Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

Q: Cum verific soluția unei ecuații?

Înlocuiești valoarea găsită în locul lui x în ecuația inițială și calculezi. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

Q: Cum rezolv o ecuație de tipul a · x=b?

Împarți ambele părți ale ecuației la coeficientul a, atâta timp cât a este diferit de 0.

Q: Cum rezolv o ecuație cu doi pași, de tipul ax+b=c?

Întâi elimini termenul b prin operația inversă în ambele părți, apoi împarți la coeficientul a.

Ce vei învăța

Recunoști o ecuație cu o necunoscută și identifici necunoscuta.
Verifici dacă o valoare este soluția unei ecuații, prin înlocuire.
Rezolvi ecuații de tipul $x+a=b$ folosind operația inversă.
Rezolvi ecuații de tipul $a\cdot x=b$ împărțind la coeficient.
Rezolvi ecuații cu numere întregi negative, fără greșeli de semn.
Rezolvi ecuații cu doi pași, de tipul $a\cdot x+b=c$
Rezolvi probleme cu numere întregi traducând textul într-o ecuație și verificând rezultatul în context.

Recomandat înainte: Puteri. Ordinea operațiilor cu numere întregi

Ideea de bază

O ecuație cu o necunoscută este o egalitate în care apare o valoare necunoscută, notată de regulă $x$ A rezolva ecuația înseamnă a găsi valoarea lui $x$ pentru care egalitatea este adevărată.

Rezolvi o ecuație folosind operații inverse: adunarea se anulează prin scădere, scăderea prin adunare, înmulțirea prin împărțire, împărțirea prin înmulțire. Aceeași operație se face în ambele părți ale egalității, ca să rămână echilibrată.

La numere întregi, trebuie să fii atent la semne, mai ales când coeficientul lui $x$ este negativ sau când soluția este negativă.

Ce este o ecuație

O ecuație este o egalitate în care apare o valoare necunoscută. În această lecție, ecuația are o singură necunoscută, notată de obicei $x$

x + 3 = 7

Soluția ecuației este valoarea lui $x$ pentru care egalitatea devine adevărată. Pentru $x+3=7$ soluția este $x=4$ pentru că $4+3=7$

Ecuație sau expresie

O expresie precum $x+3$ nu are semnul $=$ și nu are soluție, doar se calculează sau se simplifică. O ecuație are mereu un semn $=$ între două părți și se rezolvă, adică se află valoarea lui $x$

Verificarea soluției

O soluție se verifică înlocuind valoarea găsită în locul lui $x$ în ecuația inițială și calculând ambele părți. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

x + 3 = 7, \quad x = 4

4 + 3 = 7

înlocuiești x cu 4

7 = 7

egalitate adevărată, deci x=4 este soluția

Verifică mereu

Verificarea prin înlocuire îți arată sigur dacă soluția este corectă, fără să mai refaci toți pașii de rezolvare.

Ecuații de tipul $x+a=b$

Când necunoscuta apare într-o adunare sau o scădere, folosești operația inversă în ambele părți ale ecuației, ca să rămână singură necunoscuta.

x + 5 = 12

x + 5 - 5 = 12 - 5

scazi 5 din ambele părți, operația inversă adunării

x = 7

x + (-3) = 7

x - 3 = 7

x + (-3) este același lucru cu x - 3

x = 7 + 3

aduni 3 în ambele părți, operația inversă scăderii

x = 10

x - 4 = -2

x = -2 + 4

aduni 4 în ambele părți

x = 2

Ecuații de tipul $a\cdot x=b$

Când necunoscuta este înmulțită cu un coeficient, împarți ambele părți ale ecuației la acel coeficient, ca să rămână $x$ singur.

3x = 12

x = 12 : 3

împarți ambele părți la 3

x = 4

-4x = 20

x = 20 : (-4)

împarți ambele părți la -4

x = -5

-5x = -30

x = -30 : (-5)

împarți ambele părți la -5

x = 6

Ecuații cu numere negative

Aceleași metode se aplică și atunci când apar numere negative, dar merită mai multă atenție la semne, mai ales la împărțirea a două numere de semne diferite sau la fel.

x - 7 = -3

x = -3 + 7

aduni 7 în ambele părți

x = 4

x + 5 = -8

x = -8 - 5

scazi 5 din ambele părți

x = -13

-3x = 12

x = 12 : (-3)

coeficient negativ, deîmpărțit pozitiv

x = -4

-2x = -14

x = -14 : (-2)

ambele numere negative, câtul este pozitiv

x = 7

Atenție la semnul soluției

Semnul lui $x$ depinde de semnele numerelor din ecuație, la fel ca la orice împărțire de numere întregi. Verifică mereu prin înlocuire dacă nu ești sigur.

