Tipuri de unghiuri

Q: Care sunt tipurile de unghiuri?

Nul (0°), ascuțit (între 0° și 90°), drept (90°), obtuz (între 90° și 180°) și alungit (180°).

Q: Ce este un unghi alungit?

Unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte opuse. Are 180° și se mai numește unghi întins.

Q: Când sunt două unghiuri congruente?

Când au aceeași măsură. Se scrie AOB CPD și, pe desen, se marchează cu același număr de arce.

Q: Cum estimez un unghi fără raportor?

Îl compari cu repere: colțul foii (90°), jumătatea lui (45°) și linia dreaptă (180°). Rezultatul este aproximativ.

Q: De ce 89° nu este unghi drept?

Pentru că drept înseamnă exact 90°. Orice măsură mai mică (și mai mare decât 0°) dă un unghi ascuțit.

Ce vei învăța

Recunoști un unghi nul, ascuțit, drept, obtuz sau alungit după măsura lui.
Recunoști un unghi drept după careul de la vârf.
Știi că laturile unui unghi alungit sunt semidrepte opuse.
Recunoști și notezi unghiurile congruente.
Estimezi măsura unui unghi fără raportor, folosind repere.

Recomandat înainte: Unghiul. Măsurarea cu raportorul

Ideea de bază

Tipul unui unghi se stabilește după măsura lui. Reperul principal este unghiul drept, de $90°$ ca la colțul unei foi.

Pornind de la

[OA

\angle AOB

ascuțit,

\angle AOC

drept,

\angle AOD

obtuz,

\angle AOE

alungit.

Tipurile de unghiuri
Tip	Măsura
unghi nul	$0°$
unghi ascuțit	mai mare decât $0°$ și mai mică decât $90°$
unghi drept	$90°$
unghi obtuz	mai mare decât $90°$ și mai mică decât $180°$
unghi alungit (întins)	$180°$

Unghiul drept

Un unghi care are $90°$ se numește unghi drept. Colțul unei foi, al unei cărți sau al tablei este un unghi drept.

Unghi drept:

m(\angle AOB) = 90°

Careul de la vârf este semnul unghiului drept.

Semnul unghiului drept

Pe desen, unghiul drept se marchează cu un careu mic la vârf, nu cu un arc. Careul spune „aici sunt exact $90°$

Unghiul ascuțit și unghiul obtuz

Un unghi ascuțit are măsura mai mare decât $0°$ și mai mică decât $90°$ este mai închis decât unghiul drept.

Unghi ascuțit:

m(\angle AOB) = 50°

mai puțin decât

90°

Un unghi obtuz are măsura mai mare decât $90°$ și mai mică decât $180°$ este mai deschis decât unghiul drept, dar laturile lui nu formează o dreaptă.

Unghi obtuz:

m(\angle AOB) = 125°

între

90°

și

180°

Unghiul alungit și unghiul nul

Dacă laturile unui unghi sunt semidrepte opuse, unghiul se numește alungit (sau întins) și are $180°$ Vârful și cele două laturi formează împreună o dreaptă.

Unghi alungit:

[OA

și

[OB

sunt semidrepte opuse,

m(\angle AOB) = 180°

Legătura cu semidreptele opuse

Ai învățat că $[OA$ și $[OB$ sunt semidrepte opuse dacă au aceeași origine și merg în sensuri opuse pe aceeași dreaptă. Exact ele formează un unghi alungit. Pe raportor, unghiul alungit merge de la $0$ la $180$

Dacă laturile unui unghi coincid (sunt aceeași semidreaptă), unghiul se numește nul și are $0°$ Nu există nicio deschidere între laturi.

Unghi nul: laturile

[OA

și

[OB

coincid,

m(\angle AOB) = 0°

Cum clasifici un unghi după măsură

Dacă măsura este $0°$ unghiul este nul.
Dacă măsura este $90°$ unghiul este drept.
Dacă măsura este $180°$ unghiul este alungit.
Dacă măsura este între $0°$ și $90°$ unghiul este ascuțit.
Dacă măsura este între $90°$ și $180°$ unghiul este obtuz.

Atenție la capete

$89°$ este ascuțit, $90°$ este drept, $91°$ este obtuz. Un unghi „aproape drept” nu este drept. La fel, $179°$ este obtuz, nu alungit.

Exemple
Măsura	Tipul
$0°$	nul
$1°$	ascuțit
$45°$	ascuțit
$89°$	ascuțit
$90°$	drept
$100°$	obtuz
$179°$	obtuz
$180°$	alungit

Unghiuri congruente

Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură. Scriem $\angle AOB \equiv \angle CPD$ și citim „unghiul $AOB$ este congruent cu unghiul $CPD$ Semnul $\equiv$ înseamnă „congruent”, adică se poate suprapune exact peste celălalt.

\begin{aligned}\angle AOB &\equiv \angle CPD \\ &\iff m(\angle AOB) = m(\angle CPD)\end{aligned}

m(\angle AOB) = m(\angle CPD) = 50°

deci

\angle AOB \equiv \angle CPD

Același număr de arce arată unghiuri congruente.

Pe desen, unghiurile congruente se marchează cu același număr de arce: câte un arc pe fiecare, sau câte două arce pe fiecare. Unghiuri cu număr diferit de arce nu sunt date ca egale.

Număr diferit de arce:

\angle AOB

și

\angle CPD

nu sunt congruente

50° \neq 65°

Contează doar măsura

Poziția unghiului și lungimea laturilor desenate nu contează. Un unghi rotit sau cu laturi mai scurte poate fi congruent cu altul.

Unghiurile au câte un arc: sunt congruente, deși

\angle CPD

este rotit și are laturi mai scurte.

Estimarea unui unghi fără raportor

A estima înseamnă a aprecia aproximativ, din ochi. Nu obții măsura exactă, dar îți dai seama dacă un rezultat măsurat este plauzibil. Folosește trei repere:

$90°$ colțul foii (unghiul drept);
$45°$ jumătate din unghiul drept;
$180°$ o linie dreaptă (unghiul alungit).

Repere: unghiul drept are

90°

jumătatea lui are

45°

Compară unghiul cu reperele: este mai închis sau mai deschis decât colțul foii? Este mai aproape de jumătatea lui sau de linia dreaptă? Apoi alege valoarea cea mai apropiată.

Estimat nu înseamnă măsurat

Spunem „pare aproximativ $30°$ nu „are $30°$ Măsura exactă o dă numai raportorul.

Exemple rezolvate

Clasifică după măsură

Ce tip are un unghi de $65°$ Dar unul de $150°$

Vezi rezolvarea

$65°$ este între $0°$ și $90°$ unghi ascuțit. $150°$ este între $90°$ și $180°$ unghi obtuz.

Recunoaște unghiul drept

Cât măsoară unghiul $\angle MNP$ și ce tip are?

Vezi rezolvarea

Ce fel de unghi este

\angle MNP

Careul din $N$ arată unghiul drept: $m(\angle MNP) = 90°$ unghi drept.

Unghiul ascuțit

Unghiul din figură are $50°$ Ce tip are?

Vezi rezolvarea

Unghi ascuțit:

m(\angle AOB) = 50°

mai puțin decât

90°

$0° < 50° < 90°$ deci este un unghi ascuțit.

Unghiul obtuz

Unghiul din figură are $125°$ Ce tip are?

Vezi rezolvarea

Unghi obtuz:

m(\angle AOB) = 125°

între

90°

și

180°

$90° < 125° < 180°$ deci este un unghi obtuz.

Semidrepte opuse

$R$ $S$ $T$ sunt pe aceeași dreaptă, cu $S$ între $R$ și $T$ Ce tip are $\angle RST$

Vezi rezolvarea

Ce fel de unghi este

\angle RST

$[SR$ și $[ST$ sunt semidrepte opuse, deci $\angle RST$ este unghi alungit: $m(\angle RST) = 180°$ Faptul că dreapta este oblică nu contează.

Unghiul nul

$A$ și $B$ sunt pe aceeași semidreaptă cu originea $O$ Cât măsoară $\angle AOB$

Vezi rezolvarea

Unghi nul: laturile

[OA

și

[OB

coincid,

m(\angle AOB) = 0°

Laturile $[OA$ și $[OB$ coincid, deci unghiul este nul: $m(\angle AOB) = 0°$

Toate tipurile dintr-o figură

Clasifică unghiurile $\angle AOB$ $\angle AOC$ $\angle AOD$ $\angle AOE$

Vezi rezolvarea

Pornind de la

[OA

\angle AOB

ascuțit,

\angle AOC

drept,

\angle AOD

obtuz,

\angle AOE

alungit.

$\angle AOB$ are $35°$ ascuțit. $\angle AOC$ are careu: drept. $\angle AOD$ este mai deschis decât cel drept, dar laturile nu formează o dreaptă: obtuz. $[OA$ și $[OE$ sunt opuse: $\angle AOE$ este alungit.

Unghiuri congruente

Sunt congruente unghiurile $\angle AOB$ și $\angle CPD$

Vezi rezolvarea

m(\angle AOB) = m(\angle CPD) = 50°

deci

\angle AOB \equiv \angle CPD

Același număr de arce arată unghiuri congruente.

Da. Ambele au $50°$ deci $\angle AOB \equiv \angle CPD$ Laturile mai scurte ale lui $\angle CPD$ nu contează.

Nu sunt congruente

Sunt congruente unghiurile din figură?

Vezi rezolvarea

Număr diferit de arce:

\angle AOB

și

\angle CPD

nu sunt congruente

50° \neq 65°

Nu: $50° \neq 65°$ Pe desen se vede și după numărul de arce: unul are un arc, celălalt două.

Găsește perechea congruentă

Care două unghiuri din figură sunt congruente?

Vezi rezolvarea

\angle AOB \equiv \angle COD

(câte

40°

\angle BOC

are

70°

deci nu este congruent cu ele.

$\angle AOB$ și $\angle COD$ au câte un arc și câte $40°$ $\angle BOC$ cu două arce, are $70°$

Estimare: $30°$ $90°$ sau $150°$

Unghiul din figură pare mai aproape de $30°$ de $90°$ sau de $150°$

Vezi rezolvarea

Estimează măsura unghiului

\angle AOB

fără raportor.

Este mult mai închis decât colțul foii și chiar mai închis decât jumătatea lui $45°$ Dintre cele trei valori, cea mai apropiată este $30°$ Este o estimare, nu o măsură exactă.

Estimare: aproape alungit

Unghiul din figură pare mai aproape de $90°$ de $120°$ sau de $150°$

Vezi rezolvarea

Estimează măsura unghiului

\angle AOB

fără raportor.

Este mult mai deschis decât colțul foii și aproape formează o linie dreaptă $180°$ Cea mai apropiată valoare este $150°$

Verifică o măsurare

Radu a măsurat unghiul din figură și a scris $133°$ Este plauzibil?

Vezi rezolvarea

Estimează măsura unghiului

\angle AOB

fără raportor.

Nu. Unghiul este ascuțit, cam cât jumătate din colțul foii, adică aproximativ $45°$ Radu a citit probabil scara greșită: $180° - 47° = 133°$

Greșeli frecvente

Un unghi de $89°$ este drept, pentru că „aproape” are $90°$
Drept înseamnă exact $90°$ $89°$ este ascuțit, $91°$ este obtuz.
Un unghi de $180°$ nu este unghi, pentru că e doar o linie.
Este unghiul alungit: laturile lui sunt semidrepte opuse din vârful $O$
Unghiul obtuz are măsura mai mare decât $90°$ deci și $180°$ este obtuz.
Obtuz înseamnă strict între $90°$ și $180°$ $180°$ este alungit.
Două unghiuri sunt congruente dacă au laturile la fel de lungi.
Sunt congruente dacă au aceeași măsură. Lungimea laturilor desenate nu contează.
Marchez unghiul drept cu un arc și scriu $90°$ lângă.
Unghiul drept se marchează cu un careu mic la vârf.
Estimez un unghi și scriu „are exact $30°$
Estimarea este aproximativă: „pare aproximativ $30°$ Măsura exactă se află cu raportorul.
Un unghi rotit, cu laturile oblice, nu poate fi drept.
Poziția nu contează: orice unghi de $90°$ este drept, oricum ar fi rotit.

