Media unui set de date

Ce vei învăța

Explici media ca repartizare egală a totalului.
Calculezi media unui set de date în cinci pași, inclusiv când rezultatul este o fracție zecimală.
Estimezi media înainte de calcul și verifici că rezultatul este între cea mai mică și cea mai mare valoare.
Calculezi media valorilor dintr-un tabel de frecvențe sau dintr-un grafic.
Afli o valoare lipsă când cunoști media.
Interpretezi media în contextul problemei.

Recomandat înainte: Frecvență. Organizarea datelor în tabele, Împărțirea fracțiilor zecimale. Media aritmetică

Ideea de bază

Ana are 3 bomboane, Bogdan 5, iar Carla 7. Dacă le pun pe toate la un loc și le împart în mod egal, fiecare primește 5. Acest număr, 5, este media setului de date 3, 5, 7.

Media aritmetică este suma tuturor valorilor împărțită la numărul valorilor. Adunarea strânge totul la un loc, împărțirea repartizează egal.

Media ca repartizare egală

Pornește de la bomboanele Anei, ale lui Bogdan și ale Carlei. Graficul arată cât are fiecare.

Înainte: 3, 5 și 7 bomboane.

3 + 5 + 7 = 15

Pun toate bomboanele la un loc: 15.

15 : 3 = 5

Le împart egal la 3 copii: fiecare primește 5.

După repartizarea egală: fiecare are 5 bomboane, adică media.

Carla a dat 2 bomboane, Ana a primit 2, Bogdan a rămas cu cât avea. Totalul nu s-a schimbat, doar s-a repartizat egal. Media este exact valoarea pe care ar avea-o fiecare după această egalizare.

În cuvinte

Media aritmetică a unui set de date este suma tuturor valorilor împărțită la numărul valorilor.

Cum calculezi media, în cinci pași

Numără valorile din set.
Calculează suma tuturor valorilor.
Împarte suma la numărul valorilor.
Scrie media, cu unitatea de măsură dacă există.
Verifică: media trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare valoare.

Exemplu: notele lui Radu la matematică sunt 8, 9, 10, 7 și 6.

5

Sunt 5 note.

8 + 9 + 10 + 7 + 6 = 40

Suma notelor.

40 : 5 = 8

Împart suma la numărul notelor.

Media notelor este 8. Verificare: cea mai mică notă este 6, cea mai mare este 10, iar 8 este între ele.

Și valoarea 0 se numără

Dacă un elev a citit 0 cărți, valoarea 0 face parte din set. Nu schimbă suma, dar crește numărul valorilor, deci contează la împărțire.

Verificarea de bun-simț

Când repartizezi egal, cei care aveau mai mult dau, iar cei care aveau mai puțin primesc. Nimeni nu ajunge să aibă mai mult decât cel mai mare, nici mai puțin decât cel mai mic. De aceea media este întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare.

Pentru setul 2, 4, 8, o medie egală cu 12 este imposibilă: 12 este mai mare decât toate valorile. Calculul corect dă $14 : 3 = 4{,}(6)$ (o fracție zecimală periodică, cu perioada $6$ un număr între 2 și 8.

Estimează înainte să calculezi

Uită-te la valori și ghicește aproximativ unde e mijlocul lor. Pentru 18, 21, 19, 22 te aștepți la o medie în jur de 20. Dacă obții 5 sau 80, știi imediat că ai greșit.

Media nu trebuie să fie una dintre valori

La 3, 5, 7 media 5 era chiar una dintre valori, dar asta nu e o regulă. Pentru setul 2, 5, 8, 9 suma este 24, sunt 4 valori, iar media este $24 : 4 = 6$ Niciun element din set nu este egal cu 6.

Media poate fi chiar un număr pe care datele nu-l pot lua. Dacă trei familii au 1, 2 și 2 copii, media este $5 : 3 = 1{,}(6)$ copii, deși nicio familie nu poate avea $1{,}(6)$ copii”. Media descrie grupul, nu o anumită familie.

