Descompunerea în factori primi – Clasa a VI-a

Ce vei învăța

Spui ce este un factor prim al unui număr.
Descompui un număr natural compus în factori primi, prin împărțiri succesive.
Alegi factorul prim potrivit cu ajutorul criteriilor de divizibilitate.
Scrii descompunerea grupând factorii egali sub formă de puteri.
Recunoști când o descompunere s-a încheiat și verifici rezultatul prin înmulțire.

Recomandat înainte: Numere prime și numere compuse

Ideea de bază

Un factor prim al unui număr este un număr prim care îl divide exact. De exemplu, $12$ se divide cu $2$ și cu $3$ deci $2$ și $3$ sunt factori primi ai lui $12$

A descompune un număr în factori primi înseamnă a-l scrie ca produs de numere prime, fiecare apărând de câte ori este nevoie.

12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3

Ultima formă, $2^2 \cdot 3$ se numește descompunerea lui $12$ în produs de puteri de numere prime. Este forma pe care o cauți la finalul acestei lecții.

Recapitulare: numere prime și numere compuse

Din clasa a V-a știi deja: un număr prim are exact doi divizori, $1$ și el însuși $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ Un număr compus are mai mult de doi divizori. $1$ nu este nici prim, nici compus.

În această lecție lucrezi mai ales cu numere compuse: pe acestea le descompui în factori primi. Un număr prim nu se mai descompune, pentru că nu are alt divizor decât $1$ și pe el însuși.

Ce este un factor prim

Un factor prim al unui număr $n$ este un număr prim care îl divide exact pe $n$

Ia $12$ Divizorii lui sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ Dintre aceștia, numai $2$ și $3$ sunt numere prime. Deci factorii primi ai lui $12$ sunt $2$ și $3$

Divizorii lui 12 și care dintre ei sunt primi
Divizor	Este prim?
1	nu (nici prim, nici compus)
2	da
3	da
4	nu, este compus
6	nu, este compus
12	nu, este compus

Factor prim, nu doar divizor

Un număr poate avea mulți divizori, dar factorii lui primi sunt doar cei dintre divizori care sunt și numere prime. $4$ este divizor al lui $12$ dar nu este factor prim, pentru că $4$ este compus.

Metoda împărțirilor succesive

Ca să descompui un număr în factori primi, îl împarți, pe rând, la numere prime, până ajungi la câtul $1$ La fiecare pas împarți exact (fără rest) la un factor prim, apoi continui cu câtul obținut.

Descompunem $60$ Împărțim mereu la cel mai mic număr prim care merge exact.

Descompunerea lui 60 prin împărțiri succesive
Pasul	Împărțim la	Calcul	Cât obținem
1	2	$60 : 2$	30
2	2	$30 : 2$	15
3	3	$15 : 3$	5
4	5	$5 : 5$	1

Ne oprim la $1$ nu mai există alt factor prim de scos. Factorii primi folosiți, în ordine, sunt $2, 2, 3, 5$

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

Practic, în caiet, scrii numărul într-o coloană și, lângă el, într-o a doua coloană, factorul prim la care l-ai împărțit; dedesubt scrii câtul și repeți, până ajungi la $1$

Cu ce număr prim începi

Încerci întâi cei mai mici factori primi: $2$ apoi $3$ apoi $5$ apoi $7$ și așa mai departe. Nu trebuie să memorezi un algoritm complicat, ci doar să folosești criteriile de divizibilitate deja învățate ca să alegi rapid cu ce număr prim continui.

Numărul este par (se termină în $0, 2, 4, 6, 8$ → încearcă $2$
Suma cifrelor se divide cu $3$ → încearcă $3$
Numărul se termină în $0$ sau $5$ → încearcă $5$
Dacă niciun criteriu rapid nu merge, încearcă $7$ $11$ prin împărțire directă.

De exemplu, la $84$ e par, deci împarți la $2$ $84:2=42$ $42$ e tot par, împarți iar la $2$ $42:2=21$ $21$ nu mai e par, dar suma cifrelor $2+1=3$ se divide cu $3$ deci împarți la $3$ $21:3=7$ $7$ este deja prim.

84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

Scrierea cu puteri

Când același factor prim apare de mai multe ori, nu îl scrii repetat, ci îl grupezi sub formă de putere. Exponentul arată de câte ori apare factorul.

Descompunem $72$ prin împărțiri succesive:

Descompunerea lui 72 prin împărțiri succesive
Pasul	Împărțim la	Calcul	Cât obținem
1	2	$72 : 2$	36
2	2	$36 : 2$	18
3	2	$18 : 2$	9
4	3	$9 : 3$	3
5	3	$3 : 3$	1

72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Factorii primi, în ordinea în care au ieșit.

