Cum deosebesc (a-b)² de (a-b)(a+b)?

(a-b)² înseamnă aceeași paranteză de două ori, cu rezultat de trei termeni: a²-2ab+b². (a-b)(a+b) înseamnă două paranteze diferite, cu rezultat de doi termeni, fără termenul din mijloc: a²-b².

Formule de calcul prescurtat – Clasa a VIII-a

Ce vei învăța

Recunoști cele trei formule de calcul prescurtat și le aplici corect.
Dezvolți o expresie de forma $(a\pm b)^2$ sau $(a-b)(a+b)$ fără să greșești semnul.
Recunoști o expresie deja dezvoltată care se poate scrie sub formă prescurtată.
Folosești formulele pentru calcule numerice rapide, fără calculator.
Faci legătura dintre recunoașterea inversă a formulei și pasul următor, descompunerea în factori.

Recomandat înainte: Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

Ideea de bază

Trei formule apar din nou și din nou când înmulțești expresii algebrice cu doi termeni:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Nu sunt reguli noi, ci prescurtări. Fiecare se poate obține prin distributivitate, exact ca la lecția trecută. Le înveți ca să nu mai refaci de fiecare dată calculul complet.

De ce folosim formule de calcul prescurtat

Poți dezvolta orice produs de forma $(x+3)(x+3)$ prin distributivitate, termen cu termen, ca la lecția trecută. Dar dacă acest tip de produs apare de zeci de ori într-un exercițiu sau la un test, refacerea calculului complet de fiecare dată consumă timp și crește riscul de greșeală.

Formulele de calcul prescurtat sunt rezultatul deja calculat al celor mai frecvente trei produse de acest fel. Le folosești direct, fără să mai distribui pas cu pas, dar rezultatul este identic cu cel obținut prin distributivitate.

Nu sunt reguli separate

O formulă de calcul prescurtat nu introduce o regulă nouă de calcul. Este doar rezultatul unei înmulțiri pe care ai putea oricând să o refaci prin distributivitate, ca verificare.

Pătratul unei sume

$(a+b)^2$ înseamnă $(a+b)$ înmulțit cu el însuși. Dezvolți prin distributivitate, exact ca la o înmulțire de doi factori cu câte doi termeni fiecare:

(a+b)^2

= (a+b)(a+b)

pătratul înseamnă factorul înmulțit cu el însuși

= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

distribui fiecare termen din prima paranteză peste fiecare termen din a doua

= a^2 + ab + ab + b^2

= a^2 + 2ab + b^2

ab și ab sunt termeni asemenea, se reduc la 2ab

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

În cuvinte: pătratul primului termen, plus dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen. Exemplu:

(x+3)^2

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2

a=x

b=3

= x^2 + 6x + 9

Pătratul unei diferențe

$(a-b)^2$ se derivă la fel, prin distributivitate, doar că al doilea termen al fiecărei paranteze este $-b$ nu $b$

(a-b)^2

= (a-b)(a-b)

= a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)

distribui, la fel ca mai sus

= a^2 - ab - ab + b^2

= a^2 - 2ab + b^2

-ab și -ab se reduc la -2ab; minus înmulțit cu minus dă plus la ultimul termen

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Singura diferență față de pătratul sumei este semnul termenului din mijloc: aici este minus, nu plus. Ultimul termen, $b^2$ rămâne mereu pozitiv, indiferent de semnul din paranteză.

(x-4)^2

= x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2

a=x

b=4

= x^2 - 8x + 16

Termenul din mijloc are semnul minus

$(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ nu $x^2 + 8x + 16$ Ultimul termen, $16$ rămâne pozitiv: $(-4)^2 = 16$ nu $-16$

Produsul sumei și diferenței

$(a-b)(a+b)$ este diferit de primele două: nu este un pătrat, ci produsul a doi factori diferiți, unul cu minus și unul cu plus, dar cu aceiași termeni $a$ și $b$

(a-b)(a+b)

