun și calculează: 12⋅74+12⋅2612 \cdot 74 + 12 \cdot 26.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1 200

    12⋅(74+26)=12⋅10012 \cdot (74 + 26) = 12 \cdot 100.

  4. 4. Care egalitate arată distributivitatea?

    1. 5⋅(4⋅2)=(5⋅4)⋅25 \cdot (4 \cdot 2) = (5 \cdot 4) \cdot 2
    2. 5⋅(4+2)=5⋅4+5⋅25 \cdot (4 + 2) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 2
    3. 5⋅4=4⋅55 \cdot 4 = 4 \cdot 5
    4. 5⋅1=55 \cdot 1 = 5
    Arată răspunsul

    Răspuns: 5⋅(4+2)=5⋅4+5⋅25 \cdot (4 + 2) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 2

    Factorul 5 se înmulțește cu fiecare termen din paranteză.

  5. 5. Calculează 8⋅258 \cdot 25.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 200

    8⋅25=2⋅1008 \cdot 25 = 2 \cdot 100.

  6. 6. Ce estimare la numere rotunde se potrivește pentru 52⋅4852 \cdot 48?

    1. 2 000
    2. 2 500
    3. 3 000
    4. 5 000
    Arată răspunsul

    Răspuns: 2 500

    50⋅50=2 50050 \cdot 50 = 2\,500. Exact iese 2 4962\,496.

  7. 7. Calculează 4⋅17⋅54 \cdot 17 \cdot 5.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 340

    4⋅5=204 \cdot 5 = 20, apoi 20⋅1720 \cdot 17.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „factor comun”?

Când doi termeni sunt produse cu un factor la fel, acel factor este comun. Din a⋅b+a⋅ca \cdot b + a \cdot c îl scoți în față: a⋅(b+c)a \cdot (b + c). De exemplu 8⋅15+8⋅5=8⋅(15+5)=8⋅20=1608 \cdot 15 + 8 \cdot 5 = 8 \cdot (15 + 5) = 8 \cdot 20 = 160.

Cum înmulțesc repede cu 10, 100 sau 1 000?

Adaugi la dreapta numărului atâtea zerouri câte are 10, 100 sau 1 000. De exemplu 36⋅100=3 60036 \cdot 100 = 3\,600.

De ce 5⋅(3+4)5 \cdot (3 + 4) nu este 5⋅3+45 \cdot 3 + 4?

Pentru că înmulțești 5 cu fiecare număr din paranteză: 5⋅3+5⋅4=15+20=355 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35. La fel iese și dacă faci întâi paranteza: 5⋅7=355 \cdot 7 = 35.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc un număr cu 0?

Rezultatul este mereu 0. Un produs este 0 numai dacă cel puțin un factor este 0.

La ce ajută estimarea unui produs?

Îți spune cam cât ar trebui să dea, înainte să calculezi exact. Dacă rezultatul tău este mult diferit de estimare, ai greșit pe undeva.

Ai terminat lecția

Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.