Principiul balanței

O ecuație este ca o balanță aflată în echilibru: cele două părți ale egalității au aceeași valoare. Dacă faci aceeași operație în ambele părți, de exemplu aduni același număr sau împarți la același număr nenul, balanța rămâne în echilibru, adică egalitatea rămâne adevărată.

De aceea, la fiecare pas de rezolvare, orice faci într-o parte a ecuației faci și în cealaltă parte.

Operații inverse

Rezolvarea unei ecuații simple se bazează pe perechi de operații care se anulează reciproc.

Adunarea și scăderea sunt operații inverse.
Înmulțirea și împărțirea sunt operații inverse.

Ca să elimini o operație aplicată necunoscutei, faci în ambele părți operația inversă.

Ecuații cu doi pași

Unele ecuații au necunoscuta atât înmulțită cu un coeficient, cât și implicată într-o adunare sau o scădere. Le rezolvi în doi pași: întâi elimini termenul adunat sau scăzut, apoi împarți la coeficient.

2x + 3 = 11

2x = 11 - 3

scazi 3 din ambele părți

2x = 8

x = 8 : 2

împarți la 2

x = 4

3x - 5 = 7

3x = 7 + 5

aduni 5 în ambele părți

3x = 12

x = 12 : 3

împarți la 3

x = 4

-2x + 4 = 10

-2x = 10 - 4

scazi 4 din ambele părți

-2x = 6

x = 6 : (-2)

împarți la -2

x = -3

Pași de rezolvare

La orice ecuație de gradul I cu numere întregi, urmezi aceeași metodă generală.

Identifici necunoscuta și forma ecuației.
Elimini întâi termenul adunat sau scăzut, folosind operația inversă în ambele părți.
Împarți la coeficientul lui $x$ dacă mai este nevoie, atâta timp cât coeficientul este nenul.
Verifici soluția prin înlocuire în ecuația inițială.

Probleme care se rezolvă cu ecuații

Numerele întregi apar firesc în probleme cu temperaturi, etaje și subsoluri, scoruri, datorii sau adâncimi. Când o valoare din poveste nu se cunoaște, o notezi cu $x$ și transformi textul într-o ecuație.

Alegi necunoscuta: scrii clar ce reprezintă $x$
Traduci textul în ecuație: fiecare propoziție cu date devine o operație.
Rezolvi ecuația cu operații inverse.
Verifici rezultatul în poveste, nu doar în ecuație, și scrii răspunsul cu unitatea potrivită.

Semnul are sens în context

La final, citește semnul soluției în poveste: $-3$ grade înseamnă sub zero, etajul $-2$ înseamnă al doilea subsol, un sold de $-50$ de lei înseamnă o datorie de $50$ de lei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: $x+a=b$

Rezolvă ecuația $x + 6 = 2$

Vezi rezolvarea

Scazi 6 din ambele părți, operația inversă adunării.

x + 6 = 2

x = 2 - 6

x = -4

Exemplul 2: $x-a=b$

Rezolvă ecuația $x - 9 = -5$

Vezi rezolvarea

Aduni 9 în ambele părți, operația inversă scăderii.

x - 9 = -5

x = -5 + 9

x = 4

Exemplul 3: $ax=b$

Rezolvă ecuația $6x = 18$

Vezi rezolvarea

Împarți ambele părți la coeficientul 6.

6x = 18

x = 18 : 6

x = 3

Exemplul 4: coeficient negativ

Rezolvă ecuația $-7x = 21$

Vezi rezolvarea

Împarți ambele părți la $-7$ Coeficient negativ, deîmpărțit pozitiv, câtul este negativ.

