Descompunerea în factori: factor comun și grupare

Ce vei învăța

Explici ce înseamnă descompunerea în factori și cum se leagă de distributivitate.
Identifici și scoți factorul comun numeric, literal sau numeric și literal.
Alegi un factor comun negativ atunci când e util pentru simplificarea expresiei rămase.
Descompui o expresie de 4 termeni prin gruparea termenilor în perechi.
Verifici orice descompunere prin înmulțire, revenind la expresia inițială.

Recomandat înainte: Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

Ideea de bază

Descompunerea în factori înseamnă rescrierea unei sume sau a unei diferențe sub forma unui produs:

6x + 9 = 3(2x + 3)

Este exact drumul invers al distributivității. La distributivitate pornești de la un produs și ajungi la o sumă; la descompunere pornești de la o sumă și ajungi la un produs.

Ce înseamnă descompunerea în factori

O sumă sau o diferență de termeni algebrici poate fi rescrisă, în anumite condiții, ca produs de doi sau mai mulți factori. Acest proces se numește descompunere în factori.

6x + 9

= 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3

fiecare termen se scrie ca produs cu 3

= 3(2x + 3)

3 este factor comun, scos în fața parantezei

Rezultatul, $3(2x+3)$ este un produs de doi factori: $3$ și $(2x+3)$ Suma inițială, $6x+9$ și produsul final, $3(2x+3)$ reprezintă aceeași valoare, indiferent ce număr pui în locul lui $x$

Legătura cu distributivitatea

Distributivitatea și descompunerea în factori sunt operații inverse una alteia:

Distributivitate versus descompunere.
Direcție	De la	La
Distributivitate	$3(2x+3)$	$6x+9$
Descompunere	$6x+9$	$3(2x+3)$

Aceeași regulă, sens invers

Dacă știi să dezvolți $a(b+c)=ab+ac$ prin distributivitate, știi deja jumătate din ce trebuie pentru descompunere: doar mergi de la $ab+ac$ înapoi la $a(b+c)$

Factorul comun numeric

Cel mai simplu caz: toți termenii au un factor numeric comun. Îl scoți în fața parantezei, iar în paranteză rămâne fiecare termen împărțit la acel factor.

6x + 9

= 3(2x + 3)

cel mai mare divizor comun al lui 6 și 9 este 3

Alegi cel mai mare factor comun posibil. Ai putea scrie și $6x+9=1(6x+9)$ dar acea descompunere e inutilă, pentru că $1$ nu schimbă nimic.

Factorul comun literal

Când toți termenii conțin aceeași literă (eventual la puteri diferite), litera la puterea cea mai mică prezentă în toți termenii este factor comun.

8x^2 + 12x

= 4x \cdot 2x + 4x \cdot 3

4x apare în ambii termeni: 4 divide 8 și 12, x apare în amândoi (la puterea 1, cea mai mică)

= 4x(2x + 3)

Puterea cea mai mică

Dacă un termen are $x^2$ și altul are $x$ factorul comun literal folosește puterea cea mai mică, $x$ nu $x^2$ altfel termenul rămas nu ar fi întreg.

Factorul comun numeric și literal

În general, factorul comun combină partea numerică (cel mai mare divizor comun al coeficienților) cu partea literală (litera comună, la puterea cea mai mică).

15a^2b - 10ab^2

= 5ab \cdot 3a - 5ab \cdot 2b

5 divide 15 și 10; a apare în amândoi la puterea 1; b apare în amândoi la puterea 1

= 5ab(3a - 2b)

Factorul comun negativ

Uneori primul termen al expresiei este negativ. Scoțând un factor comun negativ, expresia din paranteză începe cu un termen pozitiv și e mai ușor de citit și de folosit în pașii următori.

-3x + 6

= -3(x - 2)

scoți -3, nu 3: fiecare termen se împarte la -3

Verificare: $-3(x-2) = -3x+6$ exact expresia inițială. Ai fi putut scoate și $3$ obținând $3(-x+2)$ dar forma cu factor negativ, $-3(x-2)$ este mai des preferată pentru că primul termen din paranteză rămâne pozitiv.

Nu e obligatoriu, dar e util

Factorul comun negativ nu este cerut mereu. Îl alegi atunci când forma expresiei rămase devine mai simplă, de exemplu când primul termen e negativ sau când următorul pas are nevoie de o paranteză cu primul termen pozitiv.

Gruparea termenilor

Când o expresie are 4 termeni și nu au toți un factor comun unic, poți încerca gruparea: împarți termenii în două perechi, scoți factorul comun din fiecare pereche, apoi cauți un nou factor comun.

ax + ay + bx + by

= a(x + y) + b(x + y)

scoți a din primii doi termeni, b din ultimii doi

= (a + b)(x + y)

(x+y) este acum factor comun al celor două grupuri

Verificare prin distributivitate: $(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by$ exact expresia inițială.

Strategia de grupare

Gruparea urmează trei pași ficși:

Pașii strategiei de grupare.
Pas	Ce faci
1	Formezi grupuri de termeni (de obicei perechi)
2	Scoți factorul comun din fiecare grup
3	Cauți un nou factor comun între grupuri

Factorul comun al unui grup poate fi un număr, iar al celuilalt grup o literă sau un produs. Dacă termenii nu sunt în ordinea potrivită, îi rearanjezi înainte de a forma grupurile: $ax+by+ay+bx$ devine $ax+ay+bx+by$ Un exemplu cu factori diferiți în cele două grupuri:

3x + 6 + 2xy + 4y

= 3(x + 2) + 2y(x + 2)

primul grup: 3x+6=3(x+2); al doilea grup: 2xy+4y=2y(x+2)

= (x + 2)(3 + 2y)

(x+2) este factor comun al celor două grupuri

Grupurile trebuie să dea același binom

Gruparea funcționează doar dacă, după scoaterea factorului comun din fiecare grup, rămâne exact aceeași paranteză în ambele grupuri. Dacă nu se potrivește, încearcă alte perechi de termeni.

Cum aleg metoda

Înainte de a descompune, verifici rapid ce metodă se potrivește:

Ghid de alegere a metodei de descompunere.
Observație despre expresie	Metodă
Toți termenii au ceva în comun (număr, literă sau ambele)	Factor comun
4 termeni, care pot forma grupuri potrivite	Grupare
Se recunoaște o formulă de calcul prescurtat	Formulă (lecția următoare)

Recunoașterea formulei rămâne pentru lecția următoare

Dacă expresia arată ca o diferență de pătrate sau ca un trinom pătrat perfect, deja știi din lecția anterioară să o recunoști. Descompunerea completă prin formule, ca metodă de sine stătătoare, e subiectul lecției următoare.

Verificarea prin dezvoltare

Orice descompunere se poate verifica: dezvolți produsul obținut prin înmulțire și, dacă rezultatul este exact expresia de la care ai pornit, descompunerea este corectă.

4x(2x + 3)

= 4x \cdot 2x + 4x \cdot 3

distribui

= 8x^2 + 12x

exact expresia inițială, descompunerea e corectă

Obicei bun la orice descompunere importantă

Verificarea prin dezvoltare durează câteva secunde și prinde imediat o greșeală de semn sau de factor omis. Merită făcută mai ales la exercițiile cu mai mulți pași.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: factor comun numeric

Descompune în factori $6x + 9$

Vezi rezolvarea

6x + 9

= 3(2x + 3)

3 este cel mai mare divizor comun al lui 6 și 9

Exemplul 2: factor comun literal

Descompune în factori $8x^2 + 12x$

Vezi rezolvarea

8x^2 + 12x

= 4x(2x + 3)

4x e factorul comun: 4 din coeficienți, x la puterea cea mai mică

Exemplul 3: factor comun numeric și literal

Descompune în factori $15a^2b - 10ab^2$

Vezi rezolvarea

15a^2b - 10ab^2

= 5ab(3a - 2b)

5ab e factorul comun: 5 din coeficienți, a și b la puterea 1

Exemplul 4: factor comun negativ

Descompune în factori $-3x + 6$ folosind un factor comun negativ.

Vezi rezolvarea

-3x + 6

= -3(x - 2)

scoți -3, ca primul termen din paranteză să rămână pozitiv

Exemplul 5: grupare cu 4 termeni

Descompune în factori $ax + ay + bx + by$

Vezi rezolvarea

ax + ay + bx + by

= a(x + y) + b(x + y)

= (a + b)(x + y)

Exemplul 6: grupare cu variabile la ambele grupuri

Descompune în factori $2xy + 2xz + 3wy + 3wz$

Vezi rezolvarea

2xy + 2xz + 3wy + 3wz

= 2x(y + z) + 3w(y + z)

scoți 2x din primii doi termeni, 3w din ultimii doi

= (2x + 3w)(y + z)

Exemplul 7: grupare cu factori comuni diferiți

Descompune în factori $3x + 6 + 2xy + 4y$

Vezi rezolvarea

3x + 6 + 2xy + 4y

= 3(x + 2) + 2y(x + 2)

primul grup:

3x+6=3(x+2)

al doilea grup:

2xy+4y=2y(x+2)

= (x + 2)(3 + 2y)

Exemplul 8: factor comun, apoi grupare

Descompune în factori $2ax + 2ay + 2bx + 2by$ scoțând întâi factorul comun 2.

Vezi rezolvarea

2ax + 2ay + 2bx + 2by

= 2(ax + ay + bx + by)

2 este factor comun al tuturor celor 4 termeni

= 2[a(x + y) + b(x + y)]

grupare în interiorul parantezei

= 2(a + b)(x + y)

Exemplul 9: verificare prin dezvoltare

Verifică prin înmulțire dacă $4x(2x+3) = 8x^2+12x$

Vezi rezolvarea

4x(2x + 3)

= 4x \cdot 2x + 4x \cdot 3

= 8x^2 + 12x

coincide cu expresia dată, descompunerea e corectă

Exemplul 10: alegerea metodei potrivite

Ce metodă folosești pentru $5x^2 - 15x$ și pentru $mx+my+nx+ny$ Descompune ambele.

Vezi rezolvarea

$5x^2-15x$ are toți termenii cu factor comun $5x$ metoda e factor comun.

5x^2 - 15x

= 5x(x - 3)

$mx+my+nx+ny$ are 4 termeni, fără un singur factor comun tuturor: metoda e gruparea.

mx + my + nx + ny

= m(x + y) + n(x + y)

= (m + n)(x + y)

Video

Greșeli frecvente

La $6x+9=3(2x+9)$ scot factorul 3 doar din primul termen și uit să-l scot și din al doilea.
Factorul comun trebuie scos din TOȚI termenii: $6x+9=3(2x+3)$ nu $3(2x+9)$ Verifici prin înmulțire: $3(2x+3)=6x+9$ corect, dar $3(2x+9)=6x+27$ ceea ce nu coincide cu $6x+9$
La $8x^2+12x=4x(2x+4)$ împart greșit al doilea termen: $12x:4x$ devine $4$ în loc de $3$
$12x:4x=3$ nu $4$ Corect: $8x^2+12x=4x(2x+3)$ Verifică fiecare împărțire separat, mai ales când coeficienții nu sunt evidenți la prima vedere.
La $-3x+6=-3(x+2)$ scot factorul $-3$ dar nu schimb semnul celui de-al doilea termen.
Când scoți un factor negativ, semnul fiecărui termen din paranteză se schimbă: $-3x:(-3)=x$ dar $6:(-3)=-2$ deci $-3x+6=-3(x-2)$ nu $-3(x+2)$
La $6x+10y$ aleg factorul comun $3$ deși $3$ nu divide $10$
Factorul comun trebuie să dividă exact toți termenii. $3$ divide $6$ dar nu divide $10$ Aici cel mai mare factor comun numeric este $2$ $6x+10y=2(3x+5y)$
La $10x^2+5x$ mă opresc la $5(2x^2+x)$ deși paranteza mai are un factor comun $x$
Descompunerea completă scoate cel mai mare factor comun deodată: $10x^2+5x=5x(2x+1)$ Dacă te oprești prea devreme, paranteza rămasă tot mai poate fi descompusă, semn că nu ai scos totul.
La $ax+by+bx+ay$ grupez primii doi termeni și ultimii doi termeni fără să rearanjez, și nu obțin aceeași paranteză în ambele grupuri.
$ax+by$ nu are factor comun util, la fel $bx+ay$ Rearanjezi termenii: $ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$ Ordinea termenilor contează pentru ca gruparea să funcționeze.
Confund descompunerea cu dezvoltarea: la cerința „descompune $6x+9$ dezvolt în loc $(2x+3)\cdot 3$ înapoi la $6x+9$
Descompunerea pornește de la o sumă/diferență și ajunge la un produs: $6x+9=3(2x+3)$ Dezvoltarea face invers. Dacă cerința spune „descompune”, rezultatul trebuie să fie un produs, nu o sumă.
Confund descompunerea cu simplificarea și scriu $6x+9=2x+3$ ca și cum aș fi împărțit la $3$
Descompunerea nu schimbă valoarea expresiei, doar o rescrie ca produs: $6x+9=3(2x+3)$ Pentru $x=1$ $6x+9=15$ și $3(2x+3)=15$ dar $2x+3=5$ Factorul $3$ rămâne în fața parantezei.
La $x^2+x$ scriu $x(x)$ pentru că am scos $x$ din ambii termeni.
Când un termen este chiar factorul comun, din el rămâne $1$ nu nimic: $x^2+x=x(x+1)$ Verificare: $x(x+1)=x^2+x$ dar $x(x)=x^2$