Exerciții

Ușor

Clasifică unghiurile cu măsurile: $30°$ $90°$ $120°$ $180°$ $0°$
Arată răspunsul
Răspuns: ascuțit, drept, obtuz, alungit, nul
Ce semn din desen arată că $\angle MNP$ este un unghi drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Careul desenat la vârful $N$
Careul marchează un unghi de $90°$
Ce tip are unghiul $\angle EFG$
Arată răspunsul
Răspuns: ascuțit
Este mai închis decât colțul foii.
Ce tip are unghiul $\angle XYZ$
Arată răspunsul
Răspuns: obtuz
Este mai deschis decât colțul foii, dar laturile nu formează o dreaptă.
Ce relație există între semidreptele $[SR$ și $[ST$ din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt semidrepte opuse.
Au aceeași origine $S$ și sensuri opuse pe aceeași dreaptă.
Completează: un unghi obtuz are măsura mai mare decât ... și mai mică decât ... .
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$ $180°$
Scrie trei măsuri de unghiuri ascuțite și două de unghiuri obtuze.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu: $20°$ $45°$ $80°$ $100°$ $160°$
Sunt congruente unghiurile din figură? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, ambele au $40°$
Laturile au lungimi diferite, dar măsura este aceeași.
Câte unghiuri drepte formează marginile unei foi de hârtie dreptunghiulare? Unde se află ele?
Arată răspunsul
Răspuns: $4$ unghiuri drepte, câte unul în fiecare colț al foii.

Mediu

Clasifică: $89°$ $90°$ $91°$ $179°$ $1°$
Arată răspunsul
Răspuns: ascuțit, drept, obtuz, obtuz, ascuțit
Care dintre unghiurile $\angle AOB$ $\angle AOC$ $\angle AOD$ $\angle AOE$ este obtuz?
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle AOD$
Care unghiuri din figură sunt congruente? Scrie cu semnul $\equiv$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle EVF \equiv \angle FVG$
Au câte un arc și câte $50°$ Unghiurile congruente pot fi și alăturate. $\angle GVH$ cu două arce, are $30°$
În figură, ce tip au $\angle AOC$ și $\angle AOD$
Arată răspunsul
Răspuns: Ambele sunt obtuze.
$m(\angle AOC) = 40° + 70° = 110°$ $m(\angle AOD) = 110° + 40° = 150°$ ambele între $90°$ și $180°$
Unghiul din figură pare mai aproape de $30°$ de $90°$ sau de $150°$
Arată răspunsul
Răspuns: de $90°$
Este aproape cât colțul foii. Fără careu nu putem spune că este exact drept.
Unghiul din figură pare mai aproape de $45°$ de $90°$ sau de $135°$
Arată răspunsul
Răspuns: de $45°$
Pare jumătate din colțul foii.
Unghiul din figură pare mai aproape de $60°$ de $120°$ sau de $170°$
Arată răspunsul
Răspuns: de $120°$
Este mai deschis decât colțul foii, dar departe de o linie dreaptă.
Unghiul din figură este alungit?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, este obtuz.
Laturile aproape formează o dreaptă, dar nu chiar: unghiul are mai puțin de $180°$
$\angle ABC \equiv \angle DEF$ și $m(\angle ABC) = 72°$ Cât măsoară $\angle DEF$ și ce tip are?
Arată răspunsul
Răspuns: $72°$ ascuțit
Un unghi obtuz și un unghi ascuțit pot fi congruente?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Unul are sub $90°$ celălalt peste $90°$ deci nu pot avea aceeași măsură.