-7x = 21

x = 21 : (-7)

x = -3

Exemplul 5: soluție negativă

Rezolvă ecuația $x + 10 = 3$

Vezi rezolvarea

Scazi 10 din ambele părți. Soluția poate fi negativă, e un rezultat perfect valabil.

x + 10 = 3

x = 3 - 10

x = -7

Exemplul 6: verificare prin înlocuire

Verifică dacă $x=-2$ este soluția ecuației $3x + 1 = -5$

Vezi rezolvarea

Înlocuiești $x$ cu $-2$ și calculezi partea stângă.

3 \cdot (-2) + 1

înlocuiești x cu -2

= -6 + 1

= -5

$-5 = -5$ egalitate adevărată, deci $x=-2$ este soluția ecuației.

Exemplul 7: ecuație cu două operații

Rezolvă ecuația $4x - 3 = 9$

Vezi rezolvarea

Întâi elimini termenul $-3$ apoi împarți la coeficientul 4.

4x - 3 = 9

4x = 9 + 3

aduni 3 în ambele părți

4x = 12

x = 12 : 4

împarți la 4

x = 3

Exemplul 8: capcană de semn

Rezolvă ecuația $-x + 5 = 8$

Vezi rezolvarea

$-x$ înseamnă $-1 \cdot x$ Elimini întâi termenul $5$ apoi împarți la $-1$

-x + 5 = 8

-x = 8 - 5

scazi 5 din ambele părți

-x = 3

x = 3 : (-1)

împarți la -1

x = -3

Nu uita coeficientul de la $-x$

$-x=3$ nu înseamnă $x=3$ Coeficientul lui $x$ este $-1$ deci $x = 3 : (-1) = -3$

Exemplul 9: problemă cu temperatura

Dimineața, termometrul arăta o anumită temperatură. Până la prânz, temperatura a crescut cu $7$ grade și a ajuns la $3$ grade. Câte grade erau dimineața?

Vezi rezolvarea

1. Necunoscuta: $x$ = temperatura de dimineață, în grade.

2. Ecuația: „a crescut cu $7$ grade” înseamnă $x + 7$ iar „a ajuns la $3$ grade” înseamnă $= 3$

x + 7 = 3

x = 3 - 7

3. scazi 7 din ambele părți

x = -4

4. Verificare în context: de la $-4$ grade, o creștere de $7$ grade duce la $-4 + 7 = 3$ grade. Se potrivește.

Răspuns: dimineața erau $-4$ grade, adică $4$ grade sub zero.

Exemplul 10: problemă cu adâncimea, ecuație cu doi pași

Un scafandru se află la $4$ m sub nivelul apei, adică la $-4$ m. Coboară de $3$ ori, de fiecare dată cu aceeași distanță, și ajunge la $-22$ m. Cu câți metri coboară de fiecare dată?

Vezi rezolvarea

Necunoscuta: $x$ = schimbarea de poziție la o coborâre, în metri. O coborâre este o schimbare negativă, deci ne așteptăm ca $x$ să fie negativ.

Ecuația: pornește de la $-4$ și adaugă de $3$ ori aceeași schimbare $x$

-4 + 3x = -22

3x = -22 + 4

aduni 4 în ambele părți

3x = -18

x = -18 : 3

împarți la 3

x = -6

Verificare: $-4 + 3 \cdot (-6) = -4 - 18 = -22$ Se potrivește.

Răspuns: $x = -6$ înseamnă că scafandrul coboară de fiecare dată $6$ m. Semnul minus arată sensul (în jos), iar răspunsul în cuvinte folosește distanța, $6$ m.

