Lecția 1 din 3 · Noțiuni geometrice de bază

Punct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment

Q: Ce înseamnă [AB]?

Segmentul cu capetele A și B. Parantezele de la ambele capete arată că segmentul se oprește în A și în B.

Geometria începe cu câteva obiecte simple: punctul, dreapta, planul, semidreapta și segmentul. Aici afli ce înseamnă fiecare, cum îl desenezi, cum îl notezi și cum le deosebești unul de altul, mai ales dreapta, semidreapta și segmentul.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Explici ce este un punct și îl notezi cu o literă mare.
Desenezi și notezi o dreaptă $d$ sau $AB$ și știi că ea continuă nelimitat în ambele sensuri.
Înțelegi planul ca o suprafață nelimitată și semiplanele determinate de o dreaptă.
Desenezi și notezi o semidreaptă $[OA$ și un segment $[AB]$
Deosebești dreapta, semidreapta și segmentul pe o figură și în realitate.

Ideea de bază

Diferența dintre dreaptă, semidreaptă și segment stă în capete. Dreapta nu are niciun capăt: se prelungește nelimitat în ambele sensuri. Semidreapta are un singur capăt, originea, și se prelungește într-un singur sens. Segmentul are două capete și nu se prelungește deloc.

Sus: dreapta

AB

Mijloc: semidreapta

[AB

Jos: segmentul

[AB]

În desen, săgeata înseamnă „continuă”. De aceea dreapta are două săgeți, semidreapta una, iar segmentul niciuna.

Punctul

Un punct arată o poziție, un loc exact. Punctul nu are lungime, nici lățime, nici grosime. Bulina din desen doar ne arată unde este punctul.

Punctele se notează cu litere mari de tipar: $A$ $B$ $C$ $M$ $O$ Citim „punctul $A$ În desen facem o bulină mică și scriem litera lângă ea.

Trei puncte distincte:

A

B

C

În jurul tău

Vârful unui creion, un colț al caietului sau un oraș pe o hartă a țării ne dau imaginea unui punct.

Dreapta

Dreapta este o linie dreaptă care se prelungește nelimitat în ambele sensuri. Nu are început și nu are sfârșit. Pe foaie putem desena doar o bucată din ea, așa că punem câte o săgeată la fiecare capăt al desenului: săgeata înseamnă „continuă”.

O dreaptă se notează în două feluri: cu o literă mică, de exemplu dreapta $d$ sau cu două puncte ale ei, de exemplu dreapta $AB$

Dreapta

d

Săgețile arată că ea continuă nelimitat în ambele sensuri.

Dreapta

AB

trece prin

A

și prin

B

și continuă în ambele sensuri.

Reține

Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. De aceea dreapta $AB$ este bine stabilită de punctele $A$ și $B$ Dreapta $AB$ și dreapta $BA$ sunt aceeași dreaptă.

Firul întins al unei rufe sau o rază de lumină foarte lungă ne dau imaginea unei bucăți dintr-o dreaptă.

Planul și semiplanul

Planul este o suprafață perfect netedă care se întinde nelimitat în toate direcțiile. Suprafața tablei, a mesei sau a unei foi ne dau imaginea unei bucăți de plan.

Planul se notează de obicei cu o literă grecească mică, de exemplu $\alpha$ (citim „alfa”) sau $\beta$ („beta”). Îl desenăm ca un paralelogram, adică un patrulater „culcat”, ca o foaie privită oblic.

Planul

\alpha

În desen îl reprezentăm finit, dar în geometrie îl considerăm nelimitat.

Atenție

Marginile paralelogramului nu sunt marginile planului. În desen îl reprezentăm finit, dar în geometrie îl considerăm nelimitat.

O dreaptă desenată într-un plan îl împarte în două părți, numite semiplane. Un punct care nu este pe dreaptă se află într-unul dintre cele două semiplane.

Dreapta

d

împarte planul în două semiplane. Umbrit: semiplanul în care se află

P

Punctele $P$ și $Q$ sunt de o parte și de alta a dreptei $d$ deci sunt în semiplane diferite.

Semidreapta

Un punct $O$ de pe o dreaptă o împarte în două bucăți. Fiecare bucată, împreună cu punctul $O$ este o semidreaptă. Semidreapta are un capăt, numit origine, și se prelungește nelimitat într-un singur sens.

Semidreapta cu originea $O$ care trece prin punctul $A$ se notează $[OA$ Paranteza dreaptă stă lângă origine. Prima literă este întotdeauna originea.

Semidreapta

[OA

începe în

O

(originea) și continuă nelimitat după

A

Desenul are o bulină în origine și o săgeată la celălalt capăt: semidreapta începe în $O$ și nu se oprește în $A$ ci continuă.

Semidreptele

[OA

(colorată) și

[OB

sunt semidrepte opuse: au aceeași origine

O

și merg în sensuri opuse.

Semidrepte opuse

Două semidrepte cu aceeași origine care formează împreună o dreaptă se numesc semidrepte opuse. În figură, $[OA$ și $[OB$ sunt opuse.

Raza de lumină a unei lanterne pornește dintr-un loc și merge într-un singur sens: ne dă imaginea unei semidrepte.

Segmentul

Segmentul este bucata de dreaptă cuprinsă între două puncte, împreună cu cele două puncte. Punctele se numesc capetele segmentului. Segmentul nu se prelungește.

Segmentul cu capetele $A$ și $B$ se notează $[AB]$ și se citește „segmentul $AB$ În desen trasăm linia doar între $A$ și $B$ fără săgeți.

Segmentul

[AB]

are două capete,

A

și

B

Nu se prelungește.

M

este pe segmentul

[AB]

N

este pe dreaptă, dar nu pe segment.

Marginea unei rigle, o latură a caietului sau un creion ne dau imaginea unui segment: au două capete.

Dreaptă, semidreaptă sau segment?

Uită-te la capete. Asta este toată diferența.

Comparație
Obiectul	Are capete?	Se prelungește?
Punctul	Nu; este doar o poziție	Nu
Segmentul $[AB]$	Da, două: $A$ și $B$	Nu
Semidreapta $[OA$	Da, unul: originea $O$	Într-un singur sens
Dreapta $AB$ sau $d$	Nu are capete	În ambele sensuri

Notații
Obiectul	Notația	Se citește
Punct	$A$	punctul $A$
Dreaptă	$d$ sau $AB$	dreapta $d$ dreapta $AB$
Semidreaptă	$[OA$	semidreapta $OA$
Segment	$[AB]$	segmentul $AB$
Plan	$\alpha$	planul alfa

Cum verifici

Numără săgețile din desen: două săgeți = dreaptă, o săgeată = semidreaptă, nicio săgeată și două capete = segment.

Exemple rezolvate

Numește punctele

Câte puncte sunt desenate mai jos și cum se numesc?

Vezi rezolvarea

Trei puncte distincte:

A

B

C

Sunt trei puncte distincte: $A$ $B$ și $C$ Fiecare este notat cu o literă mare, lângă bulina lui.

Recunoaște dreapta

De ce desenul de mai jos reprezintă o dreaptă și nu un segment?

Vezi rezolvarea

Dreapta

AB

trece prin

A

și prin

B

și continuă în ambele sensuri.

Linia are câte o săgeată la ambele capete, deci continuă în ambele sensuri. Punctele $A$ și $B$ sunt doar două puncte ale ei, nu capete. Este dreapta $AB$

Recunoaște semidreapta

Cum se notează semidreapta din figură? Care este originea ei?

Vezi rezolvarea

Semidreapta

[PQ

poate avea orice direcție: originea este

P

Bulina de unde pornește linia este în $P$ iar săgeata este după $Q$ Originea este $P$ iar semidreapta se notează $[PQ$

Recunoaște segmentul

Ce obiect geometric este desenat și cum se notează?

