Exponentul spune de câte ori se repetă baza ca factor, nu se înmulțește cu baza. 2³ înseamnă 2 · 2 · 2, adică 8. 2 · 3 = 6 ar fi cu totul altceva.

Ce înseamnă că a⁰ = 1?

Este o regulă care face ca împărțirea puterilor să funcționeze fără excepții. De exemplu 5³: 5³ = 5⁰, dar orice număr împărțit la el însuși dă 1, deci 5⁰ = 1. Regula merge pentru orice bază diferită de 0.

Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte – Clasa a V-a

Q: Cum înmulțesc două puteri cu aceeași bază?

Păstrezi baza și aduni exponenții. 2³ · 2⁴ = 2⁷. Baza nu se schimbă, rămâne tot 2.

Q: Cum îmi dau seama repede că un număr nu este pătrat perfect?

Uită-te la ultima cifră. Un pătrat perfect se termină doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă numărul se termină în 2, 3, 7 sau 8, sigur nu este pătrat perfect. Dacă ultima cifră trece testul, cauți între ce pătrate consecutive se află.

Q: Cum compar două puteri cu baze diferite?

Încerci să le aduci la aceeași bază sau la același exponent. Ca să compari 2⁵³ cu 4²⁷, scrii 4²⁷ = 2⁵⁴ și compari exponenții. Ca să compari 2⁵⁰ cu 3³⁰, le grupezi la același exponent: 32¹⁰ față de 27¹⁰.

Ce vei învăța

Scrii un produs de factori egali ca putere și o putere ca produs.
Calculezi o putere și știi cât fac $a^n$ $a^1$ și $a^0$
Aplici regulile cu puteri cu aceeași bază și cu același exponent.
Recunoști un pătrat perfect după ultima cifră și după încadrarea între pătrate.
Compari două puteri aducându-le la aceeași bază sau la același exponent.

Recomandat înainte: Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Ideea de bază

Când înmulțești același număr de mai multe ori, scrii pe scurt cu o putere. În loc de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ scrii $2^5$ Numărul care se repetă este baza, iar de câte ori apare îți spune exponentul.

Puterea nu înseamnă că înmulțești baza cu exponentul. $2^5$ nu este 10, ci $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ Exponentul numără factorii, nu este el însuși un factor.

Ce este o putere

Puterea $a^n$ înseamnă produsul a $n$ factori egali cu $a$ Numărul $a$ se numește bază, iar $n$ se numește exponent.

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ factori}}

Citim $2^5$ „doi la puterea a cincea”. Pentru exponentul 2 spunem „la pătrat”, pentru exponentul 3 spunem „la cub”. Deci $7^2$ se citește „șapte la pătrat”, iar $7^3$ „șapte la cub”.

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

Patru factori de 3.

= 9 \cdot 9 = 81

$a^1 = a$ Un singur factor înseamnă chiar numărul.
$a^0 = 1$ dacă $a$ nu este 0. Orice număr diferit de 0 la puterea 0 dă 1.
$1^n = 1$ Oricâte unități înmulțești, tot 1 obții.
$0^n = 0$ dacă $n$ nu este 0. Expresia $0^0$ nu are sens la acest nivel.

Puterile lui 10

$10^n$ este 1 urmat de $n$ zerouri. $10^2 = 100$ $10^3 = 1\,000$ $10^6 = 1\,000\,000$ De aici vine scrierea rapidă a numerelor mari.

Pătratul și cubul unui număr

Pătratul unui număr este numărul înmulțit cu el însuși. Cubul este numărul înmulțit cu el însuși de trei ori.

\text{pătratul lui } a:\quad a^2 = a \cdot a

\text{cubul lui } a:\quad a^3 = a \cdot a \cdot a

Pătratul lui 4 este $4 \cdot 4 = 16$ Cubul lui 4 este $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ Numele vin de la geometrie: aria unui pătrat cu latura $a$ este $a^2$ iar volumul unui cub cu muchia $a$ este $a^3$

Merită să știi pe de rost primele pătrate și primele cuburi. Le folosești tot timpul la comparări și la exerciții.

Primele pătrate și primele cuburi
$n$	$n^2$	$n^3$
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1 000

Puteri cu aceeași bază

Când înmulțești două puteri cu aceeași bază, păstrezi baza și aduni exponenții.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

2^3 \cdot 2^4

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)

în total 7 factori de 2.

= 2^{3+4} = 2^7

Când împarți două puteri cu aceeași bază, păstrezi baza și scazi exponenții. Exponentul de sus trebuie să fie mai mare sau egal cu cel de jos.

a^m : a^n = a^{m-n}

3^7 : 3^4 = 3^{7-4}

= 3^3 = 27

Baza nu se schimbă

La $2^3 \cdot 2^4$ baza rămâne 2, nu devine 4. Aduni doar exponenții: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ nu $4^7$

Puterea unei puteri

Când ridici o putere la o altă putere, păstrezi baza și înmulțești exponenții.

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3

Baza

2^3

apare de două ori.

= 2^{3+3} = 2^6 = 64

Ai grijă la ordine: aici exponenții se înmulțesc, la înmulțirea a două puteri se adună. $(2^3)^2 = 2^6$ dar $2^3 \cdot 2^2 = 2^5$

Puterea unui produs

Când ridici la putere un produs, ridici fiecare factor la acea putere.

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3

= 8 \cdot 125 = 1\,000

La fel ca

10^3

fiindcă

2 \cdot 5 = 10

Regula merge și invers. Dacă vezi $a^n \cdot b^n$ poți scrie $(a \cdot b)^n$ Așa $4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3$

Puterile în ordinea operațiilor

Într-o expresie fără paranteze, puterile se calculează înaintea înmulțirii și a împărțirii, iar acestea înaintea adunării și a scăderii.

3 + 2 \cdot 5^2

= 3 + 2 \cdot 25

Întâi puterea.

= 3 + 50 = 53

Regulile complete, cu paranteze rotunde, pătrate și acolade, sunt în lecția despre ordinea operațiilor.

Pătrate perfecte

Un pătrat perfect este un număr natural care se poate scrie ca pătratul unui număr natural. 25 este pătrat perfect fiindcă $25 = 5^2$ 30 nu este, fiindcă nu există niciun număr natural al cărui pătrat să fie 30.

\begin{aligned}&0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49, \\ &64,\ 81,\ 100,\ \dots\end{aligned}

Acesta este șirul pătratelor perfecte: $0^2$ $1^2$ $2^2$ $3^2$ și așa mai departe. Între două pătrate perfecte vecine nu mai există alt pătrat perfect.

Ultima cifră a unui pătrat perfect

Un pătrat perfect se poate termina doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă un număr se termină în 2, 3, 7 sau 8, sigur nu este pătrat perfect.

Atenție: ultima cifră doar exclude, nu confirmă. 35 se termină în 5, dar nu este pătrat perfect, fiindcă $5^2 = 25$ și $6^2 = 36$ iar 35 este între ele.

Ca să verifici un număr mai mare, cauți între ce pătrate consecutive se află. 73 este între $8^2 = 64$ și $9^2 = 81$ deci nu este pătrat perfect.

Compararea puterilor

Dacă două puteri au aceeași bază, mai mare decât 1, este mai mare cea cu exponentul mai mare. Deci $4^2$ este mai mic decât $4^3$ fiindcă 16 este mai mic decât 64.

Dacă două puteri au același exponent, diferit de 0, este mai mare cea cu baza mai mare. Deci $2^5$ este mai mic decât $3^5$ fiindcă 2 este mai mic decât 3.

Când bazele și exponenții sunt diferiți, încerci să aduci puterile la aceeași bază sau la același exponent, apoi folosești una dintre regulile de mai sus.

2^{53} \ ? \ 4^{27}

Compară cele două puteri.

4^{27} = (2^2)^{27} = 2^{54}

Aduc a doua putere la baza 2.

2^{53} < 2^{54}

Aceeași bază, exponent mai mic.

2^{50} \ ? \ 3^{30}

Compară cele două puteri.

2^{50} = (2^5)^{10} = 32^{10}

Grupez câte 5 factori.

3^{30} = (3^3)^{10} = 27^{10}

32^{10} > 27^{10}

Același exponent, bază mai mare. Deci

2^{50} > 3^{30}

Exemple rezolvate

Exemplul 1: scrie ca putere

Scrie ca o singură putere: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

Vezi rezolvarea

Factorul 7 apare de 5 ori, deci baza este 7 și exponentul 5.

7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^5

Exemplul 2: scrie ca produs și calculează

Scrie $2^6$ ca produs de factori și află valoarea.

Vezi rezolvarea

2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

Exemplul 3: puteri speciale

Cât fac $15^1$ $15^0$ și $10^5$

Vezi rezolvarea

$15^1 = 15$
$15^0 = 1$
$10^5 = 100\,000$ adică 1 urmat de 5 zerouri.

Exemplul 4: aceeași bază

Calculează $5^2 \cdot 5^3 \cdot 5$ și scrie rezultatul ca putere a lui 5.

Vezi rezolvarea

5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^1

5 este

5^1

= 5^{2+3+1} = 5^6

Exemplul 5: împărțirea puterilor

Calculează $3^7 : 3^4$ și $10^6 : 10^6$

Vezi rezolvarea

3^7 : 3^4 = 3^{7-4} = 3^3 = 27

10^6 : 10^6 = 10^{6-6} = 10^0 = 1

Orice număr diferit de 0 împărțit la el însuși dă 1.

Exemplul 6: putere la putere și putere de produs

Calculează $(2^3)^2$ și $(2 \cdot 3)^4$

Vezi rezolvarea

(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64

(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4

= 16 \cdot 81 = 1\,296

Exemplul 7: este pătrat perfect?

Spune, cu justificare, dacă 74 și $3\,136$ sunt pătrate perfecte.

Vezi rezolvarea

74 este între $8^2 = 64$ și $9^2 = 81$ Nu există niciun număr natural între 8 și 9, deci 74 nu este pătrat perfect.

$3\,136$ se termină în 6, deci trece de testul ultimei cifre. Cauți mai departe: $56^2 = 3\,136$ Deci $3\,136$ este pătrat perfect.

Exemplul 8: compară două puteri

Compară $3^{20}$ cu $9^{11}$

Vezi rezolvarea

9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}

Aduc la baza 3.

3^{20} < 3^{22}

Aceeași bază, exponent mai mic.

Deci $3^{20}$ este mai mic decât $9^{11}$

Greșeli frecvente

$2^5 = 10$ fiindcă $2 \cdot 5 = 10$
Exponentul numără factorii, nu se înmulțește cu baza. $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$2^3 \cdot 2^4 = 4^7$
La aceeași bază, baza rămâne neschimbată și aduni exponenții: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
Exponenții se adună la înmulțire, nu se înmulțesc: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
$(2^3)^2 = 2^5$
La puterea unei puteri, exponenții se înmulțesc: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$
35 este pătrat perfect, fiindcă se termină în 5.
Ultima cifră doar exclude numere, nu confirmă. $5^2 = 25$ și $6^2 = 36$ iar 35 este între ele, deci nu este pătrat perfect.

Exerciții

Ușor

Scrie ca o singură putere: $4 \cdot 4 \cdot 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $4^3$
Scrie $3^4$ ca produs de factori și calculează.
Arată răspunsul
Răspuns: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Cât fac $6^1$ și $9^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $6^1 = 6$ și $9^0 = 1$
Calculează $2^5$
Arată răspunsul
Răspuns: 32
Scrie $10^4$ ca număr.
Arată răspunsul
Răspuns: $10\,000$

Mediu

Calculează $5^2 \cdot 5^3$ și scrie rezultatul ca putere a lui 5.
Arată răspunsul
Răspuns: $5^5$
Aceeași bază: $5^{2+3} = 5^5$ (adică $3\,125$
Calculează $7^8 : 7^5$
Arată răspunsul
Răspuns: $7^3$
$7^{8-5} = 7^3 = 343$
Scrie $(10^2)^3$ ca putere a lui 10.
Arată răspunsul
Răspuns: $10^6$
Exponenții se înmulțesc: $2 \cdot 3 = 6$
Scrie $(2 \cdot 3)^4$ ca produs de puteri și calculează.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1\,296$
Este 48 pătrat perfect? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$6^2 = 36$ și $7^2 = 49$ iar 48 este între ele.

