Lecția 4 din 7 · Fracții zecimale

Împărțirea fracțiilor zecimale. Media aritmetică

Aici vezi cum împarți un număr zecimal la un număr natural, cum împarți două numere zecimale între ele și cum calculezi media aritmetică a mai multor numere.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Împarți o fracție zecimală finită la un număr natural nenul, punând corect virgula în cât.
Continui împărțirea cu zecimi și sutimi, atunci când restul nu este zero.
Împarți două fracții zecimale finite, transformând împărțitorul într-un număr natural.
Calculezi media aritmetică a două sau mai multor numere, întregi sau zecimale.
Verifici dacă rezultatul unei împărțiri sau al unei medii este plauzibil.

Recomandat înainte: Adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor zecimale

Ideea de bază

A împărți înseamnă a distribui o cantitate în părți egale. La împărțirea cu numere zecimale folosim exact metoda de la numerele naturale, doar că trebuie să avem grijă unde punem virgula în rezultat.

Media aritmetică a mai multor numere se obține adunând numerele, apoi împărțind suma la numărul lor. Este o singură idee, aplicată de fiecare dată la fel.

Ce înseamnă să împarți un număr zecimal

Împărțirea înseamnă distribuirea unei cantități în părți egale. Dacă ai $7{,}2$ litri de suc și îi torni în 3 recipiente egale, afli cât revine în fiecare recipient calculând $7{,}2 : 3$

7{,}2 : 3

7,2 litri împărțiți în 3 recipiente egale

7{,}2 : 3 = 2{,}4

fiecare recipient primește 2,4 litri

Semnul de împărțire

Semnul $:$ se citește „împărțit la”, la fel ca la numerele naturale: $7{,}2 : 3$ înseamnă „7,2 împărțit la 3”.

Împărțirea unui număr zecimal la un număr natural

Împărțim ca la numerele naturale, cifră cu cifră, dar avem grijă la poziția virgulei: punem virgula în cât exact în momentul în care, în deîmpărțit, coborâm prima cifră de după virgulă.

8{,}4 : 2

împărțim ca la numere naturale

8 : 2 = 4

partea întreagă: 8 se împarte exact la 2

4 : 2 = 2

zecimea: 4 se împarte exact la 2

8{,}4 : 2 = 4{,}2

punem virgula în cât în dreptul virgulei de la deîmpărțit

12{,}6 : 3

împărțim ca la numere naturale

12 : 3 = 4

partea întreagă

6 : 3 = 2

zecimea

12{,}6 : 3 = 4{,}2

virgula în cât corespunde virgulei de la deîmpărțit

15{,}75 : 5

împărțim ca la numere naturale

15 : 5 = 3

partea întreagă; punem virgula în cât

7 : 5 = 1 \text{ rest } 2

coborâm zecimile: 7 zecimi împărțite la 5 dau 1 zecime, rest 2

25 : 5 = 5

coborâm sutimile: rămân 2 zecimi și 5 sutimi, adică 25 de sutimi; se împart exact la 5

15{,}75 : 5 = 3{,}15

cifrele câtului sunt 3, apoi 1 și 5 după virgulă

Când împărțirea a două numere naturale dă rezultat zecimal

Uneori împărțim două numere naturale și restul nu este zero. Atunci continuăm împărțirea: adăugăm o virgulă în cât, coborâm un zero lângă rest și continuăm până obținem rest zero.

5 : 2

5 împărțit la 2 nu dă cât întreg exact

5 : 2 = 2 \text{ rest } 1

câtul întreg este 2, restul este 1

10 : 2 = 5

punem virgulă în cât, coborâm un zero lângă rest: 10 se împarte exact la 2

5 : 2 = 2{,}5

rezultatul final

7 : 4

7 împărțit la 4 nu dă cât întreg exact

7 : 4 = 1 \text{ rest } 3

câtul întreg este 1, restul este 3

30 : 4 = 7 \text{ rest } 2

coborâm un zero lângă rest: 30 : 4 dă 7, rest 2

20 : 4 = 5

coborâm încă un zero lângă rest: 20 se împarte exact la 4

7 : 4 = 1{,}75

rezultatul final

De la rest la zecimi și sutimi

Fiecare zero coborât lângă rest îți dă o nouă cifră zecimală a câtului: prima este zecimea, a doua este sutimea și așa mai departe.

