Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Termeni asemenea

Ce vei învăța

Recunoști dintr-o expresie algebrică coeficientul și partea literală a unui termen.
Identifici termenii asemenea dintr-o expresie.
Reduci termenii asemenea și aduni sau scazi expresii algebrice.
Desfaci corect semnul minus din fața unei paranteze.
Simplifici o expresie algebrică prin adunare și scădere, și verifici rezultatul prin substituție.

Ideea de bază

O literă dintr-o expresie algebrică, ca $x$ sau $a$ reprezintă un număr real oarecare. Un termen algebric are, de obicei, un număr (coeficientul) lipit de o literă sau de un produs de litere (partea literală), de exemplu $3x$ $-5a$ sau $2ab$

Doi termeni cu exact aceeași parte literală se numesc termeni asemenea. Pe ei îi poți combina într-un singur termen, adunând sau scăzând doar coeficienții:

3x + 5x = 8x

Această operație se numește reducerea termenilor asemenea, și e pasul de bază pentru a aduna, a scădea și a simplifica orice expresie algebrică.

Din ce este format un termen algebric

Într-o expresie algebrică, literele (de obicei $x$ $y$ $a$ $b$ țin locul unor numere reale, pe care nu le cunoști sau care pot lua orice valoare. Expresia $3x - 7$ înseamnă: iei un număr $x$ îl înmulțești cu $3$ apoi scazi $7$

Un termen algebric este o singură „bucată” dintr-o expresie, separată de restul prin $+$ sau $-$ Expresia $3x - 7$ are doi termeni: $3x$ și $-7$ (semnul $-$ rămâne lipit de termenul care îl urmează).

Un termen poate fi format doar dintr-un număr (termen liber, ca $-7$ doar dintr-o literă $x$ care înseamnă $1x$ sau dintr-un număr înmulțit cu una sau mai multe litere, eventual la putere: $3x$ $-5a$ $2ab$ $4x^2$

Cât de departe mergem acum

Aici te oprești la strictul necesar despre termeni: cât să identifici coeficientul și partea literală. Înmulțirea, împărțirea sau ridicarea la putere a expresiilor algebrice fac obiectul lecției următoare.

Coeficient și parte literală

Un termen algebric are două părți: coeficientul (numărul) și partea literală (litera sau produsul de litere, eventual la putere). În $3x$ coeficientul este $3$ iar partea literală este $x$

Când o literă apare fără număr în față, coeficientul este $1$ (sau $-1$ dacă are minus): $x$ înseamnă $1x$ iar $-x$ înseamnă $-1x$ Când un termen e doar un număr, fără literă, el nu are parte literală (sau, dacă vrei, partea literală este „goală”).

Coeficientul și partea literală ale câtorva termeni.
Termen	Coeficient	Parte literală
$3x$	$3$	$x$
$-5a$	$-5$	$a$
$x$	$1$	$x$
$-x$	$-1$	$x$
$4x^2$	$4$	$x^2$
$2ab$	$2$	$ab$
$-7$	$-7$	(fără parte literală)

Ce sunt termenii asemenea

Doi termeni sunt termeni asemenea dacă au exact aceeași parte literală, indiferent de coeficient. $3x$ și $-5x$ sunt termeni asemenea, pentru că amândoi au partea literală $x$ $2x^2$ și $7x^2$ sunt termeni asemenea, pentru că amândoi au partea literală $x^2$

În schimb, $3x$ și $3x^2$ NU sunt termeni asemenea. Deși coeficientul e același, partea literală diferă: $x$ înseamnă $x$ la puterea întâi, $x^2$ înseamnă $x$ la puterea a doua. Puterea contează, nu doar litera.

Pentru un produs de litere, ordinea nu contează, fiindcă înmulțirea e comutativă: $2ab$ și $5ba$ SUNT termeni asemenea, pentru că $ab$ și $ba$ sunt aceeași parte literală, scrisă în ordine diferită.

Cum verifici rapid

Compară exact litera (sau literele) și exponentul lor. Dacă totul se potrivește, sunt termeni asemenea. Coeficientul (numărul din față) nu contează la această verificare.

Termeni neasemenea

Când doi termeni au părți literale diferite, sunt termeni neasemenea și NU pot fi combinați într-unul singur. Rămân scriși separat, unul lângă altul, exact cum sunt.

$3x$ și $2y$ sunt termeni neasemenea: unul are litera $x$ celălalt litera $y$ Suma lor rămâne așa cum e:

Expresia $3x + 2y$ nu se poate simplifica mai departe. Nu devine $5xy$ (asta ar însemna să înmulțești $x$ cu $y$ ceea ce nu s-a cerut) și nici $5x$ (asta ar însemna să ignori litera $y$ complet). $3x + 2y$ RĂMÂNE $3x + 2y$

Poți vedea că scrierile $5xy$ și $5x$ sunt greșite cu o valoare de test: pentru $x = 1$ și $y = 2$ expresia $3x + 2y$ dă $3 + 4 = 7$ dar $5xy$ dă $10$ iar $5x$ dă $5$

Cea mai frecventă greșeală a lecției

$3x + 2y$ nu este $5xy$ și nici $5x$ Adunarea combină doar termenii asemenea. Termenii neasemenea stau alături, necombinați, în rezultatul final.

Reducerea termenilor asemenea

A reduce termenii asemenea înseamnă a-i combina într-un singur termen, adunând sau scăzând DOAR coeficienții. Partea literală rămâne neschimbată.

3x + 5x

= (3 + 5)x

aduni coeficienții, partea literală rămâne x

= 8x

Alte exemple, cu scădere și cu puteri:

7a - 2a = 5a \qquad 4x^2 - 9x^2 = -5x^2

2ab + 3ab = 5ab

La $4x^2 - 9x^2$ coeficienții sunt $4$ și $9$ iar $4 - 9 = -5$ deci rezultatul este $-5x^2$ Partea literală $x^2$ rămâne aceeași; doar coeficientul se schimbă și poate deveni negativ.

Regula pe scurt

Se combină doar coeficienții. Partea literală a termenilor asemenea nu se schimbă niciodată la reducere: nu se adună exponenții, nu se înmulțesc literele.

Adunarea expresiilor algebrice

Ca să aduni două expresii algebrice, elimini parantezele (semnul $+$ din fața unei paranteze nu schimbă niciun semn din interior), apoi grupezi și reduci termenii asemenea.

(3x + 2) + (5x - 7)

= 3x + 2 + 5x - 7

elimini parantezele, semnele din interior rămân neschimbate

= (3x + 5x) + (2 - 7)

grupezi termenii asemenea

= 8x - 5

Rezultatul, $8x - 5$ este forma cea mai simplă a expresiei: nu mai există termeni asemenea de combinat.

Scăderea expresiilor algebrice

Scăderea a două expresii cere mai multă atenție decât adunarea: minusul din fața celei de-a doua paranteze schimbă semnul FIECĂRUI termen din acea paranteză, nu doar al primului.

(4x + 3) - (2x - 5)

= 4x + 3 - 2x + 5

minusul schimbă semnul fiecărui termen din a doua paranteză

= (4x - 2x) + (3 + 5)

grupezi termenii asemenea

= 2x + 8

Diferența față de adunare

La $(4x + 3) - (2x - 5)$ termenul $2x$ devine $-2x$ iar termenul $-5$ devine $+5$ Amândouă semnele se schimbă, nu doar primul.

Minus în fața parantezei

Un minus în fața unei paranteze schimbă semnul FIECĂRUI termen din interior, nu doar al primului. Greșeala asta apare în aproape orice calcul cu expresii, așa că o fixăm separat.

-(3x - 4) = -3x + 4

Nu $-3x - 4$ Termenul $3x$ devine $-3x$ (minus ori plus dă minus), iar termenul $-4$ devine $+4$ (minus ori minus dă plus).

