Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

Un număr rațional se poate scrie ca o fracție $\dfrac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere întregi și $b \ne 0$. Un număr irațional este un număr real care nu se poate scrie așa.

Le deosebești după scrierea zecimală. Un număr rațional are zecimale care se termină sau care se repetă periodic. Un număr irațional are zecimale care nu se mai termină și nu au perioadă.

Numerele raționale și numerele iraționale, luate la un loc, formează mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$. Toate mulțimile de numere pe care le știi se cuprind una în alta: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

$\sqrt{4} = 2$, pentru că $2^2 = 4$. Rezultatul este un număr întreg. La fel, $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ este o fracție. Aceste rădăcini sunt numere raționale.

Dar $\sqrt{2}$? Din lecțiile trecute știi că $1 < \sqrt{2} < 2$, pentru că $1^2 = 1$ și $2^2 = 4$. Numărul $2$ de sub radical nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{2}$ nu este număr natural.

Nu este nici fracție. Nu există numere întregi $a$ și $b$, cu $b \ne 0$, pentru care $\dfrac{a}{b} = \sqrt{2}$. Se poate demonstra acest lucru, dar demonstrația nu se cere acum. Ține minte concluzia: $\sqrt{2}$ nu se poate scrie ca raport de numere întregi.

Un astfel de număr se numește număr irațional.

Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca o fracție cu numărător și numitor numere întregi, numitorul diferit de $0$.

Numerele naturale și numerele întregi sunt și ele raționale: $5 = \dfrac{5}{1}$, $-3 = \dfrac{-3}{1}$. La fel, orice zecimală finită: $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$, $1{,}5 = \dfrac{3}{2}$.

Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează $\mathbb{Q}$.

Un număr irațional este un număr real care nu se poate scrie ca raport a două numere întregi. Oricâte fracții $\dfrac{a}{b}$ ai încerca, niciuna nu îi este egală.

Cel mai simplu exemplu este $\sqrt{2}$. Alte exemple: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ și numărul $\pi$, raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul lui.

Orice număr rațional are una dintre următoarele două forme zecimale: fie zecimală finită, fie zecimală infinită periodică, adică o grupă de cifre care se repetă la nesfârșit.

• $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ are zecimală finită.
• $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ are zecimală periodică, perioada $3$.
• $\dfrac{7}{6} = 1{,}1(6) = 1{,}1666\ldots$ are zecimală periodică, perioada $6$.

Un număr irațional are zecimale care nu se termină niciodată și nu au nicio perioadă. Nu se repetă nicio grupă de cifre. Aceasta este o consecință, nu definiția: un număr este irațional pentru că nu se scrie ca raport de întregi, iar scrierea zecimală infinită neperiodică este felul în care se vede acest lucru.

Prezența unui radical sau a unei zecimale lungi nu face un număr irațional. Contează dacă numărul se poate scrie sau nu ca fracție de întregi.

Ultimele cinci numere din tabel arată că forma scrisă nu decide. $\sqrt{4}$ are radical, dar este $2$. $0{,}(3)$ are zecimale infinite, dar este $\frac{1}{3}$. Amândouă sunt raționale.

Nu orice radical este irațional. $\sqrt{25} = 5$ și $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ sunt raționale. Regula ține de numărul de sub radical.

Pentru un număr natural $n$: dacă $n$ este pătrat perfect, atunci $\sqrt{n}$ este număr natural. Dacă $n$ nu este pătrat perfect, atunci $\sqrt{n}$ este irațional.

• $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{50}$ sunt iraționale: $7$, $10$, $20$, $50$ nu sunt pătrate perfecte.
• $\sqrt{1}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{81}$, $\sqrt{100}$ sunt raționale: $1$, $16$, $81$, $100$ sunt pătrate perfecte.

Numerele raționale și numerele iraționale, luate împreună, formează mulțimea numerelor reale, notată $\mathbb{R}$.

Un număr irațional este tot un număr real. Deci $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, dar $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Spunem că $\sqrt{2}$ este în $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, adică printre numerele reale care nu sunt raționale.

Fiecare număr real corespunde unui punct de pe axa numerelor și fiecare punct de pe axă corespunde unui număr real. Numerele iraționale completează axa: sunt punctele pe care numerele raționale singure nu le acoperă.

Câteva submulțimi ale lui $\mathbb{R}$ apar des: $\mathbb{R}^*$ este mulțimea numerelor reale fără $0$, $\mathbb{R}_+$ mulțimea numerelor reale mai mari sau egale cu $0$ și $\mathbb{R}_-$ mulțimea numerelor reale mai mici sau egale cu $0$.

Toate mulțimile de numere studiate se cuprind una în alta, în această ordine:

• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$: orice număr natural este și număr întreg. La numerele naturale se adaugă cele negative.
• $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$: orice număr întreg este rațional, pentru că $k = \dfrac{k}{1}$. La numerele întregi se adaugă fracțiile.
• $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$: orice număr rațional este real. La numerele raționale se adaugă cele iraționale.

Fiecare incluziune este strictă: fiecare mulțime are elemente pe care mulțimea dinaintea ei nu le are. De exemplu $-3 \in \mathbb{Z}$, dar $-3 \notin \mathbb{N}$; $\dfrac{1}{2} \in \mathbb{Q}$, dar $\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$; $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, dar $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Două semne apropiate, folosite în situații diferite. $\in$ leagă un număr de o mulțime. $\subset$ leagă o mulțime de altă mulțime.

• $2 \in \mathbb{N}$ este corect: $2$ este un număr, $\mathbb{N}$ o mulțime.
• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ este corect: amândouă sunt mulțimi.
• $2 \subset \mathbb{N}$ este greșit: $2$ nu este o mulțime.

Un număr poate face parte din mai multe mulțimi deodată. $5$ este în $\mathbb{N}$, dar și în $\mathbb{Z}$, în $\mathbb{Q}$ și în $\mathbb{R}$. O întrebare utilă este: care este cea mai mică mulțime din care face parte numărul?

Când clasifici un număr, dă cea mai mică mulțime. Este corect și să spui că $5 \in \mathbb{R}$, dar răspunsul complet este $5 \in \mathbb{N}$.