Provocare

Compară $2^{100}$ cu $4^{50}$
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt egale.
$4^{50} = (2^2)^{50} = 2^{100}$
Compară $2^{60}$ cu $3^{40}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2^{60} < 3^{40}$
$2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}$ și $3^{40} = (3^2)^{20} = 9^{20}$ Același exponent, iar $8 < 9$
Scrie $8^4$ ca putere a lui 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^{12}$
$8 = 2^3$ deci $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$
Câte pătrate perfecte sunt de la 1 la 100, inclusiv?
Arată răspunsul
Răspuns: 10
Sunt $1^2$ $2^2$ $3^2$ $\dots$ $10^2$ Ultimul este $10^2 = 100$ deci sunt 10 pătrate perfecte.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât face $3^2$
1. 5
2. 6
3. 9
4. 8
Arată răspunsul
Răspuns: 9
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
2. Cât face $2^4 \cdot 2^3$
1. $2^7$
2. $2^{12}$
3. $4^7$
4. $2^1$
Arată răspunsul
Răspuns: $2^7$
Aceeași bază: aduni exponenții, $4 + 3 = 7$
3. Cât fac $12^0 + 12^1$
Arată răspunsul
Răspuns: 13
$12^0 = 1$ și $12^1 = 12$ iar $1 + 12 = 13$
4. Care număr sigur nu poate fi pătrat perfect?
1. 144
2. 121
3. 128
4. 100
Arată răspunsul
Răspuns: 128
128 se termină în 8, iar un pătrat perfect nu se termină niciodată în 8.
5. Scrie $9^5$ ca putere a lui 3.
Arată răspunsul
Răspuns: $3^{10}$
$9 = 3^2$ deci $9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$
6. Cât face $(5^2)^3$
1. $5^5$
2. $5^6$
3. $5^9$
4. $5^8$
Arată răspunsul
Răspuns: $5^6$
La puterea unei puteri exponenții se înmulțesc: $2 \cdot 3 = 6$
7. Este 90 pătrat perfect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$9^2 = 81$ și $10^2 = 100$ iar 90 este între ele.

Întrebări frecvente

De ce

2^3

nu este 6?

Exponentul spune de câte ori se repetă baza ca factor, nu se înmulțește cu baza. $2^3$ înseamnă $2 \cdot 2 \cdot 2$ adică 8. $2 \cdot 3 = 6$ ar fi cu totul altceva.

Ce înseamnă că

a^0 = 1

Este o regulă care face ca împărțirea puterilor să funcționeze fără excepții. De exemplu $5^3 : 5^3 = 5^0$ dar orice număr împărțit la el însuși dă 1, deci $5^0 = 1$ Regula merge pentru orice bază diferită de 0.

Cum înmulțesc două puteri cu aceeași bază?

Păstrezi baza și aduni exponenții. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ Baza nu se schimbă, rămâne tot 2.

Cum îmi dau seama repede că un număr nu este pătrat perfect?

Uită-te la ultima cifră. Un pătrat perfect se termină doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă numărul se termină în 2, 3, 7 sau 8, sigur nu este pătrat perfect. Dacă ultima cifră trece testul, cauți între ce pătrate consecutive se află.

Cum compar două puteri cu baze diferite?

Încerci să le aduci la aceeași bază sau la același exponent. Ca să compari $2^{53}$ cu $4^{27}$ scrii $4^{27} = 2^{54}$ și compari exponenții. Ca să compari $2^{50}$ cu $3^{30}$ le grupezi la același exponent: $32^{10}$ față de $27^{10}$

Puterea unui număr natural. Pătrate perfecte

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o putere

Pătratul și cubul unui număr

Puteri cu aceeași bază

Puterea unei puteri

Puterea unui produs

Puterile în ordinea operațiilor

Pătrate perfecte

Compararea puterilor

Exemple rezolvate

Exemplul 1: scrie ca putere

Exemplul 2: scrie ca produs și calculează

Exemplul 3: puteri speciale

Exemplul 4: aceeași bază

Exemplul 5: împărțirea puterilor

Exemplul 6: putere la putere și putere de produs

Exemplul 7: este pătrat perfect?

Exemplul 8: compară două puteri

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I