Când media este o fracție zecimală

Împărțirea sumei la numărul valorilor nu dă mereu un număr natural. Continui împărțirea după virgulă, ca în lecția despre împărțirea fracțiilor zecimale.

7 + 8 + 8 + 10 = 33

Suma celor 4 note.

33 : 4 = 8{,}25

Media este 8,25.

Verificare: 8,25 este între 7 și 10, și e ceva mai aproape de 8, unde sunt două dintre note.

Când împărțirea nu se termină

La unele seturi, împărțirea nu ajunge niciodată la rest 0. De exemplu, $14 : 3 = 4{,}(6)$ Parantezele arată cifra care se repetă la nesfârșit; ai învățat despre ea la fracțiile zecimale periodice. Pentru verificare, e suficient să știi între ce numere se află media.

Media dintr-un tabel de frecvențe

În lecția despre frecvență ai organizat datele în tabele. Din tabel poți calcula media fără să rescrii toate valorile.

Notele elevilor unei grupe
Nota	Frecvență
7	2
8	5
9	3

Frecvența 5 pentru nota 8 înseamnă că 8 apare de 5 ori: $8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8 \cdot 5 = 40$ De aceea, pe fiecare rând, contribuția la sumă este valoarea înmulțită cu frecvența.

7 \cdot 2 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 3 = 14 + 40 + 27 = 81

Suma tuturor notelor.

2 + 5 + 3 = 10

Numărul notelor este suma frecvențelor, nu numărul de rânduri.

81 : 10 = 8{,}1

Media.

Media valorilor dintr-un grafic

Mai întâi citești valorile din grafic, ca în lecția despre grafice, apoi calculezi media lor. Pe graficul cu cărți donate:

Cărți donate bibliotecii de fiecare clasă

15 + 10 + 20 + 5 = 50

Valorile citite: o diviziune reprezintă 5 cărți.

50 : 4 = 12{,}5

În medie, o clasă a donat 12,5 cărți.

Nicio clasă n-a donat 12,5 cărți. Media spune doar că, dacă cele 50 de cărți ar fi venit în mod egal de la cele 4 clase, fiecare ar fi dat 12,5.

Când lipsește o valoare

Dacă știi media și numărul valorilor, afli suma: suma este media înmulțită cu numărul valorilor. Asta e împărțirea citită invers.

Media a 4 valori este 6. Trei dintre ele sunt 3, 5 și 8. Care este a patra?

6 \cdot 4 = 24

Suma tuturor celor 4 valori.

3 + 5 + 8 = 16

Suma celor trei valori cunoscute.

24 - 16 = 8

Valoarea lipsă.

Verificare: $3 + 5 + 8 + 8 = 24$ și $24 : 4 = 6$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: media ca repartizare egală

Trei prieteni au 3, 5 și 7 timbre. Câte timbre ar avea fiecare dacă le-ar împărți în mod egal?

Vezi rezolvarea

3 + 5 + 7 = 15

Totalul timbrelor.

15 : 3 = 5

Împărțite egal la 3 prieteni.

Fiecare ar avea 5 timbre. Media setului 3, 5, 7 este 5.

Exemplul 2: media unor note

Calculează media notelor 8, 9, 10, 7, 6.

Vezi rezolvarea

8 + 9 + 10 + 7 + 6 = 40

5 note, suma lor este 40.

40 : 5 = 8

Media este 8, între 6 și 10.

Exemplul 3: media cu rezultat zecimal

Calculează media numerelor 7, 8, 8, 10.

Vezi rezolvarea

7 + 8 + 8 + 10 = 33

33 : 4 = 8{,}25

Media este 8,25, între 7 și 10.

Exemplul 4: media nu apare în set

Calculează media setului 2, 5, 8, 9. Este media una dintre valori?

Vezi rezolvarea

2 + 5 + 8 + 9 = 24

24 : 4 = 6

Media este 6, deși niciuna dintre valori nu este 6. Este totuși între 2 și 9, cum trebuie.

Exemplul 5: un rezultat imposibil

Dan spune că media numerelor 2, 4, 8 este 12. Fără să calculezi, explică de ce greșește. Apoi află media corectă.

Vezi rezolvarea

Media trebuie să fie între cea mai mică valoare, 2, și cea mai mare, 8. Numărul 12 e mai mare decât 8, deci e imposibil. Probabil Dan a adunat greșit și a uitat să împartă.

2 + 4 + 8 = 14

14 : 3 = 4{,}(6)

câtul este periodic: restul 2 se repetă, deci cifra 6 se repetă

Media corectă este $4{,}(6)$ între 2 și 8.

Exemplul 6: estimează, apoi calculează

Temperaturile a patru zile au fost 18, 21, 19 și 22 de grade. Estimează media, apoi calculeaz-o.

Vezi rezolvarea

Valorile sunt toate aproape de 20: două puțin sub, două puțin peste. Te aștepți la o medie în jur de 20.

18 + 21 + 19 + 22 = 80

80 : 4 = 20

Media este 20 de grade, exact cât ai estimat.

Exemplul 7: media dintr-un tabel de frecvențe

Calculează media notelor din tabel.

Vezi rezolvarea

Notele elevilor unei grupe
Nota	Frecvență
7	2
8	5
9	3

7 \cdot 2 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 3 = 81

Fiecare notă, de câte ori apare.

2 + 5 + 3 = 10

Sunt 10 note, nu 3.

81 : 10 = 8{,}1

Media notelor este 8,1.

Exemplul 8: media din graficul cu bare

Câte cărți a donat, în medie, o clasă?

Vezi rezolvarea

Cărți donate bibliotecii de fiecare clasă

Scala merge din 5 în 5. Citești: 5A 15, 5B 10, 5C 20, 5D 5.

15 + 10 + 20 + 5 = 50

50 : 4 = 12{,}5

În medie, o clasă a donat 12,5 cărți.

Exemplul 9: media din graficul cu linii

Care a fost temperatura medie la prânz în această săptămână de școală?

Vezi rezolvarea

Temperatura la prânz, de luni până vineri

12 + 15 + 14 + 18 + 16 = 75

75 : 5 = 15

Temperatura medie a fost 15 grade, între 12 și 18.

Exemplul 10: valoarea lipsă

Media a 4 valori este 6. Trei dintre ele însumează 16. Care este a patra valoare?

Vezi rezolvarea

6 \cdot 4 = 24

Suma tuturor valorilor.

24 - 16 = 8

Valoarea lipsă.

A patra valoare este 8.

Exemplul 11: găsește greșeala

Irina a calculat media numerelor 4, 6, 8, 10 astfel: $(4 + 6 + 8 + 10) : 3$ Ce a greșit?

Vezi rezolvarea

Sunt 4 valori, nu 3. Irina a împărțit la un număr greșit și a obținut $28 : 3 = 9{,}(3)$

4 + 6 + 8 + 10 = 28

28 : 4 = 7

Media corectă este 7. Verificarea de bun-simț ar fi ajutat: valorile merg de la 4 la 10, iar două dintre ele sunt mici (4 și 6), deci media nu putea fi atât de aproape de 10.

Exemplul 12: problemă în doi pași

Maria are notele 8, 9, 7 și 10. Ce notă trebuie să ia a cincea oară ca media celor 5 note să fie 8,6?

Vezi rezolvarea

8{,}6 \cdot 5 = 43

Pasul 1: suma necesară a celor 5 note.

8 + 9 + 7 + 10 = 34

Suma notelor pe care le are.

43 - 34 = 9

Pasul 2: nota care lipsește.

Maria trebuie să ia nota 9. Verificare: $43 : 5 = 8{,}6$

Exemplul 13: ce înseamnă media

Ana a citit în medie 30 de pagini pe zi, timp de 5 zile. Înseamnă că a citit exact 30 de pagini în fiecare zi?

Vezi rezolvarea

Paginile citite de Ana în cinci zile la rând

20 + 30 + 25 + 40 + 35 = 150

150 : 5 = 30

Nu. Doar în ziua 2 a citit exact 30 de pagini. Media spune că cele 150 de pagini, împărțite egal pe 5 zile, ar da 30 pe zi. În zilele 4 și 5 a citit peste medie, în zilele 1 și 3 sub medie.

Greșeli frecvente

Aduni valorile și te oprești: „media notelor 7, 8, 9 este 24”.
După sumă urmează împărțirea la numărul valorilor: $24 : 3 = 8$
Împarți la un număr greșit de valori, de exemplu $(4 + 6 + 8 + 10) : 3$
Numără valorile înainte de orice calcul. Sunt 4, deci $28 : 4 = 7$
Scrii $3 + 7 : 2 = 6{,}5$ ca medie a numerelor 3 și 7.
Împărțirea se face înaintea adunării, deci suma trebuie pusă în paranteză: $(3 + 7) : 2 = 5$
Nu numeri valoarea 0: pentru 5, 0, 7, 4 calculezi $16 : 3$
Și 0 este o valoare din set. Sunt 4 valori, deci media este $16 : 4 = 4$
La un tabel de frecvențe aduni doar valorile distincte și împarți la numărul de rânduri.
Fiecare valoare se ia de câte ori apare (valoare înmulțită cu frecvența), iar numărul valorilor este suma frecvențelor.
Accepți o medie mai mare decât cea mai mare valoare, de exemplu 12 pentru 2, 4, 8.
Media este mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare. Un rezultat în afara lor arată o greșeală de calcul.
Crezi că media trebuie să fie una dintre valorile din set.
Media poate fi orice număr între minim și maxim: pentru 2, 5, 8, 9 media este 6, care nu apare în set.

Exerciții

Ușor

Calculează media numerelor 4 și 8.
Arată răspunsul
Răspuns: 6
$(4 + 8) : 2 = 12 : 2 = 6$
Calculează media numerelor 3, 5 și 10.
Arată răspunsul
Răspuns: 6
$18 : 3 = 6$
Calculează media numerelor 10, 20, 30 și 40.
Arată răspunsul
Răspuns: 25
$100 : 4 = 25$
Care este media setului 6, 6, 6, 6?
Arată răspunsul
Răspuns: 6
Toate valorile sunt egale, deci nu e nimic de repartizat: $24 : 4 = 6$
Radu are notele 9, 7 și 8. Care este media lor?
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$24 : 3 = 8$
Patru elevi au citit 5, 0, 7 și 4 cărți. Câte valori are setul și care este media?
Arată răspunsul
Răspuns: 4 valori; media este 4.
$5 + 0 + 7 + 4 = 16$ $16 : 4 = 4$
Poate fi media numerelor 3, 5 și 9 egală cu 10? Explică fără să calculezi.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Media trebuie să fie între 3 și 9, iar 10 este mai mare decât 9.
Care este, în medie, numărul de cărți citite de un elev?
- Ana: 6
- Bogdan: 4
- Carla: 8
- Dan: 2
Cărți citite în vacanță
Arată răspunsul
Răspuns: 5
$6 + 4 + 8 + 2 = 20$ $20 : 4 = 5$

Mediu

Calculează media numerelor 7, 8, 9 și 9.
Arată răspunsul
Răspuns: 8,25
$33 : 4 = 8{,}25$
Calculează media numerelor 2,5; 3,5 și 4,5.
Arată răspunsul
Răspuns: 3,5
$10{,}5 : 3 = 3{,}5$
Într-un tabel, valoarea 1 are frecvența 3, valoarea 2 are frecvența 4, iar valoarea 3 are frecvența 3. Calculează media.
Arată răspunsul
Răspuns: 2
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 20$ sunt $3 + 4 + 3 = 10$ valori; $20 : 10 = 2$
Un elev are o dată nota 6, de două ori nota 8 și o dată nota 9. Care este media notelor lui?
Arată răspunsul
Răspuns: 7,75
$6 + 8 \cdot 2 + 9 = 31$ 4 note; $31 : 4 = 7{,}75$
Care a fost temperatura medie dimineața, de luni până joi?
- luni: 8
- marți: 10
- miercuri: 9
- joi: 13
Temperatura la ora 7 dimineața
Arată răspunsul
Răspuns: 10 grade
$8 + 10 + 9 + 13 = 40$ $40 : 4 = 10$
Media a trei numere este 7. Două dintre ele sunt 5 și 6. Află al treilea număr.
Arată răspunsul
Răspuns: 10
$7 \cdot 3 = 21$ $21 - 5 - 6 = 10$
Media a 5 valori este 8. Patru dintre ele însumează 30. Care este a cincea valoare?
Arată răspunsul
Răspuns: 10
$8 \cdot 5 = 40$ $40 - 30 = 10$
Un elev scrie: media numerelor 2, 4, 6, 8 este $20 : 5 = 4$ Ce a greșit și care este media corectă?
Arată răspunsul
Răspuns: A împărțit la 5, deși sunt 4 numere. Media corectă este 5.
$20 : 4 = 5$
Un elev scrie: media numerelor 3 și 7 este $3 + 7 : 2 = 6{,}5$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A uitat paranteza: se împarte suma, nu doar 7. Corect: $(3 + 7) : 2 = 5$
Estimează media numerelor 49, 51, 50, 52, 48, apoi verifică prin calcul.
Arată răspunsul
Răspuns: Estimare: aproximativ 50. Calcul: 50.
$250 : 5 = 50$
Calculează media numerelor 1, 4, 6, 9. Apare media printre valori?
Arată răspunsul
Răspuns: Media este 5 și nu apare printre valori.
$20 : 4 = 5$

Provocare

Luca are notele 7, 8, 9 și 8. Ce notă trebuie să ia a cincea oară ca media să fie 8,2?
Arată răspunsul
Răspuns: 9
$8{,}2 \cdot 5 = 41$ $7 + 8 + 9 + 8 = 32$ $41 - 32 = 9$
Calculează media paginilor citite pe zi de Mihai. În câte zile a citit peste medie?
- ziua 1: 15
- ziua 2: 30
- ziua 3: 20
- ziua 4: 35
- ziua 5: 10
- ziua 6: 40
Paginile citite de Mihai în șase zile la rând
Arată răspunsul
Răspuns: Media este 25; peste medie în 3 zile (ziua 2, ziua 4 și ziua 6).
$15 + 30 + 20 + 35 + 10 + 40 = 150$ $150 : 6 = 25$ 30, 35 și 40 sunt peste 25.
Media a trei numere este 10. Se adaugă numărul 14. Care este media celor patru numere?
Arată răspunsul
Răspuns: 11
$10 \cdot 3 = 30$ $30 + 14 = 44$ $44 : 4 = 11$
Cei 20 de elevi ai unei clase au 0, 1, 2 sau 3 frați, cu frecvențele 5, 9, 4 și 2. Care este numărul mediu de frați?
Arată răspunsul
Răspuns: 1,15
$0 \cdot 5 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 23$ $23 : 20 = 1{,}15$
Media vârstelor a 4 copii este 9 ani. Vine un al cincilea copil, iar media devine 10 ani. Câți ani are al cincilea copil?
Arată răspunsul
Răspuns: 14 ani
$10 \cdot 5 - 9 \cdot 4 = 50 - 36 = 14$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este media aritmetică a unui set de date?
1. Cea mai mare valoare din set
2. Valoarea care apare cel mai des
3. Diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare
4. Suma valorilor împărțită la numărul valorilor
Arată răspunsul
Răspuns: Suma valorilor împărțită la numărul valorilor
Aduni toate valorile și împarți suma la câte valori sunt.
2. Calculează media numerelor 6, 8 și 10.
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$24 : 3 = 8$
3. De ce media numerelor 2, 4, 8 nu poate fi 12?
1. Pentru că media trebuie să fie între 2 și 8
2. Pentru că 12 este număr par
3. Pentru că media trebuie să fie una dintre valori
4. Poate fi 12
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că media trebuie să fie între 2 și 8
Media este mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare.
4. Calculează media numerelor 5, 6, 6 și 8.
Arată răspunsul
Răspuns: 6,25
$25 : 4 = 6{,}25$
5. Într-un tabel, valoarea 2 are frecvența 3, iar valoarea 5 are frecvența 1. Care este media?
Arată răspunsul
Răspuns: 2,75
$2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 11$ sunt 4 valori, $11 : 4 = 2{,}75$
6. Câte kilograme de mere a cules, în medie, un copil?
- Ana: 5
- Ion: 9
- Dan: 7
Mere culese la livadă
Arată răspunsul
Răspuns: 7 kg
$5 + 9 + 7 = 21$ $21 : 3 = 7$
7. Media a 4 numere este 5. Trei dintre ele însumează 12. Care este al patrulea?
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$5 \cdot 4 = 20$ $20 - 12 = 8$
8. Poate media unui set de date să fie un număr care nu apare în set?
1. Nu, niciodată
2. Doar dacă setul are două valori
3. Da, de exemplu media lui 2, 5, 8, 9 este 6
4. Doar dacă media este zecimală
Arată răspunsul
Răspuns: Da, de exemplu media lui 2, 5, 8, 9 este 6
Media e un număr între minim și maxim, nu neapărat una dintre valori.
9. Un elev calculează media numerelor 3, 5, 7, 9 ca $(3 + 5 + 7 + 9) : 3$ Ce a greșit?
1. A adunat greșit
2. A împărțit la 3 în loc de 4
3. Trebuia să înmulțească
4. Nimic, e corect
Arată răspunsul
Răspuns: A împărțit la 3 în loc de 4
Sunt 4 valori, deci $24 : 4 = 6$
10. Ioana are notele 9, 8 și 10. Ce notă trebuie să ia a patra oară ca media să fie 9?
Arată răspunsul
Răspuns: 9
$9 \cdot 4 = 36$ $36 - 27 = 9$