Dacă restul nu ajunge niciodată 0

Aici am ales împărțiri care se termină. La $1 : 3$ de exemplu, restul se repetă mereu și cifrele câtului nu se opresc. Astfel de rezultate se numesc fracții zecimale periodice și le studiezi în lecția următoare.

Împărțirea a două numere zecimale

Ca să împărțim două numere zecimale, înmulțim ambele numere cu aceeași putere a lui 10, astfel încât împărțitorul să devină număr natural. Valoarea raportului nu se schimbă, pentru că înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr.

Numeri câte cifre are împărțitorul după virgulă.
Înmulțești atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu $10$ $100$ sau $1000$ ca împărțitorul să devină număr natural.
Împarți cele două numere naturale obținute, ca mai sus.

4{,}8 : 1{,}2

împărțitorul are o cifră după virgulă

4{,}8 : 1{,}2 = 48 : 12

înmulțim ambele numere cu 10

48 : 12 = 4

împărțim ca la numere naturale; 12 ori 4 face 48

3{,}75 : 0{,}5

împărțitorul are o cifră după virgulă

3{,}75 : 0{,}5 = 37{,}5 : 5

înmulțim ambele numere cu 10

37 : 5 = 7 \text{ rest } 2

partea întreagă; punem virgula în cât

25 : 5 = 5

coborâm zecimea 5: rămân 2 și 5, adică 25, care se împarte exact la 5

37{,}5 : 5 = 7{,}5

rezultatul final

Ambele numere, nu doar unul

Când transformi împărțitorul în număr natural, înmulțești cu aceeași putere a lui 10 și deîmpărțitul, nu doar împărțitorul. Altfel schimbi valoarea raportului.

Recapitulare: împărțirea cu 10, 100, 1000

Ai învățat deja că, la împărțirea cu 10, 100 sau 1000, muți virgula spre stânga cu tot atâtea poziții câte zerouri are numărul respectiv.

45{,}6 : 10 = 4{,}56

1 poziție spre stânga

45{,}6 : 100 = 0{,}456

2 poziții spre stânga

Media aritmetică

Media aritmetică a mai multor numere se obține în doi pași: aduni numerele, apoi împarți suma la numărul lor. Ea arată ce valoare ar avea fiecare număr dacă totalul s-ar împărți în mod egal între ele.

De exemplu, la trei probe, un elev a obținut notele $7$ $8$ și $9$

7 + 8 + 9 = 24

adunăm cele trei note

24 : 3 = 8

împărțim suma la numărul notelor

Media aritmetică a notelor 7, 8 și 9
Element	Valoare
Prima notă	$7$
A doua notă	$8$
A treia notă	$9$
Suma notelor	$7 + 8 + 9 = 24$
Media (suma : 3)	$24 : 3 = 8$

Aceeași metodă funcționează și cu numere zecimale.

7{,}5 + 8 + 9{,}7 = 25{,}2

adunăm cele trei numere

25{,}2 : 3 = 8{,}4

împărțim suma la numărul termenilor: 25 : 3 = 8 rest 1, apoi 12 : 3 = 4

Media $8{,}4$ este între cel mai mic număr, $7{,}5$ și cel mai mare, $9{,}7$ Nu trebuie să fie unul dintre numerele date.

Legătura dintre sumă, numărul termenilor și medie

Medie $\times$ numărul termenilor $=$ suma termenilor. Dacă știi media și numărul termenilor, poți afla suma fără să cunoști fiecare termen în parte.

Media aritmetică în situații practice

Media aritmetică apare des în situații din jurul tău: temperaturi, rezultate sportive, note sau măsurători.

Temperaturile înregistrate în trei zile au fost $6{,}5°$ C, $7{,}5°$ C și $8{,}5°$ C. Care a fost temperatura medie?

6{,}5 + 7{,}5 + 8{,}5 = 22{,}5

adunăm cele trei temperaturi

22{,}5 : 3 = 7{,}5

împărțim suma la numărul zilelor

Temperatura medie a fost $7{,}5°$ C. Alt exemplu: la sărituri în lungime, un sportiv a avut rezultatele $4{,}2$ m, $4{,}5$ m și $4{,}8$ m la trei încercări.

