Lecția 2 din 6 · Fracții ordinare

Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

Fracții diferite pot reprezenta aceeași cantitate. Aici vezi ce înseamnă fracții echivalente, cum le obții prin amplificare sau simplificare și cum recunoști fracția ireductibilă.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști dacă două fracții sunt echivalente.
Amplifici o fracție cu un număr natural nenul dat.
Simplifici o fracție, într-un pas sau în mai mulți pași.
Recunoști o fracție ireductibilă și explici de ce este ireductibilă.
Verifici dacă două fracții sunt echivalente prin amplificare sau simplificare.

Recomandat înainte: Ce este o fracție. Tipuri de fracții. Procente, Numere prime și numere compuse

Ideea de bază

$\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{2}{4}$ și $\dfrac{3}{6}$ se scriu diferit, cu alt numărător și alt numitor, dar reprezintă exact aceeași parte dintr-un întreg.

Dacă împarți un întreg în 2 părți egale și iei 1, sau îl împarți în 4 părți egale și iei 2, sau îl împarți în 6 părți egale și iei 3, ajungi mereu la jumătate din întreg. Fracțiile $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{2}{4}$ și $\dfrac{3}{6}$ sunt echivalente.

Ce sunt fracțiile echivalente

Două fracții sunt echivalente dacă reprezintă aceeași valoare, adică aceeași parte dintr-un întreg, chiar dacă numărătorul și numitorul lor sunt diferite.

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2}

are 1 parte evidențiată din 2 părți egale

\dfrac{2}{4}

\dfrac{2}{4}

are 2 părți evidențiate din 4 părți egale

\dfrac{3}{6}

\dfrac{3}{6}

are 3 părți evidențiate din 6 părți egale

În toate cele trei desene, partea evidențiată ocupă exact jumătate din bandă. Numărătorul și numitorul s-au schimbat, dar valoarea fracției a rămas aceeași: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$

Alte exemple de fracții echivalente: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ și $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ În fiecare pereche, a doua fracție se obține din prima înmulțind numărătorul și numitorul cu același număr.

Aceeași valoare, altă scriere

Fracțiile echivalente nu sunt „aproape egale”, ci egale ca valoare. Doar forma de scriere (numărătorul și numitorul) este diferită.

Amplificarea unei fracții

Pentru a amplifica o fracție, înmulțești numărătorul și numitorul cu același număr natural nenul. Fracția obținută este echivalentă cu cea de la care ai pornit.

De exemplu, amplifici $\dfrac{2}{3}$ cu 4: înmulțești și numărătorul, și numitorul cu 4.

\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4}

înmulțești sus și jos cu 4

= \dfrac{8}{12}

Fracția $\dfrac{8}{12}$ este echivalentă cu $\dfrac{2}{3}$ Întregul este împărțit acum în 12 părți în loc de 3, adică de 4 ori mai multe, și iei 8 părți în loc de 2, tot de 4 ori mai multe. Părțile sunt mai mici, dar le iei de 4 ori mai multe, deci partea din întreg rămâne aceeași.

Al doilea exemplu: amplifici $\dfrac{5}{6}$ cu 3.

\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3}

înmulțești sus și jos cu 3

= \dfrac{15}{18}

Același număr, sus și jos

Amplificarea funcționează numai dacă înmulțești numărătorul ȘI numitorul cu același număr. Dacă înmulțești doar unul dintre ele, fracția obținută nu mai este echivalentă cu cea inițială.

Simplificarea unei fracții

Pentru a simplifica o fracție, împarți numărătorul și numitorul la același divizor comun, mai mare decât 1. Fracția obținută este tot echivalentă cu cea de la care ai pornit, dar are termeni mai mici.

Simplificare într-un singur pas: $\dfrac{6}{8}$ Numărătorul 6 și numitorul 8 au divizorul comun 2.

\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2}

împarți sus și jos la 2

= \dfrac{3}{4}

Simplificare în mai mulți pași: $\dfrac{12}{18}$ Nu e nevoie să găsești dintr-o dată cel mai mare divizor comun; poți simplifica de mai multe ori, pe rând, cu divizori comuni mai mici.

