Lecția 5 din 6 · Fracții ordinare

Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

Aici vezi cum înmulțești două fracții, cum simplifici mai ușor calculul înainte de a înmulți, ce este fracția inversă, cum împarți fracții folosind inversa și cum ridici o fracție la o putere cu exponent natural.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

  • Înmulțești două fracții ordinare, numărător cu numărător și numitor cu numitor.
  • Simplifici o înmulțire de fracții înainte de a înmulți, atunci când se poate.
  • Recunoști fracția inversă a unei fracții sau a unui număr natural.
  • Împarți două fracții, transformând împărțirea într-o înmulțire cu inversa.
  • Ridici o fracție la o putere cu exponent natural.

Recomandat înainte: Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

Ideea de bază

La înmulțirea fracțiilor nu ai nevoie de același numitor. Înmulțești pur și simplu numărătorii între ei și numitorii între ei.

23×35=2×33×5=615=25\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}, adică numărător cu numărător, numitor cu numitor, apoi simplifici.

Înmulțirea fracțiilor

Spre deosebire de adunare și scădere, la înmulțire nu ai nevoie de același numitor. Regula este simplă: înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei.

ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Exemplu: 23×45\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5}.

23×45=2×43×5\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5}numărător cu numărător, numitor cu numitor
=815= \dfrac{8}{15}8 și 15 nu au alt divizor comun în afară de 1

Alt exemplu, cu simplificare la final: 56×310\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}.

56×310=5×36×10\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 10}numărător cu numărător, numitor cu numitor
=1560= \dfrac{15}{60}
=14= \dfrac{1}{4}15 și 60 au divizorul comun 15

Nu ai nevoie de același numitor

La înmulțirea fracțiilor înmulțești direct, indiferent dacă numitorii sunt la fel sau diferiți. Doar la adunare și scădere ai nevoie de același numitor.

Simplificarea înainte de înmulțire

Poți simplifica înainte de a înmulți, nu doar la final. Asta te ajută să lucrezi cu numere mai mici.

Exemplu: 34×89\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}. Dacă înmulțești direct, obții 2436\dfrac{24}{36}, care trebuie simplificată. În loc de asta, poți simplifica mai întâi factorii.

  1. Cauți un numărător și un numitor (din fracții diferite) care au un divizor comun.
  2. 3 (numărător) și 9 (numitor) au divizorul comun 3: rămân 1 și 3.
  3. 8 (numărător) și 4 (numitor) au divizorul comun 4: rămân 2 și 1.
  4. Înmulțești numerele rămase, care sunt deja mai mici.
34×89=11×23\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3}3 cu 9 dă 1 și 3; 8 cu 4 dă 2 și 1
=23= \dfrac{2}{3}

Simplifici factori, nu termeni de adunare

Poți simplifica orice numărător cu orice numitor dintr-o înmulțire de fracții, pentru că acolo toate numerele sunt factori. Nu poți simplifica așa numere legate prin adunare sau scădere, de exemplu în a+bc\dfrac{a+b}{c}.

Fracția inversă

Inversa unei fracții se obține schimbând între ele numărătorul și numitorul.

inversa lui ab este ba,a,b≠0\text{inversa lui } \dfrac{a}{b} \text{ este } \dfrac{b}{a}, \quad a, b \neq 0
  • Inversa lui 23\dfrac{2}{3} este 32\dfrac{3}{2}.
  • Inversa lui 57\dfrac{5}{7} este 75\dfrac{7}{5}.

Un număr natural (diferit de 0) se poate scrie ca fracție cu numitorul 1, deci și el are o inversă.

4=414 = \dfrac{4}{1}orice număr natural este o fracție cu numitorul 1
inversa lui 4 este 14\text{inversa lui } 4 \text{ este } \dfrac{1}{4}

0 nu are inversă

Fracția inversă a lui 0 nu există, pentru că ar trebui să ai un numitor 0, ceea ce nu se poate.

Împărțirea fracțiilor

Pentru a împărți la o fracție, înmulțești cu inversa ei.

ab:cd=ab×dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

Exemplu: 23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}.

  1. Păstrezi prima fracție așa cum este.
  2. Transformi împărțirea în înmulțire.
  3. Inversezi a doua fracție.
  4. Înmulțești cele două fracții.
  5. Simplifici rezultatul, dacă se poate.
23:45=23×54\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}păstrezi prima fracție, inversezi a doua, înmulțești
=2×53×4=1012= \dfrac{2 \times 5}{3 \times 4} = \dfrac{10}{12}
=56= \dfrac{5}{6}10 și 12 au divizorul comun 2

Inversezi doar a doua fracție

La împărțire, inversezi numai fracția de după semnul „:”. Prima fracție rămâne neschimbată.

Înmulțirea și împărțirea cu un număr natural

Când una dintre fracții este de fapt un număr natural, îl scrii ca fracție cu numitorul 1 și aplici aceleași reguli.

Exemplu de înmulțire: 35×4\dfrac{3}{5} \times 4.

35×4=35×41\dfrac{3}{5} \times 4 = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{1}scrii 4 ca fracție cu numitorul 1
=3×45×1=125= \dfrac{3 \times 4}{5 \times 1} = \dfrac{12}{5}

Exemplu de împărțire: 35:2\dfrac{3}{5} : 2.

35:2=35:21\dfrac{3}{5} : 2 = \dfrac{3}{5} : \dfrac{2}{1}scrii 2 ca fracție cu numitorul 1
=35×12= \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2}inversezi a doua fracție
=310= \dfrac{3}{10}

Puterea unei fracții

Ridicarea unei fracții la putere înseamnă înmulțirea fracției cu ea însăși, de atâtea ori cât arată exponentul. Ridici la putere atât numărătorul, cât și numitorul.

(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

Exemplu: (23)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2.

(23)2=2232\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2}ridici numărătorul și numitorul la putere
=49= \dfrac{4}{9}

Alt exemplu: (25)3\left(\dfrac{2}{5}\right)^3.

(25)3=2353\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3}ridici numărătorul și numitorul la putere
=8125= \dfrac{8}{125}

Cazuri simple: la exponentul 1, fracția rămâne neschimbată, pentru că nu o înmulțești cu nimic altceva.

(37)1=37\left(\dfrac{3}{7}\right)^1 = \dfrac{3}{7}

Ridici la putere ambele numere

Nu ridica la putere doar numărătorul. (23)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 NU este 43\dfrac{4}{3}, ci 49\dfrac{4}{9}, pentru că și numitorul se ridică la putere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: înmulțire simplă

Calculează 12×37\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{7}.

Vezi rezolvarea
12×37=1×32×7=314\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 7} = \dfrac{3}{14}

3 și 14 nu au alt divizor comun în afară de 1, deci 314\dfrac{3}{14} este forma finală.

Exemplul 2: înmulțire cu simplificare finală

Calculează 49×38\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}.

Vezi rezolvarea
49×38=4×39×8=1272\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}

12 și 72 au divizorul comun 12.

1272=16\dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}

Exemplul 3: simplificare înainte de înmulțire

Calculează 56×310\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}, simplificând înainte de a înmulți.

Vezi rezolvarea

5 (numărător) și 10 (numitor) au divizorul comun 5: rămân 1 și 2.

3 (numărător) și 6 (numitor) au divizorul comun 3: rămân 1 și 2.

56×310=12×12=14\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}

Exemplul 4: fracție înmulțită cu un număr natural

Calculează 27×3\dfrac{2}{7} \times 3.

Vezi rezolvarea
27×3=27×31=67\dfrac{2}{7} \times 3 = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{7}

Exemplul 5: împărțire simplă

Calculează 34:58\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8}.

Vezi rezolvarea
34:58=34×85\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{5}
=3×84×5=2420= \dfrac{3 \times 8}{4 \times 5} = \dfrac{24}{20}

24 și 20 au divizorul comun 4.

2420=65\dfrac{24}{20} = \dfrac{6}{5}

Exemplul 6: împărțire la un număr natural

Calculează 56:3\dfrac{5}{6} : 3.

Vezi rezolvarea

Scrii 3 ca fracție cu numitorul 1: 3=313 = \dfrac{3}{1}.

56:31=56×13\dfrac{5}{6} : \dfrac{3}{1} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{3}
=518= \dfrac{5}{18}

Exemplul 7: identificarea fracției inverse

Care este inversa fracției 79\dfrac{7}{9} și care este inversa numărului natural 5?

Vezi rezolvarea

Inversa lui 79\dfrac{7}{9} se obține schimbând numărătorul cu numitorul.

inversa lui 79 este 97\text{inversa lui } \dfrac{7}{9} \text{ este } \dfrac{9}{7}

Numărul 5 este 51\dfrac{5}{1}, deci inversa lui este 15\dfrac{1}{5}.

Exemplul 8: puterea unei fracții

Calculează (34)2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2.

Vezi rezolvarea
(34)2=3242\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2}
=916= \dfrac{9}{16}

9 și 16 nu au alt divizor comun în afară de 1, deci 916\dfrac{9}{16} este forma finală.

Greșeli frecvente

  • 23×45=2×53×4=1012\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 4} = \dfrac{10}{12}, înmulțind numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte.

    La înmulțire, numărătorii se înmulțesc între ei, iar numitorii se înmulțesc între ei: 2×43×5=815\dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}.

  • 12×13=12+3=15\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2+3} = \dfrac{1}{5}, adunând numitorii, ca la adunarea fracțiilor.

    La înmulțire, numitorii se înmulțesc, nu se adună: 12×13=1×12×3=16\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 1}{2 \times 3} = \dfrac{1}{6}.

  • La 23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}, inversează prima fracție și obține 32×45\dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{5}.

    La împărțire, prima fracție rămâne neschimbată; se inversează doar a doua: 23×54\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}.

  • La 23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}, inversează ambele fracții și obține 32×54\dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{4}.

    Se inversează numai fracția de după semnul de împărțire. Prima fracție rămâne așa cum este: 23×54\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}.

  • Calculează 23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5} direct ca la înmulțire, fără să transforme împărțirea, și scrie 815\dfrac{8}{15}.

    Împărțirea trebuie transformată mai întâi într-o înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții: 23×54=1012=56\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}.

  • La 34×89\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}, simplifică 3 cu 8, deși nu au niciun divizor comun.

    Se pot simplifica doar numere care au un divizor comun real. Aici se simplifică 3 cu 9 (divizor comun 3) și 8 cu 4 (divizor comun 4), nu 3 cu 8.

  • (23)2=43\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{3}, ridicând la putere doar numărătorul.

    Ridici la putere atât numărătorul, cât și numitorul: (23)2=2232=49\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}.

  • Obține 1012\dfrac{10}{12} ca rezultat final al unei înmulțiri și îl lasă așa, fără să verifice dacă se poate simplifica.

    După orice înmulțire sau împărțire, verifici dacă numărătorul și numitorul mai au un divizor comun mai mare decât 1. Aici au: 1012=56\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}.

Exerciții

Ușor

  1. Calculează 13×25\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 215\dfrac{2}{15}

  2. Calculează 25×56\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{6} și simplifică rezultatul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 13\dfrac{1}{3}

    2×55×6=1030=13\dfrac{2 \times 5}{5 \times 6} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}.

  3. Care este inversa fracției 49\dfrac{4}{9}?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 94\dfrac{9}{4}

  4. Care este inversa numărului natural 6?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 16\dfrac{1}{6}

    6 se scrie 61\dfrac{6}{1}, deci inversa lui este 16\dfrac{1}{6}.

  5. Calculează 29×3\dfrac{2}{9} \times 3.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 23\dfrac{2}{3}

    29×31=69=23\dfrac{2}{9} \times \dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.

Mediu

  1. Calculează 37×1415\dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{15}, simplificând înainte de a înmulți.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 25\dfrac{2}{5}

    3 cu 15 dă 1 și 5; 14 cu 7 dă 2 și 1: 15×21=25\dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{5}.

  2. Calculează 23:59\dfrac{2}{3} : \dfrac{5}{9}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 65\dfrac{6}{5}

    23×95=1815=65\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5}.

  3. Calculează 45:2\dfrac{4}{5} : 2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 25\dfrac{2}{5}

    45×12=410=25\dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}.

  4. Calculează (12)3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 18\dfrac{1}{8}

    1323=18\dfrac{1^3}{2^3} = \dfrac{1}{8}.

  5. Calculează (35)2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 925\dfrac{9}{25}

  6. Un elev calculează 12×14\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} și obține 16\dfrac{1}{6}. Ce a greșit?

    Arată răspunsul

    Răspuns: A adunat numitorii în loc să îi înmulțească.

    Rezultatul corect este 1×12×4=18\dfrac{1 \times 1}{2 \times 4} = \dfrac{1}{8}.

Provocare

  1. Calculează 34×29:16\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} : \dfrac{1}{6}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1

    34×29=636=16\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}, apoi 16:16=16×61=1\dfrac{1}{6} : \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{6}{1} = 1.

  2. Calculează (23)2×98\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \times \dfrac{9}{8}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 12\dfrac{1}{2}

    (23)2=49\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}, apoi 49×98=3672=12\dfrac{4}{9} \times \dfrac{9}{8} = \dfrac{36}{72} = \dfrac{1}{2}.

  3. O rețetă cere 34\dfrac{3}{4} dintr-un pachet de făină, împărțit egal în 3 porții. Cât reprezintă o porție din pachet?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 14\dfrac{1}{4} din pachet

    34:3=34×13=312=14\dfrac{3}{4} : 3 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Cum înmulțești ab×cd\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}?

    1. aduni numărătorii și aduni numitorii
    2. înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei
    3. aduci fracțiile la același numitor, apoi înmulțești numărătorii
    4. înmulțești numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte
    Arată răspunsul

    Răspuns: înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei

    La înmulțirea fracțiilor, numărătorii se înmulțesc între ei, iar numitorii se înmulțesc între ei.

  2. 2. Calculează 35×14\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 320\dfrac{3}{20}

    3×15×4=320\dfrac{3 \times 1}{5 \times 4} = \dfrac{3}{20}.

  3. 3. Ce este inversa fracției 38\dfrac{3}{8}?

    1. 83\dfrac{8}{3}
    2. −38-\dfrac{3}{8}
    3. 38\dfrac{3}{8}
    4. 18\dfrac{1}{8}
    Arată răspunsul

    Răspuns: 83\dfrac{8}{3}

    Inversa se obține schimbând numărătorul cu numitorul: inversa lui 38\dfrac{3}{8} este 83\dfrac{8}{3}.

  4. 4. Calculează 34:12\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 32\dfrac{3}{2}

    34×21=64=32\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.

  5. 5. Pentru a împărți o fracție la altă fracție, ce faci?

    1. împarți numărătorii și împarți numitorii
    2. înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua
    3. inversezi ambele fracții și le înmulțești
    4. aduci fracțiile la același numitor și împarți numărătorii
    Arată răspunsul

    Răspuns: înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua

    Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa acelei fracții.

  6. 6. Calculează (13)2\left(\dfrac{1}{3}\right)^2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 19\dfrac{1}{9}

  7. 7. Cum ridici o fracție la o putere cu exponent natural?

    1. ridici la putere doar numărătorul
    2. ridici la putere doar numitorul
    3. ridici la putere atât numărătorul, cât și numitorul
    4. înmulțești fracția cu exponentul
    Arată răspunsul

    Răspuns: ridici la putere atât numărătorul, cât și numitorul

    (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, adică se ridică la putere și numărătorul, și numitorul.

  8. 8. Un elev calculează 23×34\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} și scrie rezultatul 57\dfrac{5}{7}, adunând numărătorii și numitorii. Care este rezultatul corect?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 12\dfrac{1}{2}

    2×33×4=612=12\dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.

Întrebări frecvente

Cum înmulțesc două fracții?

Înmulțești numărătorii între ei, ca să obții noul numărător, și înmulțești numitorii între ei, ca să obții noul numitor. Apoi simplifici rezultatul, dacă se poate.

Trebuie să aduc fracțiile la același numitor înainte de înmulțire?

Nu. Aducerea la același numitor este necesară doar la adunare și scădere. La înmulțire, lucrezi direct cu numitorii pe care îi ai.

Ce înseamnă inversa unei fracții?

Inversa unei fracții ab\dfrac{a}{b} este fracția ba\dfrac{b}{a}, obținută prin schimbarea numărătorului cu numitorul. Un număr natural, scris ca fracție cu numitorul 1, are și el o inversă.

De ce inversăm a doua fracție la împărțire?

Împărțirea la o fracție este echivalentă cu înmulțirea cu inversa acelei fracții. Prima fracție rămâne neschimbată, iar a doua se inversează.

Cum ridic o fracție la putere?

Ridici la putere atât numărătorul, cât și numitorul: (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.