Vezi rezolvarea

Segmentul

[AB]

are două capete,

A

și

B

Nu se prelungește.

Linia se oprește în $A$ și în $B$ fără săgeți. Are două capete, deci este segmentul $[AB]$

Atenție la ordinea literelor

Este semidreapta din figură $[AB$ sau $[BA$

Vezi rezolvarea

Ce semidreaptă este desenată?

Linia pornește din $B$ (bulina de la capătul fără săgeată) și trece prin $A$ Originea este $B$ deci semidreapta este $[BA$ nu $[AB$

La dreaptă ordinea nu contează $AB$ = $BA$ la semidreaptă contează: prima literă este originea.

Aceeași semidreaptă, două nume

Pe figură, $B$ este după $A$ pe semidreapta cu originea $O$ Sunt $[OA$ și $[OB$ aceeași semidreaptă?

Vezi rezolvarea

B

este pe semidreapta

[OA

deci

[OA

și

[OB

sunt aceeași semidreaptă.

Da. Ambele pornesc din $O$ și merg în același sens, spre $A$ și $B$ O semidreaptă se poate numi după originea ei și după oricare alt punct al ei.

Semidrepte opuse

Punctul $O$ este pe dreapta $AB$ între $A$ și $B$ Numește cele două semidrepte cu originea $O$

Vezi rezolvarea

Semidreptele

[OA

(colorată) și

[OB

sunt semidrepte opuse: au aceeași origine

O

și merg în sensuri opuse.

Sunt $[OA$ (spre $A$ și $[OB$ (spre $B$ Au aceeași origine și merg în sensuri opuse, deci sunt semidrepte opuse.

Trei obiecte pe aceeași figură

Identifică pe figură o dreaptă, o semidreaptă și un segment și scrie notațiile.

Vezi rezolvarea

Recunoaște fiecare obiect după capete și săgeți.

Linia prin $A$ și $B$ are două săgeți: dreapta $AB$
Linia care pornește din $C$ și are săgeată după $D$ semidreapta $[CD$
Linia dintre $E$ și $F$ fără săgeți: segmentul $[EF]$

Segmente pe o dreaptă

Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe dreapta $d$ în această ordine. Scrie toate segmentele care au capetele printre aceste puncte.

Vezi rezolvarea

Punctele

A

B

C

sunt pe dreapta

d

în această ordine.

Luăm câte două puncte: $A$ și $B$ $A$ și $C$ $B$ și $C$ Segmentele sunt $[AB]$ $[AC]$ $[BC]$ adică 3 segmente.

$[BA]$ este același segment cu $[AB]$ deci nu îl numărăm din nou.

Drepte prin trei puncte

Punctele $A$ $B$ $C$ nu sunt pe aceeași dreaptă. Câte drepte trec prin câte două dintre ele?

Vezi rezolvarea

Prin fiecare două dintre punctele

A

B

C

trece câte o dreaptă:

AB

BC

CA

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Perechile sunt $A$ și $B$ $B$ și $C$ $C$ și $A$ deci sunt 3 drepte: $AB$ $BC$ $CA$

Punct pe segment sau doar pe dreaptă

Pe dreapta $d$ sunt punctele $A$ $M$ $B$ $N$ în această ordine. Care dintre $M$ și $N$ este pe segmentul $[AB]$

Vezi rezolvarea

M

este pe segmentul

[AB]

N

este pe dreaptă, dar nu pe segment.

Segmentul $[AB]$ conține doar punctele dintre $A$ și $B$ (și capetele). $M$ este între $A$ și $B$ deci este pe segment. $N$ este după $B$ este pe dreaptă, dar nu pe segment.

Obiecte din realitate

Ce obiect geometric îți sugerează fiecare: vârful acului, marginea mesei, raza unei lanterne, suprafața tablei?