Greșeli frecvente

La $x+5=12$ scriu direct $x=12+5=17$
Greșit. Ca să elimini $+5$ faci operația inversă, adică scazi 5, nu aduni. $x = 12 - 5 = 7$
La $x+5=12$ scad 5 doar din partea dreaptă, iar partea stângă rămâne $x+5$
Greșit. Operația inversă se aplică în ambele părți ale ecuației, ca egalitatea să rămână adevărată: $x+5-5=12-5$ adică $x=7$
La $-4x=20$ scriu $x=20:4=5$
Greșit. Împarți la coeficientul $-4$ nu la $4$ $x = 20 : (-4) = -5$
La $-2x=-14$ scriu $x=-7$
Greșit. Doi negativi la împărțire dau rezultat pozitiv. $x = -14 : (-2) = 7$
Găsesc o valoare pentru $x$ și nu o mai verific în ecuația inițială.
Riscant. Verificarea prin înlocuire arată sigur dacă soluția este corectă, mai ales la ecuații cu mai mulți pași sau cu semne negative.
Confund expresia $x+3$ cu ecuația $x+3=7$ și încerc să o „rezolv” fără semnul $=$
Greșit. O expresie fără semnul $=$ nu are soluție, doar se calculează sau se simplifică. Doar o ecuație, cu semnul $=$ are soluție.
La o ecuație de tipul $0\cdot x=5$ încerc să împart la coeficientul lui $x$
Greșit. Nu poți împărți la 0. Un coeficient nul al lui $x$ nu permite rezolvarea prin împărțire ca la celelalte ecuații.

Exerciții

Ușor

Rezolvă ecuația $x + 4 = 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 5$
Rezolvă ecuația $x - 6 = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 8$
Rezolvă ecuația $x + 7 = 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -4$
Rezolvă ecuația $5x = 15$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$
Verifică dacă $x=6$ este soluția ecuației $x - 2 = 4$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $x=6$ este soluția.
$6 - 2 = 4$ egalitate adevărată.
Verifică dacă $x=-3$ este soluția ecuației $x + 5 = 2$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $x=-3$ este soluția.
$-3 + 5 = 2$ egalitate adevărată.
Un lift pornește de la un etaj, urcă $5$ etaje și ajunge la etajul $2$ De la ce etaj a pornit? (Etajele de sub parter sunt numerotate cu $-1$ $-2$ ...)
Arată răspunsul
Răspuns: de la etajul $-3$ (al treilea subsol)
$x + 5 = 2$ deci $x = 2 - 5 = -3$ Verificare: $-3 + 5 = 2$

Mediu

Rezolvă ecuația $-3x = 18$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -6$
$x = 18 : (-3) = -6$
Rezolvă ecuația $-6x = -24$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 4$
$x = -24 : (-6) = 4$
Rezolvă ecuația $x - 8 = -3$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 5$
$x = -3 + 8 = 5$
Rezolvă ecuația $2x + 5 = 11$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$
$2x = 11 - 5 = 6$ $x = 6 : 2 = 3$
Rezolvă ecuația $3x - 4 = -10$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -2$
$3x = -10 + 4 = -6$ $x = -6 : 3 = -2$
Rezolvă ecuația $-2x + 7 = 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$
$-2x = 1 - 7 = -6$ $x = -6 : (-2) = 3$
Într-un joc, Ana avea un scor. A pierdut $12$ puncte și a ajuns la $-5$ puncte. Ce scor avea înainte?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ puncte
$x - 12 = -5$ deci $x = -5 + 12 = 7$ Verificare: $7 - 12 = -5$
Soldul unui cont este $-60$ de lei (o datorie de $60$ de lei). Se fac $4$ depuneri egale și soldul ajunge la $0$ Cât a fost o depunere?
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ lei
$-60 + 4x = 0$ deci $4x = 60$ și $x = 15$ Verificare: $-60 + 4 \cdot 15 = 0$

