Descompunerea în factori cu formule de calcul prescurtat

Ce vei învăța

Recunoști o diferență de pătrate și o descompui folosind formula $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Recunoști un trinom pătrat perfect și îl descompui folosind $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$
Combini factorul comun cu o formulă de calcul prescurtat.
Combini gruparea cu o formulă de calcul prescurtat, în cazuri simple.
Continui descompunerea până când expresia nu mai poate fi descompusă prin metodele studiate.
Alegi metoda potrivită dintre factor comun, grupare și formule, pentru orice expresie dată.

Recomandat înainte: Descompunerea în factori: factor comun și grupare, Formule de calcul prescurtat

Ideea de bază

La lecția despre formule, ai dezvoltat produse cu ajutorul lor:

(x+5)(x-5) = x^2 - 25

Acum faci drumul invers: pornești de la diferența $x^2-25$ și o rescrii ca produs, $(x-5)(x+5)$ Aceeași formulă, citită de la dreapta la stânga.

De la formule la descompunere

Formulele de calcul prescurtat au fost folosite până acum pentru a dezvolta produse: porneai de la $(a+b)^2$ și ajungeai la $a^2+2ab+b^2$ Descompunerea folosește exact aceleași formule, dar în sens invers: pornești de la $a^2+2ab+b^2$ și ajungi la $(a+b)^2$

Formulele citite de la dreapta la stânga, pentru descompunere.
Expresia de descompus	Se scrie ca
$a^2-b^2$	$(a-b)(a+b)$
$a^2+2ab+b^2$	$(a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2$	$(a-b)^2$

Factorul comun și gruparea rămân disponibile

Formulele nu înlocuiesc metodele din lecția anterioară. Adesea aplici întâi factorul comun sau gruparea, iar formula devine posibilă abia după acel prim pas.

Diferența de pătrate

Formula de descompunere:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Se aplică doar când sunt îndeplinite exact două condiții: expresia este o scădere, iar fiecare termen este un pătrat.

x^2 - 25

= x^2 - 5^2

25 este pătratul lui 5

= (x-5)(x+5)

9x^2 - 16

= (3x)^2 - 4^2

9x^2

este pătratul lui

3x

16

este pătratul lui

4

= (3x-4)(3x+4)

4a^2 - 49b^2

= (2a)^2 - (7b)^2

= (2a-7b)(2a+7b)

Două condiții, nu una singură

Formula cere ambele condiții simultan: scădere ȘI ambii termeni pătrate. $x^2+25$ nu se descompune cu această formulă (e adunare); $x^2-24$ nu se potrivește (24 nu e pătrat perfect). Cu radicali s-ar putea scrie $x^2-24=(x-\sqrt{24})(x+\sqrt{24})$ dar în această lecție lucrăm cu pătrate perfecte.

Trinomul pătrat perfect

Formulele de descompunere:

a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2

a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2

Recunoști un trinom pătrat perfect verificând trei lucruri: primul termen este un pătrat, ultimul termen este un pătrat, iar termenul din mijloc este dublul produsului rădăcinilor celor două pătrate $\pm 2ab$

x^2 + 6x + 9

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2

primul termen

x^2

ultimul

3^2=9

mijlocul

2 \cdot x \cdot 3=6x

= (x+3)^2

x^2 - 10x + 25

= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2

mijlocul negativ:

(a-b)^2

= (x-5)^2

4x^2 + 12x + 9

= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

primul termen

(2x)^2=4x^2

ultimul

3^2=9

mijlocul

2 \cdot 2x \cdot 3=12x

= (2x+3)^2

Cum verifici rapid termenul din mijloc

Extragi rădăcina primului termen $a$ și rădăcina ultimului termen $b$ apoi calculezi $2ab$ Dacă rezultatul coincide cu termenul din mijloc (ca valoare absolută), trinomul e pătrat perfect.

Factor comun urmat de formulă

Multe expresii nu sunt direct o diferență de pătrate sau un trinom pătrat perfect, dar devin una după ce scoți factorul comun.

2x^3 - 18x

= 2x(x^2 - 9)

2x este factor comun al ambilor termeni

= 2x(x-3)(x+3)

x^2-9

este diferență de pătrate:

x^2-3^2

3x^2 + 6x + 3

= 3(x^2 + 2x + 1)

3 este factor comun al celor 3 termeni

= 3(x+1)^2

x^2+2x+1

este trinom pătrat perfect:

x^2+2 \cdot x \cdot 1+1^2

Metodă centrală în această lecție

Verifică mereu factorul comun primul. Chiar dacă expresia rămasă în paranteză nu arată imediat ca o formulă, scoaterea factorului comun o simplifică suficient cât să observi tiparul.

Grupare urmată de formulă

În cazuri simple, gruparea termenilor scoate în evidență un factor comun care, la rândul lui, permite aplicarea unei formule.

x^3 + x^2 - 4x - 4

= x^2(x+1) - 4(x+1)

grupezi primii doi și ultimii doi termeni

= (x+1)(x^2-4)

(x+1) este factor comun al celor două grupuri

= (x+1)(x-2)(x+2)

x^2-4

este diferență de pătrate:

x^2-2^2

Trei metode aplicate în ordine: gruparea, apoi factorul comun între grupuri, apoi diferența de pătrate. Nu orice expresie de 4 termeni merge așa de departe, folosești gruparea urmată de formulă doar când, după grupare, rezultatul se potrivește vizibil cu o formulă cunoscută.

Continuă descompunerea până la capăt

După fiecare pas de descompunere, verifici dacă vreunul dintre factorii obținuți mai poate fi descompus.

x^3 - 9x

= x(x^2 - 9)

factor comun

x

dar nu e gata:

x^2-9

mai poate fi descompus

= x(x-3)(x+3)

x^2-9

este diferență de pătrate

Oprirea prea devreme e cea mai frecventă greșeală

$x(x^2-9)$ nu este o descompunere completă, chiar dacă are formă de produs. Întreabă-te de fiecare dată: mai poate fi descompus vreun factor rămas? Continui până când răspunsul este nu pentru toți factorii.

Cum aleg metoda

Ghidul complet de alegere a metodei, cu formulele acum active ca metodă de sine stătătoare:

Ghid de alegere a metodei de descompunere.
Întrebare	Dacă da
Există un factor comun (număr, literă sau ambele)?	Scoate-l primul
Sunt 2 termeni, scădere, ambii pătrate?	Diferență de pătrate: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Sunt 3 termeni, potriviți cu $a^2\pm 2ab+b^2$	Trinom pătrat perfect: $(a\pm b)^2$
Sunt 4 termeni?	Încearcă gruparea
După un pas, mai poate fi descompus vreun factor?	Verifică din nou, de la întrebarea 1

Ordinea contează

Verifici întotdeauna factorul comun primul, indiferent câți termeni are expresia. Abia apoi decizi între formulă și grupare, în funcție de numărul de termeni rămași.

Verificarea prin dezvoltare

Ca la orice descompunere, verifici rezultatul dezvoltând produsul obținut și comparând cu expresia inițială.

(x-5)(x+5)

= x^2 + 5x - 5x - 25

distribui

= x^2 - 25

exact expresia inițială, descompunerea e corectă

Exemple rezolvate

Exemplul 1: diferență de pătrate simplă

Descompune în factori $x^2 - 25$

Vezi rezolvarea

x^2 - 25

= x^2 - 5^2

= (x-5)(x+5)

Exemplul 2: diferență de pătrate cu coeficienți

Descompune în factori $9x^2 - 16$

Vezi rezolvarea

9x^2 - 16

= (3x)^2 - 4^2

= (3x-4)(3x+4)

Exemplul 3: trinom pătrat perfect, semn plus

Descompune în factori $x^2 + 6x + 9$

Vezi rezolvarea

x^2 + 6x + 9

= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2

= (x+3)^2

Exemplul 4: trinom pătrat perfect, semn minus

Descompune în factori $x^2 - 10x + 25$

Vezi rezolvarea

x^2 - 10x + 25

= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2

= (x-5)^2

Exemplul 5: trinom pătrat perfect cu coeficient

Descompune în factori $4x^2 + 12x + 9$

Vezi rezolvarea

4x^2 + 12x + 9

= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

= (2x+3)^2

Exemplul 6: factor comun + diferență de pătrate

Descompune în factori $2x^3 - 18x$

Vezi rezolvarea

2x^3 - 18x

= 2x(x^2 - 9)

= 2x(x-3)(x+3)

Exemplul 7: factor comun + trinom pătrat perfect

Descompune în factori $3x^2 + 6x + 3$

Vezi rezolvarea

3x^2 + 6x + 3

= 3(x^2 + 2x + 1)

= 3(x+1)^2

Exemplul 8: grupare + factor comun + diferență de pătrate

Descompune în factori $x^3 + x^2 - 4x - 4$

Vezi rezolvarea

x^3 + x^2 - 4x - 4

= x^2(x+1) - 4(x+1)

= (x+1)(x^2-4)

= (x+1)(x-2)(x+2)

Exemplul 9: continuă descompunerea după primul pas

Descompune complet în factori $x^3 - 9x$

Vezi rezolvarea

x^3 - 9x

= x(x^2 - 9)

nu e gata:

x^2-9

mai poate fi descompus

= x(x-3)(x+3)

Exemplul 10: alege metoda potrivită, descompunere completă

Descompune complet în factori $5x^2 - 45$

Vezi rezolvarea

Verifici întâi factorul comun: $5$ divide ambii termeni.

5x^2 - 45

= 5(x^2 - 9)

factor comun 5

= 5(x-3)(x+3)

x^2-9

este diferență de pătrate

Video

Greșeli frecvente

Tratez $x^2+25$ ca diferență de pătrate și scriu $(x-5)(x+5)$
Formula diferenței de pătrate se aplică doar la SCĂDERE. $x^2+25$ este o sumă și nu se descompune prin această formulă (de fapt, nu se descompune deloc cu metodele studiate în Clasa a VIII-a).
La $x^2-24$ scriu $(x-12)(x+12)$ pentru că $24=2 \cdot 12$
$(x-12)(x+12)=x^2-144$ nu $x^2-24$ Pentru diferența de pătrate ai nevoie de $b$ cu $b^2=24$ iar $24$ nu este pătratul unui număr întreg. Rezultatul unui pătrat nu se obține împărțind la $2$
La $x^2+6x+9$ identific greșit termenul din mijloc și scriu $(x+9)^2$
Verifici cu regula $2ab$ rădăcina primului termen e $x$ rădăcina ultimului e $3$ iar $2 \cdot x \cdot 3=6x$ coincide cu termenul din mijloc. Rezultatul corect este $(x+3)^2$ nu $(x+9)^2$
La $2x^3-18x=2x(x^2-9)$ mă opresc aici și declar descompunerea completă.
$x^2-9$ mai poate fi descompus, fiind diferență de pătrate. Descompunerea completă este $2x(x-3)(x+3)$ Verifică mereu dacă vreun factor rămas mai poate fi descompus.
Scriu $x^2+9=(x+3)^2$ pentru că $9=3^2$
$(x+3)^2=x^2+6x+9$ are și termenul $6x$ Pentru $x=1$ $x^2+9=10$ dar $(x+3)^2=16$ O sumă de două pătrate, $x^2+9$ nu se descompune prin metodele din lecție.
La $x^2-10x+25=(x+5)^2$ uit semnul minus din formulă.
Termenul din mijloc e negativ $-10x$ deci formula corectă e $(a-b)^2$ nu $(a+b)^2$ Rezultatul corect este $(x-5)^2$ Verifici prin dezvoltare: $(x-5)^2=x^2-10x+25$ exact expresia inițială.
La $x^3+x^2-4x-4$ grupez termenii, ajung la $(x+1)(x^2-4)$ și mă opresc aici.
$x^2-4$ este diferență de pătrate și mai poate fi descompus: $(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)$ Descompunerea nu e completă până când niciun factor nu mai poate fi descompus.
Scriu $x^2-2x-3=(x-1)^2$ pentru că termenul din mijloc seamănă cu $-2x$
$(x-1)^2=x^2-2x+1$ iar ultimul termen este $+1$ nu $-3$ Un trinom pătrat perfect are ultimul termen pozitiv, pentru că este un pătrat. $x^2-2x-3$ nu este pătrat perfect, deci acest tipar nu se aplică.

Exerciții

Ușor

Descompune în factori $x^2 - 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-3)(x+3)$
$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$ diferență de pătrate.
Descompune în factori $x^2 - 49$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-7)(x+7)$
$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$
Descompune în factori $x^2 + 4x + 4$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+2)^2$
$x^2+4x+4=x^2+2 \cdot x \cdot 2+2^2=(x+2)^2$
Descompune în factori $x^2 - 8x + 16$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-4)^2$
$x^2-8x+16=x^2-2 \cdot x \cdot 4+4^2=(x-4)^2$
Este $x^2+16$ o diferență de pătrate? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$x^2+16$ este o SUMĂ, nu o diferență. Formula diferenței de pătrate se aplică doar la scădere.

Mediu

Descompune în factori $16x^2 - 25$
Arată răspunsul
Răspuns: $(4x-5)(4x+5)$
$16x^2-25=(4x)^2-5^2=(4x-5)(4x+5)$
Descompune în factori $9x^2 + 30x + 25$
Arată răspunsul
Răspuns: $(3x+5)^2$
$9x^2+30x+25=(3x)^2+2 \cdot 3x \cdot 5+5^2=(3x+5)^2$
Descompune în factori $2x^2 - 8$ scoțând întâi factorul comun.
Arată răspunsul
Răspuns: $2(x-2)(x+2)$
$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$
Descompune în factori $5x^2 + 20x + 20$ scoțând întâi factorul comun.
Arată răspunsul
Răspuns: $5(x+2)^2$
$5x^2+20x+20=5(x^2+4x+4)=5(x+2)^2$
Ce metodă folosești pentru $x^2-36$ și pentru $x^2+10x+25$ Descompune ambele.
Arată răspunsul
Răspuns: Diferență de pătrate pentru prima, trinom pătrat perfect pentru a doua.
$x^2-36=(x-6)(x+6)$ $x^2+10x+25=(x+5)^2$
Descompune în factori $25 - x^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $(5-x)(5+x)$
$25-x^2=5^2-x^2=(5-x)(5+x)$ Verificare: $(5-x)(5+x)=25+5x-5x-x^2=25-x^2$

Provocare

Descompune complet în factori $x^4 - 16$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$
$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)$ Apoi $x^2-4=(x-2)(x+2)$ iar $x^2+4$ este o sumă de pătrate și nu se mai descompune prin metodele din lecție.
Descompune complet în factori $3x^3 - 27x$
Arată răspunsul
Răspuns: $3x(x-3)(x+3)$
Factor comun $3x$ $3x^3-27x=3x(x^2-9)$ Apoi diferență de pătrate: $3x(x-3)(x+3)$
Descompune în factori $x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ prin grupare urmată de formulă.
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+2)(x-3)(x+3)$
Grupezi: $x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^2-9)$ Apoi diferența de pătrate: $(x+2)(x-3)(x+3)$
Un elev a scris $4x^2-12x+9=(2x-3)(2x+3)$ Găsește greșeala și scrie descompunerea corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $(2x-3)^2$
Elevul a confundat trinomul pătrat perfect cu diferența de pătrate, expresia are 3 termeni, nu 2. $4x^2-12x+9=(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 3+3^2=(2x-3)^2$ Verificare: $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ exact expresia inițială.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Descompunerea în factori a expresiei $x^2-16$ este:
1. $(x-4)^2$
2. $(x+4)^2$
3. $(x-4)(x+4)$
4. $(x-8)(x+8)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-4)(x+4)$
$x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)$
2. Descompunerea în factori a expresiei $x^2+8x+16$ este:
1. $(x-4)^2$
2. $(x+8)(x+2)$
3. $(x+4)(x-4)$
4. $(x+4)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x+4)^2$
$x^2+8x+16=x^2+2 \cdot x \cdot 4+4^2=(x+4)^2$
3. Ce metodă folosești prima, la orice expresie de descompus?
1. Diferența de pătrate
2. Verifici dacă există un factor comun
3. Trinomul pătrat perfect
4. Gruparea
Arată răspunsul
Răspuns: Verifici dacă există un factor comun
Factorul comun se verifică întotdeauna primul, indiferent de numărul de termeni.
4. Descompunerea completă a expresiei $2x^3-8x$ este:
1. $2x(x^2-4)$
2. $2(x^3-4x)$
3. $2x(x-2)(x+2)$
4. $x(2x-4)(2x+4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $2x(x-2)(x+2)$
$2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$ descompunerea completă continuă după factorul comun.
5. Descompune în factori $x^2-100$
Arată răspunsul
Răspuns: $(x-10)(x+10)$
$x^2-100=x^2-10^2=(x-10)(x+10)$
6. Descompune în factori $4x^2-20x+25$
Arată răspunsul
Răspuns: $(2x-5)^2$
$4x^2-20x+25=(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 5+5^2=(2x-5)^2$
7. De ce $x^2-9x-9$ nu este trinom pătrat perfect?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că ultimul termen, $-9$ este negativ, iar un pătrat nu poate fi negativ.
Un trinom pătrat perfect are ultimul termen pătrat, deci pozitiv, iar termenul din mijloc este exact $\pm 2ab$ $-9$ nu este pătratul niciunui număr real.

Întrebări frecvente

Cum folosesc formulele de calcul prescurtat la descompunere?

Le citești invers față de cum le-ai folosit la dezvoltare: pornești de la rezultatul dezvoltării (de exemplu $x^2-25$ și recunoști din ce formulă provine, apoi scrii forma de produs $(x-5)(x+5)$

Cum recunosc o diferență de pătrate?

Verifici două condiții: expresia este o scădere și fiecare dintre cei doi termeni este un pătrat perfect. Dacă ambele sunt adevărate, aplici $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Cum recunosc un trinom pătrat perfect?

Verifici trei condiții: primul termen e pătrat, ultimul termen e pătrat, iar termenul din mijloc este exact $\pm 2ab$ unde $a$ și $b$ sunt rădăcinile primelor două pătrate.

Ce metodă încerc prima?

Întotdeauna verifici întâi dacă există un factor comun. Abia apoi decizi între diferență de pătrate, trinom pătrat perfect sau grupare, în funcție de numărul de termeni rămași.

De ce trebuie să continui descompunerea?

Pentru că un factor obținut la un pas poate fi el însuși descompus mai departe. De exemplu, $x(x^2-9)$ nu e complet: $x^2-9$ mai poate fi descompus, ajungând la $x(x-3)(x+3)$

Cum verific o descompunere în factori?

Dezvolți produsul obținut prin înmulțire. Dacă rezultatul este exact expresia de la care ai pornit, descompunerea este corectă.

Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

Ce vei învăța

Ideea de bază

De la formule la descompunere

Diferența de pătrate

Trinomul pătrat perfect

Factor comun urmat de formulă

Grupare urmată de formulă

Continuă descompunerea până la capăt

Cum aleg metoda

Verificarea prin dezvoltare

Exemple rezolvate

Exemplul 1: diferență de pătrate simplă

Exemplul 2: diferență de pătrate cu coeficienți

Exemplul 3: trinom pătrat perfect, semn plus

Exemplul 4: trinom pătrat perfect, semn minus

Exemplul 5: trinom pătrat perfect cu coeficient

Exemplul 6: factor comun + diferență de pătrate

Exemplul 7: factor comun + trinom pătrat perfect

Exemplul 8: grupare + factor comun + diferență de pătrate

Exemplul 9: continuă descompunerea după primul pas

Exemplul 10: alege metoda potrivită, descompunere completă

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a