Cel mai mare divizor comun (CMMDC) – Clasa a VI-a

Ce vei învăța

Spui ce este un divizor comun și ce este cel mai mare divizor comun.
Calculezi CMMDC a două numere prin descompunere în factori primi.
Alegi corect exponentul minim pentru fiecare factor prim comun.
Recunoști numere prime între ele și explici de ce nu trebuie ca ambele să fie prime.
Verifici rezultatul, arătând că CMMDC divide ambele numere.
Rezolvi probleme simple de grupare folosind CMMDC

Recomandat înainte: Descompunerea în produs de puteri de numere prime

Ideea de bază

Un divizor comun a două numere este un număr care le divide exact pe amândouă. Cel mai mare dintre acești divizori comuni se numește cel mai mare divizor comun, notat $\text{CMMDC}(a,b)$

Pentru numere mici poți găsi CMMDC enumerând divizorii. Pentru numere mai mari, metoda sigură și rapidă este descompunerea în factori primi.

18 = 2 \cdot 3^2 \qquad 24 = 2^3 \cdot 3

Din aceste două descompuneri, iei factorii primi comuni $2$ și $3$ fiecare la exponentul mai mic: $2^1 \cdot 3^1 = 6$ Deci $\text{CMMDC}(18,24)=6$

Recapitulare: divizori comuni

Din clasa a V-a știi deja ce este un divizor comun: un număr care divide exact două (sau mai multe) numere date. Recapitulăm pe un exemplu mic, prin enumerare.

Divizorii lui $18$ sunt $1, 2, 3, 6, 9, 18$ Divizorii lui $24$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Divizorii comuni ai lui $18$ și $24$ sunt cei care apar în ambele liste: $1, 2, 3, 6$
Cel mai mare dintre ei este $6$

Cel mai mare divizor comun

$6$ este cel mai mare divizor comun al lui $18$ și $24$ Se scrie $\text{CMMDC}(18,24)=6$

Enumerarea funcționează bine pentru numere mici, dar devine greoaie la numere mari, cu mulți divizori. De aceea, de la clasa a VI-a înveți metoda prin descompunere în factori primi, care merge sigur, indiferent cât de mari sunt numerele.

Ce este CMMDC

Cel mai mare divizor comun (CMMDC) a două numere naturale nenule $a$ și $b$ este cel mai mare număr natural care divide exact atât $a$ cât și $b$ Se notează $\text{CMMDC}(a,b)$

Definiția e valabilă și pentru trei sau mai multe numere: CMMDC le divide pe toate exact, și este cel mai mare număr cu această proprietate.

CMMDC prin descompunere în factori primi

Descompui fiecare număr în produs de puteri de numere prime, exact ca în lecția anterioară.

Descompunerea lui 18 și a lui 24
Număr	Descompunere
18	$2 \cdot 3^2$
24	$2^3 \cdot 3$

Factorii primi comuni sunt cei care apar în ambele descompuneri: aici, $2$ și $3$ Un factor care apare doar la unul dintre numere nu intră în CMMDC

Exponentul fiecărui factor comun la 18 și la 24
Factor comun	Exponent la 18	Exponent la 24	Exponent minim
2	1	3	1
3	2	1	1

\text{CMMDC}(18,24) = 2^1 \cdot 3^1

Fiecare factor comun, la exponentul mai mic.

\text{CMMDC}(18,24) = 2 \cdot 3 = 6

Rezultatul, $6$ coincide cu cel găsit mai sus prin enumerare. Metoda prin descompunere e cea care va merge de aici înainte, inclusiv la numere mari.

Regula exponenților minimi

Ca să calculezi CMMDC a două numere prin descompunere, urmezi trei pași.

1. Descompui ambele numere în produs de puteri de numere prime.
2. Reții doar factorii primi comuni (care apar la ambele descompuneri).
3. Pentru fiecare factor comun, iei exponentul mai mic dintre cele două descompuneri, apoi înmulțești.

Regula, pe scurt

$\text{CMMDC}(a,b)$ = produsul factorilor primi comuni, fiecare la exponentul minim din cele două descompuneri.