Câteva exemple simple, ca să fixezi regula:

-(x + 5) = -x - 5

-(2x - 1) = -2x + 1

-(-3x + 2) = 3x - 2

Regula funcționează și cu paranteze imbricate (o paranteză în interiorul alteia): desfaci de la interior spre exterior, sau invers, atât timp cât păstrezi semnele corecte la fiecare pas.

5x - (3x - (x - 2))

= 5x - (3x - x + 2)

desfaci paranteza interioară: -(x-2) = -x+2

= 5x - 3x + x - 2

desfaci paranteza exterioară: minusul schimbă fiecare semn din interior

= (5x - 3x + x) - 2

grupezi termenii asemenea

= 3x - 2

Greșeala tipică

Mulți elevi schimbă doar semnul primului termen din paranteză: $-(3x - 4) = -3x - 4$ (greșit). Corect este $-3x + 4$ minusul se aplică FIECĂRUI termen din paranteză, inclusiv ultimului.

Simplificare pas cu pas

O expresie mai lungă, cu termeni asemenea și neasemenea amestecați, se simplifică prin aceiași pași, aplicați cu grijă: desfaci parantezele, apoi grupezi și reduci doar termenii asemenea.

4x + 3y - (2x - y) + 5

= 4x + 3y - 2x + y + 5

desfaci paranteza: minusul schimbă semnul fiecărui termen din interior

= (4x - 2x) + (3y + y) + 5

grupezi termenii asemenea: cei cu x, cei cu y, termenul liber

= 2x + 4y + 5

Rezultatul, $2x + 4y + 5$ are trei termeni, fiecare cu partea lui literală distinctă $x$ $y$ și fără literă): nu mai există termeni asemenea de combinat, deci expresia e complet simplificată.

Verificarea prin substituție

Poți verifica dacă ai simplificat corect o expresie alegând o valoare simplă pentru literă, de exemplu $x = 2$ și calculând atât expresia inițială, cât și cea simplificată. Dacă rezultatele coincid, e un semn bun.

Pentru expresia de mai devreme, $(4x + 3) - (2x - 5)$ simplificată la $2x + 8$ pui $x = 2$ în amândouă.

(4 \cdot 2 + 3) - (2 \cdot 2 - 5) = 11 - (-1) = 12

2 \cdot 2 + 8 = 12

Amândouă dau $12$ Rezultatul e coerent cu simplificarea făcută.

Ce dovedește, de fapt, substituția

Testarea unei singure valori e o verificare de bun-simț, nu o demonstrație completă: două expresii diferite pot da același rezultat pentru o anumită valoare. De exemplu, $3x + 2x^2$ și $5x^2$ dau amândouă $5$ pentru $x = 1$ dar sunt diferite. De aceea evită $x = 0$ și $x = 1$ și alege o valoare ca $2$ Metoda de simplificare rămâne calculul algebric, pas cu pas; substituția e doar un control rapid la final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifici termenii asemenea

Din lista $5x,\ 3x^2,\ -2x,\ 4,\ x^2,\ -7$ care termeni sunt asemenea între ei?

Vezi rezolvarea

Grupezi termenii după partea literală: $5x$ și $-2x$ au partea literală $x$ deci sunt asemenea. $3x^2$ și $x^2$ au partea literală $x^2$ deci sunt asemenea. $4$ și $-7$ sunt amândoi termeni liberi (fără literă), deci sunt asemenea între ei.

Trei grupe: $\{5x, -2x\}$ $\{3x^2, x^2\}$ $\{4, -7\}$ Niciun termen dintr-o grupă nu e asemenea cu un termen din altă grupă.

Exemplul 2: reducere simplă, aceeași literă

Redu termenii asemenea din $3x + 5x$

Vezi rezolvarea

3x + 5x

= (3 + 5)x

= 8x

Exemplul 3: reducere cu putere și rezultat negativ

Redu termenii asemenea din $4x^2 - 9x^2$

Vezi rezolvarea

4x^2 - 9x^2

= (4 - 9)x^2

= -5x^2

Coeficientul rezultat e negativ, dar partea literală, $x^2$ rămâne neschimbată.

