Lecția 3 din 3 · Divizibilitate

Numere prime și numere compuse

Știi deja ce este un divizor și cum găsești repede divizori cu ajutorul criteriilor de divizibilitate. Acum clasifici numerele naturale mai mari decât 1 în două grupe: numere prime și numere compuse.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Definești un număr prim și un număr compus prin numărul de divizori.
Explici de ce 1 nu este nici prim, nici compus.
Recunoști numerele prime mai mici decât 50.
Decizi dacă un număr este prim sau compus verificându-i divizorii.
Folosești criteriile de divizibilitate din lecția anterioară ca filtru rapid.
Nu confunzi „are exact doi divizori” cu „are mai mult de doi divizori”.

Recomandat înainte: Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9

Ideea de bază

Ia orice număr natural mai mare decât 1 și numără-i divizorii. La unele numere găsești exact doi divizori, 1 și numărul însuși (la $7$ sunt doar $1$ și $7$ La altele găsești mai mulți (la $6$ sunt $1, 2, 3, 6$

Numerele din prima categorie se numesc numere prime. Cele din a doua se numesc numere compuse. Fiecare număr natural mai mare decât 1 se încadrează într-una dintre cele două categorii, niciodată în amândouă.

$2$ este singurul număr prim par. Toate celelalte numere prime sunt impare, dar atenție, nu orice număr impar e prim $9$ e impar și compus).

De ce clasificăm numerele

Orice număr natural mai mare decât 1 are cel puțin doi divizori: 1 și numărul însuși. Întrebarea care contează este dacă mai are și alți divizori, în afară de aceștia doi.

Răspunsul la această întrebare împarte numerele naturale mai mari decât 1 în exact două grupe, fără suprapunere: numere prime și numere compuse.

Legătura cu ce știi deja

Un divizor al lui $n$ este un număr care îl divide exact pe $n$ (lecția „Divizori și multipli”). Criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10 (lecția anterioară) sunt scurtătura prin care găsești repede un astfel de divizor, fără să faci toate împărțirile.

Număr prim

Un număr natural mai mare decât 1 este prim dacă are exact doi divizori naturali: 1 și numărul însuși. Niciun alt număr nu îl divide.

Numere prime: exact doi divizori
Număr	Divizorii numărului	Număr de divizori
2	1, 2	2
3	1, 3	2
5	1, 5	2
7	1, 7	2

2 este special

$2$ este singurul număr prim par. Orice alt număr par mai mare decât 2 se divide cu 2, deci are cel puțin trei divizori $1$ $2$ și el însuși). Prin urmare este compus, nu prim.

Număr compus

Un număr natural mai mare decât 1 este compus dacă are mai mult de doi divizori. Pe lângă 1 și el însuși, mai există cel puțin un divizor.

Numere compuse: mai mult de doi divizori
Număr	Divizorii numărului	Număr de divizori
4	1, 2, 4	3
6	1, 2, 3, 6	4
9	1, 3, 9	3

Contează câți divizori are numărul, nu cât de mari sunt ei. 9 are doar trei divizori, dar este suficient ca să fie compus: exact doi divizori înseamnă prim, iar trei sau mai mulți înseamnă compus.

De ce 1 nu este nici prim, nici compus

1 are un singur divizor: pe el însuși, 1. Nu are doi divizori diferiți, ca un număr prim, și nu are mai mult de doi, ca un număr compus.

De aceea 1 nu se încadrează în niciuna dintre cele două categorii. Definiția de număr prim cere explicit „mai mare decât 1”, tocmai ca să excludă acest caz.

1 nu este număr prim

E o greșeală frecventă să crezi că 1 e prim, fiindcă „nu se împarte la nimic altceva”. De fapt 1 nu are doi divizori, are unul singur, deci nu îndeplinește nici definiția de prim. 1 e într-o categorie proprie, separată.

0 este alt caz special. Definițiile de mai sus se aplică numai numerelor mai mari decât 1, deci 0 nu este nici prim, nici compus. Pe 0 îl divide orice număr natural nenul $0 = 5 \cdot 0$ $0 = 12 \cdot 0$ și așa mai departe), deci nu are exact doi divizori.

Primele numere prime

Numerele prime mai mici decât 50 sunt:

\begin{aligned}&2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \\ &31, 37, 41, 43, 47\end{aligned}

Numerele prime mai mici decât 50, pe zeci
Interval	Numere prime din interval
1–10	2, 3, 5, 7
11–20	11, 13, 17, 19
21–30	23, 29
31–40	31, 37
41–50	41, 43, 47

Nu memora orbește lista

Lista de mai sus este utilă ca reper, dar scopul lecției este să știi să verifici singur dacă un număr este prim, nu să reciți o listă. Un număr care nu apare în listă poate fi verificat cu metoda din secțiunea următoare.