= a \cdot a + a \cdot b + (-b) \cdot a + (-b) \cdot b

distribui

= a^2 + ab - ab - b^2

= a^2 - b^2

ab și -ab se anulează reciproc

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Termenii de mijloc dispar complet, pentru că se anulează. Rezultatul se numește diferența de pătrate. Exemplu:

(x-5)(x+5)

= x^2 - 5^2

a=x

b=5

= x^2 - 25

Formula funcționează indiferent de ordinea factorilor: $(a+b)(a-b)$ dă exact același rezultat, $a^2-b^2$

Cum recunoști formula potrivită

Toate cele trei formule pornesc de la aceiași doi termeni, $a$ și $b$ Ce le deosebește este semnul din paranteze și dacă cele două paranteze sunt identice sau diferite.

Cele trei formule de calcul prescurtat.
Expresie	Denumire	Rezultat
$(a+b)^2$	pătratul unei sume	$a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2$	pătratul unei diferențe	$a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)$	produsul sumei și diferenței	$a^2-b^2$

Întrebările care te ajută să alegi

E aceeași paranteză ridicată la pătrat, sau două paranteze diferite? Dacă e un pătrat, ce semn are înăuntru: plus sau minus? Dacă sunt două paranteze diferite, au unul plus și unul minus, cu aceiași termeni? Răspunsul la aceste întrebări îți spune direct ce formulă se aplică.

Exemple numerice

Formulele funcționează și atunci când $a$ și $b$ sunt numere concrete, nu doar litere. Poți verifica oricând rezultatul calculând direct.

(5+2)^2

= 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2

formula pătratului sumei

= 25 + 20 + 4

= 49

Verificare directă: $5+2=7$ iar $7^2=49$ Rezultatul coincide, așa cum ar trebui.

Exemple cu litere

Când unul dintre termeni are deja un coeficient sau o putere, formula se aplică la fel, doar că $a$ sau $b$ nu mai este o singură literă simplă.

(2x+3)^2

= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

a=2x

b=3

= 4x^2 + 12x + 9

(3a-b)^2

= (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2

a

din formulă este acum

3a

b

din formulă este

b

= 9a^2 - 6ab + b^2

Ridici la pătrat tot termenul, nu doar litera

În $(2x)^2$ ridici la pătrat și coeficientul $2$ nu doar $x$ $(2x)^2 = 4x^2$ nu $2x^2$ Aceeași atenție la $(3a)^2 = 9a^2$

Recunoaștere inversă

Poți parcurge drumul și invers: pornind de la o expresie deja dezvoltată, recunoști dacă provine dintr-o formulă de calcul prescurtat. Acesta este primul pas către descompunerea în factori, care se învață la lecția următoare.

x^2 + 6x + 9

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2

scrii termenul din mijloc ca dublu produs și ultimul termen ca pătrat

= (x+3)^2

tiparul

a^2+2ab+b^2

se potrivește

x^2 - 10x + 25

= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2

= (x-5)^2

termenul din mijloc e negativ, deci tiparul e

a^2-2ab+b^2

x^2 - 16

= x^2 - 4^2

diferență de pătrate:

16=4^2

= (x-4)(x+4)

Doar recunoaștere, nu descompunere completă

Aici recunoști tiparul unei expresii de trei termeni sau al unei diferențe de două pătrate și o rescrii ca produs. Descompunerea în factori, cu metode mai generale (factor comun, grupare), este subiectul lecției următoare.

Scurtături de calcul numeric

Formulele te ajută să calculezi rapid, fără calculator, pătrate sau produse din jurul unui număr rotund.

