Care este diferența dintre (-2)⁴ și -2⁴?

La (-2)⁴, baza este -2, iar rezultatul este 16. La -2⁴, baza este 2, iar minusul rămâne în fața rezultatului, deci obții -16.

Puteri. Ordinea operațiilor cu numere întregi – Clasa a VI-a

Q: Ce este o putere?

O putere aⁿ este înmulțirea repetată a bazei a cu ea însăși, de n ori. De exemplu 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

Q: Cât este un număr la puterea 0?

Orice număr nenul la puterea 0 este 1. De exemplu 5⁰ = 1 și (-7)⁰ = 1.

Q: Cât este un număr la puterea 1?

Rămâne neschimbat. a¹ = a, de exemplu (-3)¹ = -3.

Ce vei învăța

Recunoști baza și exponentul unei puteri și înțelegi ce înseamnă $a^n$
Calculezi puteri cu bază întreagă și exponent natural.
Stabilești semnul unei puteri cu bază negativă fără să o calculezi complet.
Folosești corect exponentul $0$ și exponentul $1$
Distingi între $(-2)^4$ și $-2^4$
Aplici regulile de calcul cu puteri și când baza este negativă.
Calculezi expresii cu puteri, alte operații și paranteze, respectând ordinea operațiilor.

Recomandat înainte: Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

Ideea de bază

O putere $a^n$ este o înmulțire repetată: baza $a$ înmulțită cu ea însăși de $n$ ori. Nu este același lucru cu $a \cdot n$

Când baza este negativă, semnul puterii depinde doar de exponent: exponent par dă rezultat pozitiv, exponent impar dă rezultat negativ. Parantezele în jurul bazei sunt obligatorii, altfel se schimbă complet expresia.

În ordinea operațiilor, puterea se calculează înaintea înmulțirii și împărțirii, care se calculează la rândul lor înaintea adunării și scăderii.

Ce este o putere

O putere se scrie $a^n$ unde $a$ este baza și $n$ este exponentul. Pentru un exponent natural mai mare decât $0$ puterea înseamnă înmulțirea repetată a bazei cu ea însăși, de $n$ ori.

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

baza 3, exponentul 4, patru factori

= 81

Nu confunda cu înmulțirea

$3^4$ nu este $3 \cdot 4$ $3^4 = 81$ iar $3 \cdot 4 = 12$ Exponentul spune de câte ori se repetă baza ca factor, nu cu ce se înmulțește baza.

Puterea unui număr negativ

Când baza este negativă, o scrii mereu între paranteze, iar rezultatul se calculează la fel: baza repetată ca factor de $n$ ori.

(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

trei factori negativi (impar)

= 4 \cdot (-2)

(-2) \cdot (-2) = 4

pozitiv

= -8

(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

patru factori negativi (par)

= 4 \cdot 4

(-2) \cdot (-2) = 4

de două ori

= 16

Rezultatul depinde de câți factori negativi sunt, exact ca la produsele cu mai mulți factori: un număr par de factori negativi dă rezultat pozitiv, un număr impar dă rezultat negativ. La o putere, numărul de factori este chiar exponentul.

Exponent par $\to$ rezultatul puterii este pozitiv.
Exponent impar $\to$ rezultatul puterii este negativ.

Diferența dintre $(-2)^4$ și $-2^4$

Aceste două scrieri arată aproape la fel, dar înseamnă lucruri diferite. Contează dacă semnul minus este sau nu inclus în paranteză, adică dacă face parte din bază.

(-2)^4

baza este -2, întreg cu semn

= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

= 16

-2^4

baza este 2, fără semn; minusul rămâne în fața rezultatului

= -(2^4)

= -16

Fără paranteză, minusul nu intră în putere

$(-2)^4 = 16$ dar $-2^4 = -16$ În $(-2)^4$ baza este $-2$ În $-2^4$ baza este $2$ iar minusul din față se aplică abia după ce ridici $2$ la puterea $4$

Exponentul $0$

Orice număr întreg nenul ridicat la puterea $0$ dă $1$

a^0 = 1, \quad a \neq 0

$5^0 = 1$
$(-7)^0 = 1$

Cazul $0^0$ nu este folosit în această lecție.

Exponentul $1$

Orice număr ridicat la puterea $1$ rămâne neschimbat.

a^1 = a

$8^1 = 8$
$(-3)^1 = -3$

Puterile lui $0$ $1$ și $-1$

Trei baze au un comportament special la orice exponent natural mai mare decât $0$

$0^n = 0$ pentru orice $n > 0$ $0^3 = 0$ $0^5 = 0$
$1^n = 1$ pentru orice $n$ $1^4 = 1$ $1^{10} = 1$
$(-1)^n$ depinde doar de paritatea exponentului: $(-1)^6 = 1$ (exponent par), $(-1)^7 = -1$ (exponent impar).