Exerciții

Ușor

Descompune în factori $4x + 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $4(x+2)$
Factorul comun numeric este $4$ $4x+8=4(x+2)$
Descompune în factori $5x^2 + 10x$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x(x+2)$
Factorul comun este $5x$ $5x^2+10x=5x(x+2)$
Descompune în factori $-2x + 8$ folosind un factor comun negativ.
Arată răspunsul
Răspuns: $-2(x-4)$
Scoți $-2$ $-2x:(-2)=x$ $8:(-2)=-4$ deci $-2x+8=-2(x-4)$
Verifică prin înmulțire dacă $3(x+5)=3x+15$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este corect.
$3(x+5)=3 \cdot x+3 \cdot 5=3x+15$ coincide cu expresia dată.
Care este factorul comun al termenilor $9a^2$ și $6a$
Arată răspunsul
Răspuns: $3a$
$3$ este cel mai mare divizor comun al lui $9$ și $6$ $a$ e comun la puterea $1$ (cea mai mică). Factorul comun este $3a$

Mediu

Descompune în factori $12x^2y - 18xy^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $6xy(2x-3y)$
$6$ e cel mai mare divizor comun al lui $12$ și $18$ $x$ și $y$ apar în ambii termeni la puterea $1$ $12x^2y-18xy^2=6xy(2x-3y)$
Descompune în factori $ax + 2ay + bx + 2by$ prin grupare.
Arată răspunsul
Răspuns: $(a+b)(x+2y)$
$ax+2ay=a(x+2y)$ $bx+2by=b(x+2y)$ deci $ax+2ay+bx+2by=(a+b)(x+2y)$
Descompune în factori $5x + 10 + xy + 2y$ rearanjând termenii dacă e nevoie.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+2)(5+y)$
$5x+10=5(x+2)$ și $xy+2y=y(x+2)$ deci $5x+10+xy+2y=(x+2)(5+y)$
Verifică prin înmulțire dacă $5ab(3a-2b)=15a^2b-10ab^2$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este corect.
$5ab \cdot 3a=15a^2b$ și $5ab \cdot (-2b)=-10ab^2$ deci $5ab(3a-2b)=15a^2b-10ab^2$
Ce metodă folosești pentru $7m^2n + 14mn$ factor comun sau grupare?
Arată răspunsul
Răspuns: Factor comun.
Toți termenii au factorul comun $7mn$ $7m^2n+14mn=7mn(m+2)$ Nu sunt 4 termeni, deci gruparea nu se aplică aici.
Descompune în factori $y^2 + y$ și verifică prin înmulțire.
Arată răspunsul
Răspuns: $y(y+1)$
Factorul comun este $y$ $y^2+y=y(y+1)$ Verificare: $y(y+1)=y^2+y$

