Cum verific că 2,25 = 1,5?

Ridici 1,5 la pătrat. 1,5² = 2,25, adică exact numărul de sub radical, deci rezultatul este corect.

Ce înseamnă √(20) ≈ 4,47?

Înseamnă că √(20) este foarte aproape de 4,47, fără să fie egal cu el. 4,47² = 19,9809, aproape de 20. Pentru mai multă precizie ai lua mai multe zecimale.

Rădăcina pătrată a unui număr rațional. Estimare și încadrare

Ce vei învăța

Calculezi rădăcina pătrată a unei fracții sau a unei zecimale, când rezultatul este exact.
Recunoști cazurile exacte prin ridicare la pătrat.
Spui când o rădăcină pătrată nu are o valoare exactă simplă.
Încadrezi o rădăcină pătrată între două numere naturale consecutive.
Estimezi o rădăcină pătrată la unități și la zecimi și o așezi aproximativ pe axă.

Recomandat înainte: Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Ideea de bază

Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ $x$ este numărul nenegativ $a$ pentru care $a^2 = x$ Notația este tot $\sqrt{x} = a$

La unele numere raționale rezultatul este exact. $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ pentru că $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$ La fel, $\sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ pentru că $0{,}9^2 = 0{,}81$

\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}

La alte numere rezultatul nu iese exact. $\sqrt{20}$ nu este natural și nu este nici fracție: niciun număr rațional ridicat la pătrat nu dă $20$ Atunci spui că $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$ și, la nevoie, îl estimezi.

Ce înseamnă o rădăcină pătrată exactă

În lecția trecută ai calculat rădăcina pătrată a unui pătrat perfect natural: $\sqrt{49} = 7$ pentru că $7^2 = 49$ Rezultatul era un număr natural exact.

Ideea nu se schimbă când sub radical apare o fracție sau o zecimală. Cauți numărul nenegativ al cărui pătrat dă numărul de sub radical. Dacă găsești un astfel de număr scris simplu, rădăcina este exactă. Dacă nu, treci la încadrare și estimare.

Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ

Fie $x$ un număr rațional, $x \ge 0$ Rădăcina pătrată a lui $x$ este numărul rațional nenegativ $a$ pentru care $a^2 = x$ Numărul de sub radical trebuie să fie nenegativ; nu se scrie rădăcină pătrată dintr-un număr negativ.

\sqrt{x} = a \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 = x \;\text{, cu}\; a \ge 0

Verificarea este la fel ca la numere naturale: ridici rezultatul la pătrat și vezi dacă obții numărul de sub radical.

Exemple exacte cu fracții

O fracție ireductibilă (care nu se mai simplifică) are rădăcină pătrată exactă atunci când și numărătorul, și numitorul sunt pătrate perfecte. Iei rădăcina fiecăruia. Dacă fracția se poate simplifica, o simplifici întâi.

\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \dfrac{5}{7}

numărătorul și numitorul sunt pătrate perfecte

\left(\dfrac{5}{7}\right)^2 = \dfrac{25}{49}

verificare prin ridicare la pătrat

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ pentru că $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
$\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$ pentru că $\left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100}$
$\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{7}{8}$ pentru că $\left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}$

Adu întâi fracția la o formă simplă

$\sqrt{\frac{8}{18}}$ pare complicat, dar $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ deci $\sqrt{\frac{8}{18}} = \frac{2}{3}$ Regulile generale de calcul cu radicali vin în lecția următoare; aici te bazezi pe pătrate perfecte și pe verificare.

Exemple exacte cu zecimale

O zecimală finită are rădăcină pătrată exactă când este pătratul unei zecimale scurte. Le recunoști din pătratele pe care le știi: $0{,}5^2 = 0{,}25$ $1{,}2^2 = 1{,}44$ $1{,}5^2 = 2{,}25$

$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$
$\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$
$\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$
$\sqrt{0{,}81} = 0{,}9$

\sqrt{1{,}69} = 1{,}3

rezultat propus

1{,}3^2 = 1{,}69

verificare: pătratul dă numărul de sub radical

Rădăcina nu este împărțirea la doi

$\sqrt{0{,}25}$ nu este $0{,}25 : 2 = 0{,}125$ Este $0{,}5$ pentru că $0{,}5^2 = 0{,}25$ Verifică mereu prin ridicare la pătrat.

Când rezultatul nu este exact

$\sqrt{20}$ nu este pătratul unui număr natural și nici al unei fracții. Nu forța un rezultat exact și nu scrie $\sqrt{20} = 4$ sau $\sqrt{20} = 5$

Ce faci în schimb: spui între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{20}$ apoi, dacă ai nevoie de o valoare, o estimezi. Nu orice număr rațional are rădăcina pătrată rațională: $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{20}$ nu se pot scrie ca fracție. Despre ce fel de numere sunt vei învăța în lecția despre numere iraționale.

Încadrarea între două numere naturale consecutive

Cauți două pătrate perfecte consecutive între care se află numărul de sub radical. Dacă $a$ este între $n^2$ și $(n+1)^2$ atunci $\sqrt{a}$ este între $n$ și $n+1$

n^2 < a < (n+1)^2 \;\text{ dă }\; n < \sqrt{a} < n+1

Pentru $\sqrt{20}$ cel mai apropiat pătrat perfect sub $20$ este $16 = 4^2$ iar cel de deasupra este $25 = 5^2$

4^2 = 16 \quad\text{și}\quad 5^2 = 25

16 < 20 < 25

4 < \sqrt{20} < 5

radicalii cresc în același sens ca numărul de sub radical

Ca să vezi de care capăt este mai aproape, compară cu mijlocul $4{,}5$ $4{,}5^2 = 20{,}25$ iar $20 < 20{,}25$ deci $\sqrt{20} < 4{,}5$ rădăcina este în prima jumătate a intervalului, mai aproape de $4$ decât de $5$ Nu te baza pe distanțele dintre $20$ și $16$ sau $25$ pătratele nu cresc uniform.

Nu întoarce inegalitatea

Din $16 < 20 < 25$ rezultă $4 < \sqrt{20} < 5$ nu $4 > \sqrt{20} > 5$ Dacă numărul de sub radical crește, crește și rădăcina.

Estimarea unei rădăcini pătrate

Încadrarea îți dă valoarea la unități: $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$ iar cum $\sqrt{20} < 4{,}5$ rotunjită la unități este $\sqrt{20} \approx 4$

Pentru o estimare la zecimi, încerci pătratele câtorva zecimale între $4$ și $5$

4{,}4^2 = 19{,}36

prea mic

4{,}5^2 = 20{,}25

prea mare, dar aproape

4{,}4 < \sqrt{20} < 4{,}5

Numărul $20$ de sub radical este aproape de $20{,}25$ deci $\sqrt{20} \approx 4{,}5$ la zecimi. O valoare mai fină este $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ pentru că $4{,}47^2 = 19{,}9809$

Cât de precis estimezi

Alege precizia după ce îți trebuie. Pentru „cam cât este” ajunge încadrarea la unități. Pentru o poziție pe axă sau un calcul aproximativ folosești zecimi. Sutimile ajută rar la clasă. Semnul $\approx$ arată mereu că valoarea este aproximată, nu exactă.

Poziționarea aproximativă pe axa numerelor

O rădăcină pătrată care nu este exactă are un loc al ei pe axă, între două numere naturale. Îl marchezi aproximativ, folosind încadrarea.

\sqrt{20}

4

5

\sqrt{20} \approx 4{,}47

este între

4

și

5

puțin înainte de mijlocul

4{,}5

La fel pentru $\sqrt{10}$ din $3^2 = 9$ și $4^2 = 16$ obții $3 < \sqrt{10} < 4$ Numărul $10$ de sub radical este foarte aproape de $9$ deci marcajul stă chiar peste $3$

\sqrt{10}

3

4

\sqrt{10} \approx 3{,}16

abia trecut de

3

Dacă vrei o poziție mai precisă, folosești estimarea la zecimi. Pentru $\sqrt{20}$ te uiți pe axă între $4{,}4$ și $4{,}5$

\sqrt{20}

4{,}4

4{,}5

Aceeași rădăcină, privită mai de aproape:

4{,}4 < \sqrt{20} < 4{,}5

Exemple rezolvate

Exemplul 1: $\sqrt{\frac{4}{9}}$

Calculează $\sqrt{\frac{4}{9}}$

Vezi rezolvarea

Numărătorul $4 = 2^2$ și numitorul $9 = 3^2$ sunt pătrate perfecte. Iau rădăcina fiecăruia.

\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}

Verific: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ Corect.

Exemplul 2: $\sqrt{\frac{1}{100}}$

Calculează $\sqrt{\frac{1}{100}}$

Vezi rezolvarea

$1 = 1^2$ și $100 = 10^2$

\sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{10}

Se scrie și $0{,}1$ pentru că $\frac{1}{10} = 0{,}1$ și $0{,}1^2 = 0{,}01 = \frac{1}{100}$

Exemplul 3: $\sqrt{1{,}44}$

Calculează $\sqrt{1{,}44}$

Vezi rezolvarea

Caut o zecimală scurtă cu pătratul $1{,}44$ Încerc $1{,}2$ $1{,}2^2 = 1{,}44$

\sqrt{1{,}44} = 1{,}2

Exemplul 4: încadrează $\sqrt{10}$

Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{10}$

Vezi rezolvarea

Caut pătratele perfecte din jurul lui $10$ $3^2 = 9$ și $4^2 = 16$

9 < 10 < 16 \;\Rightarrow\; 3 < \sqrt{10} < 4

$10$ este lipit de $9$ deci $\sqrt{10}$ este puțin peste $3$

Exemplul 5: încadrează $\sqrt{20}$

Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{20}$

Vezi rezolvarea

$4^2 = 16$ și $5^2 = 25$ iar $16 < 20 < 25$

4 < \sqrt{20} < 5

$4{,}5^2 = 20{,}25 > 20$ deci $\sqrt{20} < 4{,}5$ și rădăcina este mai aproape de $4$

Exemplul 6: estimează $\sqrt{20}$ la zecimi

Dă o valoare aproximativă pentru $\sqrt{20}$ cu o zecimală.

Vezi rezolvarea

Știu deja că $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$ Încerc zecimale.

4{,}4^2 = 19{,}36

prea mic

4{,}5^2 = 20{,}25

puțin prea mare

$20$ este aproape de $20{,}25$ deci $\sqrt{20} \approx 4{,}5$ Mai exact, $\sqrt{20} \approx 4{,}47$

Exemplul 7: alege intervalul corect

În care interval se află $\sqrt{30}$ între $4$ și $5$ între $5$ și $6$ sau între $6$ și $7$

Vezi rezolvarea

Calculez pătratele capetelor: $5^2 = 25$ și $6^2 = 36$ Cum $25 < 30 < 36$ rădăcina este între $5$ și $6$

5 < \sqrt{30} < 6

$5{,}5^2 = 30{,}25$ foarte aproape de $30$ deci $\sqrt{30} \approx 5{,}5$

Exemplul 8: compară $\sqrt{20}$ cu $4{,}5$

Care este mai mare, $\sqrt{20}$ sau $4{,}5$

Vezi rezolvarea

Compar prin pătrate. Ridic ambele numere la pătrat: $\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20$ și $4{,}5^2 = 20{,}25$

20 < 20{,}25 \;\Rightarrow\; \sqrt{20} < 4{,}5

Comparația radicalilor merge după comparația numerelor de sub radical și a pătratelor, nu „din ochi”.

Exemplul 9: latura unei plăci pătrate

O placă pătrată are aria $40 \text{ m}^2$ Între ce valori întregi, în metri, este latura ei? Dă și o estimare la zecimi.

Vezi rezolvarea

Latura este $\sqrt{40}$ Caut pătratele perfecte din jur: $6^2 = 36$ și $7^2 = 49$

36 < 40 < 49 \;\Rightarrow\; 6 < \sqrt{40} < 7

Latura este între $6$ și $7$ metri. $40$ este aproape de $36$ deci latura este în jur de $6{,}3$ m: $6{,}3^2 = 39{,}69$ aproape de $40$

Video

Greșeli frecvente

Scriu $\sqrt{20} = 4$ pentru că $4^2 = 16$ este aproape de $20$
$4^2 = 16 \ne 20$ deci $\sqrt{20}$ nu este $4$ Corect este $4 < \sqrt{20} < 5$ $4$ e doar capătul de jos al intervalului, nu valoarea.
Scriu $\sqrt{20} = 5$ pentru că $5$ este „următorul” număr.
$5^2 = 25 \ne 20$ $\sqrt{20}$ este între $4$ și $5$ în jumătatea dinspre $4$ pentru că $4{,}5^2 = 20{,}25 > 20$
Din $16 < 20 < 25$ scriu $4 > \sqrt{20} > 5$
Am întors inegalitatea. Dacă numărul de sub radical crește, crește și rădăcina, deci $16 < 20 < 25$ dă $4 < \sqrt{20} < 5$
Spun că $\sqrt{20}$ este mult mai mare decât $\sqrt{18}$ fără să calculez.
Compar numerele de sub radical sau pătratele. $18 < 20$ deci $\sqrt{18} < \sqrt{20}$ dar amândouă sunt între $4$ și $5$ diferența este mică.
Scriu $\sqrt{20} = 4{,}47$ cu semnul egal.
$4{,}47$ este o aproximare: $4{,}47^2 = 19{,}9809 \ne 20$ Se scrie $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ cu semnul $\approx$
Calculez $\sqrt{0{,}25}$ ca $0{,}25 : 2 = 0{,}125$
Rădăcina pătrată nu este împărțirea la $2$ $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ pentru că $0{,}5^2 = 0{,}25$

Exerciții

Ușor

Calculează $\sqrt{\frac{1}{4}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
Calculează $\sqrt{0{,}49}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$
$0{,}7^2 = 0{,}49$
Calculează $\sqrt{\frac{9}{25}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
$9 = 3^2$ și $25 = 5^2$ iar $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$
Calculează $\sqrt{1{,}21}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
$1{,}1^2 = 1{,}21$
Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{7}$
Arată răspunsul
Răspuns: Între $2$ și $3$
$2^2 = 4$ și $3^2 = 9$ iar $4 < 7 < 9$

Mediu

Calculează $\sqrt{\frac{36}{49}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}$
$36 = 6^2$ și $49 = 7^2$
Calculează $\sqrt{2{,}56}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{2{,}56} = 1{,}6$
$1{,}6^2 = 2{,}56$
Încadrează $\sqrt{50}$ între două numere naturale consecutive.
Arată răspunsul
Răspuns: $7 < \sqrt{50} < 8$
$7^2 = 49$ și $8^2 = 64$ iar $49 < 50 < 64$ $\sqrt{50}$ este chiar peste $7$
Între ce zecimi se află $\sqrt{12}$ Dă și o estimare.
Arată răspunsul
Răspuns: $3{,}4 < \sqrt{12} < 3{,}5$ deci $\sqrt{12} \approx 3{,}5$
$3{,}4^2 = 11{,}56$ și $3{,}5^2 = 12{,}25$ $12$ este aproape de $12{,}25$
Care este mai mare, $\sqrt{30}$ sau $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{30} > 5$
$5^2 = 25$ și $25 < 30$ deci $\sqrt{30} > \sqrt{25} = 5$

Provocare

Un pătrat are aria $2 \text{ m}^2$ Între ce valori întregi, în metri, este latura? Dă o estimare la zecimi.
Arată răspunsul
Răspuns: Latura este între $1$ și $2$ m, aproximativ $1{,}4$ m.
Latura este $\sqrt{2}$ $1^2 = 1$ și $2^2 = 4$ iar $1 < 2 < 4$ $1{,}4^2 = 1{,}96$ aproape de $2$
Ordonează crescător numerele $\sqrt{10}$ $3$ $\sqrt{8}$ și $2{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: $2{,}5 < \sqrt{8} < 3 < \sqrt{10}$
$2{,}5^2 = 6{,}25 < 8$ deci $2{,}5 < \sqrt{8}$ $8 < 9$ deci $\sqrt{8} < 3$ $9 < 10$ deci $3 < \sqrt{10}$
Dă un număr rațional $x$ cu $0 < x < 1$ pentru care $\sqrt{x}$ este exact și unul pentru care $\sqrt{x}$ nu iese exact. Justifică pe scurt.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu $x = \frac{1}{4}$ (exact: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ și $x = \frac{1}{2}$ (nu iese exact: $\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0{,}71$
$\frac{1}{4}$ are numărătorul și numitorul pătrate perfecte. $\frac{1}{2}$ nu; $0{,}7^2 = 0{,}49$ și $0{,}71^2 = 0{,}5041$ deci rădăcina este în jur de $0{,}71$ fără valoare exactă simplă.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $\sqrt{\frac{9}{16}}$
1. $\frac{9}{32}$
2. $\frac{3}{8}$
3. $\frac{3}{4}$
4. $\frac{4}{3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\frac{3}{4}$
$9 = 3^2$ și $16 = 4^2$ iar $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
2. Cât este $\sqrt{1{,}69}$
1. $1{,}3$
2. $0{,}845$
3. $13$
4. $1{,}69$
Arată răspunsul
Răspuns: $1{,}3$
$1{,}3^2 = 1{,}69$
3. $\sqrt{70}$ se află:
1. între $6$ și $7$
2. între $7$ și $8$
3. între $9$ și $10$
4. între $8$ și $9$
Arată răspunsul
Răspuns: între $8$ și $9$
$8^2 = 64$ și $9^2 = 81$ iar $64 < 70 < 81$
4. $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ înseamnă că:
1. $\sqrt{20}$ este exact $4{,}47$
2. $4{,}47$ este o valoare aproximativă; $4{,}47^2$ este aproape de $20$ dar nu chiar $20$
3. $\sqrt{20}$ este exact $4{,}5$
4. $20$ este aproape de $4{,}47$
Arată răspunsul
Răspuns: $4{,}47$ este o valoare aproximativă; $4{,}47^2$ este aproape de $20$ dar nu chiar $20$
Semnul $\approx$ arată o aproximare. $4{,}47^2 = 19{,}9809$
5. Cât este $\sqrt{0{,}09}$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}3$
$0{,}3^2 = 0{,}09$
6. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{55}$
Arată răspunsul
Răspuns: Între $7$ și $8$
$7^2 = 49$ și $8^2 = 64$ iar $49 < 55 < 64$
7. Cum verifici că $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: Ridici $1{,}5$ la pătrat: $1{,}5^2 = 2{,}25$
Dacă pătratul rezultatului dă numărul de sub radical, rădăcina este corectă.

Întrebări frecvente

Cum aflu între ce două numere naturale se află o rădăcină pătrată?

Cauți cele mai apropiate două pătrate perfecte, unul mai mic și unul mai mare decât numărul de sub radical. Dacă numărul de sub radical este între $n^2$ și $(n+1)^2$ atunci rădăcina este între $n$ și $n+1$ De exemplu $16 < 20 < 25$ deci $4 < \sqrt{20} < 5$

Care este diferența dintre valoare exactă și aproximare?

O valoare exactă dă numărul de sub radical înapoi când o ridici la pătrat: $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ pentru că $1{,}5^2 = 2{,}25$ O aproximare este apropiată, dar nu chiar egală: $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ iar $4{,}47^2 = 19{,}9809$ Aproximările se scriu cu semnul $\approx$

Cum verific că

\sqrt{2{,}25} = 1{,}5

Ridici $1{,}5$ la pătrat. $1{,}5^2 = 2{,}25$ adică exact numărul de sub radical, deci rezultatul este corect.

Orice număr rațional are rădăcină pătrată rațională?

Nu. Unele au: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ Altele, ca $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{20}$ nu sunt numere raționale: nu se pot scrie ca fracție. Le încadrezi între două numere naturale și le estimezi. Ce fel de numere sunt acestea vei învăța în lecția despre numere iraționale.

Ce înseamnă

\sqrt{20} \approx 4{,}47

Înseamnă că $\sqrt{20}$ este foarte aproape de $4{,}47$ fără să fie egal cu el. $4{,}47^2 = 19{,}9809$ aproape de $20$ Pentru mai multă precizie ai lua mai multe zecimale.

Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ. Estimare și încadrare

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă o rădăcină pătrată exactă

Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ

Exemple exacte cu fracții

Exemple exacte cu zecimale

Când rezultatul nu este exact

Încadrarea între două numere naturale consecutive

Estimarea unei rădăcini pătrate

Poziționarea aproximativă pe axa numerelor