Care este diferența dintre x > 2 și x ≥ 2?

x > 2 exclude numărul 2 (interval (2, ∞), paranteză rotundă). x ≥ 2 include numărul 2 (interval [2, ∞), paranteză dreaptă). Diferența e un singur număr, dar contează în scrierea intervalului și în desenul de pe axă.

Inecuații de gradul I în ℝ: rezolvare, sens, interval

Ce vei învăța

Înțelegi ce este o inecuație și ce înseamnă o soluție a ei.
Rezolvi o inecuație de gradul I prin transformări echivalente.
Aplici corect schimbarea sensului inegalității la înmulțire sau împărțire cu un număr negativ.
Scrii soluția unei inecuații ca inegalitate, ca interval și o reprezinți pe axa numerelor.
Verifici rezultatul unei inecuații rezolvate.

Recomandat înainte: Operații cu intervale: intersecția și reuniunea

Ideea de bază

O inecuație este o propoziție cu o necunoscută, în care apare un semn de inegalitate $<$ $>$ $\le$ $\ge$ în loc de semnul egal. De exemplu, $x + 3 > 7$ este o inecuație: te întrebi pentru ce numere reale $x$ este adevărată propoziția.

Spre deosebire de o ecuație, care are de obicei un singur număr ca soluție, o inecuație are de obicei o mulțime întreagă de soluții. Pentru $x + 3 > 7$ orice $x$ mai mare decât $4$ funcționează: $x = 5$ $x = 4{,}1$ $x = 100$ Mulțimea soluțiilor se scrie compact ca interval:

x + 3 > 7 \quad \Longrightarrow \quad x > 4 \quad \Longrightarrow \quad x \in (4, \infty)

Rezolvi o inecuație aproape la fel ca o ecuație: aduni, scazi, înmulțești, împarți, ca să izolezi necunoscuta. Regula nouă, singura care lipsește la ecuații, apare la înmulțire sau împărțire cu un număr negativ, și e subiectul central al acestei lecții.

Ce este o inecuație

O inecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ are una dintre formele:

ax + b < 0 \qquad ax + b \le 0

ax + b > 0 \qquad ax + b \ge 0

unde $a$ și $b$ sunt numere reale date, iar $a \ne 0$ Ca și la ecuații, poți întâlni inecuații scrise sub alte forme, care se aduc la una dintre acestea prin calcule (de exemplu $2x + 3 > x - 1$ sau $3(x - 1) < 9$

Cu ce seamănă și cu ce nu

O inecuație seamănă cu o ecuație de gradul I $ax + b = 0$ dar semnul egal e înlocuit cu $<$ $\le$ $>$ sau $\ge$ Metodele de rezolvare sunt aproape identice; diferența esențială apare doar la înmulțire/împărțire cu un număr negativ.

Ce înseamnă soluția unei inecuații

A rezolva o inecuație înseamnă a găsi TOATE numerele reale care, puse în locul lui $x$ fac propoziția adevărată. Această mulțime se numește mulțimea soluțiilor.

Pentru $x + 3 > 7$ dacă pui $x = 5$ obții $5 + 3 > 7$ adică $8 > 7$ adevărat, deci $5$ este soluție. Dacă pui $x = 4$ obții $4 + 3 > 7$ adică $7 > 7$ fals, deci $4$ NU este soluție. Dacă pui $x = 3$ obții $6 > 7$ fals.

O ecuație vs. o inecuație

Ecuația $x + 3 = 7$ are o singură soluție, $x = 4$ Inecuația $x + 3 > 7$ are o mulțime întreagă de soluții: toate numerele mai mari decât $4$ Nu confunda „soluția” (un număr) de la ecuație cu „mulțimea soluțiilor” (un interval) de la inecuație.

Transformări echivalente

Ca și la ecuații, poți transforma o inecuație fără să-i schimbi mulțimea soluțiilor, dacă aplici o transformare echivalentă. Două inecuații echivalente au exact aceeași mulțime de soluții.

Poți aduna sau scădea același număr din amândouă părțile inegalității.
Poți înmulți sau împărți amândouă părțile cu același număr POZITIV, fără să schimbi sensul.
Poți înmulți sau împărți amândouă părțile cu același număr NEGATIV, dar atunci sensul inegalității SE SCHIMBĂ.

