Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

Ce vei învăța

Aduni și scazi fracții cu același numitor.
Aduni și scazi fracții cu numitori diferiți, aducându-le mai întâi la același numitor.
Simplifici rezultatul unei adunări sau scăderi de fracții, dacă se poate.
Verifici dacă rezultatul unei adunări sau scăderi de fracții este rezonabil.

Recomandat înainte: Aducerea fracțiilor la același numitor

Ideea de bază

Dacă două fracții au același numitor, părțile lor au aceeași mărime, deci le poți aduna sau scădea numărând direct câte astfel de părți ai.

$\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$ adică ai 2 șeptimi, mai adaugi 3 șeptimi, ai în total 5 șeptimi. Numitorul rămâne 7, pentru că părțile n-au devenit nici mai mari, nici mai mici.

Ideea de bază: același numitor, aceeași mărime de parte

Când două fracții au același numitor, întregul este împărțit în același număr de părți egale la amândouă. Poți aduna sau scădea direct câte astfel de părți ai, fără alt calcul.

\dfrac{2}{7}

\dfrac{3}{7}

\dfrac{5}{7}

\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}

Ai 2 părți dintr-un întreg împărțit în 7, mai iei încă 3 astfel de părți: în total ai 5 părți din cele 7. Numitorul, 7, arată tot timpul din câte părți e făcut întregul, așa că nu se schimbă.

Adunăm bucăți de aceeași mărime

Numărătorul spune câte bucăți ai. Dacă bucățile au aceeași mărime (același numitor), le poți număra împreună direct.

Adunarea fracțiilor cu același numitor

Regula: numitorul rămâne același, iar numărătorii se adună.

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}

Nu aduni numitorii. Numitorul arată mărimea unei părți, iar mărimea părților nu se schimbă când aduni mai multe astfel de părți.

Exemplu: $\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{9}$

\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2 + 4}{9}

numitorul rămâne 9, aduni numărătorii

= \dfrac{6}{9}

= \dfrac{2}{3}

simplifici, împărțind la 3

Alte două exemple, fără simplificare la final: $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}$ și $\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12}$

\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{3 + 2}{8} = \dfrac{5}{8}

\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{5 + 4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}

9 și 12 au divizorul comun 3

Verifică mereu dacă poți simplifica

După ce ai adunat numărătorii, uită-te la fracția obținută: numărătorul și numitorul mai au un divizor comun mai mare decât 1? Dacă da, simplifică.

Scăderea fracțiilor cu același numitor

Regula este la fel de simplă: numitorul rămâne același, iar numărătorii se scad.

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}

Exemplu: $\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}$

\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7 - 3}{10}

numitorul rămâne 10, scazi numărătorii

= \dfrac{4}{10}

= \dfrac{2}{5}

simplifici, împărțind la 2

Alte două exemple: $\dfrac{9}{11} - \dfrac{4}{11}$ și $\dfrac{6}{8} - \dfrac{2}{8}$

\dfrac{9}{11} - \dfrac{4}{11} = \dfrac{9 - 4}{11} = \dfrac{5}{11}

\dfrac{6}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{6 - 2}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}

4 și 8 au divizorul comun 4

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Dacă numitorii sunt diferiți, părțile fracțiilor au mărimi diferite, deci nu le poți aduna direct. Trebuie mai întâi să le aduci la același numitor, exact așa cum ai învățat în lecția anterioară.

Exemplu: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$

Găsești un numitor comun pentru 2 și 3: numitorul comun este 6.
Transformi fiecare fracție într-o fracție echivalentă cu numitorul 6.
Aduni numărătorii fracțiilor obținute.
Păstrezi numitorul comun.
Simplifici rezultatul, dacă se poate.

\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}

amplifici cu 3

\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}

amplifici cu 2

\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3 + 2}{6} = \dfrac{5}{6}

acum ai același numitor, aduni numărătorii

$\dfrac{5}{6}$ nu se mai poate simplifica, pentru că 5 și 6 nu au alt divizor comun în afară de 1.

Nu aduna direct numărătorii, dacă numitorii sunt diferiți

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ NU este $\dfrac{2}{5}$ Fracțiile trebuie aduse la același numitor înainte de a aduna numărătorii.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Pașii sunt aceiași ca la adunare: aduci fracțiile la același numitor, apoi scazi numărătorii și păstrezi numitorul comun.

Exemplu: $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}$

\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}

numitorul comun este 12

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{2}{12}

\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{9 - 2}{12} = \dfrac{7}{12}

scazi numărătorii, păstrezi numitorul

Al doilea exemplu: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$

\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}

numitorul comun este 12

\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}

\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{10 - 3}{12} = \dfrac{7}{12}

Simplificarea rezultatului

După orice adunare sau scădere, verifici dacă fracția obținută mai poate fi simplificată. Dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun mai mare decât 1, simplifici.

\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}

acum verifici dacă se simplifică

= \dfrac{1}{2}

3 și 6 au divizorul comun 3

\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8}

acum verifici dacă se simplifică

= \dfrac{1}{2}

4 și 8 au divizorul comun 4

Legătură cu lecția despre fracții echivalente

Simplificarea unui rezultat funcționează exact ca la lecția „Fracții echivalente”: împarți numărătorul și numitorul la același divizor comun, până nu mai poți simplifica.

Cum verifici dacă rezultatul este rezonabil

Nu trebuie o demonstrație complicată; câteva verificări simple, din bun-simț, îți arată dacă rezultatul poate fi corect.

La o adunare de fracții pozitive, rezultatul trebuie să fie mai mare decât fiecare fracție adunată.
La o scădere, rezultatul trebuie să fie mai mic decât fracția din care ai scăzut.
Dacă obții un rezultat evident imposibil (de exemplu, o fracție mai mare decât ambele fracții adunate la o scădere), verifici calculele de la capăt.

De exemplu, la $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ rezultatul $\dfrac{5}{6}$ este mai mare decât $\dfrac{1}{2}$ și mai mare decât $\dfrac{1}{3}$ deci este rezonabil.

La $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}$ rezultatul $\dfrac{7}{12}$ este mai mic decât $\dfrac{3}{4}$ exact cum ar trebui la o scădere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare, același numitor

Calculează $\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{3 + 4}{10} = \dfrac{7}{10}

7 și 10 nu au alt divizor comun în afară de 1, deci $\dfrac{7}{10}$ este forma finală.

Exemplul 2: scădere, același numitor

Calculează $\dfrac{11}{15} - \dfrac{2}{15}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{11}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{11 - 2}{15} = \dfrac{9}{15}

9 și 15 au divizorul comun 3.

\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}

Exemplul 3: adunare cu numitori diferiți

Calculează $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$

Vezi rezolvarea

Numitorul comun pentru 4 și 3 este 12.

\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}

\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}

\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12}

Verificare: $\dfrac{11}{12}$ este mai mare decât $\dfrac{1}{4}$ și decât $\dfrac{2}{3}$ ceea ce e de așteptat la o adunare.

Exemplul 4: scădere cu numitori diferiți

Calculează $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$

Vezi rezolvarea

Numitorul comun pentru 6 și 4 este 12.

\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}

\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}

\dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{12}

Exemplul 5: rezultat care se simplifică

Calculează $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}$

Vezi rezolvarea

Primele două au deja același numitor.

\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4}

$\dfrac{1}{2}$ are numitorul comun cu $\dfrac{2}{4}$ 4 este multiplu de 2.

\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}

\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1

Rezultatul este exact întregul, 1.

Exemplul 6: un numitor îl divide pe celălalt

Calculează $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}$

Vezi rezolvarea

8 este multiplu de 4, deci numitorul comun este chiar 8, fără să înmulțești cei doi numitori între ei.

\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}

\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}

Exemplul 7: problemă scurtă

Ana mănâncă $\dfrac{1}{3}$ dintr-o pizza, iar fratele ei mănâncă $\dfrac{1}{6}$ din aceeași pizza. Ce fracție din pizza au mâncat împreună?

Vezi rezolvarea

Trebuie să aduni $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$ Numitorul comun este 6, pentru că 6 este multiplu de 3.

\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}

\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Împreună au mâncat $\dfrac{1}{2}$ din pizza.

Greșeli frecvente

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ adunând atât numărătorii, cât și numitorii.
Numitorii NU se adună. Trebuie mai întâi să aduci fracțiile la același numitor: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ apoi $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$
$\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{0}$ scăzând și numitorii, pentru că "la scădere se scade totul".
La fracții cu același numitor, numitorul rămâne neschimbat; se scad doar numărătorii: $\dfrac{3-1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1+1}{2+4} = \dfrac{2}{6}$ adunând direct numărătorii și numitorii diferiți.
Fracțiile trebuie aduse mai întâi la același numitor. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ apoi $\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Calculează direct $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$ fără să verifice dacă numitorii sunt la fel, și scrie $\dfrac{3}{9}$
Înainte de orice adunare sau scădere, verifici dacă numitorii sunt egali. Aici nu sunt (3 și 6), deci aduci mai întâi $\dfrac{2}{3}$ la numitorul 6: $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ apoi $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$
La $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ amplifică doar numitorul, scriind $\dfrac{3}{12}$
Când amplifici o fracție ca să ajungi la un numitor comun, amplifici la fel și numărătorul: $\dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$ nu doar numitorul.
Obține $\dfrac{6}{8}$ ca rezultat final al unei adunări și îl lasă așa, fără să verifice dacă se poate simplifica.
După orice adunare sau scădere, verifici dacă numărătorul și numitorul mai au un divizor comun mai mare decât 1. Aici au: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
La $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ simplifică greșit doar numărătorul, scriind rezultatul $\dfrac{5}{2}$ pentru că "5 nu se mai împarte, dar tot vreau să simplific".
$\dfrac{5}{6}$ nu se poate simplifica, pentru că 5 și 6 nu au alt divizor comun în afară de 1. Simplificarea se face doar când există un divizor comun real al ambilor termeni, niciodată la întâmplare.

Exerciții

Ușor

Calculează $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{7}$
Calculează $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{4+2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
Calculează $\dfrac{8}{11} - \dfrac{3}{11}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{11}$
Calculează $\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{7-3}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
Calculează $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{4}{5}$

Mediu

Calculează $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{10}$
Numitorul comun este 10: $\dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}$
Calculează $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{12}$
Numitorul comun este 12: $\dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{5}{12}$
Calculează $\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3}$ și simplifică rezultatul dacă este posibil.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{6}$
Numitorul comun este 6: $\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}$ 7 și 6 nu au divizor comun, deci rezultatul rămâne $\dfrac{7}{6}$
Calculează $\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{8}$
8 este multiplu de 4, deci numitorul comun este 8: $\dfrac{7}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$
Calculează $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$ și simplifică rezultatul.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{6}$
6 este multiplu de 3, deci numitorul comun este 6: $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$
Un elev calculează $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}$ și obține $\dfrac{3}{10}$ Este corect rezultatul? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, rezultatul corect este $\dfrac{3}{5}$
Numitorul rămâne 5 la fracții cu același numitor; elevul a adunat greșit și numitorii. $\dfrac{2+1}{5} = \dfrac{3}{5}$

Provocare

Calculează $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{3}$
Numitorul comun este 6: $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
Verifică dacă rezultatul $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{3}$ este rezonabil, fără să refaci tot calculul de la zero. Ce observi?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu este rezonabil.
La o scădere, rezultatul trebuie să fie mai mic decât fracția din care scazi, $\dfrac{5}{6}$ Dar $\dfrac{4}{3}$ este mai mare decât 1, deci mai mare decât $\dfrac{5}{6}$ deci rezultatul e greșit. Calculul corect: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
Un vas are $\dfrac{3}{4}$ litri de apă. Se toarnă $\dfrac{1}{6}$ litri în plus, apoi se scot $\dfrac{1}{3}$ litri. Câți litri de apă rămân în vas?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{12}$ litri
Numitorul comun pentru 4, 6, 3 este 12: $\dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cum aduni $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b}$ când cele două fracții au același numitor?
1. aduni numărătorii și aduni numitorii
2. aduni numărătorii, iar numitorul rămâne același
3. înmulțești numărătorii
4. aduni numai numitorii
Arată răspunsul
Răspuns: aduni numărătorii, iar numitorul rămâne același
La fracții cu același numitor, numitorul rămâne neschimbat; doar numărătorii se adună.
2. Calculează $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{8}$
3. Ce faci mai întâi dacă vrei să aduni două fracții cu numitori diferiți?
1. le aduni direct, numărător cu numărător
2. le aduci la același numitor
3. le simplifici întâi
4. le înmulțești între ele
Arată răspunsul
Răspuns: le aduci la același numitor
Fracțiile trebuie aduse la același numitor înainte să le poți aduna sau scădea corect.
4. Calculează $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3}{4}$
Numitorul comun este 4: $\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
5. Ce faci după ce ai obținut rezultatul unei adunări sau scăderi de fracții?
1. nimic, calculul e gata
2. verifici dacă rezultatul mai poate fi simplificat
3. aduni din nou numitorii
4. transformi rezultatul într-un număr întreg
Arată răspunsul
Răspuns: verifici dacă rezultatul mai poate fi simplificat
Verifici mereu dacă numărătorul și numitorul rezultatului au un divizor comun mai mare decât 1.
6. Un elev calculează $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ și scrie $\dfrac{2}{7}$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A adunat direct numărătorii și numitorii, fără să aducă fracțiile la același numitor.
Rezultatul corect este $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$
7. La o scădere de fracții pozitive, cum trebuie să fie rezultatul față de fracția din care scazi?
1. mai mare
2. mai mic
3. egal
4. nu există nicio legătură
Arată răspunsul
Răspuns: mai mic
Scăderea unei fracții pozitive dintr-o alta duce mereu la un rezultat mai mic decât fracția din care ai scăzut.
8. Radu bea $\dfrac{1}{4}$ dintr-o sticlă de suc, iar sora lui bea $\dfrac{1}{2}$ din aceeași sticlă. Ce fracție din sticlă au băut împreună?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$

Întrebări frecvente

De ce nu adunăm numitorii?

Numitorul arată din câte părți egale este format întregul, nu câte părți ai luat. Când aduni fracții cu același numitor, mărimea părților rămâne aceeași, deci numitorul nu se schimbă; se adună doar câte părți ai, adică numărătorii.

Ce fac dacă fracțiile au numitori diferiți?

Le aduci mai întâi la același numitor, ca la lecția „Aducerea fracțiilor la același numitor”, apoi aduni sau scazi numărătorii, păstrând numitorul comun.

Trebuie să simplific mereu rezultatul?

Da, dacă se poate. După orice adunare sau scădere, verifici dacă numărătorul și numitorul rezultatului mai au un divizor comun mai mare decât 1. Dacă nu au, rezultatul este deja în forma finală.

Pot folosi orice numitor comun, sau trebuie să fie neapărat cel mai mic?

Poți folosi orice numitor comun, calculul rămâne corect. Cel mai mic numitor comun este însă cel mai simplu de folosit, pentru că lucrezi cu numere mai mici.

Cum verific dacă rezultatul este corect?

La o adunare de fracții pozitive, rezultatul trebuie să fie mai mare decât fiecare fracție adunată. La o scădere, rezultatul trebuie să fie mai mic decât fracția din care ai scăzut. Dacă vezi ceva evident imposibil, verifici calculele.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ideea de bază: același numitor, aceeași mărime de parte

Adunarea fracțiilor cu același numitor

Scăderea fracțiilor cu același numitor

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Simplificarea rezultatului

Cum verifici dacă rezultatul este rezonabil

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare, același numitor

Exemplul 2: scădere, același numitor

Exemplul 3: adunare cu numitori diferiți

Exemplul 4: scădere cu numitori diferiți

Exemplul 5: rezultat care se simplifică

Exemplul 6: un numitor îl divide pe celălalt

Exemplul 7: problemă scurtă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 1

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea I