Lecția 2 din 7 · Fracții zecimale

Compararea, aproximarea și reprezentarea pe axă a fracțiilor zecimale

Aici vezi cum compari două numere zecimale, cum le ordonezi pe mai multe, cum le reprezinți pe axa numerelor și cum aproximezi un număr zecimal la unități, zecimi sau sutimi.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

  • Compari două numere zecimale, începând cu partea întreagă.
  • Compari zecimile, sutimile și miimile, atunci când partea întreagă este egală.
  • Folosești zerourile adăugate la dreapta părții zecimale pentru a compara mai ușor.
  • Ordonezi crescător sau descrescător mai multe numere zecimale.
  • Reprezinți un număr zecimal pe axa numerelor.
  • Aproximezi un număr zecimal la unități, la zecimi și la sutimi.

Recomandat înainte: Fracții zecimale. Transformări între fracții ordinare și zecimale

Ideea de bază

Comparăm două numere zecimale exact cum comparăm numere naturale: mai întâi partea întreagă, apoi, dacă este egală, cifră cu cifră după virgulă.

3,7<4,13{,}7 < 4{,}1 pentru că 3<43 < 4, iar 2,4<2,72{,}4 < 2{,}7 pentru că părțile întregi sunt egale și comparăm zecimile: 4<74 < 7.

Comparăm întâi partea întreagă

La fel ca la numerele naturale, primul lucru pe care îl comparăm la două numere zecimale este partea întreagă.

3,7 și 4,13{,}7 \text{ și } 4{,}1comparăm părțile întregi: 3 și 4
3<43 < 43 este mai mic decât 4
3,7<4,13{,}7 < 4{,}1concluzia

Dacă părțile întregi sunt diferite, nu mai contează ce este după virgulă: numărul cu partea întreagă mai mică este mereu mai mic.

Când părțile întregi sunt egale, ne uităm la prima cifră după virgulă, adică la zecimi.

2,4 și 2,72{,}4 \text{ și } 2{,}7părțile întregi sunt egale: 2 = 2
4<74 < 7comparăm zecimile
2,4<2,72{,}4 < 2{,}7concluzia

Compararea cifră cu cifră

Metoda completă, pas cu pas:

  1. Comparăm partea întreagă. Dacă diferă, numărul cu partea întreagă mai mare este mai mare.
  2. Dacă părțile întregi sunt egale, comparăm zecimile (prima cifră după virgulă).
  3. Dacă și zecimile sunt egale, comparăm sutimile (a doua cifră după virgulă).
  4. Continuăm așa, cifră cu cifră, cât este necesar: miimi, apoi mai departe.
5,27 și 5,315{,}27 \text{ și } 5{,}31părțile întregi egale: 5 = 5
2<32 < 3comparăm zecimile
5,27<5,315{,}27 < 5{,}31concluzia
4,308 și 4,3054{,}308 \text{ și } 4{,}305părți întregi egale, zecimi egale (3 = 3)
0=00 = 0și sutimile sunt egale
8>58 > 5comparăm miimile
4,308>4,3054{,}308 > 4{,}305concluzia

Cazul egalității

Dacă toate cifrele sunt egale, pe rând, până la ultima, cele două numere sunt egale. De exemplu 7,126=7,1267{,}126 = 7{,}126.

Zero la dreapta părții zecimale

Un zero adăugat la dreapta părții zecimale nu schimbă valoarea numărului.

2,5=2,50=2,5002{,}5 = 2{,}50 = 2{,}500

Această idee ajută la comparare, atunci când numerele au un număr diferit de cifre după virgulă. Completăm cu zerouri, ca să comparăm poziție cu poziție.

3,4 și 3,373{,}4 \text{ și } 3{,}37numere diferite de cifre după virgulă
3,40 și 3,373{,}40 \text{ și } 3{,}37completăm 3,4 cu un zero, ca să aibă și el două cifre
40>3740 > 37comparăm acum sutimile
3,40>3,373{,}40 > 3{,}37deci și 3,4 > 3,37

0,5 nu este 0,05

Zeroul adăugat la dreapta părții zecimale nu schimbă valoarea. Dar un zero adăugat imediat după virgulă, înaintea celorlalte cifre, schimbă complet valoarea: 0,50{,}5 (cinci zecimi) și 0,050{,}05 (cinci sutimi) NU sunt egale. 0,50{,}5 este de zece ori mai mare decât 0,050{,}05.

Greșeala „mai multe cifre înseamnă număr mai mare”

O greșeală frecventă: elevul se uită la partea zecimală ca la un număr natural obișnuit și crede că, dacă are mai multe cifre sau cifre „mai mari”, fracția zecimală este mai mare.

Exemplu: 0,80{,}8 și 0,750{,}75. Pare că 75>875 > 8, deci s-ar crede greșit că 0,75>0,80{,}75 > 0{,}8.

De fapt, completăm 0,80{,}8 cu un zero, ca să aibă și el două cifre după virgulă:

0,8=0,800{,}8 = 0{,}80completăm cu zero, fără să schimbăm valoarea
80>7580 > 75acum comparăm corect sutimile
0,80>0,750{,}80 > 0{,}75deci 0,8 > 0,75

Nu compara partea zecimală ca număr natural separat

0,80{,}8 nu înseamnă „8”, ci „8 zecimi”. Ca să compari corect, aduci ambele numere la același număr de cifre după virgulă, apoi compari cifră cu cifră.

Ordonarea numerelor zecimale

Ca să ordonăm mai multe numere zecimale, le comparăm două câte două, folosind aceeași metodă: partea întreagă, apoi zecimile, apoi sutimile.

Ordonează crescător: 2,05 ; 2,5 ; 1,98 ; 2,152{,}05\ ;\ 2{,}5\ ;\ 1{,}98\ ;\ 2{,}15.

  1. Comparăm părțile întregi: 1,981{,}98 are partea întreagă 1, celelalte au partea întreagă 2. Deci 1,981{,}98 este cel mai mic.
  2. Rămân de ordonat 2,052{,}05, 2,52{,}5 și 2,152{,}15: toate au partea întreagă 2, comparăm zecimile.
  3. Completăm cu zerouri: 2,052{,}05, 2,502{,}50, 2,152{,}15. Comparăm 05, 50, 15: 05<15<5005 < 15 < 50.
1,98<2,05<2,15<2,51{,}98 < 2{,}05 < 2{,}15 < 2{,}5

Pentru ordonare descrescătoare, folosim aceeași metodă, dar scriem numerele de la cel mai mare la cel mai mic.

Ordonează descrescător: 6,2 ; 6,09 ; 6,91 ; 5,86{,}2\ ;\ 6{,}09\ ;\ 6{,}91\ ;\ 5{,}8.

6,91>6,2>6,09>5,86{,}91 > 6{,}2 > 6{,}09 > 5{,}8

Reprezentarea pe axa numerelor

Pe axa numerelor, numărul mai mic este mereu în stânga, iar numărul mai mare este mereu în dreapta.

Reprezentăm 1,21{,}2, 1,51{,}5 și 1,81{,}8 pe axa numerelor, între 1 și 2.

111,21{,}21,51{,}51,81{,}822
1,2<1,5<1,81{,}2 < 1{,}5 < 1{,}8, confirmat de pozițiile de pe axă.

Poziția pe axă corespunde exact valorii numărului: cu cât un număr este mai mare, cu atât marcajul lui este mai spre dreapta.

Ce înseamnă aproximarea

Uneori nu avem nevoie de toate cifrele unui număr. Folosim atunci o valoare apropiată, mai simplă, numită aproximare.

Numărul 7,837{,}83 aproximat la unități este 88, iar aproximat la zecimi este 7,87{,}8.

Aproximare, nu trunchiere

Aproximarea nu înseamnă „tai” cifrele care nu ne trebuie. Uneori păstrăm cifra rămasă, alteori o creștem cu 1, în funcție de cifra care urmează după poziția la care aproximăm.

Aproximarea la unități

Ca să aproximăm la unități, ne uităm la prima cifră după virgulă (cifra zecimilor).

  • dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4: păstrăm partea întreagă neschimbată
  • dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9: mărim partea întreagă cu 1
4,2≈44{,}2 \approx 4cifra zecimilor este 2, păstrăm
4,7≈54{,}7 \approx 5cifra zecimilor este 7, mărim cu 1
12,49≈1212{,}49 \approx 12cifra zecimilor este 4, păstrăm
12,51≈1312{,}51 \approx 13cifra zecimilor este 5, mărim cu 1

Aproximarea la zecimi

Ca să aproximăm la zecimi, păstrăm o singură cifră după virgulă și ne uităm la cifra sutimilor, ca să decidem dacă o păstrăm sau o mărim cu 1.

3,24≈3,23{,}24 \approx 3{,}2cifra sutimilor este 4, păstrăm zecimea
3,27≈3,33{,}27 \approx 3{,}3cifra sutimilor este 7, mărim zecimea cu 1
8,65≈8,78{,}65 \approx 8{,}7cifra sutimilor este 5, mărim zecimea cu 1

Aproximarea la sutimi

Ca să aproximăm la sutimi, păstrăm două cifre după virgulă și ne uităm la cifra miimilor.

5,374≈5,375{,}374 \approx 5{,}37cifra miimilor este 4, păstrăm sutimea
5,378≈5,385{,}378 \approx 5{,}38cifra miimilor este 8, mărim sutimea cu 1

Nu adăuga cifre în plus

Aproximarea la sutimi păstrează exact două cifre după virgulă, nu mai multe. Nu introduce alte zecimale care nu erau cerute.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: comparare după partea întreagă

Compară 8,18{,}1 și 7,997{,}99.

Vezi rezolvarea

Comparăm părțile întregi: 8 și 7.

8>78 > 7, deci 8,1>7,998{,}1 > 7{,}99, indiferent ce urmează după virgulă.

Exemplul 2: comparare după zecimi

Compară 4,64{,}6 și 4,34{,}3.

Vezi rezolvarea

Părțile întregi sunt egale: 4 = 4.

Comparăm zecimile: 6 > 3, deci 4,6>4,34{,}6 > 4{,}3.

Exemplul 3: comparare până la sutimi

Compară 9,429{,}42 și 9,459{,}45.

Vezi rezolvarea

Părțile întregi sunt egale (9 = 9), zecimile sunt egale (4 = 4).

Comparăm sutimile: 2 < 5, deci 9,42<9,459{,}42 < 9{,}45.

Exemplul 4: folosirea zerourilor la dreapta

Compară 6,36{,}3 și 6,296{,}29.

Vezi rezolvarea

Completăm 6,36{,}3 cu un zero, ca să aibă și el două cifre după virgulă: 6,306{,}30.

6,30 și 6,296{,}30 \text{ și } 6{,}29

30>2930 > 29, deci 6,3>6,296{,}3 > 6{,}29.

Exemplul 5: ordonare crescătoare

Ordonează crescător: 3,4 ; 3,04 ; 3,44 ; 2,93{,}4\ ;\ 3{,}04\ ;\ 3{,}44\ ;\ 2{,}9.

Vezi rezolvarea

2,92{,}9 are partea întreagă 2, celelalte au partea întreagă 3, deci 2,92{,}9 este cel mai mic.

Completăm celelalte cu zerouri: 3,403{,}40, 3,043{,}04, 3,443{,}44.

Comparăm 40, 04, 44: 04<40<4404 < 40 < 44.

2,9<3,04<3,4<3,442{,}9 < 3{,}04 < 3{,}4 < 3{,}44

Exemplul 6: reprezentare pe axă

Fără să calculezi nimic, spune care dintre 2,32{,}3 și 2,72{,}7 este mai aproape de capătul din stânga al axei, între 2 și 3.

Vezi rezolvarea

Pe axa numerelor, numărul mai mic este mai spre stânga.

2,3<2,72{,}3 < 2{,}7, deci 2,32{,}3 este marcajul mai apropiat de capătul din stânga (de 2).

Exemplul 7: aproximare la unități

Aproximează 15,6215{,}62 la unități.

Vezi rezolvarea

Ne uităm la cifra zecimilor: 6.

6 este 5 sau mai mare, deci mărim partea întreagă cu 1.

15,62≈1615{,}62 \approx 16

Exemplul 8: aproximare la sutimi

Aproximează 9,2369{,}236 la sutimi.

Vezi rezolvarea

Ne uităm la cifra miimilor: 6.

6 este 5 sau mai mare, deci mărim sutimea cu 1: 3 devine 4.

9,236≈9,249{,}236 \approx 9{,}24

Greșeli frecvente

  • Compară numai numărul de cifre, crezând că numărul cu mai multe cifre după virgulă este mai mare.

    Compari cifră cu cifră, de la partea întreagă spre dreapta, nu numărul total de cifre. 0,8>0,750{,}8 > 0{,}75, deși 0,80{,}8 are o singură cifră după virgulă.

  • Crede că 0,5<0,450{,}5 < 0{,}45, pentru că 5 < 45.

    Completezi cu zero: 0,5=0,500{,}5 = 0{,}50. Compari 50 cu 45: 50>4550 > 45, deci 0,5>0,450{,}5 > 0{,}45.

  • Confundă 0,50{,}5 cu 0,050{,}05, ca și cum ar fi aceeași valoare.

    0,50{,}5 înseamnă 5 zecimi, iar 0,050{,}05 înseamnă 5 sutimi. 0,50{,}5 este de zece ori mai mare decât 0,050{,}05.

  • Elimină incorect zerourile dintr-un număr, de exemplu scrie 3,053{,}05 ca 3,53{,}5.

    Zeroul de imediat după virgulă, înaintea altor cifre, este o poziție importantă. 3,053{,}05 nu se scrie 3,53{,}5: sunt numere diferite.

  • Tratează partea zecimală ca pe un număr natural separat, comparând 27 cu 5 la numerele 4,274{,}27 și 4,54{,}5.

    Aduci mai întâi ambele numere la același număr de cifre după virgulă: 4,504{,}50 și 4,274{,}27. Abia apoi compari: 50>2750 > 27, deci 4,5>4,274{,}5 > 4{,}27.

  • La aproximare, se uită la cifra greșită, de exemplu la aproximarea la zecimi se uită la cifra miimilor, nu a sutimilor.

    La aproximarea la zecimi te uiți la cifra sutimilor (poziția imediat următoare). La aproximarea la sutimi te uiți la cifra miimilor.

  • Confundă aproximarea cu simpla eliminare a cifrelor de la coadă, de exemplu scrie 7,86≈7,87{,}86 \approx 7{,}8 fără să verifice dacă trebuie să mărească zecimea.

    Aproximarea nu este doar tăierea cifrelor. Te uiți la cifra imediat următoare poziției la care aproximezi: dacă este 5 sau mai mare, mărești cu 1 cifra păstrată. 7,86≈7,97{,}86 \approx 7{,}9, nu 7,87{,}8.

Exerciții

Ușor

  1. Compară: 5,25{,}2 și 5,85{,}8. Completează cu <<, >> sau ==.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 5,2<5,85{,}2 < 5{,}8

  2. Compară: 9,19{,}1 și 8,98{,}9. Completează cu <<, >> sau ==.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 9,1>8,99{,}1 > 8{,}9

    Partea întreagă 9 este mai mare decât 8.

  3. Compară: 3,503{,}50 și 3,53{,}5. Completează cu <<, >> sau ==.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 3,50=3,53{,}50 = 3{,}5

    Zeroul adăugat la dreapta nu schimbă valoarea.

  4. Compară: 0,70{,}7 și 0,650{,}65. Completează cu <<, >> sau ==.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 0,7>0,650{,}7 > 0{,}65

    0,7=0,700{,}7 = 0{,}70, iar 70>6570 > 65.

Mediu

  1. Compară: 2,092{,}09 și 2,92{,}9. Completează cu <<, >> sau ==.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 2,09<2,92{,}09 < 2{,}9

    2,9=2,902{,}9 = 2{,}90. Comparăm 09 cu 90: 09<9009 < 90.

  2. Ordonează crescător: 4,5 ; 4,05 ; 4,55 ; 3,94{,}5\ ;\ 4{,}05\ ;\ 4{,}55\ ;\ 3{,}9.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 3,9<4,05<4,5<4,553{,}9 < 4{,}05 < 4{,}5 < 4{,}55

  3. Ordonează descrescător: 7,2 ; 7,02 ; 6,98 ; 7,227{,}2\ ;\ 7{,}02\ ;\ 6{,}98\ ;\ 7{,}22.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 7,22>7,2>7,02>6,987{,}22 > 7{,}2 > 7{,}02 > 6{,}98

  4. Ce număr se află exact la mijloc, pe axa numerelor, între marcajele 1,41{,}4 și 1,61{,}6?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1,5

  5. Aproximează 6,36{,}3 la unități.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 6

    Cifra zecimilor este 3, mai mică decât 5, deci păstrăm.

  6. Aproximează 6,86{,}8 la unități.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 7

    Cifra zecimilor este 8, deci mărim partea întreagă cu 1.

  7. Aproximează 5,345{,}34 la zecimi.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 5,35{,}3

  8. Aproximează 5,365{,}36 la zecimi.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 5,45{,}4

    Cifra sutimilor este 6, mărim zecimea cu 1.

  9. Aproximează 12,34712{,}347 la sutimi.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 12,3512{,}35

    Cifra miimilor este 7, mărim sutimea cu 1: 4 devine 5.

Provocare

  1. Scrie trei numere zecimale cuprinse între 2,42{,}4 și 2,52{,}5.

    Arată răspunsul

    Răspuns: De exemplu 2,412{,}41, 2,452{,}45 și 2,482{,}48.

    Adăugăm un zero la dreapta: 2,4=2,402{,}4 = 2{,}40 și 2,5=2,502{,}5 = 2{,}50. Orice număr cu două zecimale de la 2,412{,}41 la 2,492{,}49 este între ele.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Ce comparăm mai întâi la două numere zecimale?

    1. ultima cifră
    2. partea întreagă
    3. numărul total de cifre
    4. cifra zecimilor
    Arată răspunsul

    Răspuns: partea întreagă

    La fel ca la numerele naturale, comparăm mai întâi partea întreagă.

  2. 2. Este 2,52{,}5 egal cu 2,502{,}50?

    Arată răspunsul

    Răspuns: da

    Zeroul adăugat la dreapta părții zecimale nu schimbă valoarea numărului.

  3. 3. De ce 0,80{,}8 este mai mare decât 0,750{,}75?

    1. pentru că 8 este cifră pară
    2. pentru că, după ce completăm cu zero, 0,80>0,750{,}80 > 0{,}75
    3. pentru că 0,80{,}8 are mai puține cifre
    4. de fapt 0,750{,}75 este mai mare
    Arată răspunsul

    Răspuns: pentru că, după ce completăm cu zero, 0,80>0,750{,}80 > 0{,}75

    0,8=0,800{,}8 = 0{,}80, iar 80>7580 > 75.

  4. 4. Ordonează crescător: 1,9 ; 1,09 ; 2,11{,}9\ ;\ 1{,}09\ ;\ 2{,}1. Scrie doar cel mai mic.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1,09

    1,09<1,9<2,11{,}09 < 1{,}9 < 2{,}1.

  5. 5. Pe axa numerelor, unde se află numărul mai mare dintre două numere?

    1. mai la stânga
    2. mai la dreapta
    3. deasupra celuilalt
    4. nu contează poziția
    Arată răspunsul

    Răspuns: mai la dreapta

    Numărul mai mare se află mereu mai spre dreapta pe axa numerelor.

  6. 6. Aproximează 8,78{,}7 la unități.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 9

    Cifra zecimilor este 7, deci mărim partea întreagă cu 1.

  7. 7. Aproximează 3,4823{,}482 la sutimi.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 3,48

    Cifra miimilor este 2, mai mică decât 5, deci păstrăm sutimea.

  8. 8. Este 0,50{,}5 egal cu 0,050{,}05?

    1. da, sunt aceeași valoare
    2. nu, 0,50{,}5 este de zece ori mai mare
    3. nu, 0,050{,}05 este mai mare
    4. depinde de context
    Arată răspunsul

    Răspuns: nu, 0,50{,}5 este de zece ori mai mare

    0,50{,}5 înseamnă 5 zecimi, iar 0,050{,}05 înseamnă 5 sutimi.

Întrebări frecvente

Cum compar două numere zecimale?

Compari mai întâi partea întreagă. Dacă este egală, compari zecimile, apoi sutimile, apoi miimile, cifră cu cifră, până găsești o diferență.

Este 0,50{,}5 egal cu 0,500{,}50?

Da. Un zero adăugat la dreapta părții zecimale nu schimbă valoarea numărului: 0,5=0,50=0,5000{,}5 = 0{,}50 = 0{,}500.

De ce 0,80{,}8 este mai mare decât 0,750{,}75?

Pentru că, dacă scrii 0,80{,}8 ca 0,800{,}80, poți compara direct sutimile: 80>7580 > 75, deci 0,8>0,750{,}8 > 0{,}75.

Cum aproximăm un număr zecimal?

Ne uităm la cifra imediat următoare poziției la care aproximăm. Dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4, păstrăm cifra de dinainte. Dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, o mărim cu 1.

Care este diferența dintre valoarea exactă și valoarea aproximativă?

Valoarea exactă are toate cifrele numărului. Valoarea aproximativă este o valoare apropiată, mai simplă, folosită atunci când nu avem nevoie de toate cifrele.

Ai terminat lecția

Compararea, aproximarea și reprezentarea pe axă a fracțiilor zecimale

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.