Primele două reguli sunt identice cu cele de la ecuații. A treia este noutatea acestei lecții și motivul pentru care inecuațiile cer puțin mai multă atenție decât ecuațiile.

Adunare și scădere

Adunarea sau scăderea aceluiași număr din amândouă părțile unei inegalități nu schimbă sensul ei. Este exact ca la ecuații.

x + 3 > 7

x + 3 - 3 > 7 - 3

scazi 3 din amândouă părțile

x > 4

Sensul inegalității $>$ rămâne același pe tot parcursul rezolvării.

Înmulțire și împărțire cu un număr pozitiv

Dacă înmulțești sau împarți amândouă părțile unei inegalități cu același număr pozitiv, sensul rămâne neschimbat.

2x \le 8

\dfrac{2x}{2} \le \dfrac{8}{2}

împarți la 2, un număr pozitiv

x \le 4

Verificare rapidă cu numere: $2 < 5$ Înmulțești cu $3$ (pozitiv): $6 < 15$ tot adevărat, semnul $<$ rămâne. Nimic surprinzător aici.

De ce se schimbă sensul la înmulțire/împărțire cu un negativ

Aceasta este regula cea mai importantă din toată lecția: la înmulțirea sau împărțirea unei inegalități cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.

Pornești de la o inegalitate adevărată, simplă: $2 < 5$ Înmulțești amândouă părțile cu $-1$

2 < 5 \quad \xrightarrow{\ \times(-1)\ } \quad -2 \; ? \; -5

Dacă ai păstra semnul $<$ neschimbat, ai obține $-2 < -5$ ceea ce este FALS: pe axa numerelor, $-2$ este la dreapta lui $-5$ deci $-2$ este mai mare, nu mai mic. Afirmația corectă este:

-2 > -5

Înmulțirea cu un număr negativ „oglindește” numerele față de $0$ pe axă: ce era mai la dreapta ajunge mai la stânga și invers. Ordinea numerelor se inversează, deci semnul inegalității trebuie să se inverseze și el, ca propoziția să rămână adevărată.

Regula centrală

Când înmulțești sau împarți o inegalitate cu un număr NEGATIV, semnul se inversează: $<$ devine $>$ $\le$ devine $\ge$ și invers. Când înmulțești sau împarți cu un număr POZITIV, semnul rămâne neschimbat.

Aplici aceeași idee într-o inecuație cu necunoscută:

-2x < 6

\dfrac{-2x}{-2} > \dfrac{6}{-2}

împarți la −2 (negativ), sensul se inversează

x > -3

Verifici cu un număr: $x = 0$ satisface $x > -3$ Pui în inecuația inițială: $-2 \cdot 0 = 0$ și $0 < 6$ adevărat. Rezultatul e corect.

Rezolvare pas cu pas

Metoda generală, aceeași ca la ecuații, cu o singură atenție suplimentară:

Desfaci parantezele, dacă există.
Aduni/scazi termeni ca să grupezi necunoscuta într-o parte și numerele în cealaltă.
Reduci termenii asemenea din fiecare parte.
Împarți (sau înmulțești) cu coeficientul lui $x$ ca să izolezi necunoscuta.
Dacă acel coeficient este NEGATIV, inversezi sensul inegalității.
Scrii soluția ca inegalitate, apoi ca interval.

Exemplu complet, cu paranteze și coeficient negativ:

5 - 2x \ge 1

-2x \ge 1 - 5

scazi 5 din amândouă părțile

-2x \ge -4

\dfrac{-2x}{-2} \le \dfrac{-4}{-2}

împarți la −2 (negativ), sensul se inversează

x \le 2

Soluția ca interval

Mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul I este întotdeauna un interval nemărginit (sau, în cazuri speciale, toată mulțimea $\mathbb{R}$ ori mulțimea vidă $\varnothing$ vezi mai jos). Translația inegalitate → interval este aceeași pe care ai învățat-o în lecțiile anterioare.

Din inegalitate în interval.
Inegalitate	Interval
$x > a$	$(a, \infty)$
$x \ge a$	$[a, \infty)$
$x < a$	$(-\infty, a)$
$x \le a$	$(-\infty, a]$

Nu confunda $\ge$ cu $(a, \infty)$

$x \ge a$ ÎNCLUDE $a$ deci intervalul se scrie cu paranteză dreaptă: $[a, \infty)$ Scrierea $(a, \infty)$ ar exclude $a$ și ar corespunde lui $x > a$ nu lui $x \ge a$ Infinitul, în schimb, NU este niciodată inclus: e mereu paranteză rotundă lângă $\infty$ sau $-\infty$

Aplicat exemplelor de mai sus: $x > 4 \;\longrightarrow\; (4, \infty)$ $\; x \le 4 \;\longrightarrow\; (-\infty, 4]$ $\; x > -3 \;\longrightarrow\; (-3, \infty)$ $\; x \le 2 \;\longrightarrow\; (-\infty, 2]$

Soluția pe axa numerelor

Reprezentarea pe axă folosește exact convenția de la lecțiile anterioare: capăt inclus → paranteză dreaptă lipită de axă în acel punct, capăt exclus → paranteză rotundă, iar spre infinit, o semidreaptă cu vârf de săgeată, fără nicio paranteză. Toate marcajele numerice stau sub axă.

x \ge 2

x > 2

x \le 2

x < 2

0

1

2

3

4

Cele patru cazuri din jurul lui

2

paranteza dreaptă

[

sau

]

arată capătul inclus, paranteza rotundă

(

sau

)

arată capătul exclus. Direcția semidreptei arată dacă soluțiile sunt mai mari sau mai mici decât

2

Verificare

Poți verifica o inecuație rezolvată punând o valoare din soluție și una din afara ei, în inecuația inițială (nu în forma finală).

Pentru $x + 3 > 7$ ai obținut soluția $x > 4$ Testezi $x = 5$ (parte din soluție): $5 + 3 > 7$ adică $8 > 7$ adevărat. Testezi capătul $x = 4$ (NU este parte din soluție, fiindcă inegalitatea e strictă): $4 + 3 > 7$ adică $7 > 7$ fals, exact cum era de așteptat, fiindcă $4$ e exclus.

La ce ajută și la ce nu ajută verificarea

Testarea unor valori te ajută să prinzi o greșeală de calcul sau de sens, dar NU poate „demonstra” singură întreaga mulțime a soluțiilor, sunt infinit de multe numere de testat. Algebra (transformările echivalente) este cea care determină complet mulțimea soluțiilor; verificarea este doar un control rapid, util mai ales la capătul intervalului.

Cazuri speciale

Uneori necunoscuta dispare complet din inecuație, în urma reducerii termenilor. Rămân doar două cazuri posibile. În niciunul nu împarți la $0$ nu mai ai ce împărți, fiindcă $x$ nu mai apare.

Dacă rămâne o propoziție adevărată pentru orice număr, soluția este toată mulțimea numerelor reale:

2x + 3 > 2x + 1

3 > 1

scazi

2x

din amândouă părțile; propoziția rămasă este adevărată mereu

x \in \mathbb{R}

Dacă rămâne o propoziție falsă, indiferent de $x$ inecuația nu are nicio soluție:

2x + 3 < 2x + 1

3 < 1

scazi

2x

din amândouă părțile; propoziția rămasă este falsă mereu

x \in \varnothing

Cazuri rare, dar posibile

Aceste situații apar când termenii cu $x$ se reduc complet. Nu înseamnă că ai greșit: verifică doar dacă propoziția rămasă (fără $x$ este adevărată sau falsă, și scrie $\mathbb{R}$ respectiv $\varnothing$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare simplă

Rezolvă inecuația $x + 3 > 7$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

x + 3 > 7

x > 7 - 3

scazi 3 din amândouă părțile

x > 4

Soluția ca interval:

x \in (4, \infty)

Exemplul 2: împărțire la un coeficient pozitiv

Rezolvă inecuația $2x \le 8$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

2x \le 8

x \le \dfrac{8}{2}

împarți la 2 (pozitiv), sensul nu se schimbă

x \le 4

x \in (-\infty, 4]

0

1

2

3

4

5

6

x \le 4

paranteză dreaptă la

4

(capăt inclus), semidreaptă spre stânga.

Exemplul 3: coeficient negativ

Rezolvă inecuația $-3x < 9$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

-3x < 9

x > \dfrac{9}{-3}

împarți la −3 (negativ), sensul se inversează

x > -3

x \in (-3, \infty)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x > -3

paranteză rotundă la

-3

(capăt exclus), semidreaptă spre dreapta.

Exemplul 4: doi termeni cu necunoscută, coeficient negativ după reducere

Rezolvă inecuația $5 - 2x \ge 1$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

5 - 2x \ge 1

-2x \ge 1 - 5

scazi 5 din amândouă părțile

-2x \ge -4

x \le \dfrac{-4}{-2}

împarți la −2 (negativ), sensul se inversează

x \le 2

x \in (-\infty, 2]

Exemplul 5: paranteze simple

Rezolvă inecuația $3(x - 1) < 9$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

3(x - 1) < 9

3x - 3 < 9

desfaci paranteza

3x < 9 + 3

aduni 3 în amândouă părțile

3x < 12

x < \dfrac{12}{3}

împarți la 3 (pozitiv), sensul nu se schimbă

x < 4

x \in (-\infty, 4)

Exemplul 6: fracție simplă

Rezolvă inecuația $\dfrac{x}{2} > 3$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

\dfrac{x}{2} > 3

x > 3 \cdot 2

înmulțești cu 2 (pozitiv), sensul nu se schimbă

x > 6

x \in (6, \infty)

Exemplul 7: necunoscuta în ambele părți

Rezolvă inecuația $2x + 3 > x - 1$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

2x + 3 > x - 1

2x - x > -1 - 3

muți x în stânga, numerele în dreapta

x > -4

x \in (-4, \infty)

Exemplul 8: fracție cu paranteză

Rezolvă inecuația $\dfrac{x - 1}{3} \le 2$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

\dfrac{x - 1}{3} \le 2

x - 1 \le 2 \cdot 3

înmulțești cu 3 (pozitiv), sensul nu se schimbă

x - 1 \le 6

x \le 7

aduni 1 în amândouă părțile

x \in (-\infty, 7]

Exemplul 9: coeficient negativ obținut din paranteză

Rezolvă inecuația $4 - (x + 6) \ge 0$ și scrie soluția ca interval.

Vezi rezolvarea

4 - (x + 6) \ge 0

4 - x - 6 \ge 0

desfaci paranteza (schimbi semnul fiecărui termen)

-x - 2 \ge 0

-x \ge 2

aduni 2 în amândouă părțile

x \le -2

înmulțești cu −1 (negativ), sensul se inversează

x \in (-\infty, -2]

Exemplul 10: citire de pe axă și verificare

Pe axă, soluția unei inecuații este desenată cu paranteză dreaptă la $-1$ și semidreaptă spre dreapta. Scrie inegalitatea și intervalul, apoi verifică dacă $x = 0$ și $x = -1$ sunt soluții.

Vezi rezolvarea

Paranteză dreaptă la $-1$ (capăt inclus) și semidreaptă spre dreapta înseamnă toate numerele mai mari sau egale cu $-1$

x \ge -1 \qquad x \in [-1, \infty)

$x = 0$ $0 \ge -1$ adevărat, deci $0$ este soluție. $x = -1$ $-1 \ge -1$ adevărat (capătul este inclus), deci $-1$ este și el soluție.