72 = 2^3 \cdot 3^2

2 apare de 3 ori, 3 apare de 2 ori.

Descompunerea în produs de puteri de numere prime

Așa se numește forma finală, cerută la clasa a VI-a: un produs în care fiecare factor este un număr prim ridicat la o putere. Dacă un factor prim apare o singură dată, exponentul $1$ nu se scrie $3$ nu $3^1$

Când te oprești

Te oprești din împărțit exact atunci când câtul devine $1$ În plus, ca să fii sigur că descompunerea este completă, toți factorii pe care i-ai scris trebuie să fie numere prime.

O descompunere neterminată nu este corectă

$24 = 4 \cdot 6$ nu este o descompunere în factori primi, pentru că nici $4$ nici $6$ nu sunt numere prime. Trebuie continuat: $4 = 2 \cdot 2$ și $6 = 2 \cdot 3$ deci $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Cazuri speciale, la marginea metodei:

Dacă numărul de descompus este chiar un număr prim, de exemplu $13$ el nu se mai împarte la nimic altceva: $13 = 13$ fără altă scriere.
Numărul $1$ nu se descompune deloc: $1$ nu are niciun factor prim, pentru că nu este nici prim, nici compus.

Descompunerea unui număr este unică, până la ordinea factorilor: indiferent cu ce factor prim începi, obții aceiași factori primi, cu aceiași exponenți. Dacă la $60$ ai fi început cu $5$ în loc de $2$ tot ai fi ajuns la $2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Verifici prin înmulțire

Orice descompunere se poate verifica: înmulțești înapoi factorii și trebuie să obții numărul de la care ai pornit.

2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9

Calculezi fiecare putere.

8 \cdot 9 = 72

Produsul este numărul inițial.

Dacă produsul nu coincide cu numărul inițial, undeva în împărțirile succesive s-a strecurat o greșeală și trebuie reluat calculul.

La ce folosește mai departe

Descompunerea în factori primi este pasul de bază pentru lecțiile următoare ale modulului: cel mai mare divizor comun (CMMDC) și cel mai mic multiplu comun (CMMMC) se calculează plecând tocmai de la descompunerea numerelor implicate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: doi factori primi, unul repetat

Scrie descompunerea lui $12$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

12 : 2 = 6

6 : 2 = 3

3 : 3 = 1

12 = 2^2 \cdot 3

Verificare: $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Exemplul 2: o putere a unui singur număr prim

Scrie descompunerea lui $32$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

32 : 2 = 16

16 : 2 = 8

8 : 2 = 4

4 : 2 = 2

2 : 2 = 1

32 = 2^5

Toate împărțirile s-au făcut la $2$ deci descompunerea are un singur factor prim. Rezultatul este o putere a lui $2$ nu un produs de numere prime diferite.

Exemplul 3: niciun factor prim mic

Scrie descompunerea lui $77$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

Încerci numerele prime în ordine: $77$ este impar, deci nu se divide cu $2$ suma cifrelor este $7+7=14$ deci nu se divide cu $3$ ultima cifră nu este $0$ sau $5$ deci nu se divide cu $5$

77 : 7 = 11

11 : 11 = 1

77 = 7 \cdot 11

Când $2$ $3$ și $5$ nu merg, nu te oprești: continui cu următorul număr prim, $7$

Exemplul 4: trei factori primi diferiți

Scrie descompunerea lui $60$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

60 : 2 = 30

30 : 2 = 15

15 : 3 = 5

5 : 5 = 1

60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

Verificare: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Exemplul 5: schimbi factorul prim pe parcurs

Scrie descompunerea lui $90$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

90 : 2 = 45

45 : 3 = 15

15 : 3 = 5

5 : 5 = 1

90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5

După prima împărțire, câtul $45$ nu mai este par, dar suma cifrelor lui $4+5=9$ se divide cu $3$ deci continui cu $3$

Exemplul 6: un număr mai mare, cu verificare

Scrie descompunerea lui $120$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

120 : 2 = 60

60 : 2 = 30

30 : 2 = 15

15 : 3 = 5

5 : 5 = 1

120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

Verificare: $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$

Exemplul 7: descompune un număr prim

Scrie descompunerea lui $13$ în produs de puteri de numere prime.

Vezi rezolvarea

$13$ este el însuși număr prim: singurii lui divizori sunt $1$ și $13$

13 = 13

Nu există nimic de descompus mai departe. Un număr prim nu se scrie ca produs de alte numere prime, rămâne el însuși.

Exemplul 8: găsește și corectează o descompunere neterminată

Un coleg a scris $24 = 4 \cdot 6$ ca descompunere în factori primi a lui $24$ Este corectă? Dacă nu, corectează-o.

Vezi rezolvarea

Nu este corectă. Nici $4$ nici $6$ nu sunt numere prime, deci descompunerea nu s-a încheiat.

4 = 2 \cdot 2

4 este compus, se mai descompune.

6 = 2 \cdot 3

6 este compus, se mai descompune.

24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3

Forma corectă, cu toți factorii primi, este $24 = 2^3 \cdot 3$

Video

Greșeli frecvente

Scriu $24 = 4 \cdot 6$ și consider descompunerea încheiată.
$4$ și $6$ sunt compuse, nu prime. Trebuie continuat până toți factorii sunt numere prime: $24 = 2^3 \cdot 3$
Folosesc un factor compus în descompunerea finală, de exemplu $18 = 2 \cdot 9$
$9$ nu este prim $9 = 3 \cdot 3$ Descompunerea corectă este $18 = 2 \cdot 3^2$
Uit factorii care se repetă și scriu $12 = 2 \cdot 3$
$2$ apare de două ori la $12$ nu o singură dată: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ Verifici prin înmulțire: $2 \cdot 3 = 6 \neq 12$
Grupez greșit exponentul: pentru $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ scriu $72 = 2^2 \cdot 3^3$
Exponentul arată de câte ori apare fiecare factor: $2$ apare de $3$ ori, $3$ apare de $2$ ori, deci $72 = 2^3 \cdot 3^2$ Verifici: $8 \cdot 9 = 72$
Fac o greșeală de calcul într-o împărțire succesivă, de exemplu $45 : 3 = 12$
$45 : 3 = 15$ nu $12$ O singură greșeală de calcul strică toată descompunerea de la acel pas încolo; verificarea finală prin înmulțire o prinde.
Scriu $60 = 2 \cdot 30$ și trec direct la $3$ deși $30$ este tot par.
$30$ se mai împarte exact la $2$ $30 : 2 = 15$ Cât timp câtul se împarte exact la același factor prim, exponentul acelui factor crește: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ nu $2 \cdot 3 \cdot 5$ (care dă doar $30$
Încerc să descompun numărul $1$ în factori primi.
$1$ nu are niciun factor prim: nu este nici prim, nici compus. Nu i se scrie o descompunere de tip produs.
Confund descompunerea în factori primi a unui număr cu „descompunerea în factori” de la algebră (scoaterea unui factor comun dintr-o expresie cu litere).
Aici descompui un număr concret $24$ $60$ în produs de numere prime. Scoaterea factorului comun dintr-o expresie cu litere, ca $2x + 4$ este alt subiect, de mai târziu.

Exerciții

Ușor

Descompune $8$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^3$
$8 : 2 = 4$ $4 : 2 = 2$ $2 : 2 = 1$ factorul $2$ apare de trei ori.
Descompune $20$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^2 \cdot 5$
$20 : 2 = 10$ $10 : 2 = 5$ $5 : 5 = 1$
Descompune $15$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $3 \cdot 5$
$15$ nu e par; suma cifrelor $1+5=6$ se divide cu $3$ $15:3=5$ apoi $5:5=1$
Care este descompunerea lui $11$ în factori primi?
Arată răspunsul
Răspuns: $11 = 11$
$11$ este el însuși număr prim, nu se mai descompune.
Este adevărat că $2^2 \cdot 5 = 20$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$

Mediu

Descompune $48$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^4 \cdot 3$
$48:2=24$ $24:2=12$ $12:2=6$ $6:2=3$ $3:3=1$ $2$ apare de patru ori.
Descompune $75$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $3 \cdot 5^2$
$75$ nu e par; suma cifrelor $7+5=12$ se divide cu $3$ $75:3=25$ $25:5=5$ $5:5=1$
Descompune $84$ folosind criteriile de divizibilitate cu $2$ și cu $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$84:2=42$ $42:2=21$ $21$ nu mai e par, dar $2+1=3$ se divide cu $3$ $21:3=7$ care e prim.
Un elev scrie $30 = 2 \cdot 15$ ca descompunere finală. Este corectă? Corectează-o dacă nu.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu; corect este $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$15$ nu este prim $15 = 3 \cdot 5$ deci descompunerea nu era încheiată.
Descompune $100$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^2 \cdot 5^2$
$100:2=50$ $50:2=25$ $25:5=5$ $5:5=1$