Alte exemple

Calculăm $\text{CMMDC}(36,48)$

Descompunerea lui 36 și a lui 48
Număr	Descompunere
36	$2^2 \cdot 3^2$
48	$2^4 \cdot 3$

\text{CMMDC}(36,48) = 2^2 \cdot 3^1

2: exponent minim între 2 și 4 este 2. 3: exponent minim între 2 și 1 este 1.

\text{CMMDC}(36,48) = 4 \cdot 3 = 12

Un caz cu un singur factor prim comun: $\text{CMMDC}(20,45)$

Descompunerea lui 20 și a lui 45
Număr	Descompunere
20	$2^2 \cdot 5$
45	$3^2 \cdot 5$

Factorul $2$ apare doar la $20$ iar $3$ apare doar la $45$ nu sunt comuni, deci nu intră în calcul. Singurul factor comun este $5$ la exponentul $1$ la ambele.

\text{CMMDC}(20,45) = 5

Numere prime între ele

Două numere naturale sunt prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al lor este $1$ adică $\text{CMMDC}(a,b)=1$ Nu au niciun factor prim comun.

Verificăm pe $8$ și $15$

Descompunerea lui 8 și a lui 15
Număr	Descompunere
8	$2^3$
15	$3 \cdot 5$

Niciun factor prim nu se repetă la ambele: $8$ și $15$ sunt prime între ele, $\text{CMMDC}(8,15)=1$

„Prime între ele” nu înseamnă „amândouă numere prime”

$8$ și $15$ sunt prime între ele, dar niciunul dintre ele nu este un număr prim $8=2^3$ $15=3\cdot5$ ambele compuse). „Prime între ele” descrie relația dintre cele două numere, nu faptul că fiecare, luat separat, e prim.

În schimb, $12$ și $18$ nu sunt prime între ele: $12=2^2\cdot3$ $18=2\cdot3^2$ au factorii comuni $2$ și $3$ deci $\text{CMMDC}(12,18)=2\cdot3=6\neq1$

Cazuri rapide

Două situații pe care le recunoști direct, fără să mai descompui în factori primi.

$\text{CMMDC}(a,a)=a$ CMMDC al unui număr cu el însuși este chiar acel număr.
Dacă un număr divide exact pe celălalt, CMMDC este numărul mai mic.

\text{CMMDC}(8,24) = 8

$8$ divide exact $24$ $24:8=3$ deci $8$ este el însuși cel mai mare divizor comun: niciun divizor al lui $8$ nu poate fi mai mare decât $8$

Aplicații: probleme de grupare

CMMDC răspunde la întrebări de tipul „în câte grupe identice, fără nimic rămas, pot împărți niște obiecte?”.

O clasă are $24$ de obiecte roșii și $36$ de obiecte albastre. Vrem să le împărțim în grupe identice, fiecare grupă având același număr de roșii și același număr de albastre, fără să rămână niciun obiect nefolosit, folosind numărul maxim posibil de grupe.

24 = 2^3 \cdot 3

Descompunem.

36 = 2^2 \cdot 3^2

\text{CMMDC}(24,36) = 2^2 \cdot 3 = 12

Numărul maxim de grupe identice este $12$ Fiecare grupă va avea $24:12=2$ obiecte roșii și $36:12=3$ obiecte albastre.

Verifici rezultatul

Un rezultat corect trebuie să îndeplinească două condiții: să dividă exact ambele numere și să fie cel mai mare număr cu această proprietate. Le verifici pe amândouă.

18 : 6 = 3

6 divide exact 18.

24 : 6 = 4

6 divide exact 24.

Împărțirile exacte arată doar că $6$ este un divizor comun; ar putea fi și $2$ sau $3$ Ca să fie cel mai mare, câturile $3$ și $4$ trebuie să fie prime între ele: nu au niciun factor comun, deci nu se mai poate împărți cu nimic în plus. Așadar $\text{CMMDC}(18,24)=6$ este confirmat. Dacă una dintre împărțiri ar avea rest, sau câturile ar avea un factor comun, undeva în descompunere sau în alegerea exponenților s-a strecurat o greșeală.