Regulile de calcul cu puteri, pentru baze negative

Regulile de calcul cu puteri din clasa a V-a rămân valabile pentru orice bază întreagă, deci și pentru una negativă, scrisă între paranteze. Exponenții sunt numere naturale, iar la împărțire baza este nenulă și $m \ge n$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ de exemplu $(-3)^2 \cdot (-3)^3 = (-3)^5 = -243$
$a^m : a^n = a^{m-n}$ de exemplu $(-2)^7 : (-2)^4 = (-2)^3 = -8$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ de exemplu $\left((-2)^3\right)^2 = (-2)^6 = 64$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ de exemplu $(-2 \cdot 5)^3 = (-2)^3 \cdot 5^3 = -8 \cdot 125 = -1000$

Aplici întâi regula pe exponenți, apoi stabilești semnul după exponentul final. Pentru $a$ natural, $(-a)^n = a^n$ dacă $n$ este par și $(-a)^n = -a^n$ dacă $n$ este impar.

Regulile cer aceeași bază, cu tot cu semn

$(-2)^3 \cdot 2^4$ nu se scrie ca o singură putere: bazele $-2$ și $2$ sunt diferite. Scrii întâi $(-2)^3 = -2^3$ apoi $-2^3 \cdot 2^4 = -2^7 = -128$

Ordinea operațiilor

Când o expresie are mai multe tipuri de operații, ordinea este fixă: întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Operațiile de același rang se fac de la stânga la dreapta.

Paranteze
Puteri
Înmulțiri și împărțiri
Adunări și scăderi

3 + 2^3 \cdot 4

= 3 + 8 \cdot 4

întâi puterea:

2^3 = 8

= 3 + 32

apoi înmulțirea

= 35

Expresii cu numere negative și puteri

Aceleași reguli se aplică și când apar numere negative, doar că trebuie să fii atent la ce este bază și ce este semn în fața rezultatului.

-2^3 + 10

baza este 2, fără paranteză

= -8 + 10

= 2

(-2)^3 + 10

baza este -2

= -8 + 10

= 2

Când coincid rezultatele

Aici $-2^3 + 10$ și $(-2)^3 + 10$ dau același rezultat, pentru că exponentul $3$ este impar: $-2^3 = -8$ și $(-2)^3 = -8$ sunt egale. La exponent par, ca la $(-2)^4$ și $-2^4$ rezultatele sunt diferite.

5 - (-3)^2

= 5 - 9

(-3)^2 = 9

= -4

2 \cdot (-4)^2 - 3

= 2 \cdot 16 - 3

(-4)^2 = 16

= 32 - 3

= 29

Expresii cu paranteze

Dacă puterea are ca bază o paranteză cu o sumă sau o diferență, calculezi întâi conținutul parantezei.

(2 + 3)^2

= 5^2

întâi paranteza: 2 + 3 = 5

= 25

(-2 + 5)^2

= 3^2

întâi paranteza: -2 + 5 = 3

= 9

3 \cdot [2 + (-2)^3]

= 3 \cdot [2 + (-8)]

întâi puterea din paranteza mare:

(-2)^3 = -8

= 3 \cdot (-6)

2 + (-8) = -6

= -18

Pași de rezolvare

La o expresie cu mai multe operații, urmează mereu aceeași metodă: identifici paranteza, apoi puterea, apoi înmulțirea sau împărțirea, apoi adunarea sau scăderea.

Calculezi conținutul parantezelor, dacă există.
Calculezi puterile.
Calculezi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta.
Calculezi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta.

5 - 2 \cdot (-3)^2

= 5 - 2 \cdot 9

puterea:

(-3)^2 = 9

= 5 - 18

înmulțirea:

2 \cdot 9 = 18

= -13

Exemple rezolvate

Exemplul 1: putere simplă pozitivă

Calculează $5^3$

Vezi rezolvarea

Baza $5$ se înmulțește cu ea însăși de $3$ ori.

5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Exemplul 2: bază negativă, exponent par

Calculează $(-3)^4$

Vezi rezolvarea

Exponentul $4$ este par, deci rezultatul este pozitiv.

(-3)^4 = 81

Exemplul 3: bază negativă, exponent impar

Calculează $(-3)^3$

Vezi rezolvarea

Exponentul $3$ este impar, deci rezultatul este negativ.

(-3)^3 = -27

Exemplul 4: exponentul $0$

Calculează $(-9)^0$

Vezi rezolvarea

Orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$

(-9)^0 = 1

Exemplul 5: exponentul $1$

Calculează $(-11)^1$

Vezi rezolvarea

Orice bază la puterea $1$ rămâne neschimbată.

