Lungimea segmentului. Segmente congruente. Mijloc. Simetricul unui punct față de un punct

Q: Care este diferența dintre [AB] și AB?

[AB] este segmentul, adică figura geometrică. AB este lungimea lui, un număr cu unitate de măsură, de exemplu AB = 5 cm.

Q: Ce înseamnă segmente congruente?

Segmente care au aceeași lungime. Scriem [AB] [CD] și pe desen le marcăm cu același număr de liniuțe.

Q: Cum măsor corect un segment cu rigla?

Pui gradația 0 exact în dreptul unui capăt, citești gradația din dreptul celuilalt capăt și scrii unitatea de măsură.

Ce vei învăța

Deosebești segmentul $[AB]$ de lungimea lui, $AB$
Măsori un segment cu rigla și scrii lungimea cu unitatea de măsură.
Recunoști și construiești segmente congruente, cu rigla sau cu compasul.
Verifici și construiești mijlocul unui segment, folosind ambele condiții.
Construiești simetricul unui punct față de un punct.

Recomandat înainte: Poziții relative. Puncte coliniare. Drepte paralele și concurente

Ideea de bază

$[AB]$ este segmentul, adică figura. $AB$ fără paranteze este lungimea lui, adică un număr cu unitate de măsură, de exemplu $AB = 5$ cm. Lungimea segmentului $[AB]$ se numește și distanța dintre punctele $A$ și $B$

Figura este segmentul

[AB]

numărul scris sub el este lungimea lui:

AB = 5

cm.

Mijlocul unui segment trebuie să îndeplinească două condiții deodată: să fie pe segment și să fie la aceeași distanță de capete. Simetricul lui $A$ față de $O$ este punctul $A'$ pentru care $O$ este mijlocul lui $[AA']$

M

este mijlocul lui

[AB]

M \in [AB]

și

AM = MB

Segmentul și lungimea lui

Segmentul $[AB]$ este un obiect geometric: bucata de dreaptă dintre $A$ și $B$ Lungimea lui se notează $AB$ fără paranteze, și este un număr urmat de unitatea de măsură: $AB = 5$ cm se citește „lungimea segmentului $AB$ este de 5 centimetri”.

Nu confunda

Scriem $AB = 5$ cm, nu $[AB] = 5$ cm. Segmentul este o figură, nu un număr.

Distanța dintre două puncte $A$ și $B$ este lungimea segmentului $[AB]$ Pentru lungimi folosim de obicei centimetrul (cm) și milimetrul (mm): $1$ cm $= 10$ mm.

Măsurarea cu rigla

Așez rigla de-a lungul segmentului, cu gradația $0$ exact în dreptul unui capăt.
Citesc gradația din dreptul celuilalt capăt.
Scriu numărul citit împreună cu unitatea de măsură.

Capătul

A

este în dreptul lui

0

capătul

B

în dreptul lui

5

AB = 5

cm.

Între două numere de pe riglă sunt gradații mai mici. Liniuța din mijloc arată jumătatea de centimetru.

B

este la jumătatea dintre

3

și

4

AB = 3{,}5

cm.

Punct pe segment

Dacă punctul $M$ este pe segmentul $[AB]$ lungimile se adună: $AM + MB = AB$

M

este pe

[AB]

deci

AB = AM + MB = 2 + 3 = 5

cm.

Segmente congruente

Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. „Congruent” înseamnă, în geometrie, „care se suprapune exact peste celălalt”. Scriem $[AB] \equiv [CD]$ și citim „segmentul $AB$ este congruent cu segmentul $CD$

[AB] \equiv [CD] \iff AB = CD

AB = CD = 3

cm, deci

[AB] \equiv [CD]

Aceeași liniuță arată lungimi egale.

Pe desen, segmentele congruente se marchează cu același număr de liniuțe: o liniuță pe fiecare, sau două liniuțe pe fiecare. Segmente cu marcaje diferite nu sunt date ca egale.

Congruente nu înseamnă paralele

Congruente se referă la lungime. Două segmente congruente pot avea orice poziție: pot fi oblice, se pot atinge sau pot fi departe unul de altul.

Construcția unui segment congruent cu un segment dat

Cu rigla: măsori $[AB]$ apoi desenezi din punctul $C$ un segment cu aceeași lungime.

Cu compasul (fără să citești vreun număr):

Deschizi compasul cu vârful în $A$ și creionul în $B$
Desenezi o semidreaptă cu originea $C$
Fără să schimbi deschiderea, pui vârful compasului în $C$ și trasezi un arc care taie semidreapta. Punctul de intersecție este $D$

Compasul deschis cât

AB

cu vârful în

C

taie semidreapta în

D

[CD] \equiv [AB]

Mijlocul unui segment

Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$ dacă îndeplinește ambele condiții:

$M$ este pe segment: $M \in [AB]$
$M$ este la aceeași distanță de capete: $AM = MB$

M

este mijlocul lui

[AB]

M \in [AB]

și

AM = MB

Atunci fiecare jumătate este jumătate din segment: $AM = MB = AB : 2$

Construcția cu rigla: măsori $[AB]$ împarți lungimea la $2$ și marchezi $M$ la acea distanță de $A$ pe segment.

AB = 6

cm;

6 : 2 = 3

deci

M

se pune în dreptul lui

3

Ambele condiții sunt obligatorii. Iată două contraexemple.