Provocare

Rezolvă ecuația $-5x - 3 = 12$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -3$
$-5x = 12 + 3 = 15$ $x = 15 : (-5) = -3$
Rezolvă ecuația $-x - 6 = -2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -4$
$-x = -2 + 6 = 4$ $x = 4 : (-1) = -4$
Un elev rezolvă $4x = -20$ și scrie $x = 5$ Găsește greșeala și scrie rezolvarea corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -5$
Greșeala: a ignorat semnul minus la împărțire. Corect: $x = -20 : 4 = -5$
Arată că ecuațiile $x + 3 = -1$ și $x - 2 = -6$ au aceeași soluție.
Arată răspunsul
Răspuns: Ambele au soluția $x = -4$
Din prima: $x = -1 - 3 = -4$ Din a doua: $x = -6 + 2 = -4$ Aceeași soluție.
Rezolvă ecuația $6x + 9 = -9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -3$
$6x = -9 - 9 = -18$ $x = -18 : 6 = -3$
Temperatura scade în fiecare oră cu același număr de grade. La ora 18 erau $5$ grade, iar după $4$ ore termometrul arăta $-7$ grade. Cu câte grade a scăzut temperatura în fiecare oră?
Arată răspunsul
Răspuns: cu $3$ grade
Fie $x$ schimbarea pe oră: $5 + 4x = -7$ deci $4x = -12$ și $x = -3$ Temperatura scade cu $3$ grade pe oră. Verificare: $5 + 4 \cdot (-3) = -7$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care este soluția ecuației $x + 14 = 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -11$
$x = 3 - 14 = -11$ Verificare: $-11 + 14 = 3$
2. Care este soluția ecuației $-4x = 16$
1. $x = -4$
2. $x = 4$
3. $x = -64$
4. $x = 64$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -4$
$x = 16 : (-4) = -4$
3. Care este soluția ecuației $x - 5 = -9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -4$
$x = -9 + 5 = -4$
4. Care este soluția ecuației $-3x = -21$
1. $x = -7$
2. $x = 7$
3. $x = -24$
4. $x = 18$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 7$
$x = -21 : (-3) = 7$ doi negativi dau rezultat pozitiv.
5. Este $x=2$ soluția ecuației $3x + 1 = 7$
Arată răspunsul
Răspuns: Da
$3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7$ egalitate adevărată.
6. Care este primul pas la rezolvarea ecuației $2x - 3 = 5$
1. Aduni 3 în ambele părți
2. Împarți la 2
3. Scazi 3 din ambele părți
4. Aduni 5 în ambele părți
Arată răspunsul
Răspuns: Aduni 3 în ambele părți
Elimini întâi termenul $-3$ prin operația inversă: aduni 3 în ambele părți, obții $2x=8$
7. Care este soluția ecuației $-2x + 3 = 9$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -3$
$-2x = 9 - 3 = 6$ $x = 6 : (-2) = -3$
8. Un elev rezolvă $-5x=10$ și obține $x=2$ Ce a greșit?
1. Nimic, este corect
2. A ignorat semnul minus al coeficientului la împărțire
3. Trebuia să adune 5, nu să împartă
4. Trebuia să scadă 10
Arată răspunsul
Răspuns: A ignorat semnul minus al coeficientului la împărțire
$x = 10 : (-5) = -2$ nu $2$ A ignorat semnul lui $-5$
9. „Un număr scade cu $9$ și ajunge la $-2$ Ce ecuație descrie textul?
1. $x + 9 = -2$
2. $x - 9 = -2$
3. $9 - x = -2$
4. $-9x = -2$
Arată răspunsul
Răspuns: $x - 9 = -2$
„Scade cu $9$ înseamnă $x - 9$ Din $x - 9 = -2$ obții $x = 7$

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație?

O ecuație este o egalitate în care apare o valoare necunoscută, notată de regulă $x$ A rezolva ecuația înseamnă a găsi valoarea lui $x$ pentru care egalitatea este adevărată.

Cum verific soluția unei ecuații?

Înlocuiești valoarea găsită în locul lui $x$ în ecuația inițială și calculezi. Dacă obții o egalitate adevărată, soluția este corectă.

Cum rezolv o ecuație de tipul

x+a=b

Faci operația inversă în ambele părți ale ecuației: dacă este adunare, scazi; dacă este scădere, aduni.

Cum rezolv o ecuație de tipul

a\cdot x=b

Împarți ambele părți ale ecuației la coeficientul $a$ atâta timp cât $a$ este diferit de $0$

Ce fac dacă coeficientul lui

x

este negativ?

Împarți în continuare la acel coeficient, cu semn cu tot. De exemplu, la $-4x=20$ împarți la $-4$ $x = 20 : (-4) = -5$

Cum rezolv o ecuație cu doi pași, de tipul

ax+b=c

Întâi elimini termenul $b$ prin operația inversă în ambele părți, apoi împarți la coeficientul $a$

Ecuații de gradul I în mulțimea numerelor întregi

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o ecuație

Verificarea soluției

Ecuații de tipul $x+a=b$

Ecuații de tipul $a\cdot x=b$

Ecuații cu numere negative

Principiul balanței

Operații inverse

Ecuații cu doi pași

Pași de rezolvare

Probleme care se rezolvă cu ecuații