Cum verificăm dacă un număr este prim

Ca să afli dacă $n$ este prim, cauți un divizor al lui $n$ diferit de 1 și de $n$ Dacă găsești unul, $n$ este compus. Dacă nu găsești niciunul, $n$ este prim.

Nu trebuie să testezi toate numerele până la $n$ Un divizor al lui $n$ diferit de $n$ nu poate fi mai mare decât jumătatea lui $n$ Este suficient să testezi, pe rând, numerele de la 2 în sus, până la jumătatea lui $n$

De exemplu, pentru $n = 37$ jumătatea este $18{,}5$ deci testezi numerele de la 2 la 18. Cele pare se elimină prin criteriul pentru 2, iar 9 și 15 prin criteriul pentru 3. Rămân de încercat 3, 5, 7, 11, 13 și 17, iar niciunul nu-l divide pe 37. Deci 37 este prim.

Folosim criteriile de divizibilitate

Criteriile pentru 2, 3, 5, 9 și 10 elimină rapid cei mai frecvenți candidați, înainte să încerci împărțiri directe.

Ia 39: ultima cifră, 9, e impară, deci nu e divizibil cu 2. Suma cifrelor este $3 + 9 = 12$ iar 12 se divide cu 3.

3 + 9 = 12

Suma cifrelor lui 39.

12 : 3 = 4

12 se divide cu 3, deci 39 se divide cu 3.

39 are un divizor în afară de 1 și de el însuși (pe 3), deci 39 este compus. Nu mai e nevoie să testezi alți candidați.

Ordinea verificărilor

Testează întâi criteriile pentru 2, 3 și 5, care sunt cele mai rapide. Dacă niciunul nu găsește un divizor, continuă cu împărțiri directe la 7, 11, 13 și așa mai departe, până la jumătatea numărului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: 2, singurul număr prim par

Este 2 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

Divizorii lui 2 sunt 1 și 2. Exact doi divizori.

2 este prim. E și singurul număr prim par.

Exemplul 2: un număr prim, verificat prin încercări

Este 7 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

Testezi candidații până la jumătatea lui 7 (adică până la 3): 2 nu divide 7, 3 nu divide 7.

Divizorii lui 7 sunt doar 1 și 7. 7 este prim.

Exemplul 3: un număr compus impar, care nu se termină în 5

Este 9 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

Divizorii lui 9 sunt 1, 3, 9. Trei divizori, mai mult decât doi.

9 este compus.

Exemplul 4: un număr compus, recunoscut după ultima cifră

Este 15 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

Ultima cifră, 5, arată că 15 se divide cu 5 $15 : 5 = 3$ Are deja un divizor în afară de 1 și 15.

15 este compus, cu divizorii 1, 3, 5, 15.

Exemplul 5: cazul lui 1

Este 1 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

1 are un singur divizor, pe el însuși. Nu are exact doi divizori (ca un prim), nici mai mult de doi (ca un compus).

1 nu este nici prim, nici compus.

Exemplul 6: folosește criteriul pentru 3

Este 39 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

3 + 9 = 12

Suma cifrelor lui 39.

12 se divide cu 3, deci 39 se divide cu 3 $39 : 3 = 13$ 39 are un divizor în afară de 1 și 39.

39 este compus.

Exemplul 7: testează un număr par

Este 58 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

Ultima cifră, 8, este pară, deci 58 se divide cu 2 $58 : 2 = 29$

58 este compus. Fiind par și mai mare decât 2, nu putea fi prim.

Exemplul 8: găsește numerele prime dintr-o listă

Din numerele $12, 17, 21, 23, 28$ care sunt prime?

Vezi rezolvarea

12: par, deci compus. 17: nu se divide cu 2, 3, 5 sau 7 (jumătatea lui 17 este 8,5), deci este prim. 21: suma cifrelor este $2+1=3$ deci se divide cu 3 și este compus. 23: nu se divide cu 2, 3, 5, 7 sau 11 (jumătatea lui 23 este 11,5), deci este prim. 28: par, compus.

Numerele prime din listă sunt 17 și 23.

Exemplul 9: un caz care pare prim la prima vedere

Este 91 număr prim sau compus?

