Lecția 2 din 3 · Numere raționale

Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

Știi deja ce este un număr rațional și cum îl compari. Acum înveți să calculezi cu numere raționale: cele patru operații, puterile cu bază rațională și ordinea în care faci calculele într-o expresie cu mai mulți pași.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

  • Aduni și scazi numere raționale, inclusiv fracții cu numitori diferiți și numere cu semne diferite.
  • Înmulțești și împarți numere raționale, folosind inversul la împărțire.
  • Calculezi cu numere zecimale pozitive și negative.
  • Alegi între fracție și zecimal doar când o formă face calculul mai simplu.
  • Calculezi o putere cu bază rațională, inclusiv cu bază negativă.
  • Calculezi o putere cu exponent negativ și aplici regulile de calcul cu puteri pentru exponenți întregi.
  • Respecți ordinea operațiilor într-o expresie cu numere raționale, puteri și paranteze.
  • Eviți greșelile frecvente de semn și de ordine a operațiilor.

Recomandat înainte: Numere raționale. Opusul, modulul, compararea și ordonarea, Puteri. Ordinea operațiilor cu numere întregi

Ideea de bază

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor raționale folosesc exact regulile pe care le știi deja de la fracții și de la numere întregi, aplicate împreună.

Scăderea este mereu o adunare a opusului: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Împărțirea la un număr rațional nenul este mereu o înmulțire cu inversul lui.

La o putere (ab)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^n, exponentul se aplică și numărătorului, și numitorului. Ordinea operațiilor rămâne aceeași: paranteze, puteri, înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi.

Adunarea fracțiilor cu același numitor

Când numitorii sunt egali, aduni numărătorii și păstrezi numitorul.

37+27\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}numitor comun 7
=3+27= \dfrac{3+2}{7}
=57= \dfrac{5}{7}
−49+19-\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9}numitor comun 9
=−4+19= \dfrac{-4+1}{9}
=−39=−13= -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}simplifici la final

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Aduci fracțiile la același numitor, apoi aduni numărătorii, exact ca la clasa a V-a.

23+56\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}
=46+56= \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6}numitor comun 6
=96= \dfrac{9}{6}
=32= \dfrac{3}{2}simplifici cu 3

Adunarea numerelor cu semne diferite

Regula este cea de la numerele întregi: aduci fracțiile la același numitor, apoi aduni numărătorii cu semnul lor.

34+(−12)\dfrac{3}{4} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)
=34+(−24)= \dfrac{3}{4} + \left(-\dfrac{2}{4}\right)numitor comun 4
=3−24= \dfrac{3-2}{4}
=14= \dfrac{1}{4}

Scăderea numerelor raționale

Scăderea este mereu o adunare a opusului.

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
56−13\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}
=56−26= \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}numitor comun 6
=36=12= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
34−(−12)\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)scazi un număr negativ
=34+12= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}scăderea unui negativ devine adunare
=34+24= \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4}
=54= \dfrac{5}{4}
−25−310-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}
=−410−310= -\dfrac{4}{10} - \dfrac{3}{10}numitor comun 10
=−710= -\dfrac{7}{10}

Atenție la paranteze

34−(−12)\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) nu este 34−12\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}. Cele două minusuri din fața parantezei devin un plus.

Înmulțirea numerelor raționale

Înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei, cu regula semnelor cunoscută de la numere întregi.

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}
23⋅35\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5}
=2⋅33⋅5= \dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5}
=615=25= \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}simplifici cu 3
(−23)⋅34\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}un factor negativ, un factor pozitiv
=−2⋅33⋅4= -\dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}
=−612=−12= -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2}
(−23)⋅(−910)\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{9}{10}\right)doi factori negativi, rezultat pozitiv
=2⋅93⋅10= \dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10}
=1830=35= \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}

Poți simplifica înainte de a înmulți, între orice numărător și orice numitor: la 23⋅35\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5}, simplifici direct 33 cu 33 și obții 21⋅15=25\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}, fără să mai calculezi 615\dfrac{6}{15}.

Împărțirea numerelor raționale

Împărțirea la un număr rațional nenul se transformă în înmulțire cu inversul lui.

ab:cd=ab⋅dc,c≠0\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}, \quad c \ne 0
23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}
=23⋅54= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4}inversezi a doua fracție
=1012=56= \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}
(−34):25\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{2}{5}
=(−34)⋅52= \left(-\dfrac{3}{4}\right) \cdot \dfrac{5}{2}inversezi împărțitorul, semnul rămâne
=−158= -\dfrac{15}{8}

Împărțirea la 0 nu are sens

Nu poți împărți niciun număr rațional la 00. Inversul lui 00 nu există, pentru că nu există o fracție a0\dfrac{a}{0}.

Numere zecimale pozitive și negative

Cu zecimale, folosești aceleași reguli de semn ca la fracții și numere întregi.

1,5+(−0,75)1{,}5 + (-0{,}75)
=1,5−0,75= 1{,}5 - 0{,}75
=0,75= 0{,}75
−2,4−1,6-2{,}4 - 1{,}6
=−(2,4+1,6)= -(2{,}4 + 1{,}6)amândouă negative
=−4= -4
−0,5⋅1,2-0{,}5 \cdot 1{,}2un factor negativ
=−0,6= -0{,}6

Fracții și zecimale în aceeași expresie

Când o expresie amestecă fracții și zecimale, aduci ambele la aceeași formă doar ca să calculezi mai ușor. Alegi transformarea cea mai naturală pentru numerele date.

12+0,25\dfrac{1}{2} + 0{,}25
=0,5+0,25= 0{,}5 + 0{,}25transformi fracția în zecimal
=0,75= 0{,}75

Puteai la fel de bine să transformi 0,250{,}25 în 14\dfrac{1}{4} și să lucrezi cu fracții: 12+14=24+14=34\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}. Ambele drumuri dau același rezultat.

Puteri cu bază rațională

La o putere cu bază fracție, exponentul se aplică și numărătorului, și numitorului.

(ab)n=anbn,b≠0\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \quad b \ne 0
(23)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2
=2232= \dfrac{2^2}{3^2}
=49= \dfrac{4}{9}
(−23)3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3exponent impar, rezultat negativ
=(−2)333= \dfrac{(-2)^3}{3^3}
=−827=−827= \dfrac{-8}{27} = -\dfrac{8}{27}
(−23)2\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2exponent par, rezultat pozitiv
=(−2)232= \dfrac{(-2)^2}{3^2}
=49= \dfrac{4}{9}
  • Exponent par →\to rezultatul puterii este pozitiv.
  • Exponent impar →\to rezultatul puterii are semnul bazei.

Exponentul se aplică la ambii termeni ai fracției

(23)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 nu este 223\dfrac{2^2}{3}. Ridici la putere și numărătorul, și numitorul: 2232=49\dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}.

Exponentul 0 și exponentul 1

Pentru orice bază rațională nenulă, aceleași reguli de la numere întregi rămân valabile.

a0=1,a≠0a^0 = 1, \quad a \ne 0
a1=aa^1 = a
  • (23)0=1\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1
  • (−45)0=1\left(-\dfrac{4}{5}\right)^0 = 1
  • (23)1=23\left(\dfrac{2}{3}\right)^1 = \dfrac{2}{3}
  • (−45)1=−45\left(-\dfrac{4}{5}\right)^1 = -\dfrac{4}{5}

Cazul 000^0 nu este folosit în această lecție.

Puterea cu exponent negativ

Privește puterile lui 22 de sus în jos: 23=82^3 = 8, 22=42^2 = 4, 21=22^1 = 2, 20=12^0 = 1. De fiecare dată când exponentul scade cu 11, rezultatul se împarte la 22. Dacă mai continui un pas, obții 1:2=121 : 2 = \dfrac{1}{2}, apoi 14\dfrac{1}{4}, apoi 18\dfrac{1}{8}. Aceste rezultate sunt 2−12^{-1}, 2−22^{-2}, 2−32^{-3}.

Pentru orice număr rațional aa, nenul, și orice număr natural nenul nn:

a−n=1an,a≠0a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a \ne 0
2−3=123=182^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

Când baza este o fracție, 11 împărțit la (ab)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^n înseamnă inversul ei, (ba)n\left(\dfrac{b}{a}\right)^n. Pe scurt: răstorni fracția și exponentul devine pozitiv.

(ab)−n=(ba)n,a≠0, b≠0\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n, \quad a \ne 0,\ b \ne 0

Exponentul negativ nu face rezultatul negativ

Minusul din exponent înseamnă „unu supra puterea”, nu „rezultat cu minus”. 2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}, un număr pozitiv. Semnul rezultatului vine doar din semnul bazei: (−2)−3=1(−2)3=1−8=−18(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}, pentru că (−2)3(-2)^3 este negativ.

Baza trebuie să fie nenulă: 0−10^{-1} ar însemna 10\dfrac{1}{0}, iar împărțirea la 00 nu are sens.

Reguli de calcul cu puteri

Regulile pe care le știi de la puterile cu exponent natural rămân valabile pentru baze raționale nenule și exponenți întregi mm, nn (pozitivi, negativi sau 00):

  • am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} (la înmulțire, aduni exponenții)
  • am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n} (la împărțire, scazi exponenții)
  • (am)n=am⋅n\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} (puterea unei puteri)
  • (a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n și (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}
(34)2:(34)5\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2} : \left(\dfrac{3}{4}\right)^{5}
=(34)2−5=(34)−3= \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2-5} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3}scazi exponenții
=(43)3=6427= \left(\dfrac{4}{3}\right)^{3} = \dfrac{64}{27}răstorni fracția

Ordinea operațiilor

Ordinea rămâne aceeași ca la numerele întregi, aplicată acum și fracțiilor și zecimalelor.

  1. Paranteze
  2. Puteri
  3. Înmulțiri și împărțiri
  4. Adunări și scăderi

Operațiile de același rang se fac de la stânga la dreapta.

12+(34)2⋅2\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot 2
=12+916⋅2= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} \cdot 2întâi puterea
=12+98= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{8}apoi înmulțirea
=48+98= \dfrac{4}{8} + \dfrac{9}{8}
=138= \dfrac{13}{8}

Expresii mixte

În expresii mai lungi, aceeași ordine hotărăște tot: paranteze, puteri, înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi.

−12+34⋅2-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \cdot 2
=−12+32= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}întâi înmulțirea
=1= 1
1−(−12)21 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2
=1−14= 1 - \dfrac{1}{4}puterea unui negativ la exponent par e pozitivă
=34= \dfrac{3}{4}
(23−16)⋅3\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}\right) \cdot 3
=(46−16)⋅3= \left(\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6}\right) \cdot 3întâi paranteza
=36⋅3= \dfrac{3}{6} \cdot 3
=12⋅3=32= \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}

Metodă de lucru pentru o expresie cu mai multe operații

  1. Observă parantezele și calculează ce este în interiorul lor.
  2. Calculează puterile.
  3. Efectuează înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta.
  4. Efectuează adunările și scăderile, de la stânga la dreapta.
  5. Simplifică rezultatul, dacă se poate.
  6. Verifică semnul rezultatului final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: adunare de fracții cu numitori diferiți

Calculează 23+56\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}.

Vezi rezolvarea
23+56\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}
=46+56= \dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6}numitor comun 6
=96=32= \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}

Exemplul 2: scăderea unui număr negativ

Calculează 34−(−12)\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right).

Vezi rezolvarea

Scăderea unui număr negativ devine adunare.

34−(−12)\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)
=34+12= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}
=34+24=54= \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}

Exemplul 3: scădere cu ambele numere negative

Calculează −25−310-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}.

Vezi rezolvarea
−25−310-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10}
=−410−310= -\dfrac{4}{10} - \dfrac{3}{10}numitor comun 10
=−710= -\dfrac{7}{10}

Exemplul 4: înmulțirea a doi factori negativi

Calculează (−23)⋅34\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}.

Vezi rezolvarea
(−23)⋅34\left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{4}
=−2⋅33⋅4= -\dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}
=−612=−12= -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2}

Exemplul 5: împărțirea a două numere raționale negative/pozitive

Calculează (−34):25\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{2}{5}.

Vezi rezolvarea
(−34):25\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{2}{5}
=(−34)⋅52= \left(-\dfrac{3}{4}\right) \cdot \dfrac{5}{2}inversezi împărțitorul
=−158= -\dfrac{15}{8}

Exemplul 6: zecimale negative

Calculează −2,4−1,6-2{,}4 - 1{,}6.

Vezi rezolvarea
−2,4−1,6-2{,}4 - 1{,}6
=−(2,4+1,6)= -(2{,}4 + 1{,}6)
=−4= -4

Exemplul 7: putere cu bază rațională negativă

Calculează (−23)3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3.

Vezi rezolvarea

Exponentul 33 este impar, deci rezultatul are semnul bazei, adică este negativ.

(−23)3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3
=(−2)333= \dfrac{(-2)^3}{3^3}
=−827= -\dfrac{8}{27}

Exemplul 8: expresie mixtă cu ordinea operațiilor

Calculează 12+(34)2⋅2\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot 2.

Vezi rezolvarea

Calculezi întâi puterea, apoi înmulțirea, apoi adunarea.

12+(34)2⋅2\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot 2
=12+916⋅2= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} \cdot 2
=12+98= \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{8}
=48+98=138= \dfrac{4}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{13}{8}

Exemplul 9: exponent negativ cu bază număr întreg

Calculează 2−32^{-3} și (−2)−3(-2)^{-3}. Ce diferă între cele două rezultate?

Vezi rezolvarea
2−3=123=182^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}
(−2)−3=1(−2)3=1−8=−18(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}

Ambele au valoarea absolută 18\dfrac{1}{8}. Doar al doilea este negativ, pentru că baza −2-2 este negativă și exponentul 33 este impar. Minusul din exponent nu schimbă semnul.

Exemplul 10: exponent negativ cu bază fracție

Calculează (23)−2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}.

Vezi rezolvarea
(23)−2=(32)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}răstorni fracția
=3222=94= \dfrac{3^2}{2^2} = \dfrac{9}{4}

Exemplul 11: reguli de calcul cu exponenți întregi

Calculează 5−4⋅565^{-4} \cdot 5^{6} și ((−12)−1)3\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right)^{3}.

Vezi rezolvarea
5−4⋅56=5−4+6=52=255^{-4} \cdot 5^{6} = 5^{-4+6} = 5^2 = 25aduni exponenții
((−12)−1)3=(−12)−3\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right)^{3} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3}înmulțești exponenții
=(−2)3=−8= (-2)^{3} = -8răstorni fracția; exponent impar

Greșeli frecvente

  • 12+13=1+12+3=25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1+1}{2+3} = \dfrac{2}{5}.

    Greșit. Nu se adună direct numitorii. Aduci la numitor comun: 12+13=36+26=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.

  • La 34−(−12)\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right), uit semnul minus din paranteză și calculez 34−12\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}.

    Greșit. Scăderea unui număr negativ devine adunare: 34−(−12)=34+12=54\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4}.

  • ab:cd=ab⋅cd\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}.

    Greșit. La împărțire, inversezi a doua fracție înainte de a înmulți: ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}.

  • Împart un număr rațional la 00.

    Împărțirea la 00 nu are sens, indiferent de deîmpărțit. Inversul lui 00 nu există.

  • (23)2=223=43\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3} = \dfrac{4}{3}.

    Greșit. Exponentul se aplică și numărătorului, și numitorului: (23)2=2232=49\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}.

  • La 12+34⋅2\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \cdot 2, calculez întâi adunarea.

    Greșit. Înmulțirea se face înaintea adunării: 12+34⋅2=12+32=2\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \cdot 2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2.

  • La 23+13−16\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}, simplific 23\dfrac{2}{3} cu 16\dfrac{1}{6} înainte să calculez suma și diferența.

    Greșit. Nu poți simplifica termeni separați prin ++ sau −- între ei, ca și cum ar fi factori într-o înmulțire. Calculezi întâi suma și diferența, apoi simplifici rezultatul final.

  • 2−3=−82^{-3} = -8 sau 2−3=−182^{-3} = -\dfrac{1}{8}.

    Greșit. Exponentul negativ nu face rezultatul negativ: 2−3=123=182^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}.

Exerciții

Ușor

  1. Calculează 37+27\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 57\dfrac{5}{7}.

  2. Calculează −49+19-\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: −13-\dfrac{1}{3}.

    −4+19=−39=−13\dfrac{-4+1}{9} = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}.

  3. Calculează 35−15\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 25\dfrac{2}{5}.

  4. Calculează (−13)⋅25\left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{2}{5}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: −215-\dfrac{2}{15}.

  5. Calculează (25)2\left(\dfrac{2}{5}\right)^2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 425\dfrac{4}{25}.

    Ridici la pătrat și numărătorul, și numitorul: 2252=425\dfrac{2^2}{5^2} = \dfrac{4}{25}.

  6. Calculează (−45)1\left(-\dfrac{4}{5}\right)^1.

    Arată răspunsul

    Răspuns: −45-\dfrac{4}{5}.

    Orice bază la puterea 11 rămâne neschimbată.

  7. Calculează 3−23^{-2}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 19\dfrac{1}{9}.

    3−2=132=193^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}.

  8. Calculează (14)−1\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 44.

    Răstorni fracția: (41)1=4\left(\dfrac{4}{1}\right)^1 = 4.

Mediu

  1. Calculează 14+23\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1112\dfrac{11}{12}.

    Numitor comun 12: 312+812=1112\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12}.

  2. Calculează 56−14\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 712\dfrac{7}{12}.

    Numitor comun 12: 1012−312=712\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}.

  3. Calculează 23:49\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 32\dfrac{3}{2}.

    23⋅94=1812=32\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}.

  4. Calculează (−56):23\left(-\dfrac{5}{6}\right) : \dfrac{2}{3}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: −54-\dfrac{5}{4}.

    (−56)⋅32=−1512=−54\left(-\dfrac{5}{6}\right) \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{15}{12} = -\dfrac{5}{4}.

  5. Calculează 1,5⋅(−0,4)1{,}5 \cdot (-0{,}4).

    Arată răspunsul

    Răspuns: −0,6-0{,}6.

  6. Calculează −3,2+1,5-3{,}2 + 1{,}5.

    Arată răspunsul

    Răspuns: −1,7-1{,}7.

  7. Calculează 12+0,3\dfrac{1}{2} + 0{,}3.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 45\dfrac{4}{5} (adică 0,80{,}8).

    0,5+0,3=0,8=450{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8 = \dfrac{4}{5}.

  8. Calculează (−12)3+14\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + \dfrac{1}{4}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 18\dfrac{1}{8}.

    (−12)3=−18\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = -\dfrac{1}{8}, apoi −18+28=18-\dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{8}.

  9. Calculează (35)−2\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 259\dfrac{25}{9}.

    (53)2=259\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}.

  10. Calculează (−3)−2(-3)^{-2} și (−5)−1(-5)^{-1}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 19\dfrac{1}{9} și −15-\dfrac{1}{5}.

    (−3)−2=1(−3)2=19(-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9} (exponent par, rezultat pozitiv); (−5)−1=1−5=−15(-5)^{-1} = \dfrac{1}{-5} = -\dfrac{1}{5} (exponent impar, rezultat negativ).

  11. Compară 2−22^{-2} cu 2−32^{-3}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 2−2>2−32^{-2} > 2^{-3}.

    2−2=142^{-2} = \dfrac{1}{4} și 2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}. Cum 14>18\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{8}, rezultă 2−2>2−32^{-2} > 2^{-3}.

  12. Scrie ca o singură putere și calculează: 3−4⋅363^{-4} \cdot 3^{6}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 32=93^2 = 9.

    Aduni exponenții: −4+6=2-4 + 6 = 2, deci 32=93^2 = 9.

  13. Scrie ca o singură putere și calculează: (23)5:(23)7\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5} : \left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: (23)−2=94\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \dfrac{9}{4}.

    Scazi exponenții: 5−7=−25 - 7 = -2. Apoi (23)−2=(32)2=94\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}.

Provocare

  1. Calculează 3−2⋅(12)23 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 52\dfrac{5}{2}.

    (12)2=14\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}; 2⋅14=122 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}; 3−12=523 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.

  2. Calculează (12−13)⋅6\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \cdot 6.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 11.

    Paranteza: 36−26=16\dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}; apoi 16⋅6=1\dfrac{1}{6} \cdot 6 = 1.

  3. Calculează 34−0,5⋅(12)2\dfrac{3}{4} - 0{,}5 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 58\dfrac{5}{8}.

    (12)2=14\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}; 0,5⋅14=180{,}5 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}; 34−18=68−18=58\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}.

  4. Un elev calculează 13:16\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{6} astfel: 13:16=13⋅16=118\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18}. Este corect? Corectează greșeala.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Greșit. Rezultatul corect este 22.

    Trebuia inversat împărțitorul: 13⋅61=63=2\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{1} = \dfrac{6}{3} = 2.

  5. Calculează (−23)2−(−13)2⋅3\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot 3.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 19\dfrac{1}{9}.

    (−23)2=49\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}; (−13)2⋅3=19⋅3=13=39\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot 3 = \dfrac{1}{9} \cdot 3 = \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}; 49−39=19\dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{9}.

  6. Calculează 2−1+2−2+402^{-1} + 2^{-2} + 4^{0}.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 74\dfrac{7}{4}.

    12+14+1=24+14+44=74\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{7}{4}.

  7. Un elev scrie (−13)−2=−9\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = -9. Este corect? Corectează.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Greșit. Rezultatul corect este 99.

    (−13)−2=(−3)2=9\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = (-3)^2 = 9. Exponentul par face rezultatul pozitiv; minusul din exponent doar răstoarnă fracția.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Cât este 13+16\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 12\dfrac{1}{2}

    26+16=36=12\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.

  2. 2. Cât este 35−(−15)\dfrac{3}{5} - \left(-\dfrac{1}{5}\right)?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 45\dfrac{4}{5}

    Scăderea unui negativ devine adunare: 35+15=45\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}.

  3. 3. Cât este (−34)⋅29\left(-\dfrac{3}{4}\right) \cdot \dfrac{2}{9}?

    1. −16-\dfrac{1}{6}
    2. 16\dfrac{1}{6}
    3. −613-\dfrac{6}{13}
    4. 513\dfrac{5}{13}
    Arată răspunsul

    Răspuns: −16-\dfrac{1}{6}

    −3⋅24⋅9=−636=−16-\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = -\dfrac{6}{36} = -\dfrac{1}{6}.

  4. 4. Cât este 56:512\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{12}?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 22

    56⋅125=6030=2\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{60}{30} = 2.

  5. 5. Cât este (−12)3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3?

    Arată răspunsul

    Răspuns: −18-\dfrac{1}{8}

    Exponent impar, rezultat negativ: (−1)323=−18\dfrac{(-1)^3}{2^3} = -\dfrac{1}{8}.

  6. 6. Cât este (25)−1\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}?

    1. −25-\dfrac{2}{5}
    2. 52\dfrac{5}{2}
    3. −52-\dfrac{5}{2}
    4. 25\dfrac{2}{5}
    Arată răspunsul

    Răspuns: 52\dfrac{5}{2}

    Exponentul −1-1 răstoarnă fracția și nu schimbă semnul: 52\dfrac{5}{2}.

  7. 7. Cât este (−4)−2(-4)^{-2}?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 116\dfrac{1}{16}

    Exponentul 22 este par, deci rezultatul este pozitiv: (−4)−2=1(−4)2=116(-4)^{-2} = \dfrac{1}{(-4)^2} = \dfrac{1}{16}.

  8. 8. Cât este −1,2+0,7-1{,}2 + 0{,}7?

    Arată răspunsul

    Răspuns: −0,5-0{,}5

  9. 9. Cât este 14+2⋅(12)2\dfrac{1}{4} + 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 34\dfrac{3}{4}

    Întâi puterea: (12)2=14\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}; apoi înmulțirea: 2⋅14=122 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}; apoi adunarea: 14+12=34\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.

  10. 10. Este corect că 12:14=12⋅14=18\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}?

    1. Da, este corect
    2. Nu, corect este 12⋅4=2\dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2
    3. Nu, corect este 12⋅4=8\dfrac{1}{2} \cdot 4 = 8
    4. Nu, împărțirea nu se poate calcula
    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, corect este 12⋅4=2\dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2

    La împărțire, inversezi împărțitorul înainte de a înmulți: 12:14=12⋅41=2\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{1} = 2.

Întrebări frecvente

Cum adun sau scad fracții cu numitori diferiți?

Aduci fracțiile la același numitor, apoi aduni sau scazi numărătorii, păstrând numitorul comun.

De ce scăderea unui număr negativ devine adunare?

Pentru că a−b=a+(−b)a - b = a + (-b), iar opusul unui număr negativ este pozitiv. De exemplu 34−(−12)=34+12\dfrac{3}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}.

Cum împart două numere raționale?

Înmulțești deîmpărțitul cu inversul împărțitorului: ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}, cu condiția ca împărțitorul să fie nenul.

Cum ridic la putere o fracție?

Ridici la putere și numărătorul, și numitorul: (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}. Dacă baza e negativă, semnul rezultatului depinde de paritatea exponentului, la fel ca la numerele întregi.

În ce ordine calculez o expresie cu numere raționale, puteri și paranteze?

Întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Operațiile de același rang se fac de la stânga la dreapta.

Cum calculez cu fracții și zecimale în aceeași expresie?

Aduci ambele numere la aceeași formă, fracție sau zecimal, alegând transformarea cea mai simplă pentru numerele date, apoi calculezi normal.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Operații cu numere raționale. Puteri. Ordinea operațiilor

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VI-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.