Exemplul 4: expresie mixtă cu termeni neasemenea

Simplifică expresia $3x + 2y + 5x$

Vezi rezolvarea

$3x$ și $5x$ sunt termeni asemenea (ambii au partea literală $x$ $2y$ este neasemenea cu ei și rămâne separat.

3x + 2y + 5x

= (3x + 5x) + 2y

grupezi doar termenii asemenea

= 8x + 2y

Rezultatul are doi termeni, $8x$ și $2y$ care nu se mai pot combina: NU devine $10xy$ și nici $8x$ (fără $2y$

Exemplul 5: adunarea a două expresii

Calculează $(3x + 2) + (5x - 7)$

Vezi rezolvarea

(3x + 2) + (5x - 7)

= 3x + 2 + 5x - 7

elimini parantezele, semnele rămân neschimbate

= (3x + 5x) + (2 - 7)

= 8x - 5

Exemplul 6: scăderea a două expresii

Calculează $(4x + 3) - (2x - 5)$

Vezi rezolvarea

(4x + 3) - (2x - 5)

= 4x + 3 - 2x + 5

minusul schimbă semnul fiecărui termen din a doua paranteză

= (4x - 2x) + (3 + 5)

= 2x + 8

Exemplul 7: minus în fața unei paranteze

Desfă paranteza din $6x - (2x - 5)$ și simplifică.

Vezi rezolvarea

6x - (2x - 5)

= 6x - 2x + 5

minusul schimbă semnul fiecărui termen din paranteză

= 4x + 5

Exemplul 8: paranteze imbricate

Simplifică $5x - (3x - (x - 2))$

Vezi rezolvarea

5x - (3x - (x - 2))

= 5x - (3x - x + 2)

desfaci paranteza interioară

= 5x - 3x + x - 2

desfaci paranteza exterioară

= 3x - 2

Exemplul 9: simplificare expresie mixtă

Simplifică $4x + 3y - (2x - y) + 5$

Vezi rezolvarea

4x + 3y - (2x - y) + 5

= 4x + 3y - 2x + y + 5

desfaci paranteza

= (4x - 2x) + (3y + y) + 5

grupezi termenii asemenea

= 2x + 4y + 5

Exemplul 10: verificare prin substituție

Ai simplificat $(4x + 3) - (2x - 5)$ la $2x + 8$ Verifică pentru $x = 2$

Vezi rezolvarea

Calculezi expresia inițială pentru $x = 2$

(4 \cdot 2 + 3) - (2 \cdot 2 - 5) = 11 - (-1) = 12

Calculezi expresia simplificată pentru $x = 2$

2 \cdot 2 + 8 = 12

Amândouă dau $12$ simplificarea e coerentă cu valoarea testată.

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Scriu $3x + 2y = 5xy$
$3x$ și $2y$ nu sunt termeni asemenea (litere diferite), deci nu se combină. $3x + 2y$ rămâne $3x + 2y$ $5xy$ ar însemna o înmulțire, care nu s-a cerut.
Scriu $x + x = x^2$
$x + x$ este o adunare de termeni asemenea: $x + x = (1+1)x = 2x$ $x^2$ ar însemna $x \cdot x$ o înmulțire, nu o adunare.
Combin $3x$ și $2x^2$ într-un singur termen, de exemplu $5x^2$ sau $5x^3$
$3x$ și $2x^2$ NU sunt termeni asemenea: unul are partea literală $x$ celălalt $x^2$ Puterea diferă, deci rămân separați: $3x + 2x^2$
La $(4x+3)-(2x-5)$ uit să schimb semnul lui $-5$ și scriu $4x+3-2x-5$
Minusul din fața parantezei schimbă semnul FIECĂRUI termen din interior. $-(2x-5) = -2x+5$ nu $-2x-5$ Corect: $4x+3-2x+5$
La $-(3x-4)$ schimb doar semnul primului termen și scriu $-3x-4$
Semnul se schimbă la TOȚI termenii din paranteză, nu doar la primul: $-(3x-4) = -3x+4$
La reducerea $3x+5x$ înmulțesc coeficienții și scriu $15x$
Reducerea termenilor asemenea înseamnă ADUNAREA coeficienților, nu înmulțirea lor: $3x+5x=(3+5)x=8x$
La simplificarea $4x+3y-(2x-y)+5$ pierd termenul liber $+5$ pe drum și rămân doar cu $2x+4y$
Fiecare termen, inclusiv cel liber (fără literă), trebuie dus până la capăt: $4x+3y-2x+y+5=(4x-2x)+(3y+y)+5=2x+4y+5$