(-11)^1 = -11

Exemplul 6: $(-2)^4$ versus $-2^4$

Calculează $(-2)^4$ și $-2^4$ și compară rezultatele.

Vezi rezolvarea

La $(-2)^4$ baza este $-2$ rezultatul este $16$ La $-2^4$ baza este $2$ iar minusul rămâne în fața rezultatului: obții $-16$

$(-2)^4 = 16$
$-2^4 = -16$

Rezultatele sunt diferite, deși scrierile seamănă.

Exemplul 7: expresie mixtă

Calculează $-5 + 3 \cdot (-2)^2$

Vezi rezolvarea

Calculezi întâi puterea, apoi înmulțirea, apoi adunarea.

-5 + 3 \cdot (-2)^2

= -5 + 3 \cdot 4

(-2)^2 = 4

= -5 + 12

= 7

Exemplul 8: expresie cu paranteze

Calculează $3 \cdot [2 + (-2)^3]$

Vezi rezolvarea

Calculezi întâi puterea din interiorul parantezei mari, apoi suma, apoi înmulțirea.

3 \cdot [2 + (-2)^3]

= 3 \cdot [2 + (-8)]

(-2)^3 = -8

= 3 \cdot (-6)

= -18

Exemplul 9: reguli de calcul cu bază negativă

Scrie ca o singură putere și calculează: $(-2)^5 \cdot (-2)^3 : (-2)^6$

Vezi rezolvarea

Toate puterile au aceeași bază, $-2$ Aplici regulile pe exponenți, de la stânga la dreapta.

(-2)^5 \cdot (-2)^3 = (-2)^{5+3} = (-2)^8

la înmulțire, aduni exponenții

(-2)^8 : (-2)^6 = (-2)^{8-6} = (-2)^2

la împărțire, scazi exponenții

(-2)^2 = 4

exponent par, rezultat pozitiv

Semnul se stabilește abia la final, după exponentul obținut: $2$ este par, deci rezultatul este pozitiv.

Greșeli frecvente

Scriu $2^3 = 2 \cdot 3 = 6$
Greșit. Exponentul arată de câte ori se repetă baza ca factor, nu cu ce se înmulțește baza. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Scriu $(-2)^4 = -16$
Greșit. Exponentul $4$ este par, deci rezultatul este pozitiv. $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$
Scriu $-2^4 = 16$
Greșit. Fără paranteză, baza este $2$ nu $-2$ $-2^4 = -(2^4) = -16$
La $3 + 2^3 \cdot 4$ calculez întâi înmulțirea $2 \cdot 4$
Greșit. Puterea se calculează înaintea înmulțirii. Întâi $2^3 = 8$ apoi $8 \cdot 4 = 32$ apoi $3 + 32 = 35$
La $(-5)^2$ calculez $5^2$ și pun minus în față, obținând $-25$
Greșit. Paranteza arată că baza este $-5$ inclusiv semnul. $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$ rezultat pozitiv.
Cred că $a^0 = 0$ pentru orice $a$ nenul.
Greșit. Orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$ nu $0$ $a^0 = 1$ pentru $a \neq 0$

Exerciții

Ușor

Calculează $2^4$
Arată răspunsul
Răspuns: $16$
Calculează $5^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $25$
Calculează $6^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Calculează $9^1$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
Calculează $(-3)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
Exponent par, rezultat pozitiv: $(-3) \cdot (-3) = 9$
Calculează $(-2)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-8$
Exponent impar, rezultat negativ: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Mediu

Calculează $(-5)^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$
Calculează $(-1)^7$
Arată răspunsul
Răspuns: $-1$
Exponent impar, deci $(-1)^7 = -1$
Calculează $-3^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-9$
Baza este $3$ fără paranteză: $-3^2 = -(3^2) = -9$
Calculează $2 + 3^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $11$
Întâi puterea: $3^2 = 9$ apoi $2 + 9 = 11$
Calculează $4 \cdot 2^3 - 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $27$
Întâi puterea: $2^3 = 8$ apoi $4 \cdot 8 = 32$ apoi $32 - 5 = 27$
Calculează $(-2)^2 + (-2)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $-4$
$(-2)^2 = 4$ (exponent par); $(-2)^3 = -8$ (exponent impar); $4 + (-8) = -4$
Scrie ca o singură putere și calculează: $(-5)^2 \cdot (-5)$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-5)^3 = -125$
$(-5) = (-5)^1$ deci $(-5)^{2+1} = (-5)^3$ Exponent impar: $-125$
Scrie ca o singură putere și calculează: $\left((-3)^2\right)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-3)^4 = 81$
Exponenții se înmulțesc: $(-3)^{2 \cdot 2} = (-3)^4 = 81$

Provocare

Calculează $3 \cdot [5 - (-2)^2]$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Întâi puterea: $(-2)^2 = 4$ apoi paranteza: $5 - 4 = 1$ apoi $3 \cdot 1 = 3$
Compară $(-3)^4$ și $-3^4$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-3)^4 = 81$ este mai mare decât $-3^4 = -81$
$(-3)^4 = 81$ (baza este $-3$ exponent par). $-3^4 = -81$ (baza este $3$ minusul rămâne în față).
Fără să calculezi complet, stabilește semnul lui $(-5)^9$
Arată răspunsul
Răspuns: Negativ.
Exponentul $9$ este impar, deci rezultatul este negativ.
Calculează $2 \cdot (-3)^2 - (-4)$
Arată răspunsul
Răspuns: $22$
$(-3)^2 = 9$ $2 \cdot 9 = 18$ $18 - (-4) = 18 + 4 = 22$
Găsește exponentul natural $n$ pentru care $(-2)^n = -8$
Arată răspunsul
Răspuns: $n = 3$
Rezultatul este negativ, deci $n$ este impar. $(-2)^3 = -8$ deci $n = 3$
Calculează $(-1)^{100} + (-1)^{101}$
Arată răspunsul
Răspuns: $0$
$(-1)^{100} = 1$ (exponent par); $(-1)^{101} = -1$ (exponent impar); $1 + (-1) = 0$
Calculează $(-4)^6 : (-4)^4 - (-1 \cdot 3)^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $43$
$(-4)^{6-4} = (-4)^2 = 16$ $(-1 \cdot 3)^3 = (-3)^3 = -27$ $16 - (-27) = 43$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $4^3$
Arată răspunsul
Răspuns: $64$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
2. Cât este $(-2)^5$
1. $-32$
2. $32$
3. $-10$
4. $10$
Arată răspunsul
Răspuns: $-32$
Exponent impar, rezultat negativ: $2^5 = 32$ deci $-32$
3. Cât este $(-6)^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Orice bază nenulă la puterea $0$ dă $1$
4. Cât este $(-1)^{50}$
1. $1$
2. $-1$
3. $50$
4. $-50$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Exponentul $50$ este par, deci $(-1)^{50} = 1$
5. Cât este $-4^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-16$
Baza este $4$ fără paranteză: $-4^2 = -(4^2) = -16$
6. Cât este $(-6)^2$
1. $36$
2. $-36$
3. $12$
4. $-12$
Arată răspunsul
Răspuns: $36$
Baza este $-6$ cu paranteză, exponent par: $(-6)^2 = (-6) \cdot (-6) = 36$
7. Cât este $2 + 3 \cdot 2^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $14$
Întâi puterea: $2^2 = 4$ apoi înmulțirea: $3 \cdot 4 = 12$ apoi $2 + 12 = 14$
8. Cât este $10 - 2 \cdot (-3)^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $-8$
$(-3)^2 = 9$ $2 \cdot 9 = 18$ $10 - 18 = -8$
9. Cu ce este egal $(-7)^4 \cdot (-7)^3$
1. $(-7)^{12}$
2. $(-7)^7$
3. $7^7$
4. $(-7)^1$
Arată răspunsul
Răspuns: $(-7)^7$
Baza $-7$ este aceeași, deci aduni exponenții, $4 + 3 = 7$ Exponentul $7$ e impar, deci rezultatul este negativ, nu $7^7$

Întrebări frecvente

Ce este o putere?

O putere $a^n$ este înmulțirea repetată a bazei $a$ cu ea însăși, de $n$ ori. De exemplu $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Cum calculez o putere cu bază negativă?

Scrii baza între paranteze și o repeți ca factor de câte ori arată exponentul. Semnul rezultatului depinde de paritatea exponentului: par dă pozitiv, impar dă negativ.

Care este diferența dintre

(-2)^4

și

-2^4

La $(-2)^4$ baza este $-2$ iar rezultatul este $16$ La $-2^4$ baza este $2$ iar minusul rămâne în fața rezultatului, deci obții $-16$

Cât este un număr la puterea

0

Orice număr nenul la puterea $0$ este $1$ De exemplu $5^0 = 1$ și $(-7)^0 = 1$

Cât este un număr la puterea

1

Rămâne neschimbat. $a^1 = a$ de exemplu $(-3)^1 = -3$

În ce ordine calculez o expresie cu puteri, paranteze și alte operații?

Întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Operațiile de același rang se fac de la stânga la dreapta.

Puteri. Ordinea operațiilor cu numere întregi

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o putere

Puterea unui număr negativ

Diferența dintre $(-2)^4$ și $-2^4$

Exponentul $0$

Exponentul $1$

Puterile lui $0$ $1$ și $-1$

Regulile de calcul cu puteri, pentru baze negative

Ordinea operațiilor

Expresii cu numere negative și puteri

Expresii cu paranteze

Pași de rezolvare