Vezi rezolvarea

Vârful acului: un punct (arată doar o poziție).
Marginea mesei: un segment (are două capete).
Raza lanternei: o semidreaptă (pornește dintr-un loc și merge într-un singur sens).
Suprafața tablei: o bucată de plan (planul însuși este nelimitat).

Greșeli frecvente

Desenez dreapta $AB$ ca pe o linie care se oprește în $A$ și în $B$
Dreapta nu se oprește: o desenez dincolo de $A$ și de $B$ cu săgeți la ambele capete. Linia care se oprește în $A$ și $B$ este segmentul $[AB]$
$[AB$ și $[BA$ sunt aceeași semidreaptă.
Prima literă este originea. $[AB$ pornește din $A$ spre $B$ iar $[BA$ pornește din $B$ spre $A$ sunt semidrepte diferite.
Planul este dreptunghiul (paralelogramul) din desen.
Paralelogramul este doar modelul planului. Planul se întinde nelimitat.
Punctul este bulina, deci are o mărime.
Punctul nu are mărime. Bulina doar ne arată unde este.
Semidreapta se oprește în punctul prin care trece.
Semidreapta $[OA$ trece prin $A$ și continuă nelimitat după el. Se oprește doar la origine.

Exerciții

Ușor

Cum se notează punctele? Dă trei exemple.
Arată răspunsul
Răspuns: Cu litere mari de tipar, de exemplu $A$ $B$ $M$
Ce obiect geometric este desenat?
Arată răspunsul
Răspuns: Dreapta $d$
Are săgeți la ambele capete, deci continuă în ambele sensuri.
Ce obiect geometric este desenat și cum se notează?
Arată răspunsul
Răspuns: Semidreapta $[OA$
Pornește din $O$ (originea) și are săgeată după $A$
Care sunt capetele segmentului desenat?
Arată răspunsul
Răspuns: $A$ și $B$
Segmentul $[AB]$ are capetele $A$ și $B$
Scrie cum se citește: $[MN]$ $[MN$ dreapta $MN$
Arată răspunsul
Răspuns: Segmentul $MN$ semidreapta $MN$ (cu originea $M$ dreapta $MN$
Câte capete are: a) un segment; b) o semidreaptă; c) o dreaptă?
Arată răspunsul
Răspuns: a) 2; b) 1 (originea); c) niciunul.
Care este originea semidreptei $[TS$
Arată răspunsul
Răspuns: $T$
Prima literă, cea de lângă paranteză, este originea.

Mediu

Cum se notează semidreapta din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: $[LK$
Originea este $L$ (capătul cu bulină, fără săgeată), iar semidreapta trece prin $K$ Prima literă din notație este originea.
Radu a vrut să deseneze segmentul $[AB]$ Ce a desenat de fapt? Cum corectează desenul?
Arată răspunsul
Răspuns: A desenat semidreapta $[AB$ Trebuie să oprească linia în $B$ și să șteargă săgeata.
Clasifică fiecare obiect: marginea unei cărți, raza unui far, un fir de nisip, suprafața unui lac liniștit.
Arată răspunsul
Răspuns: Segment; semidreaptă; punct; bucată de plan.
Scrie notația pentru fiecare obiect din figură.
Arată răspunsul
Răspuns: Semidreapta $[MN$ segmentul $[PQ]$ dreapta $RS$
Sus, linia pornește din $M$ și are săgeată după $N$ originea este $M$ La mijloc, linia se oprește în $P$ și în $Q$ Jos, linia are săgeți la ambele capete.
Numește cele două semidrepte cu originea $M$ din figură. Cum se numesc două astfel de semidrepte?
Arată răspunsul
Răspuns: $[MK$ și $[ML$ sunt semidrepte opuse.
Ambele pornesc din $M$ una spre $K$ cealaltă spre $L$ Au aceeași origine, merg în sensuri opuse și formează împreună dreapta $KL$
Pe figură, care dintre punctele $E$ și $G$ este pe segmentul $[FH]$ Celălalt punct este pe dreapta $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $G$ este pe segmentul $[FH]$ $E$ nu este pe segment, dar este pe dreapta $d$
$G$ este între $F$ și $H$ $E$ este înaintea lui $F$ deci în afara segmentului, dar tot pe dreaptă.
Punctele $U$ și $V$ sunt pe semidreapta din figură. Scrie două notații diferite pentru această semidreaptă.
Arată răspunsul
Răspuns: $[TU$ și $[TV$
Originea este $T$ (bulina de unde pornește linia). Semidreapta se poate numi după origine și după oricare alt punct al ei: $U$ sau $V$
Câte drepte trec prin două puncte distincte $A$ și $B$
Arată răspunsul
Răspuns: Una singură, dreapta $AB$
Un elev a desenat planul $\beta$ ca un paralelogram și spune că punctul $X$ aflat puțin în afara paralelogramului, nu este în planul $\beta$ Are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu neapărat. Paralelogramul este doar o bucată desenată din plan; planul continuă nelimitat.
Scrie toate segmentele cu capetele printre punctele din figură.
Arată răspunsul
Răspuns: $[EF]$ $[EG]$ $[FG]$ (3 segmente).
Luăm câte două puncte: $E$ și $F$ $E$ și $G$ $F$ și $G$ $[FE]$ este același segment cu $[EF]$ deci nu îl numărăm din nou.
Câte drepte sunt desenate în figură? Numește-le.
Arată răspunsul
Răspuns: 2: dreptele $RS$ și $ST$
Liniile prin $R$ și $S$ și prin $S$ și $T$ au săgeți la ambele capete, deci sunt drepte. Linia dintre $T$ și $R$ nu are săgeți: este segmentul $[TR]$ nu o dreaptă.