\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 2}{18 \div 2}

împarți sus și jos la 2

= \dfrac{6}{9}

= \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3}

împarți din nou, la 3

= \dfrac{2}{3}

$\dfrac{12}{18}$ $\dfrac{6}{9}$ și $\dfrac{2}{3}$ sunt toate echivalente. Simplificarea nu schimbă valoarea fracției, doar scrie aceeași valoare cu numere mai mici.

Pentru a găsi divizori comuni, te folosești de ce știi deja despre divizori și numere prime din lecțiile anterioare: cauți un număr mai mare decât 1 care divide exact atât numărătorul, cât și numitorul.

Poți simplifica în mai mulți pași

Nu trebuie să găsești din prima cel mai mare divizor comun. E la fel de corect să simplifici de câteva ori, cu divizori mai mici, până nu mai poți simplifica deloc.

Fracția ireductibilă

O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul ei nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1, adică nu mai poate fi simplificată.

$\dfrac{3}{5}$ este ireductibilă: singurul divizor comun al lui 3 și 5 este 1.
$\dfrac{7}{12}$ este ireductibilă: 7 este număr prim, deci are doar divizorii 1 și 7, iar 7 nu divide 12. Singurul divizor comun al lui 7 și 12 este 1.

În schimb, $\dfrac{6}{8}$ nu este ireductibilă, pentru că 6 și 8 au divizorul comun 2. O poți simplifica până la forma ireductibilă $\dfrac{3}{4}$

Cum verifici dacă mai poți simplifica

Întreabă-te: mai există un număr mai mare decât 1 care divide exact și numărătorul, și numitorul? Dacă da, mai poți simplifica. Dacă nu, fracția e ireductibilă.

Cum verifici dacă două fracții sunt echivalente

Ca să verifici dacă două fracții sunt echivalente, aduci una dintre ele la forma celeilalte, prin amplificare sau prin simplificare, și compari.

Exemplu: sunt $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{4}{6}$ echivalente?

\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}

simplifici a doua fracție

= \dfrac{2}{3}

Simplificând $\dfrac{4}{6}$ obții exact $\dfrac{2}{3}$ deci cele două fracții sunt echivalente. Ai fi ajuns la aceeași concluzie amplificând $\dfrac{2}{3}$ cu 2, ca să obții $\dfrac{4}{6}$

Aceeași formă, aceeași valoare

Dacă, după amplificare sau simplificare, cele două fracții ajung să arate exact la fel, sunt echivalente. Dacă nu ajungi la aceeași scriere, fracțiile nu sunt echivalente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifică fracții echivalente

Care dintre fracțiile $\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{6}{8}$ și $\dfrac{5}{6}$ sunt echivalente?

Vezi rezolvarea

Amplifici $\dfrac{3}{4}$ cu 2: $\dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$

$\dfrac{3}{4}$ și $\dfrac{6}{8}$ sunt echivalente. $\dfrac{5}{6}$ nu se obține din niciuna dintre ele prin amplificare sau simplificare, deci nu este echivalentă cu celelalte două.

Exemplul 2: amplifică o fracție

Amplifică $\dfrac{3}{7}$ cu 5.

Vezi rezolvarea

\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{15}{35}

$\dfrac{15}{35}$ este echivalentă cu $\dfrac{3}{7}$

Exemplul 3: amplifică până la un numitor dat

Scrie o fracție echivalentă cu $\dfrac{4}{5}$ care să aibă numitorul 20.

Vezi rezolvarea

Numitorul trebuie să devină 20, iar $5 \times 4 = 20$ deci amplifici cu 4.

\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{16}{20}

Exemplul 4: simplifică o fracție

Simplifică $\dfrac{10}{15}$

Vezi rezolvarea

10 și 15 au divizorul comun 5.

\dfrac{10}{15} = \dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{2}{3}

Exemplul 5: simplifică în mai mulți pași

Simplifică $\dfrac{24}{36}$ până la forma ireductibilă.

Vezi rezolvarea

24 și 36 au divizorul comun 2.

\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 2}{36 \div 2} = \dfrac{12}{18}

12 și 18 au din nou divizorul comun 2.

\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 2}{18 \div 2} = \dfrac{6}{9}

6 și 9 au divizorul comun 3.

\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}

$\dfrac{2}{3}$ este ireductibilă, pentru că 2 și 3 nu mai au divizor comun mai mare decât 1.

Exemplul 6: recunoaște fracția ireductibilă

Care dintre fracțiile $\dfrac{9}{12}$ și $\dfrac{7}{10}$ este ireductibilă?

Vezi rezolvarea

9 și 12 au divizorul comun 3, deci $\dfrac{9}{12}$ nu este ireductibilă $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$

7 și 10 nu au niciun divizor comun mai mare decât 1, deci $\dfrac{7}{10}$ este ireductibilă.

Greșeli frecvente

Amplific $\dfrac{2}{5}$ cu 3 doar la numărător: $\dfrac{6}{5}$
Amplificarea înseamnă înmulțirea AMBILOR termeni cu același număr: $\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{15}$ Dacă înmulțești doar numărătorul, obții o fracție care nu mai este echivalentă cu cea inițială.
Simplific $\dfrac{8}{12}$ doar la numitor: $\dfrac{8}{6}$
Simplificarea trebuie făcută la ambii termeni: $\dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}$ Simplificarea doar la unul dintre termeni schimbă valoarea fracției.
Amplific $\dfrac{3}{4}$ înmulțind numărătorul cu 2 și numitorul cu 3: $\dfrac{6}{12}$
Trebuie să folosești ACELAȘI număr, și sus, și jos. $\dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ este echivalentă cu $\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{6}{12}$ nu este.
Simplific $\dfrac{9}{10}$ la 3, pentru că 3 divide numărătorul.
Un divizor comun trebuie să împartă exact AMBII termeni. 3 divide 9, dar nu divide 10, deci nu poți simplifica cu 3. De fapt, $\dfrac{9}{10}$ este deja ireductibilă.
Simplific $\dfrac{6}{8}$ scăzând 2 din fiecare termen: $\dfrac{4}{6}$
Simplificarea înseamnă împărțire, nu scădere. $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ dar $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ deci $\dfrac{4}{6}$ nu este echivalentă cu $\dfrac{6}{8}$ Scăderea aceluiași număr din numărător și din numitor schimbă valoarea fracției.
Simplific $\dfrac{12}{18}$ la $\dfrac{6}{9}$ și mă opresc, pentru că am simplificat o dată.
Verifică dacă mai poți simplifica. 6 și 9 au divizorul comun 3, deci $\dfrac{6}{9}$ se simplifică încă o dată: $\dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$ Abia $\dfrac{2}{3}$ este ireductibilă.

Exerciții

Ușor

Sunt $\dfrac{1}{3}$ și $\dfrac{2}{6}$ echivalente?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$
Amplifică $\dfrac{2}{5}$ cu 3.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{6}{15}$
Amplifică $\dfrac{1}{4}$ cu 6.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{6}{24}$
Simplifică $\dfrac{4}{8}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
Completează numărul lipsă: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\Box}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: 6
$3 \times 3 = 9$ deci amplifici și numărătorul cu 3: $2 \times 3 = 6$

Mediu

Simplifică $\dfrac{15}{20}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3}{4}$
Divizorul comun este 5.
Simplifică $\dfrac{18}{24}$ până la forma ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ simplificând întâi cu 2, apoi cu 3.
Completează numărul lipsă: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{\Box}$
Arată răspunsul
Răspuns: 30
$3 \times 6 = 18$ deci amplifici și numitorul cu 6: $5 \times 6 = 30$
Care dintre fracțiile $\dfrac{5}{8}$ $\dfrac{9}{11}$ și $\dfrac{10}{15}$ este ireductibilă?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{8}$ și $\dfrac{9}{11}$
$\dfrac{10}{15}$ se simplifică la $\dfrac{2}{3}$ deci nu este ireductibilă.
Sunt $\dfrac{3}{4}$ și $\dfrac{9}{16}$ echivalente?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Simplificând $\dfrac{9}{16}$ nu obții $\dfrac{3}{4}$ (9 și 16 nu au divizor comun mai mare decât 1), deci fracțiile nu sunt echivalente.

Provocare

Adu $\dfrac{5}{6}$ la o fracție echivalentă cu numitorul 24. Ce fracție obții?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{20}{24}$
$6 \times 4 = 24$ deci amplifici cu 4: $5 \times 4 = 20$
Un elev simplifică $\dfrac{12}{16}$ direct la $\dfrac{3}{4}$ dintr-un singur pas. Un alt elev simplifică mai întâi la $\dfrac{6}{8}$ apoi la $\dfrac{3}{4}$ Care dintre ei are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Amândoi.
Ambele drumuri sunt corecte, atât timp cât la fiecare pas împarți numărătorul și numitorul la același divizor comun. Contează doar să ajungi la forma ireductibilă.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă că două fracții sunt echivalente?
1. au același numărător
2. au același numitor
3. reprezintă aceeași valoare
4. sunt amândouă subunitare
Arată răspunsul
Răspuns: reprezintă aceeași valoare
Fracțiile echivalente pot avea numărători și numitori diferiți, dar reprezintă aceeași valoare.
2. Cum amplifici o fracție cu un număr $n$
1. înmulțești și numărătorul, și numitorul cu $n$
2. înmulțești doar numărătorul cu $n$
3. înmulțești doar numitorul cu $n$
4. aduni $n$ la numărător și la numitor
Arată răspunsul
Răspuns: înmulțești și numărătorul, și numitorul cu $n$
Amplificarea înseamnă înmulțirea ambilor termeni ai fracției cu același număr natural nenul.
3. Amplifică $\dfrac{4}{9}$ cu 3.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{12}{27}$
$\dfrac{4 \times 3}{9 \times 3} = \dfrac{12}{27}$
4. Cu ce poți simplifica o fracție?
1. cu orice număr
2. cu un divizor comun al numărătorului și numitorului, mai mare decât 1
3. doar cu 2
4. cu diferența dintre numărător și numitor
Arată răspunsul
Răspuns: cu un divizor comun al numărătorului și numitorului, mai mare decât 1
Simplificarea se face împărțind numărătorul și numitorul la un divizor comun mai mare decât 1.
5. Simplifică $\dfrac{14}{21}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{3}$
14 și 21 au divizorul comun 7.
6. Ce este o fracție ireductibilă?
1. o fracție subunitară
2. o fracție care nu mai poate fi simplificată
3. o fracție cu numitorul 1
4. o fracție care nu poate fi amplificată
Arată răspunsul
Răspuns: o fracție care nu mai poate fi simplificată
O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul ei nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1.
7. Este $\dfrac{5}{9}$ ireductibilă? Motivează pe scurt.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru că 5 și 9 nu au niciun divizor comun mai mare decât 1.
8. Sunt $\dfrac{3}{7}$ și $\dfrac{9}{21}$ echivalente?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru că $\dfrac{3 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{9}{21}$

Întrebări frecvente

Ce înseamnă fracții echivalente?

Fracții echivalente sunt fracții diferite ca scriere, dar care reprezintă aceeași valoare, ex. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$

Pot amplifica o fracție cu orice număr?

Da, cu orice număr natural nenul, cu condiția să înmulțești atât numărătorul, cât și numitorul cu el.

Cu ce număr pot simplifica o fracție?

Cu orice divizor comun al numărătorului și numitorului, mai mare decât 1. Poți simplifica într-un pas sau în mai mulți pași, cu divizori mai mici.

Cum știu că o fracție este ireductibilă?

Când numărătorul și numitorul ei nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1, adică nu mai poți simplifica.

De ce nu se schimbă valoarea fracției la amplificare sau simplificare?

Pentru că înmulțești ambii termeni cu același număr (la amplificare) sau îi împarți la același număr (la simplificare). Raportul dintre numărător și numitor rămâne același, chiar dacă numerele sunt altele.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce sunt fracțiile echivalente

Amplificarea unei fracții

Simplificarea unei fracții

Fracția ireductibilă

Cum verifici dacă două fracții sunt echivalente

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifică fracții echivalente

Exemplul 2: amplifică o fracție

Exemplul 3: amplifică până la un numitor dat

Exemplul 4: simplifică o fracție

Exemplul 5: simplifică în mai mulți pași

Exemplul 6: recunoaște fracția ireductibilă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I