Numere raționale pozitive. Ordinea operațiilor

Q: Ce este un număr rațional pozitiv?

Este o valoare care poate fi scrisă ca o fracție ordinară a/b, cu a și b numere naturale, b ≠ 0. Fracția zecimală finită, fracția zecimală periodică și procentul sunt alte forme de scriere ale aceleiași valori.

Q: Este 0,5 același număr cu 1/2?

Da. 0,5 și 1/2 sunt exact aceeași valoare, scrisă în două forme diferite: fracție zecimală și fracție ordinară.

Q: Poate un număr rațional avea o dezvoltare zecimală periodică?

Da. De exemplu, 1/3 = 0,(3). Dezvoltarea periodică este tot o scriere validă a unui număr rațional pozitiv.

Ce vei învăța

Recunoști un număr rațional pozitiv ca fiind o valoare care poate fi scrisă sub mai multe forme echivalente.
Treci de la fracția ordinară la forma zecimală și la procent, și invers.
Alegi forma cea mai convenabilă pentru un calcul sau o comparație.
Compari două numere raționale pozitive scrise în forme diferite.
Aplici ordinea efectuării operațiilor în calcule cu numere raționale pozitive.

Recomandat înainte: Fracții zecimale periodice, Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

Ideea de bază

Până acum ai scris aceeași valoare în mai multe moduri: ca fracție ordinară, ca fracție zecimală sau ca procent. Un număr rațional pozitiv este exact acea valoare, indiferent de forma în care o scrii.

$\dfrac{1}{2}$ $0{,}5$ și $50\%$ nu sunt trei numere diferite, ci trei scrieri ale aceluiași număr rațional pozitiv.

Ce este un număr rațional pozitiv

Ai învățat despre fracții ordinare, despre fracții zecimale finite și despre fracții zecimale periodice. Toate acestea sunt de fapt scrieri diferite pentru același tip de valoare: numărul rațional pozitiv.

Un număr rațional pozitiv este orice valoare care poate fi scrisă ca o fracție ordinară $\dfrac{a}{b}$ cu $a$ și $b$ numere naturale, $b \ne 0$ Fracția zecimală finită, fracția zecimală periodică și procentul sunt toate alte forme de scriere ale aceleiași idei.

$\dfrac{1}{2}$ este un număr rațional pozitiv, scris ca fracție ordinară.
$0{,}5$ este același număr, scris ca fracție zecimală.
$50\%$ este tot același număr, scris ca procent.

O valoare, mai multe scrieri

Numărul rațional pozitiv nu este o formă anume de scriere, ci valoarea din spatele ei. Forma de scriere se poate schimba fără ca valoarea numărului să se schimbe.

Forme echivalente ale aceluiași număr

Aceeași valoare poate avea mai multe scrieri ca fracție ordinară (prin amplificare sau simplificare), o singură scriere zecimală și, de multe ori, o scriere ca procent.

Forme echivalente ale aceluiași număr rațional pozitiv
Fracție ordinară	Fracție zecimală	Procent
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$	$0{,}5$	$50\%$
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$	$0{,}75$	$75\%$
$\dfrac{1}{3}$	$0{,}(3)$	$33{,}(3)\%$

\dfrac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%

Aceeași parte dintr-un întreg, în trei forme de scriere.

La $\dfrac{1}{3}$ forma zecimală este periodică, iar procentul corespunzător are și el o parte periodică. Valoarea rămâne aceeași, doar scrierea devine mai puțin convenabilă în această formă.

Trecerea de la o formă la alta

De la fracție ordinară la fracție zecimală ajungi prin împărțirea numărătorului la numitor, exact ca la lecțiile anterioare.

\dfrac{3}{4} = 3 : 4

fracția ordinară înseamnă împărțire

3 : 4 = 0{,}75

efectuăm împărțirea

De la fracție zecimală finită la fracție ordinară ajungi scriind numărul zecimal fără virgulă, la numărător, iar la numitor o putere a lui 10 cu tot atâtea zerouri câte cifre are partea zecimală, apoi simplifici.

0{,}75

partea zecimală are 2 cifre

0{,}75 = \dfrac{75}{100}

numitor: 100 (2 zerouri)

\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}

simplificăm cu 25

De la fracție ordinară sau zecimală la procent ajungi înmulțind cu $100\%$ (adică amplificând fracția până la numitorul 100).

0{,}75 = \dfrac{75}{100}

aducem la numitorul 100

\dfrac{75}{100} = 75\%

o fracție cu numitorul 100 se scrie direct ca procent

Alegerea formei celei mai convenabile

Nu trebuie să folosești mereu aceeași formă. Alegi forma care face calculul sau comparația cea mai simplă.

Pentru o adunare sau scădere ușoară, forma zecimală este de multe ori mai simplă.
Pentru o înmulțire sau împărțire cu fracții mici, forma ordinară este de multe ori mai simplă.
Pentru a spune „cât la sută” dintr-un întreg, procentul este forma cea mai clară.

Nu există o formă „obligatorie”

Alegerea formei depinde de ce ai de calculat, nu de o regulă fixă. Poți oricând trece dintr-o formă în alta, pentru că valoarea rămâne aceeași.

Compararea numerelor raționale pozitive scrise diferit

Ca să compari două numere raționale pozitive scrise în forme diferite, le aduci mai întâi la aceeași formă, apoi compari așa cum ai învățat deja.

\dfrac{3}{5} \text{ și } 0{,}55

aducem fracția la formă zecimală

\dfrac{3}{5} = 0{,}6

3 împărțit la 5

0{,}6 > 0{,}55

comparăm cele două fracții zecimale

Poți aduce toate numerele la formă zecimală, sau toate la fracție ordinară cu același numitor, sau toate la procent. Important este ca toate să fie scrise în aceeași formă înainte de comparație.

Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive

Ordinea operațiilor pe care ai învățat-o la numerele naturale rămâne aceeași și pentru numerele raționale pozitive: mai întâi parantezele, apoi înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar), apoi adunările și scăderile.

0{,}5 + \dfrac{1}{4} \times 2

mai întâi înmulțirea

\dfrac{1}{4} \times 2 = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5

calculăm produsul și îl aducem la formă zecimală

0{,}5 + 0{,}5 = 1

adunăm ultimii doi termeni

Când expresia are și paranteze, calculezi mai întâi conținutul parantezelor, exact ca la numerele naturale.

(0{,}25 + 0{,}75) \times 4

mai întâi paranteza

0{,}25 + 0{,}75 = 1

adunăm în paranteză

1 \times 4 = 4

înmulțim rezultatul

Calcule mixte: fracții și zecimale în aceeași expresie

Când o expresie amestecă fracții ordinare și fracții zecimale, cel mai simplu este să aduci toți termenii la aceeași formă înainte să aplici ordinea operațiilor.

\dfrac{1}{4} + 0{,}5 - \dfrac{1}{4}

aducem totul la formă zecimală

\dfrac{1}{4} = 0{,}25

transformăm fracția ordinară

0{,}25 + 0{,}5 - 0{,}25

calculăm de la stânga la dreapta, adunare și scădere

0{,}25 + 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}5

rezultatul final

Aceeași formă înainte de calcul

Nu aduni sau scazi direct o fracție ordinară cu una zecimală fără să le aduci mai întâi la aceeași formă. Riști o greșeală, chiar dacă valorile sunt corecte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aceeași valoare, trei forme

Scrie $\dfrac{1}{4}$ și ca fracție zecimală, și ca procent.

Vezi rezolvarea

$\dfrac{1}{4} = 1 : 4 = 0{,}25$

$0{,}25 = \dfrac{25}{100} = 25\%$

\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%

Exemplul 2: de la zecimală la ordinară

Transformă $0{,}6$ în fracție ordinară ireductibilă.

Vezi rezolvarea

Partea zecimală are o singură cifră, deci numitorul are un singur zero.

0{,}6 = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

Exemplul 3: recunoașterea aceleiași valori

Este $\dfrac{2}{5}$ același număr cu $0{,}4$

Vezi rezolvarea

$\dfrac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4$

Da, $\dfrac{2}{5}$ și $0{,}4$ sunt același număr rațional pozitiv, scris în două forme.

Exemplul 4: alegerea formei convenabile

Calculează $\dfrac{1}{2} + 0{,}25$ alegând forma cea mai convenabilă.

Vezi rezolvarea

Cea mai simplă cale este să aduci fracția la formă zecimală, ca să aduni direct.

\dfrac{1}{2} = 0{,}5

0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75

Exemplul 5: comparație în forme diferite

Compară $\dfrac{3}{4}$ și $70\%$

Vezi rezolvarea

Aducem ambele la formă zecimală.

\dfrac{3}{4} = 0{,}75 \qquad 70\% = 0{,}7

$0{,}75 > 0{,}7$ deci $\dfrac{3}{4} > 70\%$

Exemplul 6: ordinea operațiilor cu paranteze

Calculează $(0{,}4 + 0{,}6) \times \dfrac{1}{2}$

Vezi rezolvarea

Mai întâi calculăm paranteza.

0{,}4 + 0{,}6 = 1

Apoi înmulțim rezultatul cu $\dfrac{1}{2}$

1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

Exemplul 7: ordinea operațiilor fără paranteze

Calculează $0{,}2 \times 5 - \dfrac{1}{2}$

Vezi rezolvarea

Mai întâi înmulțirea, apoi scăderea.

0{,}2 \times 5 = 1

1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

Exemplul 8: calcul mixt cu trei termeni

Calculează $\dfrac{1}{5} + 0{,}3 + 50\%$

Vezi rezolvarea

Aducem toți termenii la formă zecimală.

\dfrac{1}{5} = 0{,}2 \qquad 50\% = 0{,}5

0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5 = 1

Exemplul 9: caz contextual

Un elev a mâncat $\dfrac{1}{4}$ dintr-o pizza, iar altul $30\%$ din aceeași pizza. Cine a mâncat mai mult?

Vezi rezolvarea

Aducem ambele la formă zecimală: $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ și $30\% = 0{,}3$

$0{,}3 > 0{,}25$ deci al doilea elev a mâncat mai mult.

Greșeli frecvente

Consideră că $\dfrac{1}{2}$ și $0{,}5$ sunt numere diferite, pentru că arată diferit.
$\dfrac{1}{2}$ și $0{,}5$ sunt exact același număr rațional pozitiv, scris în două forme echivalente.
Compară două fracții zecimale doar după numărul de cifre după virgulă, de exemplu crede că $0{,}9 < 0{,}45$ pentru că 45 „pare mai mare”.
Compararea corectă se face pe valoare, nu pe numărul de cifre: $0{,}9 = 0{,}90$ iar $0{,}90 > 0{,}45$
Adună direct o fracție ordinară cu una zecimală, fără să le aducă la aceeași formă.
Înainte de a aduna sau scădea, aduci ambii termeni la aceeași formă (de exemplu, ambii zecimali).
Interpretează greșit o fracție zecimală periodică, de exemplu scrie $0{,}(3)$ ca $0{,}3$
$0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ cu cifra $3$ repetată la nesfârșit, în timp ce $0{,}3$ are o singură zecimală. Nu sunt același număr.
Amestecă forme echivalente incorect, de exemplu scrie $\dfrac{1}{2} = 0{,}2$
Verifici transformarea prin împărțire: $1 : 2 = 0{,}5$ nu $0{,}2$
Folosește punctul în loc de virgulă la scrierea unei fracții zecimale, de exemplu $0.75$ în loc de $0{,}75$
În scrierea românească, fracțiile zecimale se scriu cu virgulă: $0{,}75$ nu $0.75$
Nu respectă ordinea operațiilor într-o expresie cu numere raționale pozitive, adunând sau scăzând înaintea unei înmulțiri sau împărțiri.
Ordinea operațiilor este aceeași ca la numerele naturale: paranteze, apoi înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi.

Exerciții

Ușor

Scrie $\dfrac{1}{2}$ ca fracție zecimală.
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}5$
Scrie $0{,}25$ ca fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{4}$
Scrie $\dfrac{3}{4}$ ca procent.
Arată răspunsul
Răspuns: $75\%$
Este $0{,}5$ același număr cu $\dfrac{1}{2}$ Răspunde cu da sau nu.
Arată răspunsul
Răspuns: da
Scrie $50\%$ ca fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$

Mediu

Transformă $0{,}4$ în fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{5}$
$0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
Compară $\dfrac{2}{5}$ și $0{,}35$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{5} > 0{,}35$
$\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ iar $0{,}4 > 0{,}35$
Calculează $0{,}5 + \dfrac{1}{4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}75$
$\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ $0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75$
Calculează $\dfrac{1}{2} \times 0{,}4$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}2$
$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ $0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$
Un elev spune că $\dfrac{1}{3}$ nu poate fi scris ca fracție zecimală. Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: poate fi scris, ca fracție zecimală periodică
$\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$ o fracție zecimală periodică, nu una finită.
Calculează $(0{,}3 + 0{,}2) \times 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
$0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$ $0{,}5 \times 2 = 1$

Provocare

Ordonează crescător $\dfrac{3}{5}$ $0{,}55$ și $58\%$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}55 < 58\% < \dfrac{3}{5}$
$\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ și $58\% = 0{,}58$ comparăm $0{,}55 < 0{,}58 < 0{,}6$
Calculează $\dfrac{1}{4} + 0{,}5 \times \dfrac{1}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}5$
Întâi înmulțirea: $0{,}5 \times \dfrac{1}{2} = 0{,}25$ apoi $\dfrac{1}{4} + 0{,}25 = 0{,}5$
Un magazin scrie o reducere fie ca $\dfrac{1}{5}$ din preț, fie ca $20\%$ din preț. Este vreo diferență? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: nu
$\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%$ deci cele două scrieri reprezintă exact aceeași reducere.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este un număr rațional pozitiv?
1. doar o fracție ordinară
2. o valoare care poate fi scrisă în mai multe forme echivalente: fracție ordinară, zecimală sau procent
3. doar un procent
4. un număr care nu poate fi scris ca fracție
Arată răspunsul
Răspuns: o valoare care poate fi scrisă în mai multe forme echivalente: fracție ordinară, zecimală sau procent
Numărul rațional pozitiv este valoarea, nu o formă anume de scriere a ei.
2. Scrie $\dfrac{1}{2}$ ca procent.
Arată răspunsul
Răspuns: 50%
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{50}{100} = 50\%$
3. Este $0{,}8$ același număr cu $\dfrac{4}{5}$
1. da, sunt aceeași valoare scrisă diferit
2. nu, sunt numere diferite
3. doar uneori
4. nu se poate ști fără mai multe date
Arată răspunsul
Răspuns: da, sunt aceeași valoare scrisă diferit
$\dfrac{4}{5} = 4 : 5 = 0{,}8$ deci sunt forme echivalente ale aceluiași număr rațional pozitiv.
4. Transformă $0{,}65$ în fracție ordinară ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: 13/20
$0{,}65 = \dfrac{65}{100} = \dfrac{13}{20}$ (am simplificat cu $5$
5. Ce faci mai întâi într-o expresie cu paranteze, înmulțiri și adunări?
1. adunările
2. înmulțirile
3. conținutul parantezelor
4. operația scrisă prima, de la stânga la dreapta
Arată răspunsul
Răspuns: conținutul parantezelor
Ordinea operațiilor: mai întâi parantezele, apoi înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile.
6. Calculează $0{,}6 + 0{,}25$
Arată răspunsul
Răspuns: 0,85
Virgulă sub virgulă: $0{,}60 + 0{,}25 = 0{,}85$
7. Care este cea mai simplă cale de a compara $\dfrac{7}{20}$ și $0{,}3$
1. le compari direct, fără nicio pregătire
2. le aduci la aceeași formă, de exemplu ambele zecimale
3. le rotunjești la număr întreg
4. nu se pot compara pentru că au forme diferite
Arată răspunsul
Răspuns: le aduci la aceeași formă, de exemplu ambele zecimale
$\dfrac{7}{20} = \dfrac{35}{100} = 0{,}35$ deci $\dfrac{7}{20} > 0{,}3$
8. Calculează $\dfrac{1}{4} \times 4$
Arată răspunsul
Răspuns: 1
$\dfrac{1}{4} \times 4 = 1$

Întrebări frecvente

Ce este un număr rațional pozitiv?

Este o valoare care poate fi scrisă ca o fracție ordinară $\dfrac{a}{b}$ cu $a$ și $b$ numere naturale, $b \ne 0$ Fracția zecimală finită, fracția zecimală periodică și procentul sunt alte forme de scriere ale aceleiași valori.

Este

0{,}5

același număr cu

\dfrac{1}{2}

Da. $0{,}5$ și $\dfrac{1}{2}$ sunt exact aceeași valoare, scrisă în două forme diferite: fracție zecimală și fracție ordinară.

Poate un număr rațional avea o dezvoltare zecimală periodică?

Da. De exemplu, $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$ Dezvoltarea periodică este tot o scriere validă a unui număr rațional pozitiv.

Cum aleg forma cea mai convenabilă pentru un calcul?

Alegi în funcție de operație: forma zecimală ajută de multe ori la adunare și scădere, forma ordinară ajută de multe ori la înmulțire și împărțire, iar procentul este cel mai clar când vorbești despre „cât la sută”.

Cum compar două numere raționale pozitive scrise în forme diferite?

Le aduci mai întâi la aceeași formă (de exemplu, pe amândouă la formă zecimală sau la fracție ordinară cu același numitor), apoi le compari așa cum ai învățat deja.

Numere raționale pozitive. Ordinea operațiilor

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este un număr rațional pozitiv

Forme echivalente ale aceluiași număr

Trecerea de la o formă la alta

Alegerea formei celei mai convenabile

Compararea numerelor raționale pozitive scrise diferit

Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale pozitive

Calcule mixte: fracții și zecimale în aceeași expresie

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aceeași valoare, trei forme

Exemplul 2: de la zecimală la ordinară

Exemplul 3: recunoașterea aceleiași valori

Exemplul 4: alegerea formei convenabile

Exemplul 5: comparație în forme diferite

Exemplul 6: ordinea operațiilor cu paranteze

Exemplul 7: ordinea operațiilor fără paranteze

Exemplul 8: calcul mixt cu trei termeni

Exemplul 9: caz contextual

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I