4{,}2 + 4{,}5 + 4{,}8 = 13{,}5

adunăm cele trei rezultate

13{,}5 : 3 = 4{,}5

împărțim suma la numărul încercărilor: 13 : 3 = 4 rest 1, apoi 15 : 3 = 5

Verificarea rezultatului

La o împărțire, verifici dacă rezultatul este plauzibil comparând mărimea numerelor: dacă deîmpărțitul este puțin mai mare decât împărțitorul, câtul trebuie să fie apropiat de 1.

La media aritmetică, rezultatul trebuie să fie întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare din listă. Pentru numerele $6$ $8$ și $10$ media nu poate fi $12$ pentru că $12$ este mai mare decât toate cele trei numere.

Media nu poate depăși valorile date

Dacă media ta iese mai mare decât cea mai mare valoare sau mai mică decât cea mai mică valoare, ai greșit undeva: fie suma, fie împărțirea la numărul termenilor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: zecimal împărțit la natural

Calculează $9{,}6 : 4$

Vezi rezolvarea

Împărțim ca la numerele naturale, cu virgula în cât în dreptul virgulei de la deîmpărțit.

$9 : 4 = 2$ rest $1$ Punem virgula, coborâm zecimea $6$ și obținem $16 : 4 = 4$

9{,}6 : 4 = 2{,}4

Verificare: $2{,}4 \times 4 = 9{,}6$

Exemplul 2: zecimal împărțit la natural, cu rezultat zecimal

Calculează $6{,}5 : 2$

Vezi rezolvarea

Partea întreagă: $6 : 2 = 3$ apoi punem virgula în cât.

Zecimea: $5 : 2 = 2$ rest $1$ Restul nu este zero, deci coborâm un zero: $10 : 2 = 5$

6{,}5 : 2 = 3{,}25

Verificare: $3{,}25 \times 2 = 6{,}5$

Exemplul 3: natural împărțit la natural, cu rezultat zecimal

Calculează $9 : 4$

Vezi rezolvarea

$9 : 4 = 2$ rest $1$ Coborâm un zero: $10 : 4 = 2$ rest $2$ Coborâm încă un zero: $20 : 4 = 5$

9 : 4 = 2{,}25

Exemplul 4: zecimal împărțit la zecimal

Calculează $6{,}25 : 2{,}5$

Vezi rezolvarea

Împărțitorul are o cifră după virgulă. Înmulțim ambele numere cu 10.

6{,}25 : 2{,}5 = 62{,}5 : 25

Împărțim ca la un număr natural: $62 : 25 = 2$ rest $12$ Punem virgula în cât, coborâm zecimea $5$ și obținem $125 : 25 = 5$

62{,}5 : 25 = 2{,}5

Exemplul 5: transformarea împărțitorului cu 100

Calculează $1{,}44 : 0{,}12$

Vezi rezolvarea

Împărțitorul are două cifre după virgulă. Înmulțim ambele numere cu 100.

1{,}44 : 0{,}12 = 144 : 12

144 : 12 = 12

Verificare: $12 \times 12 = 144$

Exemplul 6: media aritmetică a unor numere naturale

Calculează media aritmetică a numerelor $5$ $9$ și $10$

Vezi rezolvarea

Adunăm numerele, apoi împărțim suma la 3.

5 + 9 + 10 = 24

24 : 3 = 8

Verificare: $8$ este între $5$ și $10$ deci rezultatul este plauzibil.

Exemplul 7: media aritmetică a unor numere zecimale

Calculează media aritmetică a numerelor $3{,}2$ $3{,}6$ și $4$

Vezi rezolvarea

Adunăm numerele, apoi împărțim suma la 3.

3{,}2 + 3{,}6 + 4 = 10{,}8

10{,}8 : 3 = 3{,}6

Verificare: $3{,}6$ este între $3{,}2$ și $4$ deci rezultatul este plauzibil.

Exemplul 8: problemă contextuală cu media

Un ciclist a parcurs, în trei zile, $12{,}5$ km, $15{,}5$ km și $14$ km. Câți kilometri a parcurs, în medie, pe zi?

Vezi rezolvarea

Adunăm distanțele, apoi împărțim suma la numărul zilelor.

12{,}5 + 15{,}5 + 14 = 42

42 : 3 = 14

În medie, ciclistul a parcurs $14$ km pe zi.

Greșeli frecvente

La împărțirea unui zecimal la un natural, pune virgula în cât la o poziție greșită, nealiniată cu virgula de la deîmpărțit.
Virgula din cât se pune exact în momentul în care cobori prima cifră de după virgulă din deîmpărțit, nu la finalul calculului, ghicind poziția.
Împarte doar partea întreagă a deîmpărțitului, ignorând partea zecimală.
Continui împărțirea și după virgulă, cu zecimi, sutimi, la fel cum ai continua cu unitățile de ordin mai mic la numerele naturale.
La împărțirea a două numere zecimale, mută virgula doar la împărțitor, ca să devină natural, dar uită să mute și la deîmpărțit.
Înmulțești cu aceeași putere a lui 10 ambele numere, deîmpărțitul și împărțitorul, ca raportul dintre ele să rămână neschimbat.
Confundă împărțirea cu înmulțirea la transformarea împărțitorului zecimal, de exemplu împarte cu 10 în loc să înmulțească.
Ca împărțitorul zecimal să devină natural, înmulțești cu 10, 100 sau 1000, nu împarți. Verifici mereu că rezultatul acestei transformări este un număr întreg.
Calculează media adunând numerele, dar uită să mai împartă la numărul lor.
Media aritmetică are întotdeauna doi pași: mai întâi suma, apoi împărțirea la numărul termenilor. Suma singură nu este media.
Împarte suma la un număr greșit de termeni, de exemplu la 2 în loc de 3 numere.
Numeri cu atenție câte valori ai adunat și împarți suma exact la acel număr de termeni.
Obține o medie mai mare decât toate valorile date și nu observă că a greșit undeva.
Media trebuie să fie mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare din listă. Dacă nu este, verifici din nou suma și împărțirea.

Exerciții

Ușor

Calculează: $8{,}6 : 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $4{,}3$
Calculează: $9{,}9 : 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $3{,}3$
Calculează: $6 : 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $1{,}2$
Calculează media aritmetică a numerelor $4$ și $8$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$4 + 8 = 12$ apoi $12 : 2 = 6$
Calculează: $63{,}4 : 10$
Arată răspunsul
Răspuns: $6{,}34$

Mediu

Calculează: $17{,}5 : 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $3{,}5$
Calculează: $7 : 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}875$
$70 : 8 = 8$ rest $6$ $60 : 8 = 7$ rest $4$ $40 : 8 = 5$ Rezultatul este $0{,}875$
Calculează: $8{,}4 : 1{,}2$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Înmulțim ambele numere cu 10: $84 : 12 = 7$
Calculează: $2{,}52 : 0{,}4$
Arată răspunsul
Răspuns: $6{,}3$
Înmulțim ambele numere cu 10: $25{,}2 : 4 = 6{,}3$
Calculează media aritmetică a numerelor $5{,}5$ $6$ și $6{,}5$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$5{,}5 + 6 + 6{,}5 = 18$ apoi $18 : 3 = 6$
Un elev a calculat media notelor $7$ $8$ și $9$ astfel: $7+8+9=24$ apoi a scris media $24$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: a uitat să împartă suma la 3
Media corectă este $24 : 3 = 8$ Elevul a scris suma, nu media.

Provocare

Calculează: $3{,}45 : 0{,}5 + 1{,}2$
Arată răspunsul
Răspuns: $8{,}1$
$3{,}45 : 0{,}5 = 6{,}9$ apoi $6{,}9 + 1{,}2 = 8{,}1$
Un elev a calculat media numerelor $6$ $8$ și $10$ și a obținut $12$ Explică de ce rezultatul este greșit și calculează media corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
Media nu poate fi mai mare decât cea mai mare valoare $10$ Media corectă: $6+8+10=24$ $24:3=8$
În 4 zile la rând, temperatura medie a fost $9{,}5°$ C, iar în primele 3 zile suma temperaturilor a fost $27{,}5°$ C. Ce temperatură a fost în a 4-a zi?
Arată răspunsul
Răspuns: $10{,}5°$ C
Suma celor 4 temperaturi: $9{,}5 \times 4 = 38$ A patra zi: $38 - 27{,}5 = 10{,}5$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Unde pui virgula în câtul unei împărțiri a unui zecimal la un natural?
1. la finalul calculului, oriunde e nevoie
2. exact în momentul în care cobori prima cifră de după virgulă din deîmpărțit
3. întotdeauna după prima cifră a câtului
4. virgula nu apare niciodată în cât
Arată răspunsul
Răspuns: exact în momentul în care cobori prima cifră de după virgulă din deîmpărțit
Virgula din cât corespunde momentului în care coborâm prima cifră zecimală din deîmpărțit.
2. Calculează $9{,}3 : 3$
Arată răspunsul
Răspuns: 3,1
$9 : 3 = 3$ apoi $3 : 3 = 1$ deci $9{,}3 : 3 = 3{,}1$
3. Cum transformi împărțitorul zecimal într-un număr natural, la împărțirea a două zecimale?
1. înmulțești atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10
2. înmulțești doar împărțitorul cu 10, 100 sau 1000
3. împarți împărțitorul la 10, 100 sau 1000
4. elimini virgula din împărțitor fără alt calcul
Arată răspunsul
Răspuns: înmulțești atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10
Trebuie înmulțite ambele numere cu aceeași putere a lui 10, ca raportul să rămână neschimbat.
4. Calculează $4{,}8 : 1{,}2$
Arată răspunsul
Răspuns: 4
Înmulțim ambele numere cu 10: $48 : 12 = 4$
5. Cum calculezi media aritmetică a mai multor numere?
1. aduni numerele și atât
2. înmulțești numerele între ele
3. aduni numerele, apoi împarți suma la numărul lor
4. alegi cel mai mare număr dintre ele
Arată răspunsul
Răspuns: aduni numerele, apoi împarți suma la numărul lor
Media aritmetică are doi pași: suma numerelor, apoi împărțirea la numărul termenilor.
6. Calculează media aritmetică a numerelor $6$ $7$ și $8$
Arată răspunsul
Răspuns: 7
$6+7+8=21$ apoi $21:3=7$
7. Calculează $5 : 4$
Arată răspunsul
Răspuns: 1,25
$5 : 4 = 1$ rest $1$ continuăm cu zecimi și sutimi: $1{,}25$
8. Ce poți spune despre media aritmetică a numerelor $6$ $8$ și $10$
1. poate fi orice număr
2. trebuie să fie mai mare decât $10$
3. trebuie să fie mai mică decât $6$
4. trebuie să fie între $6$ și $10$
Arată răspunsul
Răspuns: trebuie să fie între $6$ și $10$
Media este întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare din listă.

Întrebări frecvente

Cum împart un număr zecimal la un număr natural?

Împarți ca la numerele naturale, cifră cu cifră, iar virgula în cât o pui exact în momentul în care cobori prima cifră de după virgulă din deîmpărțit.

Ce fac dacă împărțitorul este zecimal?

Înmulțești atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu 10, 100 sau 1000, astfel încât împărțitorul să devină număr natural, apoi împarți ca mai sus.

De ce mutăm virgula în ambele numere?

Pentru că valoarea raportului nu se schimbă atunci când înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr. Dacă ai muta virgula doar la unul dintre ele, ai schimba rezultatul.

Cum calculez media aritmetică?

Aduni toate numerele, apoi împarți suma la numărul lor. De exemplu, media lui $7$ $8$ și $9$ este $(7+8+9):3=8$

Cum verific dacă media este corectă?

Media trebuie să fie întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare din listă. Dacă rezultatul tău nu respectă asta, ai greșit suma sau împărțirea.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Împărțirea fracțiilor zecimale. Media aritmetică

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Împărțirea fracțiilor zecimale. Media aritmetică

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă să împarți un număr zecimal

Împărțirea unui număr zecimal la un număr natural

Când împărțirea a două numere naturale dă rezultat zecimal

Împărțirea a două numere zecimale

Recapitulare: împărțirea cu 10, 100, 1000

Media aritmetică

Media aritmetică în situații practice

Verificarea rezultatului

Exemple rezolvate

Exemplul 1: zecimal împărțit la natural

Exemplul 2: zecimal împărțit la natural, cu rezultat zecimal

Exemplul 3: natural împărțit la natural, cu rezultat zecimal

Exemplul 4: zecimal împărțit la zecimal

Exemplul 5: transformarea împărțitorului cu 100

Exemplul 6: media aritmetică a unor numere naturale

Exemplul 7: media aritmetică a unor numere zecimale

Exemplul 8: problemă contextuală cu media

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I