Cel mai mic multiplu comun

Un multiplu comun a două numere este un număr care este multiplu al amândurora. Cel mai mic dintre multiplii comuni pozitivi se numește cel mai mic multiplu comun, pe scurt CMMMC, notat $\text{CMMMC}(a,b)$.

$0$ este multiplu al oricărui număr natural nenul, deci $0$ este mereu un multiplu comun. Nu are însă niciun sens ca răspuns: căutăm cel mai mic multiplu comun POZITIV.

Din aceste două descompuneri, iei TOȚI factorii primi care apar ($2$ și $3$), fiecare la exponentul mai mare: $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Deci $\text{CMMMC}(12,18)=36$.

Din clasa a V-a știi deja ce este un multiplu comun: un număr care este multiplu a două (sau mai multe) numere date. Recapitulăm pe un exemplu mic, prin enumerare.

Multiplii lui $6$ sunt $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, \ldots$. Multiplii lui $8$ sunt $0, 8, 16, 24, 32, 40, \ldots$.

• Multiplii comuni pozitivi ai lui $6$ și $8$, din listele de mai sus, sunt $24, 48, \ldots$
• Cel mai mic dintre ei este $24$.

Enumerarea funcționează bine pentru numere mici, dar devine greoaie la numere mari. De aceea folosești metoda prin descompunere în factori primi, care merge sigur, indiferent cât de mari sunt numerele, exact ca la CMMDC, dar cu o altă regulă.

Cel mai mic multiplu comun (CMMMC) a două numere naturale $a$ și $b$ este cel mai mic număr POZITIV care este multiplu atât al lui $a$, cât și al lui $b$. Se notează $\text{CMMMC}(a,b)$.

Definiția e valabilă și pentru trei sau mai multe numere: CMMMC este multiplu al tuturor, și este cel mai mic număr pozitiv cu această proprietate.

Descompui fiecare număr în produs de puteri de numere prime, exact ca la CMMDC

De data aceasta iei TOȚI factorii primi care apar în oricare dintre descompuneri, nu doar cei comuni. Aici, atât $2$, cât și $3$ apar la ambele, deci amândoi intră în calcul.

Rezultatul este $36$. Poți verifica: $36:12=3$ și $36:18=2$, ambele exacte.

Ca să calculezi CMMMC a două numere prin descompunere, urmezi patru pași.

• 1. Descompui ambele numere în produs de puteri de numere prime.
• 2. Reții TOȚI factorii primi care apar, la oricare dintre cele două numere (comuni sau nu).
• 3. Pentru fiecare factor, iei exponentul mai mare dintre cele două descompuneri (dacă un factor apare doar la un număr, exponentul lui de la celălalt este considerat $0$, deci exponentul maxim e chiar cel pe care îl are).
• 4. Înmulțești.

Cele două metode pornesc din aceleași descompuneri, dar diferă complet în ce factori aleg și ce exponent iau pentru fiecare. Tabelul de mai jos previne confuzia dintre ele.

Pe exemplul $12$ și $18$: $\text{CMMDC}(12,18)=2^1\cdot3^1=6$ (exponenți minimi, ambele numere se împart la $6$), iar $\text{CMMMC}(12,18)=2^2\cdot3^2=36$ (exponenți maximi, $36$ se împarte la ambele numere).

Calculăm $\text{CMMMC}(24,30)$, un caz cu trei factori primi diferiți.

Factorii care apar sunt $2$, $3$ și $5$. $5$ apare doar la $30$, dar tot intră în calcul, pentru că regula ia TOȚI factorii care apar, nu doar cei comuni.

Un caz rapid: $\text{CMMMC}(8,24)$, unde un număr divide exact pe celălalt.

$8$ divide exact $24$ ($24:8=3$), deci $24$ este multiplu al lui $8$ și, evident, al lui $24$. Niciun multiplu pozitiv al lui $24$ nu este mai mic decât $24$, deci $24$ este cel mai mic multiplu comun.

Din lecția anterioară știi că $a$ și $b$ sunt prime între ele dacă $\text{CMMDC}(a,b)=1$, adică nu au niciun factor prim comun.

Dacă $a$ și $b$ sunt prime între ele, descompunerile lor nu au niciun factor comun, deci la calculul CMMMC iei pur și simplu toți factorii lui $a$ și toți factorii lui $b$, fără să alegi vreun exponent, rezultatul este chiar produsul $a\cdot b$.

Pentru orice două numere naturale nenule $a$ și $b$, produsul dintre CMMDC și CMMMC al lor este egal cu produsul celor două numere.

Verificăm pe $12$ și $18$: $\text{CMMDC}(12,18)=6$ și $\text{CMMMC}(12,18)=36$.

Un rezultat corect trebuie să îndeplinească două condiții: să fie multiplu al ambelor numere și să fie cel mai mic multiplu comun pozitiv. Le verifici pe amândouă.

Împărțirile exacte arată doar că $36$ este un multiplu comun; și $72$ ar trece acest test. Ca să fie cel mai mic, câturile $3$ și $2$ trebuie să fie prime între ele: dacă ar avea un factor comun, ai putea împărți $36$ la el și ai obține un multiplu comun mai mic. Cum $3$ și $2$ sunt prime între ele, $\text{CMMMC}(12,18)=36$ este confirmat.

CMMMC răspunde la întrebări de tipul „după cât timp coincid din nou două evenimente care se repetă la intervale diferite?”.

Un semafor clipește la fiecare $6$ minute, iar altul, montat pe aceeași stradă, clipește la fiecare $8$ minute. Dacă acum clipesc în același timp, peste câte minute vor mai clipi din nou în același timp?

Vor clipi din nou împreună peste $24$ de minute. Observă diferența față de CMMDC: aici nu împărțim în grupe, ci căutăm primul moment de repetare comună.