Exerciții

Ușor

Care este coeficientul și partea literală a termenului $-6a$
Arată răspunsul
Răspuns: Coeficient $-6$ parte literală $a$
Numărul din fața literei este coeficientul, iar litera (fără număr) este partea literală.
Sunt $4x$ și $-9x$ termeni asemenea? De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Au exact aceeași parte literală, $x$
Redu termenii asemenea din $6x + 4x$
Arată răspunsul
Răspuns: $10x$
$(6+4)x = 10x$
Redu termenii asemenea din $8a - 3a$
Arată răspunsul
Răspuns: $5a$
$(8-3)a = 5a$
Desfă paranteza din $-(x - 3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-x + 3$
Minusul schimbă semnul fiecărui termen: $x$ devine $-x$ $-3$ devine $+3$

Mediu

Simplifică $5x^2 - 3x^2 + x$
Arată răspunsul
Răspuns: $2x^2 + x$
$5x^2$ și $-3x^2$ sunt asemenea, $x$ e neasemenea cu ei: $(5-3)x^2 + x = 2x^2 + x$
Calculează $(2x + 5) + (3x - 1)$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x + 4$
$2x+5+3x-1 = (2x+3x)+(5-1) = 5x+4$
Calculează $(6x - 2) - (x + 4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x - 6$
$6x-2-x-4 = (6x-x)+(-2-4) = 5x-6$ (minusul schimbă semnul lui $x$ și al lui $4$
Simplifică $7x - (2x - 3) + 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x + 4$
$7x-2x+3+1 = 5x+4$
Ai simplificat $(2x+5)+(3x-1)$ la $5x+4$ Verifică pentru $x=2$
Arată răspunsul
Răspuns: Amândouă dau $14$ simplificarea e corectă.
Inițial: $(4+5)+(6-1)=9+5=14$ Simplificat: $5 \cdot 2+4=14$