Provocare

Un unghi este congruent cu jumătatea unui unghi alungit. Ce tip are?
Arată răspunsul
Răspuns: drept
$180° : 2 = 90°$
Mihai a măsurat un unghi ascuțit și a scris $145°$ Ce greșeală a făcut, probabil, și care este măsura corectă?
Arată răspunsul
Răspuns: A citit scara greșită; măsura corectă este $35°$
Cele două scări dau numere care fac împreună $180°$ $180° - 145° = 35°$ care este ascuțit.
Poate un unghi să fie în același timp drept și obtuz? Dar nul și ascuțit?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu; nu.
Tipurile nu se suprapun: fiecare măsură are un singur tip.
Estimează unghiurile din figură, apoi spune care este mai mare: $\angle AOB$ sau $\angle CPD$
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt egale (congruente).
Au câte un arc, deci au aceeași măsură, chiar dacă $\angle CPD$ este rotit și are laturi mai scurte.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Un unghi de $90°$ este:
1. ascuțit
2. drept
3. obtuz
4. alungit
Arată răspunsul
Răspuns: drept
2. Un unghi de $135°$ este:
1. ascuțit
2. drept
3. obtuz
4. alungit
Arată răspunsul
Răspuns: obtuz
3. Ce tip are $\angle KLM$
1. ascuțit
2. drept
3. obtuz
4. alungit
Arată răspunsul
Răspuns: obtuz
4. Laturile unui unghi alungit sunt:
1. perpendiculare
2. semidrepte opuse
3. aceeași semidreaptă
4. segmente egale
Arată răspunsul
Răspuns: semidrepte opuse
5. Cât măsoară, în grade, un unghi nul?
Arată răspunsul
Răspuns: 0
6. Care unghi este congruent cu $\angle USV$
1. $\angle TSU$
2. $\angle VSW$
3. $\angle TSV$
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: niciunul
$\angle USV$ are două arce, iar $\angle TSU$ și $\angle VSW$ au câte unul. $\angle TSV$ îl cuprinde pe $\angle USV$ deci este mai mare. Niciun unghi nu este congruent cu $\angle USV$
7. Unghiul din figură pare mai aproape de:
1. $20°$
2. $60°$
3. $120°$
4. $170°$
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
8. Care măsură este a unui unghi ascuțit?
1. $90°$
2. $0°$
3. $89°$
4. $91°$
Arată răspunsul
Răspuns: $89°$
9. $\angle ABC \equiv \angle MNP$ înseamnă că:
1. au laturile egale
2. au aceeași măsură
3. au același vârf
4. sunt ambele drepte
Arată răspunsul
Răspuns: au aceeași măsură
10. Jumătate din unghiul drept are câte grade?
Arată răspunsul
Răspuns: 45

Întrebări frecvente

Care sunt tipurile de unghiuri?

Nul $0°$ ascuțit (între $0°$ și $90°$ drept $90°$ obtuz (între $90°$ și $180°$ și alungit $180°$

Ce este un unghi alungit?

Unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte opuse. Are $180°$ și se mai numește unghi întins.

Când sunt două unghiuri congruente?

Când au aceeași măsură. Se scrie $\angle AOB \equiv \angle CPD$ și, pe desen, se marchează cu același număr de arce.

Cum estimez un unghi fără raportor?

Îl compari cu repere: colțul foii $90°$ jumătatea lui $45°$ și linia dreaptă $180°$ Rezultatul este aproximativ.

De ce

89°

nu este unghi drept?

Pentru că drept înseamnă exact $90°$ Orice măsură mai mică (și mai mare decât $0°$ dă un unghi ascuțit.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Unghiul drept

Unghiul ascuțit și unghiul obtuz

Unghiul alungit și unghiul nul

Cum clasifici un unghi după măsură

Unghiuri congruente

Estimarea unui unghi fără raportor