Provocare

Descompune $360$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
$360:2=180$ $180:2=90$ $90:2=45$ $45:3=15$ $15:3=5$ $5:5=1$
Un elev descompune $45$ și scrie $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$ fără puteri. Scrie forma cerută cu puteri și verifică-o prin înmulțire.
Arată răspunsul
Răspuns: $45 = 3^2 \cdot 5$ verificare: $9 \cdot 5 = 45$
Factorul $3$ apare de două ori, deci se grupează $3^2$
Ce număr are descompunerea $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $300$
$2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este un factor prim al unui număr $n$
1. Orice divizor al lui $n$
2. Jumătate din $n$
3. Un număr compus care îl divide pe $n$
4. Un număr prim care îl divide exact pe $n$
Arată răspunsul
Răspuns: Un număr prim care îl divide exact pe $n$
Un factor prim trebuie să fie și divizor, și număr prim.
2. Care dintre numerele de mai jos NU este factor prim al lui $60$
1. $2$
2. $3$
3. $4$
4. $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ deci factorii primi sunt $2$ $3$ și $5$ $4$ divide $60$ dar este compus, deci nu este factor prim.
3. Cum se scrie $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ ca produs de puteri de numere prime?
1. $2 \cdot 3^3$
2. $6^3$
3. $2^3 \cdot 3^3$
4. $2^3 \cdot 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $2^3 \cdot 3$
$2$ apare de trei ori, deci exponentul lui este $3$ $3$ apare o singură dată.
4. Când te oprești din împărțirile succesive?
1. După exact trei împărțiri
2. Când câtul devine $1$
3. Când numărul devine par
4. Când ai folosit deja factorul $2$
Arată răspunsul
Răspuns: Când câtul devine $1$
Te oprești când câtul ajunge $1$ toți factorii scriși trebuie să fie primi.
5. Descompune $28$ în produs de puteri de numere prime.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^2 \cdot 7$
$28:2=14$ $14:2=7$ iar $7$ e prim.
6. Este adevărat că $2^3 \cdot 3 = 24$ Motivează prin calcul.
Arată răspunsul
Răspuns: Da: $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$
Verificarea prin înmulțire confirmă descompunerea.
7. De ce $17$ nu are o descompunere de tip produs de mai mulți factori primi?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că $17$ este el însuși număr prim, deci nu are alt divizor decât $1$ și $17$
Un număr prim rămâne el însuși, nu se mai descompune.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă factor prim?

Este un număr prim care divide exact numărul dat. De exemplu, $2$ și $3$ sunt factorii primi ai lui $12$ pentru că $12$ se divide cu amândoi și amândoi sunt numere prime.

Cum descompun un număr în factori primi?

Îl împarți, pe rând, la cel mai mic număr prim care merge exact, apoi continui cu câtul obținut, până ajungi la $1$ La final, grupezi factorii egali sub formă de puteri.

De unde știu cu ce număr prim să încep?

Folosești criteriile de divizibilitate: dacă numărul e par, încerci $2$ dacă suma cifrelor se divide cu $3$ încerci $3$ dacă se termină în $0$ sau $5$ încerci $5$ Dacă niciunul nu merge, treci la $7$ $11$

De ce scriem factorii egali ca puteri?

Ca să nu repeți același număr de mai multe ori într-un produs lung. Exponentul spune direct de câte ori apare factorul: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Cum verific o descompunere?

Înmulțești înapoi toți factorii (cu tot cu puteri) și trebuie să obții exact numărul de la care ai pornit. Dacă nu se potrivește, ai greșit o împărțire pe parcurs.

Un număr prim se mai descompune?

Nu. Un număr prim are deja exact doi divizori, $1$ și el însuși, deci nu are alt factor prim de scos. Rămâne el însuși: de exemplu, $13 = 13$

Descompunerea în produs de puteri de numere prime

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: numere prime și numere compuse

Ce este un factor prim

Metoda împărțirilor succesive

Cu ce număr prim începi

Scrierea cu puteri

Când te oprești

Verifici prin înmulțire

Exemple rezolvate

Exemplul 1: doi factori primi, unul repetat

Exemplul 2: o putere a unui singur număr prim

Exemplul 3: niciun factor prim mic

Exemplul 4: trei factori primi diferiți

Exemplul 5: schimbi factorul prim pe parcurs

Exemplul 6: un număr mai mare, cu verificare

Exemplul 7: descompune un număr prim

Exemplul 8: găsește și corectează o descompunere neterminată

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme