Probleme cu fracții rezolvate prin metode aritmetice

Q: Cum știu ce operație (sau ce metodă) trebuie să folosesc?

Te uiți la legătura dintre date. Preț pentru un anumit număr de obiecte și te întreabă de alt număr: reducere la unitate. Două situații asemănătoare cu totaluri diferite: metoda comparației. Un număr cu operații și rezultatul final: mersul invers. Două tipuri de obiecte amestecate cu două totaluri: falsa ipoteză.

Q: Cum verific dacă rezultatul are sens?

Îl pui înapoi în enunț. La o sumă, rezultatul trebuie să fie mai mare decât fiecare termen. La o medie, trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare valoare. Un număr de bilete, pungi sau persoane trebuie să fie un număr natural, nu negativ și nu fracționar.

Q: Ce fac dacă problema are mai multe operații?

Identifici toate operațiile necesare, apoi le faci în ordinea corectă: întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta. Dacă enunțul descrie mai mulți pași, e util să scrii pe rând ce calculezi la fiecare pas.

Q: Cum calculez media într-o problemă?

Aduni toate valorile, apoi împarți suma la numărul de valori. Este mereu o adunare urmată de o împărțire; dacă te oprești doar la adunare, nu ai obținut o medie.

Q: De ce trebuie să scriu unitatea de măsură în răspuns?

Fără unitate, un număr nu spune nimic despre problemă. „5,30” nu înseamnă la fel de mult ca „5,30 lei” sau „5,30 m”. Unitatea face parte din răspunsul complet.

Ce vei învăța

Recunoști tipul unei probleme cu fracții zecimale și alegi metoda aritmetică potrivită.
Rezolvi probleme prin reducere la unitate, comparație, mersul invers și falsa ipoteză, cu numere zecimale.
Rezolvi probleme cu bani, lungimi, cantități și medii, respectând ordinea operațiilor.
Transformi unități de masă (t, kg, g, mg), de timp (zi, h, min, s) și bani (lei, bani) înainte de calcul.
Scrii răspunsul cu unitatea de măsură potrivită și verifici dacă rezultatul este plauzibil.

Recomandat înainte: Numere raționale pozitive. Ordinea operațiilor, Probleme rezolvate prin metode aritmetice

Ideea de bază

O problemă cu fracții zecimale se rezolvă exact cu metodele pe care le știi de la numerele naturale: reducere la unitate, comparație, mersul invers, falsa ipoteză. Diferența este că numerele din calcule au virgulă.

Cea mai mare parte a muncii nu este calculul, ci alegerea metodei potrivite. Odată aleasă metoda, calculul cu zecimale merge la fel ca cel cu numere naturale.

Cum rezolvi orice problemă

Înainte de metoda aritmetică, urmezi mereu aceiași pași, indiferent de problemă.

Citește atent enunțul, de două ori dacă e nevoie.
Identifică datele: ce numere ai și ce reprezintă fiecare.
Stabilește exact ce trebuie aflat.
Alege operația sau metoda potrivită.
Calculează în ordinea corectă.
Scrie răspunsul cu unitatea potrivită (lei, kg, l, m, km, cm).
Verifică dacă rezultatul este plauzibil.

Datele decid metoda, nu invers

Nu alegi metoda din capul locului. Citești ce legătură există între date (preț pe unitate, două situații de comparat, un traseu de operații, două tipuri amestecate) și metoda potrivită reiese din acea legătură.

Reducere la unitate, cu fracții zecimale

Folosești metoda când știi cât costă (sau cât cântărește, sau cât durează) un anumit număr de obiecte și te întreabă de alt număr. Pașii sunt aceiași ca la numere naturale, doar că împărțirea și înmulțirea dau rezultate zecimale.

Exemplu: 4 kg de mere costă 15,20 lei. Cât costă 3 kg?

1 kg costă $15{,}20 : 4 = 3{,}80$ lei.
3 kg costă $3{,}80 \cdot 3 = 11{,}40$ lei.

Virgula nu se mută la întâmplare

La împărțirea unei sume cu virgulă, faci împărțirea exact ca pe numere întregi, iar virgula rezultatului se stabilește din regula împărțirii cu zecimale, nu „ghicind” unde pare bine.

Metoda comparației, cu bani și cantități

Ai două situații cu aceleași obiecte, în cantități diferite. Compari cele două totaluri, ca la numere naturale, iar diferența poate fi acum o sumă cu zecimale.

Exemplu: 2 caiete și 3 pixuri costă 18,50 lei. 2 caiete și 5 pixuri costă 23,50 lei.

Numărul de caiete este același, diferența este de 2 pixuri în plus.
Cele 2 pixuri în plus costă $23{,}50 - 18{,}50 = 5$ lei, deci un pix costă $5 : 2 = 2{,}50$ lei.
Din prima situație: 2 caiete costă $18{,}50 - 3 \cdot 2{,}50 = 11$ lei, deci un caiet costă $11 : 2 = 5{,}50$ lei.

Metoda mersului invers, cu fracții zecimale

Problema pornește de la un număr, face niște operații cu el și dă rezultatul final. Mergi înapoi, cu operațiile opuse, la fel ca la numere naturale.

Exemplu: m-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 2, am adunat 1,5 și am obținut 8,5. Care este numărul?

Desfac adunarea lui $1{,}5$ $8{,}5 - 1{,}5 = 7$
Desfac înmulțirea cu 2: $7 : 2 = 3{,}5$
Numărul este $3{,}5$ Probă: $3{,}5 \cdot 2 = 7$ apoi $7 + 1{,}5 = 8{,}5$

Metoda falsei ipoteze, cu prețuri zecimale

Ai două feluri de obiecte, cu prețuri diferite, și cunoști numărul total de obiecte și suma totală. Presupui că toate sunt de un fel, vezi eroarea și corectezi, la fel ca la numere naturale.

Exemplu: la un chioșc s-au vândut 10 sticle de suc, unele de 2,50 lei și altele de 3,50 lei, în total 30 de lei. Câte sticle de fiecare fel s-au vândut?

Presupun că toate cele 10 sticle sunt de $2{,}50$ lei: $10 \cdot 2{,}50 = 25$ lei.
Lipsesc $30 - 25 = 5$ lei.
O sticlă de $3{,}50$ lei în locul unei sticle de $2{,}50$ lei aduce $3{,}50 - 2{,}50 = 1$ leu în plus. Deci sunt $5 : 1 = 5$ sticle de $3{,}50$ lei.
Restul sunt de $2{,}50$ lei: $10 - 5 = 5$ sticle.

Probleme cu mai multe operații

Multe probleme au nevoie de mai mult de un calcul. Aplici ordinea operațiilor pe care o știi deja: mai întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile.

Exemplu: un elev cumpără 3 caiete a 2,40 lei fiecare și plătește cu o bancnotă de 12,50 lei. Cât rest primește?

12{,}50 - 3 \cdot 2{,}40

întâi înmulțirea, apoi scăderea

3 \cdot 2{,}40 = 7{,}20

prețul celor 3 caiete

12{,}50 - 7{,}20 = 5{,}30

restul primit

Ordinea vine din poveste, nu doar din calcul

Aici înmulțirea trebuie făcută prima pentru că prețul total al caietelor este o singură cantitate, chiar dacă enunțul o descrie în două părți (numărul de caiete și prețul unuia).

Masă, timp și bani: transformări în probleme

Lungimea, aria și volumul le-ai transformat la lecțiile despre unități de măsură. În probleme apar des și masa, timpul și banii. Înainte de calcul, aduci toate datele la aceeași unitate.

Relațiile de care ai nevoie cel mai des
Mărime	Relații	Pas
masă	$1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$ $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ $1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}$	câte $1000$
timp	$1 \text{ zi} = 24 \text{ h}$ $1 \text{ h} = 60 \text{ min}$ $1 \text{ min} = 60 \text{ s}$	$24$ sau $60$
bani	$1 \text{ leu} = 100 \text{ bani}$	$100$

La masă, ca la lungime, treci la unitatea mai mică înmulțind și la cea mai mare împărțind, aici cu $1000$ De exemplu, $0{,}25 \text{ kg} = 0{,}25 \cdot 1000 \text{ g} = 250 \text{ g}$ La bani, virgula desparte leii de bani: $3{,}45$ lei înseamnă $3$ lei și $45$ de bani, adică $345$ de bani.

Timpul nu merge din 10 în 10

O oră are $60$ de minute, nu $100$ De aceea $1{,}5 \text{ h}$ înseamnă $1 \text{ h}$ și jumătate de oră, adică $1 \text{ h } 30 \text{ min}$ nu $1 \text{ h } 50 \text{ min}$ Transformi partea zecimală înmulțind cu $60$ $0{,}5 \cdot 60 = 30$

Banii nu sunt o mărime fizică precum masa sau timpul, dar se transformă la fel: o sumă în lei se înmulțește cu $100$ ca s-o scrii în bani.

Verifică rezultatul

Un rezultat fără verificare este doar o presupunere. Pune-l înapoi în enunț și vezi dacă totul se potrivește.

La o sumă de doi termeni pozitivi, rezultatul trebuie să fie mai mare decât fiecare termen în parte.
La o diferență, rezultatul trebuie să fie mai mic decât descăzutul.
La o medie, rezultatul trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare valoare din care s-a calculat.
La împărțirea unei cantități în părți egale, rezultatul trebuie să aibă sens pentru context (un preț nu poate fi negativ, un număr de bilete nu poate fi fracționar).

Scrie răspunsul într-o propoziție scurtă, cu unitatea de măsură: „un pix costă 2,50 lei”, nu doar „2,50”.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare cu zecimale

Un covrig costă 1,80 lei, iar o sticlă de apă costă 2,35 lei. Cât costă amândouă la un loc?

Vezi rezolvarea

1{,}80 + 2{,}35 = 4{,}15

Răspuns: amândouă costă 4,15 lei.

Verificare: $4{,}15 > 1{,}80$ și $4{,}15 > 2{,}35$ cum trebuie la o sumă.

Exemplul 2: scădere cu zecimale

O sfoară are 3,20 m. Se taie o bucată de 1,45 m. Cât rămâne din sfoară?

Vezi rezolvarea

3{,}20 - 1{,}45 = 1{,}75

Răspuns: rămân 1,75 m de sfoară.

Verificare: $1{,}75 < 3{,}20$ cum trebuie la o scădere.

Exemplul 3: reducere la unitate, preț

5 caiete costă 14 lei. Cât costă 8 caiete la același preț?

Vezi rezolvarea

Un caiet costă $14 : 5 = 2{,}80$ lei.
8 caiete costă $2{,}80 \cdot 8 = 22{,}40$ lei.

Răspuns: 8 caiete costă 22,40 lei.

Exemplul 4: reducere la unitate, cantitate

Un robinet lasă să curgă 6,5 litri de apă în 5 minute, în ritm constant. Câți litri curg în 8 minute?

Vezi rezolvarea

Într-un minut curg $6{,}5 : 5 = 1{,}3$ litri.
În 8 minute curg $1{,}3 \cdot 8 = 10{,}4$ litri.

Răspuns: în 8 minute curg 10,4 litri.

Exemplul 5: medie aritmetică într-o problemă

Un elev a alergat 100 m în trei zile: 15,4 secunde, 15,8 secunde și 14,9 secunde. Care este timpul mediu?

Vezi rezolvarea

Suma timpilor: $15{,}4 + 15{,}8 + 14{,}9 = 46{,}1$ secunde.
Media: $46{,}1 : 3 = 15{,}3(6)$ secunde, aproximată la $15{,}37$ secunde.

Verificare: media $15{,}37$ este între cea mai mică valoare $14{,}9$ și cea mai mare $15{,}8$ cum trebuie la o medie.

Exemplul 6: problemă cu bani, metoda comparației

3 covrigi și 2 sucuri costă 15,50 lei. 3 covrigi și 5 sucuri costă 24,50 lei. Cât costă un covrig și cât costă un suc?