Provocare

Simplifică $3x - (2x - (x + 4))$
Arată răspunsul
Răspuns: $2x + 4$
$3x-(2x-x-4)=3x-(x-4)=3x-x+4=2x+4$
Simplifică $5a - 3b - (2a - 4b) + a$
Arată răspunsul
Răspuns: $4a + b$
$5a-3b-2a+4b+a = (5a-2a+a)+(-3b+4b) = 4a+b$
Un elev a calculat $(5x+2y)-(3x-3y)$ și a obținut $2x - y$ Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Rezultatul corect este $2x + 5y$ nu $2x - y$
$5x+2y-3x+3y = (5x-3x)+(2y+3y) = 2x+5y$ Elevul a schimbat semnul doar la primul termen din a doua paranteză $3x$ a devenit $-3x$ dar a lăsat $-3y$ neschimbat în loc de $+3y$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care dintre termenii de mai jos NU este asemenea cu $5x^2$
1. $-3x^2$
2. $x^2$
3. $5x$
4. $0{,}5x^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x$
$5x$ are partea literală $x$ (puterea 1), nu $x^2$ deci nu e asemenea cu $5x^2$
2. Rezultatul reducerii $9a - 4a$ este:
1. $5$
2. $5a$
3. $13a$
4. $-5a$
Arată răspunsul
Răspuns: $5a$
$(9-4)a = 5a$ Partea literală $a$ rămâne, coeficienții se scad.
3. $(3x + 4) + (2x - 6)$ este egal cu:
1. $5x - 2$
2. $5x + 10$
3. $x - 2$
4. $5x + 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x - 2$
$3x+4+2x-6 = (3x+2x)+(4-6) = 5x-2$
4. $-(4x - 7)$ este egal cu:
1. $-4x - 7$
2. $4x - 7$
3. $-4x + 7$
4. $4x + 7$
Arată răspunsul
Răspuns: $-4x + 7$
Minusul schimbă semnul fiecărui termen: $4x$ devine $-4x$ $-7$ devine $+7$
5. Calculează $(5x - 2) - (3x - 8)$ și scrie rezultatul simplificat.
Arată răspunsul
Răspuns: $2x + 6$
$5x-2-3x+8 = (5x-3x)+(-2+8) = 2x+6$
6. De ce $3x + 2y$ nu poate fi simplificat mai departe?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că $3x$ și $2y$ nu sunt termeni asemenea (litere diferite).
Doar termenii cu aceeași parte literală se combină.
7. Ai simplificat $6x - (x - 3)$ la $5x + 3$ Verifică rezultatul pentru $x = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: Amândouă dau $13$ rezultatul e corect.
Inițial: $12-(2-3)=12-(-1)=13$ Simplificat: $5 \cdot 2+3=13$

Întrebări frecvente

Ce sunt termenii asemenea?

Termeni cu exact aceeași parte literală, adică aceeași literă (sau produs de litere) la aceeași putere. Coeficientul poate fi diferit: $3x$ și $-5x$ sunt asemenea, dar $3x$ și $3x^2$ nu sunt.

Pot aduna

3x

și

2y

Nu direct. $3x$ și $2y$ au litere diferite, deci nu sunt termeni asemenea. Rezultatul adunării lor rămâne $3x + 2y$ scris cu doi termeni separați, nu un singur termen.

Cum scad două expresii algebrice?

Elimini parantezele: primul termen păstrează semnele, iar la al doilea, minusul din față schimbă semnul fiecărui termen din interior. Apoi grupezi și reduci termenii asemenea.

Ce se întâmplă cu semnele după minus?

Un minus în fața unei paranteze schimbă semnul fiecărui termen din interior, nu doar al primului. De exemplu $-(3x - 4) = -3x + 4$

Cum verific o simplificare?

Alegi o valoare simplă pentru literă, de exemplu $x = 2$ și calculezi atât expresia inițială, cât și cea simplificată. Dacă rezultatele coincid, simplificarea e probabil corectă. Nu înlocuiește calculul algebric, dar prinde multe greșeli.

Care este diferența dintre coeficient și partea literală?

Coeficientul este numărul din fața literei, iar partea literală este litera (sau produsul de litere), eventual cu exponent. În $4x^2$ coeficientul este $4$ iar partea literală este $x^2$

Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

Ce vei învăța

Ideea de bază

Din ce este format un termen algebric

Coeficient și parte literală

Ce sunt termenii asemenea

Termeni neasemenea

Reducerea termenilor asemenea

Adunarea expresiilor algebrice

Scăderea expresiilor algebrice

Minus în fața parantezei

Simplificare pas cu pas

Verificarea prin substituție

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifici termenii asemenea

Exemplul 2: reducere simplă, aceeași literă

Exemplul 3: reducere cu putere și rezultat negativ

Exemplul 4: expresie mixtă cu termeni neasemenea

Exemplul 5: adunarea a două expresii

Exemplul 6: scăderea a două expresii

Exemplul 7: minus în fața unei paranteze

Exemplul 8: paranteze imbricate

Exemplul 9: simplificare expresie mixtă

Exemplul 10: verificare prin substituție

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a