102^2

= (100+2)^2

scrii 102 ca 100 plus 2

= 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2

= 10\,000 + 400 + 4

= 10\,404

98^2

= (100-2)^2

scrii 98 ca 100 minus 2

= 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2

= 10\,000 - 400 + 4

= 9\,604

103 \cdot 97

= (100+3)(100-3)

diferență de pătrate, cu

a=100

b=3

= 100^2 - 3^2

= 10\,000 - 9

= 9\,991

De ce e mai rapid

Ridicarea la pătrat a lui $100$ este imediată. Formula transformă un calcul greu de făcut mintal $102 \cdot 102$ într-o adunare simplă de trei numere ușor de calculat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: pătratul unei sume

Dezvoltă $(x+2)^2$

Vezi rezolvarea

(x+2)^2

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2

= x^2 + 4x + 4

Exemplul 2: pătratul unei diferențe

Dezvoltă $(x-3)^2$

Vezi rezolvarea

(x-3)^2

= x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2

= x^2 - 6x + 9

Exemplul 3: diferență de pătrate

Dezvoltă $(x-4)(x+4)$

Vezi rezolvarea

(x-4)(x+4)

= x^2 - 4^2

= x^2 - 16

Exemplul 4: pătratul sumei cu coeficient

Dezvoltă $(2x+3)^2$

Vezi rezolvarea

(2x+3)^2

= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

= 4x^2 + 12x + 9

Exemplul 5: pătratul diferenței cu doi coeficienți

Dezvoltă $(3a-b)^2$

Vezi rezolvarea

(3a-b)^2

= (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2

= 9a^2 - 6ab + b^2

Exemplul 6: pătrat puțin peste 100

Calculează $101^2$ fără calculator.

Vezi rezolvarea

101^2 = (100+1)^2

= 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2

= 10\,000 + 200 + 1

= 10\,201

Exemplul 7: pătrat puțin sub 100

Calculează $97^2$ fără calculator.

Vezi rezolvarea

97^2 = (100-3)^2

= 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2

= 10\,000 - 600 + 9

= 9\,409

Exemplul 8: produs în jurul unui număr rotund

Calculează $104 \cdot 96$ fără calculator.

Vezi rezolvarea

104 \cdot 96 = (100+4)(100-4)

= 100^2 - 4^2

= 10\,000 - 16

= 9\,984

Exemplul 9: recunoști un pătrat perfect

Scrie $x^2 + 8x + 16$ ca pătrat al unei sume sau diferențe.

Vezi rezolvarea

x^2 + 8x + 16

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2

16 = 4^2

iar

8x = 2 \cdot x \cdot 4

= (x+4)^2

Exemplul 10: recunoști o diferență de pătrate

Scrie $x^2 - 49$ ca produs.

Vezi rezolvarea

x^2 - 49

= x^2 - 7^2

49 = 7^2

= (x-7)(x+7)

Video

Greșeli frecvente

$(a+b)^2 = a^2 + b^2$
Lipsește termenul din mijloc: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Verifică cu numere: $(2+3)^2 = 25$ dar $2^2+3^2 = 13$ sunt diferite.
La $(5-2x)^2$ scriu $25 + 20x + 4x^2$ cu plus la termenul din mijloc.
Pătratul unei diferențe are minus la termenul din mijloc: $2 \cdot 5 \cdot 2x = 20x$ deci $(5-2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$ Verificare cu $x=1$ $(5-2)^2=9$ iar $25-20+4=9$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$
Ultimul termen rămâne pozitiv: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Doar termenul din mijloc are minus, pentru că $(-b)\cdot(-b) = b^2$ nu $-b^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)^2$
$a^2-b^2$ este o diferență de pătrate și se scrie $(a-b)(a+b)$ nu $(a-b)^2$ $(a-b)^2$ dezvoltat este $a^2-2ab+b^2$ o expresie diferită, cu trei termeni.
Confund $(a-b)(a+b)$ cu $(a-b)^2$ ca și cum ar da același rezultat.
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ (doi termeni, fără termen de mijloc). $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ (trei termeni). Sunt formule diferite, pentru expresii diferite.
La $(2x+3)^2$ ridic la pătrat doar $x$ și scriu $2x^2+12x+9$
Ridici la pătrat TOT termenul, coeficient inclus: $(2x)^2 = 4x^2$ nu $2x^2$ Corect: $(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$
La $(3a-b)^2$ scriu termenul din mijloc ca $6a b$ fără semn, sau uit coeficientul $3$ la calculul lui $2ab$
Dublul produs se calculează cu termenii EXACT ca în paranteză: $2 \cdot (3a) \cdot b = 6ab$ cu semn minus pentru că formula e a diferenței: $(3a-b)^2 = 9a^2-6ab+b^2$
Aplic formula de calcul prescurtat la $(x+2)(x+5)$ ca și cum ar fi $(a+b)^2$ sau $(a-b)(a+b)$
$(x+2)(x+5)$ nu se potrivește niciunei formule de calcul prescurtat: cele două paranteze nu sunt identice, nici nu au aceiași termeni cu semn opus. Se dezvoltă prin distributivitate obișnuită: $x^2+7x+10$

Exerciții

Ușor

Dezvoltă $(x+4)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2+8x+16$
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2+8x+16$
Dezvoltă $(x-2)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2-4x+4$
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2-4x+4$
Dezvoltă $(x-6)(x+6)$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2-36$
$x^2 - 6^2 = x^2-36$
Calculează $(4+1)^2$ folosind formula pătratului sumei și verifică direct.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$
$4^2+2 \cdot 4 \cdot 1+1^2 = 16+8+1 = 25$ la fel ca $5^2=25$
Care formulă se potrivește la $(a-7)(a+7)$ pătratul unei sume, pătratul unei diferențe, sau produsul sumei și diferenței?
Arată răspunsul
Răspuns: Produsul sumei și diferenței.
Sunt două paranteze diferite, cu aceiași termeni $a$ și $7$ unul cu minus și unul cu plus: se potrivește formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Mediu

Dezvoltă $(3x+2)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $9x^2+12x+4$
$(3x)^2+2 \cdot 3x \cdot 2+2^2 = 9x^2+12x+4$
Dezvoltă $(2a-5)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $4a^2-20a+25$
$(2a)^2-2 \cdot 2a \cdot 5+5^2 = 4a^2-20a+25$
Scrie $x^2+10x+25$ ca pătrat al unei sume.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+5)^2$
$25=5^2$ și $10x=2 \cdot x \cdot 5$ deci tiparul este $(x+5)^2$
Scrie $x^2-81$ ca produs.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-9)(x+9)$
$81=9^2$ deci $x^2-81=x^2-9^2=(x-9)(x+9)$
Calculează $99^2$ fără calculator.
Arată răspunsul
Răspuns: $9\,801$
$99^2=(100-1)^2=100^2-2 \cdot 100 \cdot 1+1^2=10\,000-200+1=9\,801$
Dezvoltă $(5-2x)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $25-20x+4x^2$
$5^2-2 \cdot 5 \cdot 2x+(2x)^2=25-20x+4x^2$

Provocare

Simplifică $(x+1)^2-(x-1)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $4x$
$(x+1)^2=x^2+2x+1$ și $(x-1)^2=x^2-2x+1$ Scăderea: $x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x$ Verificare cu $x=3$ $16-4=12$ iar $4 \cdot 3=12$
Calculează $106 \cdot 94$ fără calculator, folosind o formulă de calcul prescurtat.
Arată răspunsul
Răspuns: $9\,964$
$106 \cdot 94=(100+6)(100-6)=100^2-6^2=10\,000-36=9\,964$
Un elev a scris $(x-3)^2 = x^2-9$ Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Rezultatul corect este $x^2-6x+9$
Elevul a confundat $(x-3)^2$ (pătratul unei diferențe, trei termeni) cu $x^2-3^2$ (diferență de pătrate, care ar veni din $(x-3)(x+3)$ Corect: $(x-3)^2 = x^2-2 \cdot x \cdot 3+3^2 = x^2-6x+9$
Scrie $4x^2-25$ ca produs, apoi verifică rezultatul prin distributivitate.
Arată răspunsul
Răspuns: $(2x-5)(2x+5)$
$4x^2=(2x)^2$ și $25=5^2$ deci $4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5)$ Verificare: $(2x-5)(2x+5)=4x^2+10x-10x-25=4x^2-25$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $(a+b)^2$ este egal cu:
1. $a^2+b^2$
2. $a^2+ab+b^2$
3. $a^2-2ab+b^2$
4. $a^2+2ab+b^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $a^2+2ab+b^2$
Pătratul unei sume: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. $(x-5)^2$ dezvoltat este:
1. $x^2-25$
2. $x^2-10x+25$
3. $x^2+10x+25$
4. $x^2-10x-25$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2-10x+25$
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2-10x+25$
3. $(x-8)(x+8)$ este egal cu:
1. $x^2-16x+64$
2. $x^2+16x-64$
3. $x^2-64$
4. $x^2-16$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2-64$
Produsul sumei și diferenței: $x^2-8^2=x^2-64$
4. $x^2-20x+100$ se scrie ca:
1. $(x+10)^2$
2. $(x-10)(x+10)$
3. $(x-100)^2$
4. $(x-10)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-10)^2$
$100=10^2$ și $20x=2 \cdot x \cdot 10$ cu semn minus: tiparul $(x-10)^2$
5. Dezvoltă $(2x-1)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $4x^2-4x+1$
$(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2=4x^2-4x+1$
6. Calculează $103^2$ fără calculator.
Arată răspunsul
Răspuns: $10\,609$
$103^2=(100+3)^2=100^2+2 \cdot 100 \cdot 3+3^2=10\,000+600+9=10\,609$
7. De ce $(a-b)(a+b)$ nu este același lucru cu $(a-b)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că sunt formule diferite: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (fără termen de mijloc), iar $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ (cu termen de mijloc).
Prima formulă vine din două paranteze diferite (una cu plus, una cu minus), a doua vine din aceeași paranteză înmulțită cu ea însăși.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul prescurtat?

