Fracții algebrice: condiții de existență, amplificare și simplificare

Ce vei învăța

Recunoști o fracție algebrică și îi numești numărătorul și numitorul.
Stabilești condițiile de existență, descompunând numitorul în factori.
Amplifici o fracție algebrică cu un număr sau cu o expresie nenulă.
Simplifici o fracție algebrică prin factori comuni, după descompunere în factori.
Recunoști o simplificare greșită și păstrezi restricțiile după simplificare.

Recomandat înainte: Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

Ideea de bază

La fracțiile numerice simplificai prin factori comuni: $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}=\dfrac{2}{3}$ La fracțiile algebrice faci exact la fel, doar că factorii sunt expresii cu litere:

\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \quad x \neq 1

Rezultatul $x+1$ se poate calcula și pentru $x=1$ dar fracția inițială nu. De aceea condiția $x \neq 1$ se scrie de la început și rămâne scrisă și după simplificare.

Ce este o fracție algebrică

O fracție algebrică este un raport de două expresii algebrice, în care numitorul conține cel puțin o literă. Expresia de sus se numește numărător, iar cea de jos se numește numitor.

\dfrac{x+3}{x-2} \qquad \dfrac{5}{x^2-9} \qquad \dfrac{2a}{a+b}

Numărătorul și numitorul câtorva fracții algebrice.
Fracția	Numărătorul	Numitorul
$\dfrac{x+3}{x-2}$	$x+3$	$x-2$
$\dfrac{5}{x^2-9}$	$5$	$x^2-9$
$\dfrac{2a}{a+b}$	$2a$	$a+b$

Legătura cu fracțiile numerice

Pentru fiecare valoare admisă a literei, o fracție algebrică devine o fracție obișnuită. De exemplu, pentru $x=4$ fracția $\dfrac{x+3}{x-2}$ devine $\dfrac{7}{2}$ De aceea regulile de amplificare și simplificare sunt aceleași ca la fracțiile numerice.

Condiții de existență

Împărțirea la 0 nu are sens, deci o fracție algebrică există doar pentru valorile literelor care nu anulează numitorul. Aceste cerințe se numesc condiții de existență.

Scrii numitorul fracției inițiale, nemodificat.
Îl descompui în factori, dacă se poate.
Un produs este 0 doar dacă unul dintre factori este 0, deci ceri ca fiecare factor să fie diferit de 0.
Scrii valorile excluse ale literei.

\dfrac{x+2}{x^2-16}

x^2-16=(x-4)(x+4)

descompui numitorul, diferență de pătrate

x-4 \neq 0 \text{ și } x+4 \neq 0

fiecare factor diferit de 0

x \neq 4, \ x \neq -4

\dfrac{3}{x^2+5x}

x^2+5x=x(x+5)

factor comun

x

x \neq 0, \ x \neq -5

Uneori numitorul nu se anulează pentru nicio valoare reală. De exemplu, $x^2+4$ este cel puțin 4, pentru că $x^2 \geq 0$ Fracția $\dfrac{1}{x^2+4}$ există pentru orice număr real $x$

Condițiile se scriu pe fracția inițială

Stabilești condițiile de existență înainte de orice simplificare, pe numitorul din enunț. Dacă simplifici întâi, poți pierde un factor al numitorului și, odată cu el, o valoare interzisă.

Amplificarea

A amplifica o fracție algebrică înseamnă a înmulți și numărătorul, și numitorul cu același număr sau cu aceeași expresie, diferită de 0. Fracția obținută este egală cu cea inițială pe valorile admise.

\dfrac{2}{x+3}

= \dfrac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}

amplifici cu

x-3

deci ceri

x \neq 3

= \dfrac{2x-6}{x^2-9}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3

La ce folosește amplificarea

Amplificarea îți permite să aduci o fracție la un numitor dorit. Vei avea nevoie de ea în lecția următoare, când aduni sau scazi fracții algebrice cu numitori diferiți.

Simplificarea

A simplifica o fracție algebrică înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la un factor comun, diferit de 0. Lucrezi în patru pași:

Scrii condițiile de existență pe fracția inițială.
Descompui în factori numărătorul și numitorul.
Identifici factorii comuni.
Împarți la factorii comuni și scrii rezultatul împreună cu condițiile de la primul pas.

\dfrac{3x+6}{5x+10}

condiție:

5x+10 \neq 0

deci

x \neq -2

= \dfrac{3(x+2)}{5(x+2)}

factor comun sus și jos

= \dfrac{3}{5}, \quad x \neq -2

împarți la factorul comun

x+2

Se simplifică factori, nu termeni.
Scriere	Corect?	De ce
$\dfrac{x \cdot a}{x \cdot b}=\dfrac{a}{b}$	Da	$x$ este factor, atât sus, cât și jos
$\dfrac{x+a}{x+b}=\dfrac{a}{b}$	Nu	$x$ este termen al unei sume, nu factor
$\dfrac{3(x+2)}{5(x+2)}=\dfrac{3}{5}$	Da	$x+2$ este factor comun
$\dfrac{x^2+3}{x^2+5}=\dfrac{3}{5}$	Nu	$x^2$ apare doar ca termen

Testul valorii numerice

Dacă nu ești sigur că o simplificare e corectă, încearcă o valoare admisă. Pentru $x=1$ $\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{6}{3}=2$ dar $\dfrac{5}{2}$ nu este 2. Simplificarea $\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{5}{2}$ este deci greșită.

Simplificare după descompunere în factori

Cele mai multe fracții algebrice se simplifică abia după ce descompui numărătorul și numitorul, cu metodele din modulul Calcul algebric: factor comun, diferență de pătrate, trinom pătrat perfect, grupare.

\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}

condiții:

x \neq 2

x \neq -2

= \dfrac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}

trinom pătrat perfect sus, diferență de pătrate jos

= \dfrac{x+2}{x-2}, \quad x \neq 2, \ x \neq -2

Atenție la factorii opuși. Expresiile $3-x$ și $x-3$ diferă doar prin semn: $3-x=-(x-3)$ După ce scoți semnul minus în față, poți simplifica.

\dfrac{3-x}{x^2-9}

condiții:

x \neq 3

x \neq -3

= \dfrac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}

= -\dfrac{1}{x+3}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3

Ce descompunere cauți înainte de simplificare.
Vezi în fracție	Descompui cu
un factor care apare în toți termenii	factor comun
$a^2-b^2$	$(a-b)(a+b)$
$a^2 \pm 2ab+b^2$	$(a \pm b)^2$
patru termeni	grupare, apoi factor comun

Restricția rămâne după simplificare

\dfrac{x^2-1}{x-1}

condiție:

x \neq 1

= \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}

= x+1, \quad x \neq 1

Pentru $x=1$ expresia $x+1$ valorează 2, dar fracția inițială devine $\dfrac{0}{0}$ care nu are sens. Cele două expresii sunt egale doar pe valorile admise, deci scrii rezultatul împreună cu restricția.

Simplificarea nu șterge condițiile

Chiar dacă după simplificare factorul $x-1$ nu mai apare la numitor, valoarea $x=1$ rămâne interzisă. Condițiile de existență se stabilesc o singură dată, pe fracția inițială, și însoțesc rezultatul.

Când nu se mai poate simplifica

O fracție algebrică este ireductibilă atunci când numărătorul și numitorul, descompuși complet, nu mai au niciun factor comun. De exemplu, $\dfrac{x+5}{x+2}$ și $\dfrac{x+2}{x-2}$ sunt ireductibile.

Verifică la final

După simplificare, verifică încă o dată dacă vreun factor al numărătorului mai apare și la numitor. Dacă nu, ai terminat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: numărătorul și numitorul

Pentru fracția algebrică $\dfrac{x^2-4}{3x+6}$ scrie numărătorul și numitorul și calculează valoarea fracției pentru $x=0$

Vezi rezolvarea

Numărătorul este $x^2-4$ iar numitorul este $3x+6$ Pentru $x=0$ numitorul este $6 \neq 0$ deci valoarea există și este $\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}$

Exemplul 2: condiție de existență simplă

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{2x+1}{x-5}$

Vezi rezolvarea

x-5 \neq 0

x \neq 5

Exemplul 3: condiții prin diferență de pătrate

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x+2}{x^2-16}$

Vezi rezolvarea

x^2-16=(x-4)(x+4) \neq 0

x \neq 4, \ x \neq -4

Exemplul 4: condiții prin factor comun

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x}{x^2+2x}$

Vezi rezolvarea

x^2+2x=x(x+2) \neq 0

x \neq 0, \ x \neq -2

Chiar dacă numărătorul este tot $x$ valoarea $x=0$ este interzisă, pentru că anulează numitorul.

Exemplul 5: numitor care nu se anulează

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{7}{x^2+9}$

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr real $x$ $x^2 \geq 0$ deci $x^2+9 \geq 9$ Numitorul nu este niciodată 0, așa că fracția există pentru orice $x$ real.

Exemplul 6: amplificare cu o expresie

Amplifică fracția $\dfrac{2}{x+3}$ cu $x-3$

Vezi rezolvarea

\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}

= \dfrac{2x-6}{x^2-9}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3

Amplificarea cu $x-3$ are sens doar dacă $x-3 \neq 0$ de aceea apare și condiția $x \neq 3$

Exemplul 7: simplificare cu monoame

Simplifică $\dfrac{6x^2y}{9xy^2}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{6x^2y}{9xy^2}

condiții:

x \neq 0

y \neq 0

= \dfrac{3xy \cdot 2x}{3xy \cdot 3y}

factorul comun este

3xy

= \dfrac{2x}{3y}, \quad x \neq 0, \ y \neq 0

Exemplul 8: factor comun sus și jos

Simplifică $\dfrac{3x+6}{5x+10}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{3x+6}{5x+10}

condiție:

x \neq -2

= \dfrac{3(x+2)}{5(x+2)}

= \dfrac{3}{5}, \quad x \neq -2

Exemplul 9: diferență de pătrate

Simplifică $\dfrac{x^2-9}{x+3}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x^2-9}{x+3}

condiție:

x \neq -3

= \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}

= x-3, \quad x \neq -3

Exemplul 10: trinom pătrat perfect

Simplifică $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}

condiții:

x \neq 2

x \neq -2

= \dfrac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}

= \dfrac{x+2}{x-2}, \quad x \neq 2, \ x \neq -2

Exemplul 11: restricția păstrată

Simplifică $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ și explică de ce rezultatul nu este valabil pentru $x=1$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x^2-1}{x-1}

condiție:

x \neq 1

= \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}

= x+1, \quad x \neq 1

Pentru $x=1$ fracția inițială are numitorul 0, deci nu există, chiar dacă $x+1$ s-ar putea calcula. Egalitatea este adevărată doar pentru $x \neq 1$

Exemplul 12: simplificare greșită

Un elev a scris $\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{5}{2}$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. $x$ este termen în ambele sume, nu factor, deci nu poate fi „tăiat”. Verificare pentru $x=1$ $\dfrac{6}{3}=2$ iar $\dfrac{5}{2}$ nu este 2. Fracția $\dfrac{x+5}{x+2}$ cu $x \neq -2$ este ireductibilă.

Exemplul 13: factori opuși

Simplifică $\dfrac{4-x}{x^2-16}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{4-x}{x^2-16}

condiții:

x \neq 4

x \neq -4

= \dfrac{-(x-4)}{(x-4)(x+4)}

4-x=-(x-4)

= -\dfrac{1}{x+4}, \quad x \neq 4, \ x \neq -4

Exemplul 14: descompuneri combinate

Simplifică $\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}

numitorul este

(x-2)^2

deci

x \neq 2

= \dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}

factor comun 2, apoi diferență de pătrate

= \dfrac{2(x+2)}{x-2}, \quad x \neq 2

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Simplific termeni: $\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{5}{2}$
Se simplifică doar factori comuni ai întregului numărător și ai întregului numitor. În $x+5$ și $x+2$ $x$ este termen al unei sume. Fracția este ireductibilă; pentru $x=1$ ea valorează 2, nu $\dfrac{5}{2}$
Simplific $\dfrac{3x+6}{5x+10}=\dfrac{3}{5}$ și nu scriu nicio condiție.
Numitorul inițial $5x+10=5(x+2)$ se anulează pentru $x=-2$ Rezultatul corect este $\dfrac{3}{5}$ cu $x \neq -2$
Scriu $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ pentru orice $x$ real.
Pentru $x=1$ fracția inițială nu există. Restricția $x \neq 1$ se stabilește pe fracția inițială și rămâne după simplificare: $x+1$ cu $x \neq 1$
Stabilesc condițiile pe rezultatul simplificat. La $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}=\dfrac{x+2}{x-2}$ scriu doar $x \neq 2$
Numitorul inițial este $(x-2)(x+2)$ deci și $x=-2$ este interzis. Condițiile se iau de pe fracția inițială: $x \neq 2$ și $x \neq -2$
La $\dfrac{x^2+x}{x}$ tai $x$ doar din primul termen și obțin $x^2+1$ sau $x+x$
Mai întâi descompui numărătorul: $x^2+x=x(x+1)$ Abia apoi simplifici prin factorul comun $x$ rezultatul este $x+1$ cu $x \neq 0$
Cred că $\dfrac{1}{x^2+4}$ are condițiile $x \neq 2$ și $x \neq -2$
$x^2+4$ este o sumă, nu o diferență de pătrate, și este cel puțin 4 pentru orice $x$ real. Fracția există pentru orice $x$ real, fără restricții.
Scriu $\dfrac{x-3}{3-x}=1$
$3-x=-(x-3)$ deci numărătorul și numitorul sunt opuse. Rezultatul este $-1$ cu $x \neq 3$ Verificare pentru $x=4$ $\dfrac{1}{-1}=-1$
Amplific $\dfrac{2}{x+3}$ cu $x-3$ și păstrez doar condiția $x \neq -3$
Amplificarea cu o expresie are sens doar dacă expresia este diferită de 0. Fracția $\dfrac{2x-6}{x^2-9}$ are numitorul $(x-3)(x+3)$ deci condițiile sunt $x \neq 3$ și $x \neq -3$

Exerciții

Ușor

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{5}{x-7}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 7$
Numitorul $x-7$ trebuie să fie diferit de 0, deci $x \neq 7$
Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x+1}{2x+6}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq -3$
$2x+6=2(x+3) \neq 0$ deci $x+3 \neq 0$ adică $x \neq -3$
Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{3x}{x^2+1}$
Arată răspunsul
Răspuns: Fracția există pentru orice $x$ real.
$x^2+1 \geq 1$ pentru orice $x$ real, deci numitorul nu se anulează niciodată.
Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{1}{x(x-4)}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 0$ și $x \neq 4$
Produsul $x(x-4)$ este 0 doar dacă $x=0$ sau $x-4=0$ Excluzi ambele valori.
Simplifică $\dfrac{12x^3}{8x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3x^2}{2}$ cu $x \neq 0$
Factorul comun este $4x$ $\dfrac{4x \cdot 3x^2}{4x \cdot 2}=\dfrac{3x^2}{2}$ cu $x \neq 0$
Simplifică $\dfrac{10a^2b}{15ab^3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2a}{3b^2}$ cu $a \neq 0$ $b \neq 0$
Factorul comun este $5ab$ $\dfrac{5ab \cdot 2a}{5ab \cdot 3b^2}=\dfrac{2a}{3b^2}$ Condițiile vin din numitorul inițial $15ab^3$
Simplifică $\dfrac{x-5}{3(x-5)}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{3}$ cu $x \neq 5$
Factorul comun este $x-5$ Rezultatul este $\dfrac{1}{3}$ iar condiția $x \neq 5$ vine din numitorul inițial.
Amplifică fracția $\dfrac{3}{x}$ cu 2.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{6}{2x}$ cu $x \neq 0$
Înmulțești numărătorul și numitorul cu 2: $\dfrac{3 \cdot 2}{x \cdot 2}=\dfrac{6}{2x}$
Calculează valoarea fracției $\dfrac{x+4}{x-2}$ pentru $x=3$ Se poate calcula pentru $x=2$
Arată răspunsul
Răspuns: 7; pentru $x=2$ nu se poate calcula.
Pentru $x=3$ $\dfrac{7}{1}=7$ Pentru $x=2$ numitorul este 0, deci fracția nu există.

Mediu

Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x+3}{x^2-25}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 5$ și $x \neq -5$
$x^2-25=(x-5)(x+5)$ deci ceri $x-5 \neq 0$ și $x+5 \neq 0$
Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{2}{x^2-6x+9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 3$
$x^2-6x+9=(x-3)^2$ care este 0 doar pentru $x=3$
Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{4}{x^2+5x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 0$ și $x \neq -5$
$x^2+5x=x(x+5)$ deci excluzi $x=0$ și $x=-5$
Simplifică $\dfrac{4x+8}{6x+12}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{3}$ cu $x \neq -2$
$\dfrac{4(x+2)}{6(x+2)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ cu $x \neq -2$
Simplifică $\dfrac{x^2-49}{x-7}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x+7$ cu $x \neq 7$
$\dfrac{(x-7)(x+7)}{x-7}=x+7$ iar $x \neq 7$ rămâne din fracția inițială.
Simplifică $\dfrac{x^2-16}{x^2+8x+16}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x-4}{x+4}$ cu $x \neq -4$
$\dfrac{(x-4)(x+4)}{(x+4)^2}=\dfrac{x-4}{x+4}$ Numitorul inițial $(x+4)^2$ se anulează doar pentru $x=-4$
Simplifică $\dfrac{x^2+3x}{x^2-9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x}{x-3}$ cu $x \neq 3$ $x \neq -3$
$\dfrac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x}{x-3}$ Condițiile vin din $(x-3)(x+3)$ deci și $x \neq -3$ rămâne.
Simplifică $\dfrac{5x-10}{x^2-4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{x+2}$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$
$\dfrac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{5}{x+2}$ cu condițiile fracției inițiale.
Amplifică fracția $\dfrac{x-1}{x+1}$ astfel încât numitorul să devină $x^2-1$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}$ cu $x \neq 1$ $x \neq -1$
$x^2-1=(x+1)(x-1)$ deci amplifici cu $x-1$ $\dfrac{(x-1)^2}{x^2-1}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}$
Un elev a scris $\dfrac{x^2+3}{x^2+5}=\dfrac{3}{5}$ Verifică pentru $x=1$ și spune dacă simplificarea e corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu este corectă.
Pentru $x=1$ $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ diferit de $\dfrac{3}{5}$ $x^2$ este termen, nu factor. Observă că pentru $x=0$ rezultatele coincid întâmplător, deci o singură valoare nu dovedește că o simplificare e corectă, dar o singură valoare poate arăta că e greșită.
Simplifică $\dfrac{x-3}{3-x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-1$ cu $x \neq 3$
$3-x=-(x-3)$ deci $\dfrac{x-3}{-(x-3)}=-1$ cu $x \neq 3$

Provocare

Simplifică $\dfrac{x^3-4x}{x^2+2x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x-2$ cu $x \neq 0$ $x \neq -2$
$\dfrac{x(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=x-2$ Condițiile vin din numitorul inițial $x(x+2)$
Simplifică $\dfrac{2x^2-18}{x^2-6x+9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2(x+3)}{x-3}$ cu $x \neq 3$
$\dfrac{2(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\dfrac{2(x+3)}{x-3}$ cu $x \neq 3$
Simplifică $\dfrac{x^2-1}{x^3-x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{x}$ cu $x \neq 0$ $x \neq 1$ $x \neq -1$
$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ deci $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x}$ Toate cele trei valori care anulează numitorul inițial rămân excluse.
Simplifică $\dfrac{x^2+xy+2x+2y}{x^2-4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x+y}{x-2}$ cu $x \neq 2$ $x \neq -2$
Grupare: $x(x+y)+2(x+y)=(x+y)(x+2)$ Apoi $\dfrac{(x+y)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x+y}{x-2}$
Un elev a scris $\dfrac{x^2-9}{x-3}=x+3$ pentru orice număr real $x$ Ce lipsește din răspuns?
Arată răspunsul
Răspuns: Condiția $x \neq 3$
Simplificarea este corectă, dar pentru $x=3$ fracția inițială nu există. Răspunsul complet este $x+3$ cu $x \neq 3$
Simplifică $\dfrac{9-x^2}{x^2-6x+9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\dfrac{x+3}{x-3}$ cu $x \neq 3$
$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)$ iar numitorul este $(x-3)^2$ Rezultă $-\dfrac{x+3}{x-3}$ cu $x \neq 3$ Forma $\dfrac{x+3}{3-x}$ este echivalentă.
Pentru ce valori ale lui $x$ este adevărată egalitatea $\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}=x+1$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru orice $x$ real, $x \neq -1$
$\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$ pe valorile admise. Pentru $x=-1$ fracția nu există, deci egalitatea nu are sens acolo.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Condiția de existență a fracției $\dfrac{x+2}{x-6}$ este:
1. $x \neq -2$
2. $x \neq -6$
3. $x \neq 6$
4. $x \neq 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 6$
Doar numitorul contează: $x-6 \neq 0$ deci $x \neq 6$
2. Condițiile de existență ale fracției $\dfrac{1}{x^2-4}$ sunt:
1. $x \neq 2$ și $x \neq -2$
2. doar $x \neq 2$
3. doar $x \neq 4$
4. nu are condiții
Arată răspunsul
Răspuns: $x \neq 2$ și $x \neq -2$
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ deci ambii factori trebuie să fie diferiți de 0.
3. Care simplificare este corectă?
1. $\dfrac{x+3}{x+5}=\dfrac{3}{5}$
2. $\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$
3. $\dfrac{2x+4}{2}=x+4$
4. $\dfrac{3(x+1)}{5(x+1)}=\dfrac{3}{5}$ cu $x \neq -1$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3(x+1)}{5(x+1)}=\dfrac{3}{5}$ cu $x \neq -1$
Doar în prima variantă se împarte la un factor comun, $x+1$ În celelalte se taie termeni sau se împarte doar un termen.
4. Forma simplificată a fracției $\dfrac{x^2-25}{x+5}$ este:
1. $x+5$ cu $x \neq -5$
2. $x-5$ cu $x \neq -5$
3. $x-5$ pentru orice $x$
4. $x-25$
Arată răspunsul
Răspuns: $x-5$ cu $x \neq -5$
$\dfrac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5$ iar $x \neq -5$ rămâne din fracția inițială.
5. Știind că $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ pe valorile admise, ce se întâmplă pentru $x=1$
1. Fracția valorează 2
2. Fracția valorează 0
3. Fracția valorează 1
4. Fracția inițială nu există
Arată răspunsul
Răspuns: Fracția inițială nu există
Pentru $x=1$ numitorul inițial este 0. Faptul că $x+1$ se poate calcula nu schimbă acest lucru.
6. Forma simplificată a fracției $\dfrac{x-2}{2-x}$ este:
1. $1$ cu $x \neq 2$
2. $-1$ cu $x \neq 2$
3. $0$
4. nu se poate simplifica
Arată răspunsul
Răspuns: $-1$ cu $x \neq 2$
$2-x=-(x-2)$ deci raportul este $-1$
7. Simplifică $\dfrac{8x^2}{12x}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2x}{3}$ cu $x \neq 0$
Factorul comun este $4x$ $\dfrac{4x \cdot 2x}{4x \cdot 3}=\dfrac{2x}{3}$
8. Simplifică $\dfrac{x^2+6x+9}{x+3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x+3$ cu $x \neq -3$
$x^2+6x+9=(x+3)^2$ deci $\dfrac{(x+3)^2}{x+3}=x+3$ cu $x \neq -3$
9. Pentru ce valori ale lui $x$ există fracția $\dfrac{5}{x^2+7}$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru orice $x$ real.
$x^2+7 \geq 7$ deci numitorul nu este niciodată 0.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție algebrică?

Este un raport de două expresii algebrice în care numitorul conține cel puțin o literă, de exemplu $\dfrac{x+3}{x-2}$ Ea există doar pentru valorile literelor care nu anulează numitorul.

Cum stabilesc condițiile de existență?

Descompui numitorul fracției inițiale în factori și ceri ca fiecare factor să fie diferit de 0. De exemplu, la $\dfrac{1}{x^2-9}$ obții $x \neq 3$ și $x \neq -3$

De ce păstrez condițiile după simplificare?

Pentru că fracția inițială nu există în valorile excluse, chiar dacă rezultatul simplificat s-ar putea calcula acolo. De exemplu, $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ doar pentru $x \neq 1$

Ce pot simplifica și ce nu?

Poți simplifica doar factori comuni ai întregului numărător și ai întregului numitor. Nu poți tăia termeni dintr-o sumă: $\dfrac{x+5}{x+2}$ nu se simplifică.

Cum amplific o fracție algebrică?

Înmulțești numărătorul și numitorul cu același număr sau cu aceeași expresie, diferită de 0. Dacă amplifici cu o expresie, adaugi la condiții și valorile care o anulează.

Cum verific o simplificare?

Alegi o valoare admisă a literei și calculezi atât fracția inițială, cât și rezultatul. Dacă valorile diferă, simplificarea este greșită.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o fracție algebrică

Condiții de existență

Amplificarea

Simplificarea

Simplificare după descompunere în factori

Restricția rămâne după simplificare

Când nu se mai poate simplifica

Exemple rezolvate

Exemplul 1: numărătorul și numitorul

Exemplul 2: condiție de existență simplă

Exemplul 3: condiții prin diferență de pătrate

Exemplul 4: condiții prin factor comun

Exemplul 5: numitor care nu se anulează

Exemplul 6: amplificare cu o expresie

Exemplul 7: simplificare cu monoame

Exemplul 8: factor comun sus și jos

Exemplul 9: diferență de pătrate

Exemplul 10: trinom pătrat perfect

Exemplul 11: restricția păstrată

Exemplul 12: simplificare greșită

Exemplul 13: factori opuși

Exemplul 14: descompuneri combinate

Exerciții rezolvate video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a