Vezi rezolvarea

Numărul de covrigi este același, diferența este de 3 sucuri în plus.
Cele 3 sucuri în plus costă $24{,}50 - 15{,}50 = 9$ lei, deci un suc costă $9 : 3 = 3$ lei.
Din prima situație: 3 covrigi costă $15{,}50 - 2 \cdot 3 = 9{,}50$ lei, deci un covrig costă $9{,}50 : 3 = 3{,}1(6)$ lei.

Aici numerele nu au ieșit foarte „rotunde”, ceea ce se poate întâmpla în viața reală. Verifici înmulțind înapoi și comparând cu datele din enunț.

Exemplul 7: problemă cu lungimi și mai multe operații

Un croitor are o rolă de 25 m de material. Taie 4 bucăți egale de 3,25 m fiecare pentru rochii. Câți metri de material îi rămân pe rolă?

Vezi rezolvarea

25 - 4 \cdot 3{,}25

întâi înmulțirea, apoi scăderea

4 \cdot 3{,}25 = 13

materialul folosit

25 - 13 = 12

materialul rămas

Răspuns: pe rolă rămân 12 m de material.

Exemplul 8: problemă cu cantități, reducere la unitate inversă

3 muncitori termină o lucrare în 8,4 ore, lucrând în același ritm. În câte ore ar termina aceeași lucrare 4 muncitori?

Vezi rezolvarea

Un singur muncitor ar lucra de 3 ori mai mult: $8{,}4 \cdot 3 = 25{,}2$ ore.
4 muncitori împart munca: $25{,}2 : 4 = 6{,}3$ ore.

Aici mai mulți muncitori înseamnă mai puțin timp, deci pasul spre unitate a fost o înmulțire, nu o împărțire.

Exemplul 9: metoda mersului invers, cu paranteze

M-am gândit la un număr. L-am adunat cu 0,5, am înmulțit rezultatul cu 4 și am obținut 22. Care este numărul?

Vezi rezolvarea

Desfac înmulțirea cu 4: $22 : 4 = 5{,}5$
Desfac adunarea lui $0{,}5$ $5{,}5 - 0{,}5 = 5$

Numărul este 5. Probă: $(5 + 0{,}5) \cdot 4 = 5{,}5 \cdot 4 = 22$

Exemplul 10: metoda falsei ipoteze, bilete

La un spectacol s-au vândut 15 bilete, unele de 12,5 lei și altele de 20 lei, în total 232,5 lei. Câte bilete de fiecare fel s-au vândut?

Vezi rezolvarea

Presupun că toate cele 15 bilete sunt de $12{,}5$ lei: $15 \cdot 12{,}5 = 187{,}5$ lei.
Lipsesc $232{,}5 - 187{,}5 = 45$ lei.
Un bilet de $20$ lei în locul unuia de $12{,}5$ lei aduce $20 - 12{,}5 = 7{,}5$ lei în plus. Deci sunt $45 : 7{,}5 = 6$ bilete de $20$ lei.
Restul sunt de $12{,}5$ lei: $15 - 6 = 9$ bilete.

Probă: $9 \cdot 12{,}5 + 6 \cdot 20 = 112{,}5 + 120 = 232{,}5$

Exemplul 11: alegerea metodei potrivite

Un bilet de autobuz costă 3,5 lei. Un elev pornește de acasă cu 20 de lei, cumpără 4 bilete și, cu ce-i rămâne, își cumpără un caiet de 4,80 lei. Câți lei îi rămân după toate acestea?

Vezi rezolvarea

Enunțul nu spune direct ce operații să faci. Trebuie să le identifici singur, în ordine: cheltuiala cu biletele, apoi scăderea din suma inițială, apoi scăderea prețului caietului.

20 - 4 \cdot 3{,}5 - 4{,}80

întâi înmulțirea, apoi scăderile în ordine

4 \cdot 3{,}5 = 14

prețul celor 4 bilete

20 - 14 = 6

ce rămâne după bilete

6 - 4{,}80 = 1{,}20

ce rămâne după caiet

Răspuns: elevului îi rămân 1,20 lei.