Provocare

Câte segmente au capetele printre punctele din figură? Scrie-le.
Arată răspunsul
Răspuns: 6: $[AB]$ $[AC]$ $[AD]$ $[BC]$ $[BD]$ $[CD]$
Din $A$ 3 segmente; din $B$ spre punctele următoare: 2; din $C$ 1. Total $3 + 2 + 1 = 6$
Pe figură, scrie toate semidreptele cu originea în $B$ sau în $C$ care sunt conținute în dreapta $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $[BA$ $[BC$ $[CB$ $[CD$ (4 semidrepte).
Fiecare punct de pe dreaptă este originea a două semidrepte opuse. $[BC$ și $[BD$ sunt aceeași semidreaptă, la fel $[CB$ și $[CA$
Adevărat sau fals? a) Segmentul $[AB]$ este o parte a dreptei $AB$ b) Semidreapta are două capete. c) $[AB]$ și $[BA]$ sunt același segment. d) Planul se oprește la marginea desenului.
Arată răspunsul
Răspuns: a) A; b) F; c) A; d) F.
Punctul $O$ este pe dreapta $d$ Câte semidrepte cu originea $O$ sunt conținute în $d$ Cum sunt ele între ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Două; sunt semidrepte opuse.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce obiect este desenat?
1. Segmentul $[MN]$
2. Semidreapta $[MN$
3. Dreapta $MN$
4. Punctul $M$
Arată răspunsul
Răspuns: Dreapta $MN$
Săgeți la ambele capete: linia continuă în ambele sensuri, deci este dreapta $MN$
2. Ce obiect este desenat?
1. Semidreapta $[EF$
2. Semidreapta $[FE$
3. Segmentul $[FE]$
4. Dreapta $FE$
Arată răspunsul
Răspuns: Semidreapta $[FE$
Originea (bulina) este $F$ săgeata este după $E$ semidreapta $[FE$
3. Ce obții dacă prelungești segmentul $[AB]$ dincolo de $B$ nelimitat?
1. Dreapta $AB$
2. Semidreapta $[AB$
3. Semidreapta $[BA$
4. Tot segmentul $[AB]$
Arată răspunsul
Răspuns: Semidreapta $[AB$
Capătul $A$ rămâne, iar linia continuă după $B$ într-un singur sens: este semidreapta cu originea $A$ adică $[AB$
4. Care notație reprezintă un segment?
1. $[AB$
2. $AB$ (dreapta)
3. $[AB]$
4. $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: $[AB]$
5. Care este originea semidreptei $[KL$
1. $L$
2. $K$
3. Nu are origine
4. Mijlocul dintre $K$ și $L$
Arată răspunsul
Răspuns: $K$
6. Punctele $A$ $B$ $C$ sunt pe aceeași dreaptă $d$ Câte drepte diferite obții dacă duci câte o dreaptă prin fiecare pereche de puncte?
1. Niciuna
2. Una singură
3. Două
4. Trei
Arată răspunsul
Răspuns: Una singură
Prin două puncte trece o singură dreaptă, iar aici aceasta este chiar $d$ $AB$ $BC$ și $AC$ sunt toate dreapta $d$
7. Câte segmente au capetele printre punctele din figură?
1. 2
2. 3
3. 4
4. 6
Arată răspunsul
Răspuns: 3
Câte un segment pentru fiecare pereche de puncte: $[KL]$ $[KM]$ $[LM]$
8. Ce afirmație despre plan este adevărată?
1. Planul este un dreptunghi
2. Planul are patru margini
3. Planul se întinde nelimitat; în desen arătăm doar o bucată
4. Planul este o dreaptă groasă
Arată răspunsul
Răspuns: Planul se întinde nelimitat; în desen arătăm doar o bucată
9. Punctul $O$ este pe dreapta $AB$ între $A$ și $B$ Cum se numesc semidreptele $[OA$ și $[OB$
Arată răspunsul
Răspuns: semidrepte opuse
10. Care dintre obiecte îți sugerează o semidreaptă?
1. Marginea unei rigle
2. Raza unei lanterne
3. Vârful unui creion
4. Suprafața mesei
Arată răspunsul
Răspuns: Raza unei lanterne
Pornește dintr-un loc și merge într-un singur sens.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre dreaptă, semidreaptă și segment?

Numărul de capete. Dreapta nu are capete și se prelungește în ambele sensuri. Semidreapta are un capăt (originea) și se prelungește într-un singur sens. Segmentul are două capete și nu se prelungește.

Cum se notează o semidreaptă?

Cu originea și încă un punct al ei, cu o paranteză dreaptă lângă origine: $[OA$ este semidreapta cu originea $O$ care trece prin $A$

Ce înseamnă

[AB]

Segmentul cu capetele $A$ și $B$ Parantezele de la ambele capete arată că segmentul se oprește în $A$ și în $B$

De ce desenăm dreapta cu săgeți?

Pentru că pe foaie putem desena doar o bucată din ea. Săgețile arată că dreapta continuă nelimitat în ambele sensuri.

Este planul un dreptunghi?

Nu. Planul se întinde nelimitat. Paralelogramul din desen este doar un model al unei bucăți de plan.

Ai terminat lecția

Punct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Punct, dreaptă, plan, semidreaptă, segment

Ce vei învăța

Ideea de bază

Punctul

Dreapta

Planul și semiplanul

Semidreapta

Segmentul

Dreaptă, semidreaptă sau segment?

Exemple rezolvate

Numește punctele

Recunoaște dreapta

Recunoaște semidreapta

Recunoaște segmentul

Atenție la ordinea literelor

Aceeași semidreaptă, două nume

Semidrepte opuse

Trei obiecte pe aceeași figură

Segmente pe o dreaptă

Drepte prin trei puncte

Punct pe segment sau doar pe dreaptă

Obiecte din realitate

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a