La ce folosește mai departe

CMMDC prin descompunere este metoda de bază pentru lecția următoare a modulului, cel mai mic multiplu comun (CMMMC), care se calculează tot din descompunerile în factori primi, dar cu o altă regulă pentru exponenți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: CMMDC prin enumerarea divizorilor

Determină $\text{CMMDC}(12,18)$ enumerând divizorii.

Vezi rezolvarea

Divizorii lui $12$ $1,2,3,4,6,12$ Divizorii lui $18$ $1,2,3,6,9,18$

Divizorii comuni: $1,2,3,6$ Cel mai mare este $6$

\text{CMMDC}(12,18) = 6

Exemplul 2: CMMDC(18,24)

Determină $\text{CMMDC}(18,24)$ prin descompunere în factori primi.

Vezi rezolvarea

18 = 2 \cdot 3^2 \qquad 24 = 2^3 \cdot 3

\text{CMMDC}(18,24) = 2^1 \cdot 3^1

\text{CMMDC}(18,24) = 6

Verificare: $18:6=3$ și $24:6=4$ ambele exacte.

Exemplul 3: CMMDC(36,48)

Determină $\text{CMMDC}(36,48)$ prin descompunere în factori primi.

Vezi rezolvarea

36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 48 = 2^4 \cdot 3

\text{CMMDC}(36,48) = 2^2 \cdot 3^1

\text{CMMDC}(36,48) = 12

Verificare: $36:12=3$ și $48:12=4$

Exemplul 4: un factor prim care nu este comun

Determină $\text{CMMDC}(28,42)$

Vezi rezolvarea

28 = 2^2 \cdot 7 \qquad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

Factorii primi comuni sunt $2$ (exponent minim $1$ și $7$ (exponent minim $1$ Factorul $3$ apare doar la $42$ deci nu intră în CMMDC.

\text{CMMDC}(28,42) = 2 \cdot 7

\text{CMMDC}(28,42) = 14

Exemplul 5: un număr divide pe celălalt

Determină $\text{CMMDC}(9,27)$

Vezi rezolvarea

$9$ divide exact $27$ $27:9=3$ deci $9$ este el însuși CMMDC

\text{CMMDC}(9,27) = 9

Verificare prin descompunere: $9=3^2$ $27=3^3$ exponentul minim al lui $3$ este $2$ deci $3^2=9$

Exemplul 6: numere prime între ele (8 și 15)

Arată că $8$ și $15$ sunt prime între ele.

Vezi rezolvarea

8 = 2^3 \qquad 15 = 3 \cdot 5

Niciun factor prim nu se repetă la amândouă, deci $\text{CMMDC}(8,15)=1$

$8$ și $15$ sunt prime între ele, deși niciunul dintre ele nu este un număr prim.

Exemplul 7: numere care nu sunt prime între ele (12 și 18)

Arată că $12$ și $18$ nu sunt prime între ele.

Vezi rezolvarea

12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2

Factorii comuni sunt $2$ și $3$

\text{CMMDC}(12,18) = 2 \cdot 3 = 6 \neq 1

Cum CMMDC nu este $1$ $12$ și $18$ nu sunt prime între ele.

Exemplul 8: găsește greșeala în alegerea exponenților

Un elev calculează $\text{CMMDC}(18,24)$ și scrie $\text{CMMDC}(18,24)=2^3\cdot3^2=72$ Ce a greșit?

Vezi rezolvarea

A ales exponentul maxim al fiecărui factor, nu exponentul minim. Aceea ar fi regula pentru CMMMC, nu pentru CMMDC

În plus, $72$ nu poate fi CMMDC al lui $18$ și $24$ $72$ este mai mare decât $18$ și decât $24$ deci nu poate fi divizor comun al lor.

\text{CMMDC}(18,24) = 2^1 \cdot 3^1 = 6

Exemplul 9: problemă de grupare

O florărie are $30$ de trandafiri și $42$ de garoafe. Vrea să facă buchete identice, fiecare cu același număr de trandafiri și același număr de garoafe, fără flori rămase, folosind numărul maxim de buchete. Câte buchete se pot face?

Vezi rezolvarea

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \qquad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

\text{CMMDC}(30,42) = 2 \cdot 3 = 6

Se pot face $6$ buchete identice, fiecare cu $30:6=5$ trandafiri și $42:6=7$ garoafe.

Exemplul 10: verificare completă

Verifică faptul că $\text{CMMDC}(36,48)=12$

Vezi rezolvarea

36 : 12 = 3

48 : 12 = 4

Ambele împărțiri sunt exacte, deci $12$ este divizor comun. Câturile $3$ și $4$ sunt prime între ele $\text{CMMDC}(3,4)=1$ deci $12$ este cel mai mare divizor comun: rezultatul este confirmat.

Greșeli frecvente

Iau exponentul maxim al fiecărui factor comun, ca la $\text{CMMDC}(18,24)=2^3\cdot3^2$
Pentru CMMDC iei exponentul minim, nu maxim: $\text{CMMDC}(18,24)=2^1\cdot3^1=6$ Exponentul maxim e regula pentru CMMMC (lecția următoare), nu pentru CMMDC
Includ în calcul un factor prim care apare la un singur număr, de exemplu tratez $2$ ca factor comun la $\text{CMMDC}(20,45)$ pentru că apare la $20$
Un factor intră în CMMDC numai dacă apare la ambele descompuneri. $2$ apare doar la $20=2^2\cdot5$ nu și la $45=3^2\cdot5$ deci nu intră. Singurul factor comun este $5$ $\text{CMMDC}(20,45)=5$
Uit un factor prim comun, de exemplu la $\text{CMMDC}(36,48)$ folosesc doar $2^2$ și obțin $4$
$3$ este și el factor comun (apare la exponent $2$ la $36$ și exponent $1$ la $48$ deci trebuie inclus: $\text{CMMDC}(36,48)=2^2\cdot3=12$
Confund regula: folosesc metoda de la CMMMC (factori comuni și necomuni, exponent maxim) când mi se cere CMMDC
CMMDC folosește doar factorii comuni, la exponent minim. Factorii necomuni și exponentul maxim aparțin metodei de CMMMC, subiect al lecției următoare.
Cred că două numere prime între ele trebuie să fie amândouă numere prime.
„Prime între ele” înseamnă doar $\text{CMMDC}(a,b)=1$ nu că $a$ și $b$ sunt numere prime. $8$ și $15$ sunt prime între ele, dar amândouă sunt compuse.
Presupun că orice două numere impare sunt automat prime între ele.
Nu e adevărat: $15$ și $21$ sunt amândouă impare, dar $15=3\cdot5$ și $21=3\cdot7$ au factorul comun $3$ deci $\text{CMMDC}(15,21)=3\neq1$ nu sunt prime între ele.
Mă opresc la un divizor comun, nu la cel mai mare: scriu $\text{CMMDC}(18,24)=3$ pentru că $3$ divide ambele numere.
$3$ este divizor comun, dar nu cel mai mare: $18:3=6$ și $24:3=8$ mai au factorul comun $2$ deci se poate împărți cu încă un $2$ Rezultatul corect este $\text{CMMDC}(18,24)=6$
Aleg drept CMMDC un număr care nu divide unul dintre cele două numere, de exemplu spun $\text{CMMDC}(18,24)=8$
$8$ nu divide exact $18$ $18:8$ are rest $2$ deci nu este nici măcar divizor comun. Verifică mereu că rezultatul divide ambele numere.

Exerciții

Ușor

Enumeră divizorii comuni ai lui $16$ și $24$ apoi spune care este cel mai mare.
Arată răspunsul
Răspuns: Divizori comuni: $1,2,4,8$ $\text{CMMDC}(16,24)=8$
Divizorii lui $16$ $1,2,4,8,16$ Divizorii lui $24$ $1,2,3,4,6,8,12,24$ Comuni: $1,2,4,8$
Determină $\text{CMMDC}(10,15)$ prin descompunere în factori primi.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$10=2\cdot5$ $15=3\cdot5$ singurul factor comun este $5$
Determină $\text{CMMDC}(14,14)$
Arată răspunsul
Răspuns: $14$
$\text{CMMDC}(a,a)=a$ un număr cu el însuși are CMMDC egal cu numărul.
Determină $\text{CMMDC}(6,18)$ folosind faptul că $6$ divide exact $18$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$18:6=3$ exact; deci $6$ este cel mai mare divizor comun.
Sunt $9$ și $16$ prime între ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$9=3^2$ $16=2^4$ niciun factor comun, deci $\text{CMMDC}(9,16)=1$

Mediu

Determină $\text{CMMDC}(42,56)$ prin descompunere în factori primi.
Arată răspunsul
Răspuns: $14$
$42=2\cdot3\cdot7$ $56=2^3\cdot7$ comuni: $2$ (exponent minim $1$ și $7$ (exponent minim $1$ $2\cdot7=14$
Determină $\text{CMMDC}(50,75)$ prin descompunere în factori primi.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$
$50=2\cdot5^2$ $75=3\cdot5^2$ comun: $5$ la exponent minim $2$ $5^2=25$
Sunt $14$ și $25$ prime între ele? Motivează.
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$14=2\cdot7$ $25=5^2$ niciun factor comun, deci $\text{CMMDC}(14,25)=1$
Un elev scrie $\text{CMMDC}(12,18)=2^2\cdot3^2=36$ Explică greșeala și dă rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit exponentul (a folosit maxim, nu minim); corect: $\text{CMMDC}(12,18)=6$
$12=2^2\cdot3$ $18=2\cdot3^2$ exponent minim la $2$ este $1$ la $3$ este $1$ $2\cdot3=6$
O magazie are $45$ de cutii mici și $60$ de cutii mari. Se fac grupe identice de cutii mici și mari, fără rest, cu numărul maxim de grupe. Câte grupe se formează?
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ grupe.
$45=3^2\cdot5$ $60=2^2\cdot3\cdot5$ $\text{CMMDC}(45,60)=3\cdot5=15$

Provocare

Determină $\text{CMMDC}(84,126)$ prin descompunere în factori primi.
Arată răspunsul
Răspuns: $42$
$84=2^2\cdot3\cdot7$ $126=2\cdot3^2\cdot7$ comuni: $2$ (min $1$ $3$ (min $1$ $7$ (min $1$ $2\cdot3\cdot7=42$
Fără să calculezi CMMDC, explică de ce $\text{CMMDC}(a,b)$ nu poate fi niciodată mai mare decât $a$ sau decât $b$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că trebuie să dividă exact $a$ și $b$ iar un divizor al unui număr nu poate fi mai mare decât acel număr (cu excepția cazului $a=b$ unde e egal).
Divizibilitatea impune $\text{CMMDC}(a,b)\le a$ și $\text{CMMDC}(a,b)\le b$ ca proprietate a oricărui divizor.
$40$ de elevi și $32$ de elevi din două clase vor forma echipe mixte identice (același număr din fiecare clasă), fără nimeni lăsat pe dinafară, cu numărul maxim de echipe. Câte echipe se formează și câți elevi din fiecare clasă intră într-o echipă?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ echipe; $5$ elevi din prima clasă și $4$ din a doua în fiecare echipă.
$40=2^3\cdot5$ $32=2^5$ $\text{CMMDC}(40,32)=2^3=8$ $40:8=5$ $32:8=4$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este cel mai mare divizor comun a două numere?
1. Cel mai mic număr care le divide pe amândouă
2. Suma divizorilor comuni
3. Cel mai mare număr care le divide exact pe amândouă
4. Cel mai mare dintre cele două numere
Arată răspunsul
Răspuns: Cel mai mare număr care le divide exact pe amândouă
CMMDC trebuie să dividă exact ambele numere și să fie cel mai mare cu această proprietate.
2. Care exponent se folosește, pentru fiecare factor prim comun, la calculul CMMDC?
1. Exponentul maxim
2. Suma exponenților
3. Media exponenților
4. Exponentul minim
Arată răspunsul
Răspuns: Exponentul minim
Se ia exponentul mai mic dintre cele două descompuneri, pentru fiecare factor comun.
3. $18 = 2\cdot3^2$ și $30=2\cdot3\cdot5$ Cât este $\text{CMMDC}(18,30)$
1. $6$
2. $2$
3. $90$
4. $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
Factori comuni: $2$ (min $1$ și $3$ (min $1$ $5$ nu e comun. $2\cdot3=6$
4. Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele?
1. Amândouă sunt numere prime
2. Cel mai mare divizor comun al lor este $1$
3. Amândouă sunt numere impare
4. Suma lor este un număr prim
Arată răspunsul
Răspuns: Cel mai mare divizor comun al lor este $1$
„Prime între ele” se referă la $\text{CMMDC}(a,b)=1$ nu la faptul că fiecare număr, separat, ar fi prim.
5. Determină $\text{CMMDC}(21,28)$ prin descompunere în factori primi.
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
$21=3\cdot7$ $28=2^2\cdot7$ singurul factor comun este $7$
6. Sunt $16$ și $21$ prime între ele? Motivează prin descompunere.
Arată răspunsul
Răspuns: Da: $16=2^4$ $21=3\cdot7$ fără niciun factor comun.
$\text{CMMDC}(16,21)=1$ deci sunt prime între ele, deși niciunul nu este el însuși prim.
7. Verifică dacă $\text{CMMDC}(24,60)=12$ folosind împărțirile și câturile obținute.
Arată răspunsul
Răspuns: Da: $24:12=2$ și $60:12=5$ sunt exacte, iar $2$ și $5$ sunt prime între ele.
Împărțirile exacte arată că $12$ este divizor comun, iar câturile prime între ele arată că nu există un divizor comun mai mare.

Întrebări frecvente

Ce este CMMDC?

Este cel mai mare divizor comun a două (sau mai multe) numere: cel mai mare număr care le divide exact pe toate. Se notează $\text{CMMDC}(a,b)$

Cum calculez CMMDC prin descompunere?

Descompui ambele numere în produs de puteri de numere prime, reții factorii primi comuni și, pentru fiecare, iei exponentul mai mic dintre cele două descompuneri. Înmulțești rezultatele.

De ce aleg exponenții cei mai mici?

Pentru că CMMDC trebuie să dividă exact ambele numere. Dacă ai lua exponentul mai mare la un factor, rezultatul nu ar mai divide exact numărul în care factorul apare la exponent mai mic.

Ce înseamnă numere prime între ele?

Două numere sunt prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al lor este $1$ adică nu au niciun factor prim comun.

Două numere prime între ele trebuie să fie prime?

Nu. „Prime între ele” descrie relația dintre cele două numere, nu faptul că fiecare, separat, e un număr prim. De exemplu, $8$ și $15$ sunt prime între ele, dar amândouă sunt numere compuse.

Cum verific rezultatul?

Împarți fiecare dintre cele două numere inițiale la CMMDC găsit. Dacă împărțirile sunt exacte, rezultatul este un divizor comun. Dacă, în plus, câturile obținute sunt prime între ele, rezultatul este chiar cel mai mare divizor comun.

Cel mai mare divizor comun. Numere prime între ele

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: divizori comuni

Ce este CMMDC

CMMDC prin descompunere în factori primi

Regula exponenților minimi

Alte exemple

Numere prime între ele

Cazuri rapide

Aplicații: probleme de grupare

Verifici rezultatul

Exemple rezolvate

Exemplul 1: CMMDC prin enumerarea divizorilor

Exemplul 2: CMMDC(18,24)

Exemplul 3: CMMDC(36,48)

Exemplul 4: un factor prim care nu este comun

Exemplul 5: un număr divide pe celălalt

Exemplul 6: numere prime între ele (8 și 15)

Exemplul 7: numere care nu sunt prime între ele (12 și 18)

Exemplul 8: găsește greșeala în alegerea exponenților

Exemplul 9: problemă de grupare

Exemplul 10: verificare completă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme