De ce (2x)² = 4x² și nu 2x²?

Pentru că exponentul din afara parantezei se aplică fiecărei părți din interior: coeficientului 2 ȘI literei x. (2x)² = 2² · x² = 4x². Dacă ar fi fost 2x², ar fi însemnat că doar litera e la putere, nu și coeficientul.

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice

Ce vei învăța

Înmulțești doi monomi și un monom cu o expresie algebrică (distributivitate).
Împarți doi monomi, atunci când împărțirea este definită.
Ridici un monom la putere, respectând semnul rezultatului.
Aplici regulile simple ale puterilor $a^m \cdot a^n$ $a^m : a^n$ $(a^m)^n$ $(ab)^n$ în calcule algebrice.
Înmulțești două sume prin distributivitate, termen cu termen.
Respecți ordinea operațiilor și simplifici expresii algebrice cu înmulțiri, împărțiri și puteri.

Recomandat înainte: Adunarea și scăderea expresiilor algebrice. Reducerea termenilor asemenea

Ideea de bază

Un monom este un termen algebric format dintr-un coeficient și o parte literală, ca $3x$ $-2a^2$ sau $5xy$ Când înmulțești sau împarți doi monomi, lucrezi separat cu coeficienții și separat cu părțile literale.

La înmulțire, coeficienții se înmulțesc, iar exponenții bazelor identice se ADUNĂ:

3x \cdot 4x = 12x^2

La împărțire, coeficienții se împart, iar exponenții bazelor identice se SCAD. La ridicarea la putere, exponentul se aplică fiecărei părți a monomului. Toate aceste reguli respectă ordinea operațiilor: paranteze, apoi puteri, apoi înmulțire/împărțire, apoi adunare/scădere.

Recapitulare: ce este un monom

Un monom este un termen algebric format dintr-un coeficient (numărul) și o parte literală (litera sau produsul de litere, eventual la putere): $3x$ $-2a^2$ $5xy$ Ai văzut deja coeficientul și partea literală la lecția anterioară, unde ai adunat și ai scăzut monoame asemenea.

Ce e nou aici

La lecția trecută ai adunat și ai scăzut monoame asemenea, cu aceeași parte literală. Aici înmulțești, împarți și ridici la putere monoame ORICARE, chiar cu părți literale diferite. Regulile sunt altele: nu mai cauți termeni asemenea, ci combini exponenții bazelor identice.

Înmulțirea monomilor

Ca să înmulțești doi monomi, înmulțești coeficienții între ei, iar la părțile literale cu aceeași bază ADUNI exponenții. Explicația e simplă: $x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5$ deci exponentul este $2 + 3 = 5$

3x \cdot 4x

= (3 \cdot 4) \cdot (x \cdot x)

înmulțești coeficienții separat de părțile literale

= 12x^2

x \cdot x = x^{1+1} = x^2

Alte exemple, cu exponenți mai mari și cu semn:

2a^2 \cdot 3a^3 = 6a^5 \qquad -2x \cdot 5x^2 = -10x^3

Cei doi pași ai înmulțirii

1) Înmulțești coeficienții (cu semn). 2) Aduni exponenții bazelor identice. Cei doi pași se fac independent, apoi rezultatele se scriu împreună.

Monom înmulțit cu o expresie

Ca să înmulțești un monom cu o sumă sau o diferență, folosești distributivitatea: înmulțești monomul cu FIECARE termen din interiorul parantezei, apoi aduni sau scazi rezultatele.

2x(3x + 4)

= 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4

distribui: 2x înmulțește fiecare termen

= 6x^2 + 8x

Când monomul are semn minus, semnul se distribuie și el la fiecare termen din paranteză:

-3a(2a - 5)

= -3a \cdot 2a - 3a \cdot (-5)

distribui -3a la fiecare termen

= -6a^2 + 15a

Verificare rapidă

Înlocuiește $x$ cu un număr mic, de exemplu $x=2$ La $2x(3x+4)$ obții $4 \cdot 10 = 40$ iar $6x^2+8x$ dă $24+16=40$ Dacă cele două valori diferă, ai greșit undeva.

Produsul a două sume

Când ambii factori au mai mulți termeni, înmulțești FIECARE termen din prima paranteză cu FIECARE termen din a doua, apoi reduci termenii asemenea. Cu doi termeni în fiecare paranteză obții patru produse.

(x + 2)(x + 3)

= x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3

fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua

= x^2 + 3x + 2x + 6

= x^2 + 5x + 6

3x

și

2x

sunt termeni asemenea

Cu semne minus, ai grijă la fiecare produs:

(2x - 1)(x + 4)

= 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4

= 2x^2 + 8x - x - 4

= 2x^2 + 7x - 4

Produse care se repetă

Unele produse de acest fel apar foarte des și au rezultate cu un tipar. Ele se numesc formule de calcul prescurtat și sunt subiectul lecției următoare. Până atunci, distributivitatea termen cu termen rezolvă orice produs.

Împărțirea monomilor

Ca să împarți doi monomi, împarți coeficienții între ei, iar la părțile literale cu aceeași bază SCAZI exponenții (din exponentul deîmpărțitului, scazi exponentul împărțitorului).

12x^3 : 3x

= (12 : 3) \cdot (x^3 : x)

împarți coeficienții separat de părțile literale

= 4x^2

x^3 : x = x^{3-1} = x^2

pentru

x \ne 0

Alt exemplu:

15a^4 : 5a^2 = 3a^2 \quad (a \ne 0)

Când e definită împărțirea

Împărțirea la $0$ nu are sens. Dacă împărțitorul conține litera $x$ împărțirea are sens doar pentru $x \ne 0$ de aceea scriem $12x^3 : 3x = 4x^2$ cu mențiunea $x \ne 0$ În plus, rezultatul este un monom doar când exponentul deîmpărțitului este cel puțin cât exponentul împărțitorului: $x^3 : x^5$ nu dă un monom.

Puterea unui monom

Ca să ridici un monom la putere, ridici la acea putere ATÂT coeficientul, cât și fiecare literă din partea literală, cu exponenții înmulțiți.

(2x)^3

= 2^3 \cdot x^3

ridici la cub coeficientul și partea literală separat

= 8x^3

Semnul cere atenție: un coeficient negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv, la o putere impară rămâne negativ.

(-3a^2)^2

= (-3)^2 \cdot (a^2)^2

puterea

2

e pară:

(-3)^2 = 9

= 9a^4

(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4

Când partea literală are mai multe litere, fiecare literă se ridică separat la putere:

(xy)^3 = x^3y^3

Semnul se verifică mereu

$(-3a^2)^2 = 9a^4$ nu $-9a^4$ minus la puterea a doua (pară) dă plus. $(-2x)^3 = -8x^3$ minus la puterea a treia (impară) rămâne minus.

Reguli utile ale puterilor

Cele patru reguli de mai jos rezumă tot ce ai făcut deja mai sus, dar scris general, cu litere în loc de exemple. Le folosești ca pe niște prescurtări, nu ca pe reguli noi.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \ne 0,\ m \ge n)

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

(ab)^n = a^n b^n

Adun sau înmulțesc exponenții?

La înmulțirea a două puteri cu aceeași bază, exponenții se ADUNĂ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ La ridicarea unei puteri la altă putere, exponenții se ÎNMULȚESC $(a^m)^n = a^{mn}$ Sunt operații diferite, cu reguli diferite, nu se confundă.

Ordinea operațiilor

Într-o expresie algebrică cu mai multe operații, ordinea este exact ca la numere: mai întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, în final adunările și scăderile.

Ordinea operațiilor într-o expresie algebrică.
Pas	Operație
1	Paranteze
2	Puteri
3	Înmulțire / împărțire
4	Adunare / scădere

2x + 3x^2 \cdot 2

= 2x + (3x^2 \cdot 2)

înmulțirea se face înainte de adunare

= 2x + 6x^2

Greșeala tipică

$2x + 3x^2 \cdot 2 \ne 10x^3$ Adunarea $2x$ cu $3x^2$ NU se face înainte de înmulțire, iar $x$ și $x^2$ nici nu sunt termeni asemenea. Corect: înmulțirea întâi $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ apoi rezultatul rămâne $2x + 6x^2$ fără alte combinări posibile.

Simplificare pas cu pas

O expresie mai lungă combină, de obicei, mai multe dintre operațiile de mai sus. Faci întâi înmulțirile, împărțirile și puterile (respectând ordinea operațiilor), apoi aduni sau scazi termenii asemenea care rezultă.

2x \cdot 3x + 4x^2

= 6x^2 + 4x^2

întâi înmulțirea:

2x \cdot 3x = 6x^2

= 10x^2

acum

6x^2

și

4x^2

sunt termeni asemenea, se reduc

Fără pasul intermediar, ai putea confunda $2x \cdot 3x$ (o înmulțire, dă $6x^2$ cu $2x + 3x$ (o adunare, dă $5x$ Sunt operații diferite pe aceiași termeni, cu rezultate complet diferite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: produs de monomi simpli

Calculează $3x \cdot 4x$

Vezi rezolvarea

3x \cdot 4x

= (3 \cdot 4)x^{1+1}

= 12x^2

Exemplul 2: produs cu exponenți mai mari

Calculează $2a^2 \cdot 3a^3$

Vezi rezolvarea

2a^2 \cdot 3a^3

= (2 \cdot 3)a^{2+3}

= 6a^5

Exemplul 3: produs cu coeficient negativ

Calculează $-2x \cdot 5x^2$

Vezi rezolvarea

-2x \cdot 5x^2

= (-2 \cdot 5)x^{1+2}

= -10x^3

Exemplul 4: monom înmulțit cu o expresie

Calculează $2x(3x + 4)$

Vezi rezolvarea

2x(3x + 4)

= 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4

= 6x^2 + 8x

Exemplul 5: distributivitate cu semn minus

Calculează $-3a(2a - 5)$

Vezi rezolvarea

-3a(2a - 5)

= -3a \cdot 2a - 3a \cdot (-5)

= -6a^2 + 15a

$-3a$ înmulțit cu $-5$ dă $+15a$ minus înmulțit cu minus dă plus.

Exemplul 6: împărțirea monomilor

Calculează $12x^3 : 3x$ pentru $x \ne 0$

Vezi rezolvarea

12x^3 : 3x

= (12:3)x^{3-1}

= 4x^2

Mențiunea $x \ne 0$ este necesară, pentru că împărțitorul $3x$ nu poate fi $0$

Exemplul 7: puterea unui monom

Calculează $(2x)^3$

Vezi rezolvarea

(2x)^3

= 2^3 x^3

= 8x^3

Exemplul 8: puterea unui monom cu coeficient negativ

Calculează $(-3a^2)^2$

Vezi rezolvarea

(-3a^2)^2

= (-3)^2 (a^2)^2

= 9a^4

Puterea $2$ e pară, deci $(-3)^2 = 9$ nu $-9$

Exemplul 9: ordinea operațiilor

Calculează $2x + 3x^2 \cdot 2$

Vezi rezolvarea

2x + 3x^2 \cdot 2

= 2x + 6x^2

înmulțirea se face înainte de adunare

Rezultatul rămâne $2x + 6x^2$ $x$ și $x^2$ nu sunt termeni asemenea, nu se mai combină.

Exemplul 10: produsul a două sume

Calculează $(2x - 1)(x + 4)$

Vezi rezolvarea

(2x - 1)(x + 4)

= 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4

= 2x^2 + 8x - x - 4

= 2x^2 + 7x - 4

Verificare cu $x=1$ $(2-1)(1+4)=5$ iar $2+7-4=5$

Exemplul 11: simplificare mixtă

Simplifică $2x \cdot 3x + 4x^2$

Vezi rezolvarea

2x \cdot 3x + 4x^2

= 6x^2 + 4x^2

întâi înmulțirea

= 10x^2

apoi reducerea termenilor asemenea

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Scriu $x \cdot x = 2x$
$x \cdot x$ este o înmulțire: exponenții se adună, $x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$ $2x$ ar fi rezultatul unei ADUNĂRI $x+x$ nu al unei înmulțiri.
La $x^2 + x^2$ adun exponenții și scriu $x^4$
$x^2 + x^2$ este o ADUNARE de termeni asemenea: se adună coeficienții, nu exponenții. $x^2 + x^2 = 2x^2$ nu $x^4$ Regula exponenților adunați e valabilă doar la ÎNMULȚIRE $x^2 \cdot x^2 = x^4$
La $x^2 \cdot x^3$ înmulțesc exponenții și scriu $x^6$
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se ADUNĂ, nu se înmulțesc: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$ Înmulțirea exponenților se aplică doar la o putere ridicată la altă putere, $(x^2)^3 = x^6$
Scriu $(-2x)^3 = 8x^3$ ignorând semnul.
Puterea $3$ e impară, deci semnul minus rămâne: $(-2x)^3 = (-2)^3 x^3 = -8x^3$ Doar puterile PARE elimină semnul minus al bazei.
Scriu $(2x)^2 = 2x^2$
Exponentul se aplică ATÂT coeficientului, cât și literei: $(2x)^2 = 2^2 x^2 = 4x^2$ nu $2x^2$ (unde $2$ ar fi rămas neridicat la putere).
La $12x^3 : 3x$ împart coeficienții dar las exponentul neschimbat, $4x^3$
Exponenții bazelor identice se SCAD la împărțire, exact cum se adună la înmulțire: $12x^3 : 3x = 4x^{3-1} = 4x^2$ nu $4x^3$
La $2x + 3x^2 \cdot 2$ adun întâi $2x$ cu $3x^2$ și scriu $10x^3$
Ordinea operațiilor cere înmulțirea înainte de adunare: $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ primul pas, apoi $2x + 6x^2$ rămâne așa (termeni neasemenea). $10x^3$ vine dintr-o adunare greșită, făcută în ordine greșită.
La $(x+2)(x+3)$ înmulțesc doar termenii de pe aceeași poziție și scriu $x^2 + 6$
Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua, deci apar patru produse: $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ Termenii $3x$ și $2x$ nu pot lipsi.

Exerciții

Ușor

Calculează $3x \cdot 5x$
Arată răspunsul
Răspuns: $15x^2$
$(3 \cdot 5)x^{1+1} = 15x^2$
Calculează $2a \cdot 4a^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $8a^3$
$(2 \cdot 4)a^{1+2} = 8a^3$
Calculează $(3x)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $9x^2$
$3^2 x^2 = 9x^2$
Calculează $-4x \cdot 2x$
Arată răspunsul
Răspuns: $-8x^2$
$(-4 \cdot 2)x^{1+1} = -8x^2$
Calculează $10x^3 : 2x$
Arată răspunsul
Răspuns: $5x^2$
$(10:2)x^{3-1} = 5x^2$

Mediu

Calculează $2x(x + 5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $2x^2 + 10x$
Distribui: $2x \cdot x + 2x \cdot 5 = 2x^2 + 10x$
Calculează $-3a(2a - 1)$
Arată răspunsul
Răspuns: $-6a^2 + 3a$
Distribui: $-3a \cdot 2a - 3a \cdot (-1) = -6a^2 + 3a$
Calculează $(-2x)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-8x^3$
Puterea $3$ e impară: $(-2)^3 x^3 = -8x^3$
Simplifică $4x^2 \cdot 3x - 5x^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $7x^3$
Întâi înmulțirea: $4x^2 \cdot 3x = 12x^3$ Apoi reducerea: $12x^3 - 5x^3 = 7x^3$
Calculează $15a^5 : 3a^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $5a^3$
$(15:3)a^{5-2} = 5a^3$
Calculează $(x + 3)(x + 4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2 + 7x + 12$
$x \cdot x + x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$
Calculează $18a^5 : 6a^2$ și precizează pentru ce valori ale lui $a$ are sens împărțirea.
Arată răspunsul
Răspuns: $3a^3$ pentru $a \ne 0$
$(18:6)a^{5-2} = 3a^3$ Împărțitorul $6a^2$ este $0$ doar pentru $a = 0$ deci împărțirea are sens pentru $a \ne 0$

Provocare

Calculează $(x - 2)(x + 5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $x^2 + 3x - 10$
$x \cdot x + x \cdot 5 - 2 \cdot x - 2 \cdot 5 = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$ Verificare cu $x=1$ $(1-2)(1+5)=-6$ iar $1+3-10=-6$
Simplifică $3x \cdot 2x + (3x)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $15x^2$
$3x \cdot 2x = 6x^2$ $(3x)^2 = 9x^2$ termeni asemenea: $6x^2 + 9x^2 = 15x^2$
Simplifică $2x^2(3x - 4) + 5x^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $6x^3 - 3x^2$
Distribui: $2x^2 \cdot 3x - 2x^2 \cdot 4 = 6x^3 - 8x^2$ Adaug $5x^2$ $6x^3 - 8x^2 + 5x^2 = 6x^3 - 3x^2$
Un elev a scris $x^2 \cdot x^3 = x^6$ Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Rezultatul corect este $x^5$ nu $x^6$
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună, nu se înmulțesc: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$ Elevul a înmulțit exponenții $2 \cdot 3 = 6$ în loc să-i adune.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $a^3 \cdot a^4$ este egal cu:
1. $a^{12}$
2. $a$
3. $a^7$
4. $2a^7$
Arată răspunsul
Răspuns: $a^7$
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: $a^{3+4} = a^7$
2. $12x^4 : 4x^2$ este egal cu:
1. $3x^6$
2. $3x^2$
3. $8x^2$
4. $3x^4$
Arată răspunsul
Răspuns: $3x^2$
$(12:4)x^{4-2} = 3x^2$
3. $(2a)^4$ este egal cu:
1. $8a^4$
2. $2a^4$
3. $16a$
4. $16a^4$
Arată răspunsul
Răspuns: $16a^4$
Exponentul se aplică și coeficientului: $2^4 a^4 = 16a^4$
4. $3x + 2x^2 \cdot 4$ este egal cu:
1. $13x^3$
2. $3x + 8x^2$
3. $11x^2$
4. $24x^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $3x + 8x^2$
Înmulțirea se face înainte de adunare: $2x^2 \cdot 4 = 8x^2$ deci $3x + 8x^2$ (termeni neasemenea, nu se combină mai departe).
5. Calculează $-2x^2 \cdot 3x^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-6x^5$
$(-2 \cdot 3)x^{2+3} = -6x^5$
6. Simplifică $3x \cdot 4x + 2x^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $14x^2$
Întâi înmulțirea: $3x \cdot 4x = 12x^2$ Apoi reducerea: $12x^2 + 2x^2 = 14x^2$
7. Care dintre egalități este corectă?
1. $(x+2)(x+3) = x^2 + 6$
2. $(2x)^2 = 2x^2$
3. $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$
4. $x^2 \cdot x^3 = x^6$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$
Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua: $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$
8. De ce $(2x)^2$ nu se scrie $2x^2$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că exponentul se aplică și coeficientului: $(2x)^2 = 2^2 x^2 = 4x^2$ nu $2x^2$
În $2x^2$ doar litera e la puterea a doua; coeficientul $2$ rămâne neridicat, deci valoarea e diferită.

Întrebări frecvente

Cum înmulțesc doi monomi?

Înmulțești coeficienții între ei, iar la părțile literale cu aceeași bază aduni exponenții. De exemplu, $3x \cdot 4x = 12x^2$

Ce se întâmplă cu exponenții la înmulțire?

Se adună, atunci când bazele sunt identice: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Nu se înmulțesc, asta se întâmplă doar la o putere ridicată la altă putere, $(a^m)^n = a^{mn}$

Cum împart monomi?

Împarți coeficienții între ei, iar la părțile literale cu aceeași bază scazi exponenții: $a^m : a^n = a^{m-n}$ De exemplu, $12x^3 : 3x = 4x^2$

Cum ridic un monom la putere?

Ridici la acea putere atât coeficientul, cât și fiecare literă din partea literală, cu exponenții înmulțiți: $(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$ Verifică mereu semnul, mai ales când coeficientul e negativ.

Care este ordinea operațiilor într-o expresie algebrică?

Întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, în final adunările și scăderile. Ordinea e exact ca la calculul cu numere.

De ce

(2x)^2 = 4x^2

și nu

2x^2

Pentru că exponentul din afara parantezei se aplică fiecărei părți din interior: coeficientului $2$ ȘI literei $x$ $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$ Dacă ar fi fost $2x^2$ ar fi însemnat că doar litera e la putere, nu și coeficientul.

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor algebrice. Ordinea operațiilor

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: ce este un monom

Înmulțirea monomilor

Monom înmulțit cu o expresie

Produsul a două sume

Împărțirea monomilor

Puterea unui monom

Reguli utile ale puterilor

Ordinea operațiilor

Simplificare pas cu pas

Exemple rezolvate

Exemplul 1: produs de monomi simpli

Exemplul 2: produs cu exponenți mai mari

Exemplul 3: produs cu coeficient negativ

Exemplul 4: monom înmulțit cu o expresie

Exemplul 5: distributivitate cu semn minus

Exemplul 6: împărțirea monomilor

Exemplul 7: puterea unui monom

Exemplul 8: puterea unui monom cu coeficient negativ

Exemplul 9: ordinea operațiilor

Exemplul 10: produsul a două sume

Exemplul 11: simplificare mixtă

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a