Video

Greșeli frecvente

Împart o inegalitate cu un număr negativ și păstrez semnul neschimbat.
La împărțirea (sau înmulțirea) cu un număr negativ, semnul inegalității SE INVERSEAZĂ: $<$ devine $>$ $\le$ devine $\ge$ și invers. Exemplu: din $-2x < 6$ obții $x > -3$ nu $x < -3$
Inversez semnul și atunci când împart cu un număr pozitiv.
Semnul se schimbă DOAR la înmulțire/împărțire cu un negativ. La un număr pozitiv, sensul rămâne neschimbat: din $2x \le 8$ obții $x \le 4$ nu $x \ge 4$
Scriu soluția $x \ge 2$ ca intervalul $(2, \infty)$
$x \ge 2$ include $2$ deci intervalul are paranteză dreaptă: $[2, \infty)$ $(2, \infty)$ ar corespunde lui $x > 2$ care exclude $2$
Pun paranteză dreaptă lângă $\infty$ de exemplu $[4, \infty]$
$\infty$ nu este un număr real, deci nu poate fi un capăt „inclus”. Se scrie mereu cu paranteză rotundă lângă $\infty$ sau $-\infty$ $[4, \infty)$ $(-\infty, 4]$
Trec un termen dintr-o parte a inegalității în cealaltă fără să-i schimb semnul.
Ca la ecuații: când muți un termen dintr-o parte a inegalității în cealaltă, îi schimbi semnul. Din $2x + 3 > x - 1$ obții $2x - x > -1 - 3$ nu $2x - x > -1 + 3$
Cred că o inecuație are, ca și o ecuație, o singură soluție (un singur număr).
O ecuație de gradul I are, de regulă, un singur număr ca soluție. O inecuație de gradul I are, de regulă, o mulțime întreagă de soluții, un interval. $x + 3 > 7$ înseamnă „toate numerele mai mari decât $4$ nu „numărul $4$
Verific soluția doar cu numere întregi și cred că mulțimea soluțiilor conține doar numere întregi.
Mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul I conține TOATE numerele reale din interval, nu doar cele întregi. Pentru $x > 4$ și $4{,}5$ și $\sqrt{20}$ și $100$ sunt soluții, nu doar $5$ $6$ $7$
Pentru $x > -3$ desenez $)$ la $-3$ în loc de $($
Paranteza „se deschide” spre partea unde SUNT soluțiile. Pentru $x > -3$ (soluțiile sunt la dreapta lui $-3$ paranteza la $-3$ este $($ deschisă spre dreapta. Pentru $x < 4$ (soluțiile sunt la stânga lui $4$ paranteza la $4$ este $)$ deschisă spre stânga.

Exerciții

Ușor

Rezolvă inecuația $x + 5 > 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x > 4$ adică $x \in (4, \infty)$
Scazi $5$ din amândouă părțile: $x > 9 - 5 = 4$
Rezolvă inecuația $3x \le 15$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \le 5$ adică $x \in (-\infty, 5]$
Împarți la $3$ (pozitiv), sensul nu se schimbă: $x \le 15 : 3 = 5$
Rezolvă inecuația $-2x > 10$
Arată răspunsul
Răspuns: $x < -5$ adică $x \in (-\infty, -5)$
Împarți la $-2$ (negativ), sensul se inversează: $x < 10 : (-2) = -5$
Scrie ca interval mulțimea soluțiilor inecuației $x \ge -2$
Arată răspunsul
Răspuns: $[-2, \infty)$
Capătul $-2$ este inclus, deci paranteză dreaptă; spre dreapta, nemărginit.
Verifică dacă $x = 3$ este soluție a inecuației $2x - 1 < 4$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$2 \cdot 3 - 1 = 5$ iar $5 < 4$ este fals.

Mediu

Rezolvă inecuația $5x - 3 \ge 2x + 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \ge 4$ adică $x \in [4, \infty)$
$5x - 2x \ge 9 + 3 \Rightarrow 3x \ge 12 \Rightarrow x \ge 4$ (împarți la $3$ pozitiv).
Rezolvă inecuația $4(x + 2) < 3x + 10$
Arată răspunsul
Răspuns: $x < 2$ adică $x \in (-\infty, 2)$
$4x + 8 < 3x + 10 \Rightarrow 4x - 3x < 10 - 8 \Rightarrow x < 2$
Rezolvă inecuația $\dfrac{2x}{3} \le 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \le 6$ adică $x \in (-\infty, 6]$
Înmulțești cu $3$ (pozitiv): $2x \le 12$ împarți la $2$ (pozitiv): $x \le 6$
Rezolvă inecuația $-3(x - 1) \le 12$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \ge -3$ adică $x \in [-3, \infty)$
$-3x + 3 \le 12 \Rightarrow -3x \le 9 \Rightarrow x \ge 9 : (-3) = -3$ (împarți la $-3$ negativ, sensul se inversează).
Pe axă, soluția unei inecuații are paranteză rotundă la $1$ și semidreaptă spre stânga. Scrie inegalitatea și intervalul corespunzător.
Arată răspunsul
Răspuns: $x < 1$ adică $x \in (-\infty, 1)$
Paranteză rotundă = capăt exclus; semidreapta spre stânga = numere mai mici decât $1$
Rezolvă inecuația $4x < 3$ Scrie capătul intervalului ca fracție și ca zecimală.
Arată răspunsul
Răspuns: $x < \dfrac{3}{4}$ adică $x \in \left(-\infty, \dfrac{3}{4}\right)$ $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$
Împarți la $4$ (pozitiv), sensul nu se schimbă: $x < \dfrac{3}{4}$ Valoarea $0{,}75$ este exactă, nu o aproximare.
Rezolvă inecuația $0{,}5x - 1 \le 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \le 6$ adică $x \in (-\infty, 6]$
Aduni $1$ $0{,}5x \le 3$ Împarți la $0{,}5$ (pozitiv): $x \le 3 : 0{,}5 = 6$
Un abonament lunar la bazinul de înot costă $50$ de lei, la care se adaugă $10$ lei pentru fiecare intrare. Maria are cel mult $150$ de lei pentru o lună. Scrie inecuația care modelează situația, rezolv-o și află numărul maxim de intrări pe care și le permite Maria.
Arată răspunsul
Răspuns: $50 + 10x \le 150$ $x \le 10$ cel mult $10$ intrări.
Cu $x$ numărul de intrări: $50 + 10x \le 150 \Rightarrow 10x \le 100 \Rightarrow x \le 10$ adică $x \in (-\infty, 10]$ Numărul de intrări este natural, deci Maria își permite cel mult $10$ intrări.

Provocare

Rezolvă inecuația $\dfrac{x - 2}{-2} > 3$ și scrie soluția ca interval.
Arată răspunsul
Răspuns: $x < -4$ adică $x \in (-\infty, -4)$
Înmulțești cu $-2$ (negativ), sensul se inversează: $x - 2 < 3 \cdot (-2) = -6$ aduni $2$ $x < -4$
Rezolvă inecuația $3x - 4 < 3x + 1$ și interpretează rezultatul.
Arată răspunsul
Răspuns: $x \in \mathbb{R}$
Scazi $3x$ din amândouă părțile: rămâne $-4 < 1$ propoziție adevărată pentru orice $x$ deci toată mulțimea $\mathbb{R}$ este soluție.
Rezolvă inecuația $2(x - 3) - x \ge x + 1$ și scrie soluția ca interval.
Arată răspunsul
Răspuns: Nicio soluție, $x \in \varnothing$
$2x - 6 - x \ge x + 1 \Rightarrow x - 6 \ge x + 1 \Rightarrow -6 \ge 1$ propoziție falsă pentru orice $x$ deci mulțimea soluțiilor este vidă.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Din $-4x < 20$ prin împărțire la $-4$ obții:
1. $x < -5$
2. $x > -5$
3. $x < 5$
4. $x > 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $x > -5$
Împarți cu un număr negativ, deci sensul se inversează: $x > 20 : (-4) = -5$
2. Soluția inecuației $3x + 2 \le 11$ este:
1. $x \le 3$
2. $x \ge 3$
3. $x \le 4$
4. $x \ge 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \le 3$
$3x \le 9 \Rightarrow x \le 3$ (împarți la $3$ pozitiv, sensul nu se schimbă).
3. $x > 5$ se scrie ca interval:
1. $[5, \infty)$
2. $(-\infty, 5)$
3. $(-\infty, 5]$
4. $(5, \infty)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(5, \infty)$
$5$ este exclus (inegalitate strictă), deci paranteză rotundă, nemărginit spre dreapta.
4. Pe axă, care desen corespunde lui $x \le -1$
1. paranteză rotundă la $-1$ semidreaptă spre dreapta
2. paranteză dreaptă la $-1$ semidreaptă spre dreapta
3. paranteză dreaptă la $-1$ semidreaptă spre stânga
4. paranteză rotundă la $-1$ semidreaptă spre stânga
Arată răspunsul
Răspuns: paranteză dreaptă la $-1$ semidreaptă spre stânga
$\le$ include capătul (paranteză dreaptă), iar soluțiile sunt mai mici sau egale, deci spre stânga.
5. Rezolvă inecuația $6 - x > 2$ și scrie soluția ca interval.
Arată răspunsul
Răspuns: $x < 4$ adică $(-\infty, 4)$
$-x > 2 - 6 = -4 \Rightarrow x < 4$ (înmulțești cu $-1$ negativ, sensul se inversează).
6. Este $x = 2$ soluție a inecuației $x \ge 2$ De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru că inegalitatea este $\ge$ (nu strictă), deci $2$ este inclus în mulțimea soluțiilor.
La o inegalitate nestrictă (cu $\le$ sau $\ge$ capătul face parte din soluție.
7. Rezolvă $-x + 3 \ge 0$ și scrie rezultatul ca inegalitate simplă pentru $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \le 3$
$-x \ge -3 \Rightarrow x \le 3$ (înmulțești cu $-1$ negativ, sensul se inversează).

Întrebări frecvente

Ce este o inecuație?

O propoziție cu o necunoscută, în care apare un semn de inegalitate $<$ $>$ $\le$ $\ge$ în loc de semnul egal. A rezolva o inecuație înseamnă a găsi toate numerele reale pentru care propoziția este adevărată.

De ce se schimbă sensul când împart la un număr negativ?

Pentru că înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ inversează ordinea numerelor pe axă: dacă $2 < 5$ atunci $-2 > -5$ Ca inegalitatea transformată să rămână adevărată, semnul trebuie inversat.

Cum scriu soluția ca interval?

$x > a$ devine $(a, \infty)$ $x \ge a$ devine $[a, \infty)$ $x < a$ devine $(-\infty, a)$ $x \le a$ devine $(-\infty, a]$ Infinitul nu este niciodată inclus, deci lângă el stă mereu paranteza rotundă.

Cum reprezint soluția pe axă?

Desenezi o paranteză dreaptă la capătul inclus sau o paranteză rotundă la capătul exclus, lipită de axă în acel punct, apoi o semidreaptă cu săgeată în direcția în care se află soluțiile. Toate valorile numerice se scriu sub axă.

Care este diferența dintre

x > 2

și

x \ge 2

$x > 2$ exclude numărul $2$ (interval $(2, \infty)$ paranteză rotundă). $x \ge 2$ include numărul $2$ (interval $[2, \infty)$ paranteză dreaptă). Diferența e un singur număr, dar contează în scrierea intervalului și în desenul de pe axă.

Poate o inecuație să aibă toate numerele reale sau nicio soluție ca răspuns?

Da. Dacă necunoscuta dispare din calcul și rămâne o propoziție adevărată (de exemplu $3 > 1$ soluția este $\mathbb{R}$ Dacă rămâne o propoziție falsă (de exemplu $3 < 1$ inecuația nu are nicio soluție, adică mulțimea soluțiilor este $\varnothing$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o inecuație

Ce înseamnă soluția unei inecuații

Transformări echivalente

Adunare și scădere

Înmulțire și împărțire cu un număr pozitiv

De ce se schimbă sensul la înmulțire/împărțire cu un negativ

Rezolvare pas cu pas

Soluția ca interval

Soluția pe axa numerelor

Verificare

Cazuri speciale

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare simplă

Exemplul 2: împărțire la un coeficient pozitiv

Exemplul 3: coeficient negativ

Exemplul 4: doi termeni cu necunoscută, coeficient negativ după reducere

Exemplul 5: paranteze simple

Exemplul 6: fracție simplă

Exemplul 7: necunoscuta în ambele părți

Exemplul 8: fracție cu paranteză

Exemplul 9: coeficient negativ obținut din paranteză

Exemplul 10: citire de pe axă și verificare

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a