Întrebări frecvente

Cum se calculează media unui set de date?

Aduni toate valorile și împarți suma la numărul valorilor. De exemplu, pentru 3, 5, 7: suma este 15, sunt 3 valori, iar media este 5.

Ce înseamnă media, de fapt?

Este valoarea pe care ar avea-o fiecare dacă totalul s-ar împărți în mod egal.

Cum verific dacă am calculat bine media?

Media trebuie să fie între cea mai mică și cea mai mare valoare. Poți verifica și invers: media înmulțită cu numărul valorilor trebuie să dea suma.

Poate media să fie un număr zecimal?

Da. Dacă suma nu se împarte exact la numărul valorilor, continui împărțirea după virgulă. Media notelor 7, 8, 8, 10 este 8,25.

Cum calculez media dintr-un tabel de frecvențe?

Înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni rezultatele și împarți la suma frecvențelor.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Media ca repartizare egală

Cum calculezi media, în cinci pași

Verificarea de bun-simț

Media nu trebuie să fie una dintre valori

Când media este o fracție zecimală

Media dintr-un tabel de frecvențe

Media valorilor dintr-un grafic

Când lipsește o valoare

Exemple rezolvate

Exemplul 1: media ca repartizare egală

Exemplul 2: media unor note

Exemplul 3: media cu rezultat zecimal

Exemplul 4: media nu apare în set

Exemplul 5: un rezultat imposibil

Exemplul 6: estimează, apoi calculează

Exemplul 7: media dintr-un tabel de frecvențe

Exemplul 8: media din graficul cu bare

Exemplul 9: media din graficul cu linii

Exemplul 10: valoarea lipsă

Exemplul 11: găsește greșeala

Exemplul 12: problemă în doi pași

Exemplul 13: ce înseamnă media

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Matematică. Aritmetică, algebră, geometrie. Clasa a V-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a