Trei: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ Le folosești când vezi o sumă sau o diferență ridicată la pătrat, sau produsul dintre o diferență și o sumă cu aceiași termeni.

De ce apare termenul

2ab

Pentru că $(a+b)^2$ înseamnă $(a+b)(a+b)$ iar la distributivitate apar de două ori produsul $ab$ o dată din primul termen ori al doilea termen din a doua paranteză, o dată invers. Cele două produse identice se adună la $2ab$

Cum deosebesc

(a-b)^2

de

(a-b)(a+b)

$(a-b)^2$ înseamnă aceeași paranteză de două ori, cu rezultat de trei termeni: $a^2-2ab+b^2$ $(a-b)(a+b)$ înseamnă două paranteze diferite, cu rezultat de doi termeni, fără termenul din mijloc: $a^2-b^2$

Cum recunosc un pătrat perfect?

O expresie de forma $x^2+cx+d$ este pătrat perfect dacă $d=k^2$ pentru un număr $k$ și dacă $c=2k$ sau $c=-2k$ De exemplu, $x^2+6x+9$ e pătrat perfect pentru că $9=3^2$ și $6=2 \cdot 3$ deci $x^2+6x+9=(x+3)^2$

La ce folosesc formulele în calcule numerice?

Transformă un calcul greu de făcut mintal, ca $102^2$ sau $97 \cdot 103$ într-un calcul simplu cu un număr rotund: $102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$

Cum mă ajută formulele la descompunerea în factori?

Recunoașterea inversă (de la $x^2-25$ înapoi la $(x-5)(x+5)$ de exemplu) este exact primul instrument folosit la descompunerea în factori, subiectul lecției următoare.

Formule de calcul prescurtat

Ce vei învăța

Ideea de bază

De ce folosim formule de calcul prescurtat

Pătratul unei sume

Pătratul unei diferențe

Produsul sumei și diferenței

Cum recunoști formula potrivită

Exemple numerice

Exemple cu litere

Recunoaștere inversă

Scurtături de calcul numeric

Exemple rezolvate

Exemplul 1: pătratul unei sume

Exemplul 2: pătratul unei diferențe

Exemplul 3: diferență de pătrate

Exemplul 4: pătratul sumei cu coeficient

Exemplul 5: pătratul diferenței cu doi coeficienți

Exemplul 6: pătrat puțin peste 100

Exemplul 7: pătrat puțin sub 100

Exemplul 8: produs în jurul unui număr rotund

Exemplul 9: recunoști un pătrat perfect

Exemplul 10: recunoști o diferență de pătrate

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a