De ce √(49) = 7 și nu ± 7?

Prin √(49) se înțelege un singur număr, cel nenegativ, deci 7. Semnul ± apare când rezolvi ecuația x² = 49, care are soluțiile x = 7 și x = -7. Aceea este o altă întrebare decât valoarea lui √(49).

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Ce vei învăța

Recunoști un număr natural pătrat perfect.
Scrii și citești notația $\sqrt{a}$
Calculezi rădăcina pătrată a unui pătrat perfect.
Verifici un rezultat prin ridicare la pătrat.
Legi rădăcina pătrată de latura unui pătrat cu arie dată.

Ideea de bază

Pătratul unui număr natural este numărul înmulțit cu el însuși: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$ Un număr natural care se poate scrie sub forma $n^2$ cu $n$ natural, se numește pătrat perfect. Așa sunt $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ și așa mai departe.

Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect $a$ este numărul natural $b$ pentru care $b^2 = a$ Se notează $\sqrt{a} = b$ și se citește „rădăcina pătrată din $a$

\sqrt{49} = 7 \quad\Longleftrightarrow\quad 7^2 = 49

Rădăcina pătrată întoarce ridicarea la pătrat a unui număr nenegativ. Dacă pornești de la $7$ îl ridici la pătrat și obții $49$ rădăcina pătrată te aduce înapoi la $7$

Pătratul unui număr natural

Pătratul unui număr natural $a$ este $a^2 = a \cdot a$ Numele vine de la geometrie: un pătrat cu latura $a$ are aria $a^2$

$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
$3^2 = 9$
$8^2 = 64$
$10^2 = 100$

Pătratul nu înseamnă „de două ori”

$5^2 = 25$ nu $10$ La pătrat înmulțești numărul cu el însuși, nu îl aduni cu el însuși.

Numere naturale pătrate perfecte

Un număr natural este pătrat perfect dacă este pătratul unui număr natural, adică se scrie sub forma $n^2$ cu $n$ natural.

$0 = 0^2$ $\;1 = 1^2$ $\;4 = 2^2$ $\;9 = 3^2$ $\;16 = 4^2$
$25 = 5^2$ $\;36 = 6^2$ $\;49 = 7^2$ $\;64 = 8^2$ $\;81 = 9^2$ $\;100 = 10^2$

Nu orice număr natural este pătrat perfect. $50$ nu este: se află între $7^2 = 49$ și $8^2 = 64$ deci nu există niciun număr natural al cărui pătrat să fie $50$

Cum recunoști repede un pătrat perfect

Ține minte pătratele numerelor de la $1$ la $15$ (până la $15^2 = 225$ Un pătrat perfect se termină doar în $0$ $1$ $4$ $5$ $6$ sau $9$ Dacă un număr se termină în $2$ $3$ $7$ sau $8$ sigur nu este pătrat perfect.

Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect

Pentru orice număr $a \ge 0$ rădăcina pătrată a lui $a$ este numărul nenegativ al cărui pătrat este $a$ Când $a$ este un pătrat perfect, acest număr este natural: $b$ îndeplinește două condiții în același timp, $b^2 = a$ și $b \ge 0$

\sqrt{a} = b \quad\Longleftrightarrow\quad b^2 = a \;\text{, cu}\; b \ge 0

Semnul $\sqrt{\phantom{a}}$ se numește semnul radical, iar numărul scris sub el se numește radicand sau, simplu, numărul de sub radical. Expresia $\sqrt{49}$ se citește „rădăcina pătrată din $49$ În ea, numărul de sub radical este $49$ Numărul de sub radical nu poate fi negativ: nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie negativ.

$\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{1} = 1$
$\sqrt{4} = 2$
$\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{49} = 7$
$\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{49}$ este un singur număr

$\sqrt{49} = 7$ Rezultatul unei rădăcini pătrate este un singur număr, cel nenegativ. Ecuația $x^2 = 49$ are două soluții, $x = 7$ și $x = -7$ dar aceea este o altă întrebare.

În această lecție lucrezi doar cu pătrate perfecte, unde rezultatul este un număr natural exact. Pentru un număr ca $20$ rădăcina pătrată există, dar nu este naturală. Cum lucrezi cu astfel de numere vezi în lecția următoare.

Cum verifici o rădăcină pătrată

Verificarea este simplă: ridici rezultatul la pătrat. Dacă obții numărul de sub radical, rezultatul este corect.

\sqrt{64} = 8

rezultatul propus

8^2 = 64

ridici la pătrat și obții numărul de sub radical

Dacă $b^2$ nu dă numărul de sub radical, ai greșit. Cineva scrie $\sqrt{81} = 8$ dar $8^2 = 64 \ne 81$ Numărul corect este $9$ pentru că $9^2 = 81$

Verifică mereu la final

Ridicarea la pătrat durează câteva secunde și prinde greșelile de memorie. Fă-o de fiecare dată, mai ales la numere peste $100$

Rădăcina pătrată și aria unui pătrat

Un pătrat cu latura $l$ are aria $l^2$ Dacă știi aria $A$ a unui pătrat și $A$ este pătrat perfect, atunci latura este $\sqrt{A}$

A = 49

l = \sqrt{49} = 7

Aria este

l^2 = A

deci latura este

l = \sqrt{A}

Un pătrat cu aria $144$ are latura $\sqrt{144} = 12$ pentru că $12^2 = 144$ Latura unui pătrat este o lungime, deci este pozitivă; de aceea folosești doar rădăcina nenegativă.

Tabelul pătratelor perfecte uzuale

Citește tabelul în ambele sensuri. De la stânga la dreapta afli pătratul unui număr. De la dreapta la stânga afli rădăcina pătrată a unui pătrat perfect.

Pătratele și rădăcinile pătrate pentru numerele naturale de la 0 la 12
$n$	$n^2$	$\sqrt{n^2}$
$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$2$
$3$	$9$	$3$
$4$	$16$	$4$
$5$	$25$	$5$
$6$	$36$	$6$
$7$	$49$	$7$
$8$	$64$	$8$
$9$	$81$	$9$
$10$	$100$	$10$
$11$	$121$	$11$
$12$	$144$	$12$

Numerele din coloana din mijloc sunt toate pătratele perfecte până la $144$ Un număr care nu apare acolo, ca $30$ sau $50$ nu este pătrat perfect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: calculează $\sqrt{36}$

Cât este $\sqrt{36}$

Vezi rezolvarea

Caut numărul natural care ridicat la pătrat dă $36$ Știu că $6^2 = 36$

\sqrt{36} = 6

Exemplul 2: calculează $\sqrt{81}$

Cât este $\sqrt{81}$

Vezi rezolvarea

Trec prin pătratele pe care le știu: $8^2 = 64$ prea mic; $9^2 = 81$ exact.

\sqrt{81} = 9

Exemplul 3: verifică o rădăcină pătrată

Este adevărat că $\sqrt{64} = 8$

Vezi rezolvarea

Ridic $8$ la pătrat și văd dacă obțin numărul de sub radical.

8^2 = 64

Am obținut $64$ adică numărul de sub radical, deci afirmația este adevărată: $\sqrt{64} = 8$

Exemplul 4: găsește numărul din pătratul lui

Găsește numărul natural $n$ pentru care $n^2 = 121$

Vezi rezolvarea

Îmi trebuie numărul a cărui pătrat este $121$ adică rădăcina pătrată a lui $121$

n = \sqrt{121} = 11

Verific: $11^2 = 121$ Corect.

Exemplul 5: latura unui pătrat din arie

Un pătrat are aria $144$ Cât este latura lui?

Vezi rezolvarea

Latura unui pătrat cu aria $A$ este $\sqrt{A}$ dacă $A$ este pătrat perfect. Aici $A = 144$

l = \sqrt{144} = 12

Verific: $12^2 = 144$ Latura este $12$

Exemplul 6: este $196$ pătrat perfect?

Decide dacă $196$ este un număr pătrat perfect.

Vezi rezolvarea

Caut un număr natural cu pătratul $196$ $13^2 = 169$ prea mic. $14^2 = 196$ exact.

Deci $196 = 14^2$ este pătrat perfect și $\sqrt{196} = 14$

Exemplul 7: compară două rădăcini pătrate

Care este mai mare, $\sqrt{9}$ sau $\sqrt{25}$

Vezi rezolvarea

Calculez fiecare rădăcină: $\sqrt{9} = 3$ și $\sqrt{25} = 5$

\sqrt{9} = 3 < 5 = \sqrt{25}

La radicali exacți compari rezultatele. Cum $9 < 25$ și $\sqrt{9} < \sqrt{25}$

Exemplul 8: o problemă cu o suprafață pătrată

O grădină în formă de pătrat are aria $400 \text{ m}^2$ De câți metri de gard este nevoie pentru tot conturul ei?

Vezi rezolvarea

Întâi aflu latura. Aria este pătrat perfect: $400 = 20^2$

l = \sqrt{400} = 20 \text{ m}

Conturul unui pătrat are patru laturi egale, deci perimetrul este $4 \cdot 20 = 80$ Este nevoie de $80 \text{ m}$ de gard.

Exemplul 9: un radical care nu este natural

Are $\sqrt{50}$ o valoare naturală?

Vezi rezolvarea

Verific dacă $50$ este pătrat perfect. $7^2 = 49$ și $8^2 = 64$ iar $50$ este între ele.

Nu există niciun număr natural cu pătratul $50$ deci $\sqrt{50}$ nu este un număr natural. $50$ nu este pătrat perfect.

Exemplul 10: o sumă de rădăcini exacte

Calculează $\sqrt{0} + \sqrt{1} + \sqrt{100}$

Vezi rezolvarea

Calculez fiecare radical separat: $\sqrt{0} = 0$ $\sqrt{1} = 1$ $\sqrt{100} = 10$

\sqrt{0} + \sqrt{1} + \sqrt{100} = 0 + 1 + 10 = 11

Video

Greșeli frecvente

Scriu $\sqrt{49} = \pm 7$
$\sqrt{49} = 7$ Rădăcina pătrată are o singură valoare, cea nenegativă. Semnul $\pm$ apare la soluțiile ecuației $x^2 = 49$ $x = 7$ sau $x = -7$ nu la valoarea lui $\sqrt{49}$
Confund $\sqrt{49}$ cu $49^2$ și răspund $2401$
$\sqrt{49} = 7$ caută numărul al cărui pătrat este $49$ $49^2 = 2401$ este cu totul altceva: $49$ ridicat la pătrat.
Presupun că orice număr natural are rădăcină pătrată naturală și scriu $\sqrt{20} = 4$ (sau $5$
$4^2 = 16$ și $5^2 = 25$ niciunul nu dă $20$ Doar pătratele perfecte au rădăcină pătrată naturală. $20$ nu este pătrat perfect.
Calculez $\sqrt{36}$ ca $36 : 2 = 18$
Rădăcina pătrată nu este împărțirea la $2$ $\sqrt{36} = 6$ pentru că $6^2 = 36$ Verifică: $18^2 = 324$ nu $36$
Scriu $\sqrt{144} = 14$ și trec mai departe.
Verific prin ridicare la pătrat: $14^2 = 196 \ne 144$ Numărul corect este $12$ pentru că $12^2 = 144$
Cred că $\sqrt{0}$ nu are sens sau că $\sqrt{1}$ este $0$
$\sqrt{0} = 0$ pentru că $0^2 = 0$ $\sqrt{1} = 1$ pentru că $1^2 = 1$ Amândouă sunt pătrate perfecte.

Exerciții

Ușor

Calculează $\sqrt{16}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{16} = 4$
$4^2 = 16$
Calculează $\sqrt{256}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{256}=16$
$16^2=256$
Scrie primele șase numere pătrate perfecte, în ordine crescătoare.
Arată răspunsul
Răspuns: $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$
Sunt pătratele numerelor $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
Este $30$ un număr pătrat perfect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$30$ este între $5^2 = 25$ și $6^2 = 36$ deci nu este pătratul niciunui număr natural.
Calculează $\sqrt{1} + \sqrt{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $1 + 3 = 4$
$\sqrt{1} = 1$ și $\sqrt{9} = 3$

Mediu

Găsește numărul natural $n$ pentru care $n^2 = 169$
Arată răspunsul
Răspuns: $n = 13$
$n = \sqrt{169} = 13$ iar $13^2 = 169$
Verifică, prin ridicare la pătrat, dacă $\sqrt{225} = 15$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este corect.
$15^2 = 225$ adică numărul de sub radical, deci $\sqrt{225} = 15$
Un pătrat are aria $64 \text{ cm}^2$ Cât este latura lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $8 \text{ cm}$
Latura este $\sqrt{64} = 8$ iar $8^2 = 64$
Ordonează crescător numerele $\sqrt{49}$ $\sqrt{16}$ și $\sqrt{100}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{16} < \sqrt{49} < \sqrt{100}$
Rădăcinile sunt $4$ $7$ și $10$
Dintre numerele $121$ $130$ și $144$ care sunt pătrate perfecte?
Arată răspunsul
Răspuns: $121$ și $144$
$121 = 11^2$ și $144 = 12^2$ $130$ este între ele, deci nu este pătrat perfect.

Provocare

O placă pătrată are aria $196 \text{ m}^2$ Cât material este nevoie pentru o bordură de-a lungul întregului contur?
Arată răspunsul
Răspuns: $56 \text{ m}$
Latura este $\sqrt{196} = 14$ iar perimetrul este $4 \cdot 14 = 56$
Găsește numărul natural $x$ pentru care $\sqrt{x} = 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 64$
Dacă $\sqrt{x} = 8$ atunci $x = 8^2 = 64$
Scrie primele cinci pătrate perfecte nenule: $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ Calculează diferența dintre fiecare două pătrate consecutive. Ce observi?
Arată răspunsul
Răspuns: Diferențele sunt $3$ $5$ $7$ $9$ numere impare consecutive.
$4 - 1 = 3$ $9 - 4 = 5$ $16 - 9 = 7$ $25 - 16 = 9$ Fiecare pătrat perfect se obține adunând următorul număr impar.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $\sqrt{289}$
1. $144{,}5$
2. $17$
3. $34$
4. $\pm 17$
Arată răspunsul
Răspuns: $17$
$17^2 = 289$ iar rădăcina pătrată are o singură valoare nenegativă.
2. Care dintre numere este pătrat perfect?
1. $18$
2. $24$
3. $36$
4. $40$
Arată răspunsul
Răspuns: $36$
$36 = 6^2$ Celelalte nu sunt pătratul niciunui număr natural.
3. Scrierea $\sqrt{a} = b$ (cu $a$ pătrat perfect) înseamnă:
1. $b^2 = a$ și $b \ge 0$
2. $a^2 = b$
3. $b = a : 2$
4. $b^2 = a$ sau $b = -\sqrt{a}$
Arată răspunsul
Răspuns: $b^2 = a$ și $b \ge 0$
Rădăcina pătrată este numărul nenegativ al cărui pătrat este numărul de sub radical.
4. Un pătrat are aria $361$ Cât este latura lui?
1. $180{,}5$
2. $38$
3. $18$
4. $19$
Arată răspunsul
Răspuns: $19$
Latura este $\sqrt{361} = 19$ iar $19^2 = 361$
5. Cât este $\sqrt{0}$
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
$0^2 = 0$ deci $\sqrt{0} = 0$
6. Cum verifici că $\sqrt{100} = 10$
Arată răspunsul
Răspuns: Ridici $10$ la pătrat: $10^2 = 100$
Dacă pătratul rezultatului dă numărul de sub radical, rădăcina este corectă.
7. De ce $\sqrt{49}$ nu este $-7$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că rădăcina pătrată este numărul nenegativ, iar $-7 < 0$
Deși $(-7)^2 = 49$ prin $\sqrt{49}$ se înțelege doar valoarea $7$

Întrebări frecvente

Ce este rădăcina pătrată a unui număr?

Rădăcina pătrată a unui număr $a$ (cu $a \ge 0$ este numărul nenegativ $b$ pentru care $b^2 = a$ Se scrie $\sqrt{a} = b$ De exemplu, $\sqrt{49} = 7$ pentru că $7^2 = 49$

Ce este un număr pătrat perfect?

Un număr natural este pătrat perfect dacă este pătratul unui număr natural, adică se scrie sub forma $n^2$ Așa sunt $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ și așa mai departe. Pentru un pătrat perfect, rădăcina pătrată este un număr natural exact.

De ce

\sqrt{49} = 7

și nu

\pm 7

Prin $\sqrt{49}$ se înțelege un singur număr, cel nenegativ, deci $7$ Semnul $\pm$ apare când rezolvi ecuația $x^2 = 49$ care are soluțiile $x = 7$ și $x = -7$ Aceea este o altă întrebare decât valoarea lui $\sqrt{49}$

Cum verific o rădăcină pătrată?

Ridici rezultatul la pătrat. Dacă obții numărul de sub radical, rezultatul este corect. De exemplu, pentru $\sqrt{144} = 12$ verifici $12^2 = 144$

Orice număr natural are rădăcină pătrată naturală?

Nu. Doar pătratele perfecte au rădăcină pătrată naturală. Pentru un număr ca $20$ sau $50$ rădăcina pătrată există, dar nu este un număr natural.

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Ce vei învăța

Ideea de bază

Pătratul unui număr natural

Numere naturale pătrate perfecte

Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect

Cum verifici o rădăcină pătrată

Rădăcina pătrată și aria unui pătrat

Tabelul pătratelor perfecte uzuale