Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale

Scriem $a\mid b$ pentru „$a$ divide $b$”, adică împărțirea lui $b$ la $a$ este exactă (fără rest). O proprietate a divizibilității este o regulă care spune ce se întâmplă cu relația $\mid$ atunci când combinăm numere prin adunare, scădere sau înmulțire.

De exemplu, dacă știi deja că $7\mid21$ și $7\mid35$, proprietatea sumei îți spune direct, fără nicio împărțire nouă, că $7\mid(21+35)$, adică $7\mid56$.

Aceste proprietăți nu introduc nimic nou de calculat, ele te ajută să deduci divizibilitatea unor numere noi, folosind ce știi deja despre numere mai mici.

Din clasa a V-a știi ce înseamnă $a\mid b$: numărul $a$ divide numărul $b$ dacă împărțirea lui $b$ la $a$ este exactă, fără rest. Echivalent, există un număr natural $k$ astfel încât $b=a\cdot k$. Peste tot în lecție, când scriem $a\mid b$, numărul $a$ este nenul, pentru că împărțirea la $0$ nu are sens.

O proprietate a divizibilității este o regulă generală, valabilă pentru orice numere naturale care satisfac condițiile ei, nu doar pentru un exemplu anume. Regulile din această lecție îți spun ce se întâmplă cu relația $\mid$ atunci când numerele implicate se adună, se scad sau se înmulțesc.

Orice număr natural nenul se divide pe sine. Pentru orice număr natural nenul $a$:

Motivul este simplu: $a=a\cdot1$, deci împărțirea lui $a$ la $a$ dă câtul $1$, fără rest.

• $5\mid5$, pentru că $5=5\cdot1$.
• $12\mid12$, pentru că $12=12\cdot1$.

Două fapte despre $0$ apar des în justificări și produc greșeli.

• $a\mid0$ pentru orice număr natural nenul $a$, pentru că $0=a\cdot0$: împărțirea $0:a$ dă câtul $0$, fără rest. De exemplu, $7\mid0$.
• $0\mid b$ nu este posibil pentru niciun $b$ nenul: orice $0\cdot k$ este $0$, niciodată $b$. De altfel, împărțirea la $0$ nu are sens.

Dacă un număr divide un al doilea, iar al doilea divide un al treilea, atunci primul divide și al treilea.

Exemplu: $2\mid6$ și $6\mid18$, deci $2\mid18$.

Am scris $18=2\cdot9$, deci $2$ divide exact $18$: tranzitivitatea este confirmată prin calcul, nu doar afirmată.

Dacă un număr divide doi termeni, atunci divide și suma lor.

Exemplu: $4\mid12$ și $4\mid20$, deci $4\mid(12+20)=4\mid32$.

Scoțând $4$ factor comun, vezi direct că $32$ este un multiplu al lui $4$.

La fel ca la sumă, dacă un număr divide doi termeni, atunci divide și diferența lor, atunci când diferența are sens în ℕ (scădem numărul mai mic din cel mai mare).

Exemplu: $5\mid35$ și $5\mid20$, deci $5\mid(35-20)=5\mid15$.

Dacă un număr divide un al doilea, atunci divide și orice multiplu al acelui al doilea număr.

Exemplu: $3\mid12$, deci $3\mid(12\cdot5)=3\mid60$.

Scriind $60=3\cdot20$, vezi direct că $3$ divide exact $60$, fără să mai împarți $60$ la $3$ separat.

Proprietățile de mai sus se pot folosi împreună, într-un singur raționament. Dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a$ divide și combinații simple de multipli ai lui $b$ și $c$, de exemplu $2b+3c$ sau $5b-2c$ (când diferența are sens în ℕ).

Exemplu: $6\mid18$ și $6\mid24$. Atunci $6\mid(2\cdot18+24)$, pentru că $2\cdot18$ este tot multiplu de $6$ (proprietatea produsului), iar suma a doi multipli de $6$ este tot multiplu de $6$ (proprietatea sumei).

Proprietățile funcționează într-un singur sens: din divizibilitatea termenilor deduci divizibilitatea sumei, dar nu poți face invers, din divizibilitatea sumei să deduci automat divizibilitatea fiecărui termen în parte.

Un contraexemplu simplu arată de ce reciproca e falsă: $3\mid(5+7)$, pentru că $5+7=12$ și $3\mid12$. Dar $3$ NU divide $5$ și nici $7$ separat.

Cu alte cuvinte: „$a$ divide suma” nu garantează că $a$ divide fiecare termen luat separat.

Există totuși o deducție corectă în această direcție: dacă $a$ divide suma și divide unul dintre termeni, atunci divide și celălalt termen (el este diferența dintre sumă și primul termen). De exemplu, din $5\mid(20+15)=35$ și $5\mid20$ rezultă $5\mid15$.

Cel mai mare avantaj practic: poți dovedi divizibilitatea unui număr fără să faci împărțirea completă, dacă știi deja divizibilitatea unor numere mai mici legate de el.

Dacă știm deja că $13\mid26$ și $13\mid39$, proprietatea sumei ne spune direct că $13\mid(26+39)=13\mid65$, fără să calculăm $65:13$ ca să verificăm.

Notația $a\mid b$ și sensul ei vin din clasa a V-a. Descompunerea în factori primi (lecția 1 a acestui modul) și calculul CMMDC (cel mai mare divizor comun) și al CMMMC (cel mai mic multiplu comun), din lecțiile 2 și 3, au folosit mereu, implicit, ideea că un număr scris ca produs este divizibil cu fiecare factor al lui, exact tipul de raționament pe care proprietățile de aici îl fac explicit.

Nu reluăm niciun algoritm de calcul din lecțiile anterioare, factorizarea, CMMDC și CMMMC rămân exact cum le-ai învățat. Aici formalizăm doar cum se comportă $\mid$ sub adunare, scădere și înmulțire.

Tabelul de mai jos adună, pe scurt, toate proprietățile din această lecție.