Exemplul 12: problemă cu cantități și verificare

Dintr-un sac de 12,6 kg de orez se pun în pungi egale de 0,9 kg. Câte pungi rezultă?

Vezi rezolvarea

12{,}6 : 0{,}9 = 14

Răspuns: rezultă 14 pungi.

Verificare: $14 \cdot 0{,}9 = 12{,}6$ exact cantitatea de orez din sac.

Exemplul 13: masă și bani, unități diferite

Brânza costă 36 de lei kilogramul. Cât costă 750 g de brânză?

Vezi rezolvarea

Prețul este dat pe kilogram, iar cantitatea în grame. Aducem cantitatea la kilograme.

750 \text{ g} = 750 : 1000 \text{ kg} = 0{,}75 \text{ kg}

1 kg = 1000 g

0{,}75 \cdot 36 = 27

reducere la unitate: prețul unui kilogram, înmulțit cu cantitatea

Răspuns: 750 g de brânză costă 27 de lei. Verificare: 750 g este mai puțin de 1 kg, deci prețul trebuie să fie sub 36 de lei. Se potrivește.

Exemplul 14: timp scris cu virgulă

Un tren pleacă la ora 9 și 20 de minute și călătorește 2,25 h. La ce oră ajunge?

Vezi rezolvarea

Transformăm partea zecimală a duratei în minute, înmulțind cu 60, nu cu 100.

0{,}25 \text{ h} = 0{,}25 \cdot 60 \text{ min} = 15 \text{ min}

2{,}25 \text{ h} = 2 \text{ h } 15 \text{ min}

De la ora 9 și 20 de minute adunăm 2 h și ajungem la ora 11 și 20 de minute, apoi încă 15 min.

Răspuns: trenul ajunge la ora 11 și 35 de minute. Greșeala de evitat: 2,25 h nu înseamnă 2 h 25 min.

Greșeli frecvente

Pentru „un elev cumpără 3 caiete a 2,40 lei și plătește cu 12,50 lei, cât rest primește”, calculează direct $12{,}50 - 3 - 2{,}40$ în loc să înmulțească întâi.
Întâi calculezi prețul total al caietelor, $3 \cdot 2{,}40 = 7{,}20$ abia apoi scazi din suma dată: $12{,}50 - 7{,}20 = 5{,}30$
Scrie doar numărul final, fără unitatea de măsură, de exemplu „5,30” în loc de „5,30 lei”.
Răspunsul unei probleme conține mereu unitatea de măsură: 5,30 lei, 1,75 m, 14 pungi.
La adunarea 1,80 + 2,35 aliniază greșit virgulele și obține un rezultat cu o cifră schimbată la loc.
La adunare și scădere cu zecimale, virgulele se aliniază mereu unele sub altele, ca cifrele de pe aceeași poziție să se adune corect.
La împărțirea $12{,}6 : 0{,}9$ mută virgula la un singur număr și obține un rezultat greșit.
Când împarți la un numitor cu virgulă, muți virgula cu același număr de poziții la ambele numere, ca numitorul să devină numărul întreg.
La media 15,4 + 15,8 + 14,9, adună cele trei numere și se oprește, fără să mai împartă la 3.
Media aritmetică cere întotdeauna un ultim pas: suma se împarte la numărul de valori. Fără această împărțire, numărul obținut nu este o medie.
La metoda falsei ipoteze, pentru bilete de 12,5 și 20 de lei, împarte diferența de bani la prețul unui bilet, nu la diferența dintre cele două prețuri.
Împarți întotdeauna la diferența dintre cele două prețuri (aici $20 - 12{,}5 = 7{,}5$ nu la unul dintre prețuri.
Copiază greșit o dată din enunț, de exemplu preia 15,4 secunde ca 15,04 secunde, și tot calculul următor este greșit chiar dacă metoda e corectă.
Recitești datele importante înainte de calcul și verifici rezultatul final punându-l înapoi în enunțul cu datele corecte.
Obține un rezultat negativ sau fracționar pentru un număr de bilete sau de persoane și îl scrie ca răspuns final, fără să observe că nu are sens.
Un număr de bilete, de persoane sau de pungi este mereu un număr natural, pozitiv. Un asemenea rezultat neobișnuit înseamnă că undeva s-a greșit calculul sau alegerea metodei.

Exerciții

Ușor

Un pix costă 1,25 lei. Cât costă 6 pixuri la același preț?
Arată răspunsul
Răspuns: 7,50 lei
$1{,}25 \cdot 6 = 7{,}50$
O bucată de brânză de 2,4 kg se împarte în 4 părți egale. Cât cântărește o parte?
Arată răspunsul
Răspuns: 0,6 kg
$2{,}4 : 4 = 0{,}6$
Un elev are 20 de lei. Cumpără o pâine cu 3,80 lei. Câți lei îi rămân?
Arată răspunsul
Răspuns: 16,20 lei
$20 - 3{,}80 = 16{,}20$
Calculează media a două note: 8,5 și 9,5.
Arată răspunsul
Răspuns: 9
$(8{,}5 + 9{,}5) : 2 = 9$
3 kg de cireșe costă 21 de lei. Cât costă 1 kg?
Arată răspunsul
Răspuns: 7 lei
$21 : 3 = 7$
Transformă: $1{,}2$ kg în grame și $4{,}05$ lei în bani.
Arată răspunsul
Răspuns: 1200 g; 405 bani
$1{,}2 \cdot 1000 = 1200$ g; $4{,}05 \cdot 100 = 405$ bani.
Câte minute are $1{,}5$ h? Câte secunde are $3{,}5$ min?
Arată răspunsul
Răspuns: 90 min; 210 s
$1{,}5 \cdot 60 = 90$ $3{,}5 \cdot 60 = 210$

Mediu

4 sticle de suc costă 14 lei. Cât costă 7 sticle la același preț?
Arată răspunsul
Răspuns: 24,50 lei
O sticlă: $14 : 4 = 3{,}5$ lei. Apoi $3{,}5 \cdot 7 = 24{,}50$
Un elev cumpără 2 caiete a 3,20 lei fiecare și un pix de 1,60 lei. Plătește cu o bancnotă de 10 lei. Cât rest primește?
Arată răspunsul
Răspuns: 1,80 lei
$2 \cdot 3{,}20 + 1{,}60 = 8$ $10 - 8 = 1{,}80$
M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 3 și am scăzut 1,5, obținând 7,5. Care este numărul?
Arată răspunsul
Răspuns: 3
$7{,}5 + 1{,}5 = 9$ $9 : 3 = 3$
2 kg de mere și 1 kg de pere costă 14,50 lei. 2 kg de mere și 3 kg de pere costă 21,50 lei. Cât costă 1 kg de pere?
Arată răspunsul
Răspuns: 3,50 lei
2 kg de pere în plus costă $21{,}50 - 14{,}50 = 7$ lei, deci 1 kg de pere costă $7 : 2 = 3{,}50$ lei.
La o petrecere s-au cumpărat 12 baloane, unele de 0,80 lei și altele de 1,20 lei, în total 12 lei. Câte baloane de fiecare fel s-au cumpărat?
Arată răspunsul
Răspuns: 6 de 0,80 lei și 6 de 1,20 lei
Toate de $0{,}80$ $12 \cdot 0{,}80 = 9{,}60$ lei, lipsesc $12 - 9{,}60 = 2{,}40$ lei; un balon de $1{,}20$ în loc de unul de $0{,}80$ adaugă $0{,}40$ lei; $2{,}40 : 0{,}40 = 6$
Calculează media a trei distanțe alergate: 4,2 km, 3,8 km și 4 km.
Arată răspunsul
Răspuns: 4 km
$(4{,}2 + 3{,}8 + 4) : 3 = 12 : 3 = 4$
Calculează $8{,}5 - 2 \cdot 1{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: 5,5
$2 \cdot 1{,}5 = 3$ $8{,}5 - 3 = 5{,}5$
Un pachet de unt are 200 g. Câte kilograme au 7 pachete?
Arată răspunsul
Răspuns: 1,4 kg
$7 \cdot 200 = 1400$ g, iar $1400 : 1000 = 1{,}4$ kg.
Un film durează 1,75 h. Scrie durata în ore și minute.
Arată răspunsul
Răspuns: 1 h 45 min
$0{,}75 \cdot 60 = 45$ min, deci $1$ h $45$ min, nu $1$ h $75$ min.

Provocare

3 caiete și 2 pixuri costă 16,50 lei. 5 caiete și 2 pixuri costă 24,50 lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?
Arată răspunsul
Răspuns: un caiet 4 lei, un pix 2,25 lei
2 caiete în plus costă $24{,}50 - 16{,}50 = 8$ lei, deci un caiet costă $8 : 2 = 4$ lei. Din prima situație: $16{,}50 - 3 \cdot 4 = 4{,}50$ lei pentru 2 pixuri, deci un pix costă $4{,}50 : 2 = 2{,}25$ lei.
Un rezervor se umple cu apă printr-un robinet care lasă 2,5 litri pe minut. După 12 minute, un al doilea robinet, identic, se deschide și el. Câți litri sunt în rezervor după 20 de minute de la pornire?
Arată răspunsul
Răspuns: 70 de litri
Primele 12 minute, un robinet: $2{,}5 \cdot 12 = 30$ litri. Ultimele 8 minute, două robinete: $2{,}5 \cdot 2 \cdot 8 = 40$ litri. Total: $30 + 40 = 70$ de litri.
La un chioșc s-au vândut 24 de îngheţate, unele de 3,5 lei și altele de 4,5 lei, în total 96 de lei. Câte de fiecare fel s-au vândut?
Arată răspunsul
Răspuns: 12 de 3,5 lei și 12 de 4,5 lei
Toate de $3{,}5$ $24 \cdot 3{,}5 = 84$ lei, lipsesc $96 - 84 = 12$ lei. O îngheţată de $4{,}5$ în loc de una de $3{,}5$ adaugă $1$ leu. $12 : 1 = 12$ de $4{,}5$ lei, restul $12$ de $3{,}5$ lei.
Cafeaua costă 62 de lei kilogramul. Ana cumpără 250 g și plătește cu o bancnotă de 50 de lei. Cât primește rest, în lei și bani?
Arată răspunsul
Răspuns: 34 de lei și 50 de bani
$250$ g $= 0{,}25$ kg; $0{,}25 \cdot 62 = 15{,}50$ lei; $50 - 15{,}50 = 34{,}50$ lei, adică $34$ de lei și $50$ de bani.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. 5 covrigi costă 9 lei. Ce operație faci mai întâi pentru a afla cât costă 8 covrigi?
1. înmulțești direct 9 cu 8
2. împarți 9 la 5, ca să afli prețul unui covrig
3. aduni 9 cu 5
4. scazi 8 din 5
Arată răspunsul
Răspuns: împarți 9 la 5, ca să afli prețul unui covrig
Este metoda reducerii la unitate: întâi afli prețul unui covrig, $9 : 5 = 1{,}80$ lei, apoi înmulțești cu 8.
2. Calculează $3{,}20 + 1{,}45$
Arată răspunsul
Răspuns: 4,65
$3{,}20 + 1{,}45 = 4{,}65$
3. Ce faci mai întâi în expresia $20 - 4 \cdot 3{,}5$
1. scăderea
2. înmulțirea
3. ambele în același timp
4. nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: înmulțirea
Înmulțirea se face înaintea scăderii, exact ca la numerele naturale.
4. Calculează media a trei valori: 1,8, 2,6 și 3,1.
Arată răspunsul
Răspuns: 2,5
$(1{,}8 + 2{,}6 + 3{,}1) : 3 = 7{,}5 : 3 = 2{,}5$
5. Un elev obține un rezultat de $12{,}5$ bilete la o problemă cu bilete vândute. Ce înseamnă asta?
1. rezultatul e corect, se poate vinde jumătate de bilet
2. a greșit undeva calculul sau alegerea metodei
3. problema nu are soluție niciodată
4. trebuie să rotunjească la 0
Arată răspunsul
Răspuns: a greșit undeva calculul sau alegerea metodei
Numărul de bilete vândute trebuie să fie un număr natural; nu se vinde jumătate de bilet. Un asemenea rezultat arată o greșeală de calcul sau de metodă, nu un răspuns valid.
6. M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 2 și am obținut 7. Care este numărul?
Arată răspunsul
Răspuns: 3,5
$7 : 2 = 3{,}5$
7. La metoda falsei ipoteze cu bilete de 12,5 și 20 de lei, la ce împarți diferența de bani lipsă?
1. la 12,5
2. la 20
3. la diferența dintre 20 și 12,5
4. la numărul total de bilete
Arată răspunsul
Răspuns: la diferența dintre 20 și 12,5
Împarți la diferența dintre cele două prețuri, $20 - 12{,}5 = 7{,}5$
8. Un sac de 5,6 kg de făină se împarte în pungi de 0,8 kg. Câte pungi rezultă?
Arată răspunsul
Răspuns: 7
$5{,}6 : 0{,}8 = 56 : 8 = 7$ Verificare: $7 \cdot 0{,}8 = 5{,}6$
9. Cât înseamnă $2{,}5$ h?
1. 2 h 50 min
2. 2 h 5 min
3. 2 h 30 min
4. 250 min
Arată răspunsul
Răspuns: 2 h 30 min
O oră are 60 de minute: $0{,}5 \cdot 60 = 30$ min, deci $2{,}5$ h $= 2$ h $30$ min.

Întrebări frecvente

Cum știu ce operație (sau ce metodă) trebuie să folosesc?

Te uiți la legătura dintre date. Preț pentru un anumit număr de obiecte și te întreabă de alt număr: reducere la unitate. Două situații asemănătoare cu totaluri diferite: metoda comparației. Un număr cu operații și rezultatul final: mersul invers. Două tipuri de obiecte amestecate cu două totaluri: falsa ipoteză.

Cum verific dacă rezultatul are sens?

Îl pui înapoi în enunț. La o sumă, rezultatul trebuie să fie mai mare decât fiecare termen. La o medie, trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare valoare. Un număr de bilete, pungi sau persoane trebuie să fie un număr natural, nu negativ și nu fracționar.

Ce fac dacă problema are mai multe operații?

Identifici toate operațiile necesare, apoi le faci în ordinea corectă: întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta. Dacă enunțul descrie mai mulți pași, e util să scrii pe rând ce calculezi la fiecare pas.

Cum calculez media într-o problemă?

Aduni toate valorile, apoi împarți suma la numărul de valori. Este mereu o adunare urmată de o împărțire; dacă te oprești doar la adunare, nu ai obținut o medie.

De ce trebuie să scriu unitatea de măsură în răspuns?

Fără unitate, un număr nu spune nimic despre problemă. „5,30” nu înseamnă la fel de mult ca „5,30 lei” sau „5,30 m”. Unitatea face parte din răspunsul complet.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Cum rezolvi orice problemă

Reducere la unitate, cu fracții zecimale

Metoda comparației, cu bani și cantități

Metoda mersului invers, cu fracții zecimale

Metoda falsei ipoteze, cu prețuri zecimale

Probleme cu mai multe operații

Masă, timp și bani: transformări în probleme

Verifică rezultatul

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare cu zecimale

Exemplul 2: scădere cu zecimale

Exemplul 3: reducere la unitate, preț

Exemplul 4: reducere la unitate, cantitate

Exemplul 5: medie aritmetică într-o problemă

Exemplul 6: problemă cu bani, metoda comparației

Exemplul 7: problemă cu lungimi și mai multe operații

Exemplul 8: problemă cu cantități, reducere la unitate inversă

Exemplul 9: metoda mersului invers, cu paranteze

Exemplul 10: metoda falsei ipoteze, bilete

Exemplul 11: alegerea metodei potrivite

Exemplul 12: problemă cu cantități și verificare

Exemplul 13: masă și bani, unități diferite

Exemplul 14: timp scris cu virgulă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I