Vezi rezolvarea

91 nu e par, nu se termină în 0 sau 5, iar suma cifrelor, $9+1=10$ nu se divide nici cu 3, nici cu 9. Criteriile din lecția anterioară nu găsesc niciun divizor.

Trebuie să încerci mai departe. La împărțirea directă prin 7 obții $91 : 7 = 13$ fără rest.

91 este compus $91 = 7 \cdot 13$ deși niciunul dintre criteriile rapide nu-l prindea. De aceea nu te opri din verificare doar pentru că criteriile pentru 2, 3, 5 și 9 nu găsesc niciun divizor.

Greșeli frecvente

1 este cel mai mic număr prim.
1 are un singur divizor, nu doi. Definiția de număr prim cere exact doi divizori, deci 1 nu este prim. Cel mai mic număr prim este 2.
2 este compus pentru că e număr par.
2 are exact doi divizori, 1 și 2, deci e prim, deși e par. „Par” și „compus” nu sunt același lucru. 2 este chiar singurul număr prim par.
Orice număr impar este prim.
9, 15, 21, 25 sunt toate impare și totuși compuse. Faptul că un număr nu e divizibil cu 2 nu înseamnă că nu are alți divizori în afară de 1 și el însuși.
Dacă un număr nu se divide cu 2, atunci e prim.
Trebuie verificați și ceilalți candidați posibili (3, 5, 7...), nu doar 2. 21 nu se divide cu 2, dar se divide cu 3 și cu 7, deci e compus.
39 nu se divide cu 2, deci e prim.
Verificarea s-a oprit prea devreme. 39 nu se divide cu 2, dar suma cifrelor lui, 12, se divide cu 3, deci 39 se divide cu 3 și e compus.
„Prim” înseamnă „impar”.
Sunt noțiuni diferite. 2 e prim și par. 9 e impar și compus. Un număr prim se definește prin numărul de divizori, nu prin paritate.
Dacă un număr nu se divide cu 2, 3 sau 5, atunci este prim.
49 și 91 nu se divid cu 2, 3 sau 5, dar sunt compuse: $49 = 7 \cdot 7$ și $91 = 7 \cdot 13$ Mai încearcă și împărțirile la 7, 11, 13 și așa mai departe.
0 este număr compus, pentru că are mulți divizori.
Definițiile de număr prim și de număr compus se aplică numai numerelor mai mari decât 1. 0 nu este nici prim, nici compus.

Exerciții

Ușor

Este 3 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Prim.
Divizorii lui 3 sunt doar 1 și 3.
Este 8 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Compus.
Divizorii lui 8 sunt 1, 2, 4, 8, mai mult de doi.
Este 1 număr prim?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
1 are un singur divizor, nu exact doi. Nu e nici prim, nici compus.
Care este singurul număr prim par?
Arată răspunsul
Răspuns: 2.
Orice alt număr par mai mare decât 2 se divide cu 2, deci are cel puțin trei divizori.
Este 25 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Compus.
Ultima cifră, 5, arată că 25 se divide cu 5. Divizorii: 1, 5, 25.

Mediu

Este 0 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Nici prim, nici compus.
Definițiile se aplică numai numerelor mai mari decât 1, iar 0 nu este mai mare decât 1.
Este 51 număr prim sau compus? (Folosește criteriul pentru 3.)
Arată răspunsul
Răspuns: Compus.
Suma cifrelor este $5+1=6$ care se divide cu 3, deci 51 se divide cu 3.
Este 43 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Prim.
Jumătatea lui 43 este 21,5. Nu se divide cu 2, 3 sau 5, iar $43 : 7$ $43 : 11$ $43 : 13$ $43 : 17$ și $43 : 19$ au rest diferit de 0. Deci 43 este prim.
Din numerele $14, 19, 27, 31$ care sunt prime?
Arată răspunsul
Răspuns: 19 și 31.
14 este par, deci compus. La 27 suma cifrelor este 9, deci 27 se divide cu 3 și este compus. 19 și 31 nu au alți divizori decât 1 și ei înșiși.
Este 77 număr prim sau compus?
Arată răspunsul
Răspuns: Compus.
$77 : 7 = 11$ împărțire exactă, deci 77 are un divizor în afară de 1 și 77.

Provocare

Găsește un număr prim de două cifre cu suma cifrelor 4.
Arată răspunsul
Răspuns: 13 sau 31.
Numerele de două cifre cu suma cifrelor 4 sunt 13, 22, 31 și 40. 22 și 40 sunt pare, deci sunt compuse. 13 și 31 nu au alți divizori decât 1 și ei înșiși.
Găsește toate numerele prime dintre 40 și 50.
Arată răspunsul
Răspuns: 41, 43, 47.
42, 44, 45, 46, 48 și 50 sunt compuse (pare sau divizibile cu 5), iar 49 este compus, fiindcă $49 = 7 \cdot 7$ Numerele 41, 43 și 47 sunt prime.
Un elev spune: „119 nu se divide cu 2, 3 sau 5, deci e prim.” Are dreptate? Verifică și cu 7.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, 119 este compus.
$119 : 7 = 17$ împărțire exactă. Criteriile pentru 2, 3, 5 nu găsesc nimic, dar tot trebuie testați candidații următori, ca 7.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este un număr prim?
1. Un număr care nu se divide cu 2
2. Un număr natural mai mare decât 1, cu exact doi divizori
3. Orice număr impar
4. Un număr care nu are divizori
Arată răspunsul
Răspuns: Un număr natural mai mare decât 1, cu exact doi divizori
Definiția cere exact doi divizori: 1 și numărul însuși.
2. Ce este un număr compus?
1. Un număr natural mai mare decât 1, cu mai mult de doi divizori
2. Un număr care se divide cu 2
3. Orice număr par
4. Un număr foarte mare
Arată răspunsul
Răspuns: Un număr natural mai mare decât 1, cu mai mult de doi divizori
„Compus” înseamnă cel puțin un divizor în plus față de 1 și numărul însuși.
3. De ce 1 nu este număr prim?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că are un singur divizor (pe el însuși), nu exact doi.
Definiția de prim cere exact doi divizori diferiți.
4. Care afirmație despre 2 este corectă?
1. 2 e compus, fiindcă e par
2. 2 nu e nici prim, nici compus
3. 2 e singurul număr prim par
4. 2 nu are divizori
Arată răspunsul
Răspuns: 2 e singurul număr prim par
2 are exact doi divizori (1 și 2), deci e prim, deși e par.
5. Este 33 număr prim sau compus? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Compus, pentru că $3+3=6$ se divide cu 3, deci 33 se divide cu 3.
Criteriul pentru 3 găsește direct un divizor în afară de 1 și 33.
6. Din numerele $9, 11, 15, 22$ care este prim?
1. 9
2. 11
3. 15
4. 22
Arată răspunsul
Răspuns: 11
9 (compus, $3\times3$ 15 (compus, se divide cu 3 și 5), 22 (compus, par); 11 nu are alt divizor decât 1 și 11.
7. Este 0 număr prim? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că 0 nu este mai mare decât 1.
Definiția de număr prim se aplică numai numerelor mai mari decât 1. 0 nu este nici prim, nici compus.

Întrebări frecvente

Ce este un număr prim?

Un număr natural mai mare decât 1 care are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși. De exemplu 2, 3, 5, 7.

Ce este un număr compus?

Un număr natural mai mare decât 1 care are mai mult de doi divizori. De exemplu 4 (1, 2, 4) sau 9 (1, 3, 9).

De ce 1 nu este număr prim?

Pentru că are un singur divizor, pe el însuși. Un număr prim trebuie să aibă exact doi divizori diferiți, iar 1 nu îndeplinește condiția.

Este 2 număr prim?

Da. 2 are exact doi divizori, 1 și 2, deci este prim. E și singurul număr prim par.

Toate numerele impare sunt prime?

Nu. 9, 15, 21 și 25 sunt impare, dar compuse, fiindcă au divizori în afară de 1 și de ele însele.

Cum verific dacă un număr este prim?

Cauți un divizor al lui, diferit de 1 și de el însuși, testând numerele de la 2 până la jumătatea numărului. Criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10 elimină rapid mulți candidați. Dacă nu găsești niciun divizor, numărul este prim.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Numere prime și numere compuse

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Numere prime și numere compuse

Ce vei învăța

Ideea de bază

De ce clasificăm numerele

Număr prim

Număr compus

De ce 1 nu este nici prim, nici compus

Primele numere prime

Cum verificăm dacă un număr este prim

Folosim criteriile de divizibilitate

Exemple rezolvate

Exemplul 1: 2, singurul număr prim par

Exemplul 2: un număr prim, verificat prin încercări

Exemplul 3: un număr compus impar, care nu se termină în 5

Exemplul 4: un număr compus, recunoscut după ultima cifră

Exemplul 5: cazul lui 1

Exemplul 6: folosește criteriul pentru 3

Exemplul 7: testează un număr par

Exemplul 8: găsește numerele prime dintr-o listă

Exemplul 9: un caz care pare prim la prima vedere

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I