Provocare

Descompune în factori $6ax - 6ay - 9bx + 9by$ folosind un factor comun urmat de grupare.
Arată răspunsul
Răspuns: $3(2a-3b)(x-y)$
Scoți întâi factorul comun $3$ din toți cei 4 termeni: $6ax-6ay-9bx+9by=3(2ax-2ay-3bx+3by)$ Apoi grupezi în interior: $2ax-2ay=2a(x-y)$ $-3bx+3by=-3b(x-y)$ deci paranteza devine $(2a-3b)(x-y)$ Rezultat final: $3(2a-3b)(x-y)$
Un elev a scris $10x^2-15x=5(2x^2-3)$ Găsește greșeala și scrie descompunerea corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $5x(2x-3)$
Elevul a scos doar factorul numeric $5$ uitând că $x$ este și el comun în ambii termeni $10x^2$ și $15x$ au amândoi cel puțin $x$ Corect: $10x^2-15x=5x(2x-3)$ Verificare: $5x \cdot 2x-5x \cdot 3=10x^2-15x$ exact expresia inițială.
Descompune în factori $x^3+2x^2+3x+6$ prin grupare, apoi verifică prin înmulțire.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+2)(x^2+3)$
$x^3+2x^2=x^2(x+2)$ și $3x+6=3(x+2)$ deci $x^3+2x^2+3x+6=(x+2)(x^2+3)$ Verificare: $(x+2)(x^2+3)=x^3+3x+2x^2+6=x^3+2x^2+3x+6$ exact expresia inițială.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Descompunerea în factori a expresiei $12x+18$ este:
1. $6(2x+18)$
2. $12(x+18)$
3. $3(4x+6)$
4. $6(2x+3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $6(2x+3)$
Cel mai mare divizor comun al lui $12$ și $18$ este $6$ $12x+18=6(2x+3)$ $3(4x+6)$ este corect ca egalitate, dar nu folosește cel mai mare factor comun.
2. Factorul comun al termenilor $14x^3$ și $21x^2$ este:
1. $7x^3$
2. $7x^2$
3. $7x$
4. $21$
Arată răspunsul
Răspuns: $7x^2$
$7$ divide $14$ și $21$ $x$ e comun la puterea cea mai mică, $2$ Factorul comun este $7x^2$
3. Descompunerea $ax+ay+bx+by$ prin grupare dă:
1. $(a-b)(x+y)$
2. $(a+b)(x-y)$
3. $(a+b)(x+y)$
4. $ab(x+y)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(a+b)(x+y)$
$a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$
4. $-4x+12$ scris cu factor comun negativ este:
1. $-4(x+3)$
2. $4(x-3)$
3. $-4(x+12)$
4. $-4(x-3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-4(x-3)$
$-4x:(-4)=x$ și $12:(-4)=-3$ deci $-4x+12=-4(x-3)$
5. Descompune în factori $10a^2b + 15ab$
Arată răspunsul
Răspuns: $5ab(2a+3)$
$5$ divide $10$ și $15$ $a$ și $b$ sunt comuni la puterea cea mai mică. Factorul comun este $5ab$
6. Verifică prin înmulțire dacă $(x+2)(3+2y)=3x+2xy+6+4y$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, egalitatea este corectă.
$(x+2)(3+2y)=3x+2xy+6+4y$ aceiași termeni ca în expresia $3x+6+2xy+4y$ doar în altă ordine.
7. Care e diferența dintre descompunere și dezvoltare?
Arată răspunsul
Răspuns: Descompunerea pornește de la o sumă/diferență și ajunge la un produs; dezvoltarea face exact invers, pornește de la un produs și ajunge la o sumă.
Sunt operații inverse: $6x+9 \to 3(2x+3)$ e descompunere, iar $3(2x+3) \to 6x+9$ e dezvoltare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă descompunerea în factori?

Înseamnă rescrierea unei sume sau a unei diferențe de termeni algebrici sub forma unui produs de factori. De exemplu, $6x+9$ devine $3(2x+3)$

Cum găsesc factorul comun?

Cauți ce au în comun toți termenii: partea numerică (cel mai mare divizor comun al coeficienților) și partea literală (literele comune, la puterea cea mai mică prezentă în toți termenii).

Trebuie să scot cel mai mare factor comun?

Da, ca regulă generală. Dacă scoți un factor mai mic, paranteza rămasă tot mai poate fi descompusă, semn că nu ai terminat descompunerea.

Când folosesc gruparea?

Când expresia are 4 termeni și nu există un singur factor comun tuturor. Formezi două grupuri, scoți factorul comun din fiecare grup, apoi cauți un nou factor comun între grupuri.

Cum verific o descompunere?

Dezvolți produsul obținut prin înmulțire. Dacă rezultatul este exact expresia de la care ai pornit, descompunerea este corectă.

Care este legătura cu distributivitatea?

Descompunerea este drumul invers al distributivității. Dacă $a(b+c)=ab+ac$ prin distributivitate, atunci $ab+ac=a(b+c)$ prin descompunere.

Descompunerea în factori: factor comun și grupare

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă descompunerea în factori

Legătura cu distributivitatea

Factorul comun numeric

Factorul comun literal

Factorul comun numeric și literal

Factorul comun negativ

Gruparea termenilor

Strategia de grupare

Cum aleg metoda

Verificarea prin dezvoltare

Exemple rezolvate

Exemplul 1: factor comun numeric

Exemplul 2: factor comun literal

Exemplul 3: factor comun numeric și literal

Exemplul 4: factor comun negativ

Exemplul 5: grupare cu 4 termeni

Exemplul 6: grupare cu variabile la ambele grupuri

Exemplul 7: grupare cu factori comuni diferiți

Exemplul 8: factor comun, apoi grupare

Exemplul 9: verificare prin dezvoltare

Exemplul 10: alegerea metodei potrivite

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a