AM = MB

dar

M \notin [AB]

M

NU este mijlocul lui

[AB]

M \in [AB]

dar

AM \ne MB

M

NU este mijlocul lui

[AB]

Simetricul unui punct față de un punct

Punctul $A'$ (citim „A prim”) este simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ dacă $O$ este mijlocul segmentului $[AA']$ Adică $A$ $O$ $A'$ sunt coliniare, $O$ este între $A$ și $A'$ iar $AO = OA'$

A'

este simetricul lui

A

față de

O

O

este mijlocul lui

[AA']

Aici simetria este față de un punct, nu față de o dreaptă: $A'$ se află „de cealaltă parte” a lui $O$ pe aceeași dreaptă cu $A$ și $O$

Construcția simetricului:

Trasezi semidreapta $[AO$ și o prelungești dincolo de $O$
Deschizi compasul cât $OA$ (vârful în $O$ creionul în $A$
Cu vârful în $O$ trasezi un arc care taie semidreapta dincolo de $O$ Punctul obținut este $A'$

Pasul 1. Trasez semidreapta

[AO

și o prelungesc dincolo de

O

Pasul 2. Compasul cu vârful în

O

deschis cât

OA

taie semidreapta în

A'

De reținut

Dacă $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ atunci și $A$ este simetricul lui $A'$ față de $O$ Iar $AA' = 2 \cdot AO$

Exemple rezolvate

Citește lungimea pe riglă

Ce lungime are segmentul $[AB]$ măsurat mai jos?

Vezi rezolvarea

Capătul

A

este în dreptul lui

0

capătul

B

în dreptul lui

5

AB = 5

cm.

$A$ este în dreptul lui $0$ $B$ în dreptul lui $5$ Deci $AB = 5$ cm.

Jumătăți de centimetru

Ce lungime are segmentul $[AB]$

Vezi rezolvarea

B

este la jumătatea dintre

3

și

4

AB = 3{,}5

cm.

$B$ este la liniuța scurtă dintre $3$ și $4$ adică la jumătate. $AB = 3{,}5$ cm, adică $35$ mm.

Lungimea întregului

$M$ este pe segmentul $[AB]$ $AM = 2$ cm și $MB = 3$ cm. Află $AB$

Vezi rezolvarea

M

este pe

[AB]

deci

AB = AM + MB = 2 + 3 = 5

cm.

AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 \text{ cm}

Lungimea lipsă

$C$ este pe segmentul $[AB]$ $AB = 7$ cm, $AC = 4{,}5$ cm. Află $CB$

Vezi rezolvarea

AB = 7

cm,

AC = 4{,}5

cm. Cât este

CB

Știm că $AC + CB = AB$ deci $CB = AB - AC$

CB = 7 - 4{,}5 = 2{,}5 \text{ cm}

Segmente congruente

Care dintre segmentele $[AB]$ $[CD]$ $[EF]$ sunt congruente?

Vezi rezolvarea

Care segmente sunt congruente?

$[AB]$ și $[EF]$ au câte o liniuță și au aceeași lungime, $3$ cm: $[AB] \equiv [EF]$ $[CD]$ are $4$ cm (două liniuțe), deci nu este congruent cu ele.

Construcție cu compasul

Construiește pe o semidreaptă cu originea $C$ un segment congruent cu $[AB]$

Vezi rezolvarea

Compasul deschis cât

AB

cu vârful în

C

taie semidreapta în

D

[CD] \equiv [AB]

Compasul „transportă” lungimea $AB$ $CD = AB$ deci $[CD] \equiv [AB]$

Jumătatea unui segment

$AB = 8$ cm și $M$ este mijlocul lui $[AB]$ Află $AM$ și $MB$

Vezi rezolvarea

AB = 8

cm și

M

este mijlocul. Cât sunt

AM

și

MB

AM = MB = 8 : 2 = 4 \text{ cm}

Construiește mijlocul cu rigla

Segmentul $[AB]$ are $6$ cm. Unde pui mijlocul?

Vezi rezolvarea

AB = 6

cm;

6 : 2 = 3

deci

M

se pune în dreptul lui

3

Cu $0$ în $A$ marchezi $M$ în dreptul gradației $3$ Verifici: $AM = 3$ cm, $MB = 6 - 3 = 3$ cm.

Contraexemplu: egal depărtat, dar în afara segmentului

Pe figură, $AM = MB$ Este $M$ mijlocul lui $[AB]$

Vezi rezolvarea

AM = MB

dar

M \notin [AB]

M

NU este mijlocul lui

[AB]

Nu. A doua condiție este îndeplinită, dar prima nu: $M$ nu este pe segmentul $[AB]$

Contraexemplu: pe segment, dar nu la mijloc

$M \in [AB]$ $AM = 2$ cm, $MB = 3$ cm. Este $M$ mijlocul?

Vezi rezolvarea

M \in [AB]

dar

AM \ne MB

M

NU este mijlocul lui

[AB]

Nu. $M$ este pe segment, dar $AM \ne MB$

Construiește simetricul

Construiește simetricul punctului $A$ față de punctul $O$

Vezi rezolvarea

Pasul 1. Trasez semidreapta

[AO

și o prelungesc dincolo de

O

Pasul 2. Compasul cu vârful în

O

deschis cât

OA

taie semidreapta în

A'

$A$ $O$ $A'$ sunt coliniare și $OA' = OA$ deci $O$ este mijlocul lui $[AA']$ $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$

Lungimi la simetric

$A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ iar $AO = 3$ cm. Află $OA'$ și $AA'$

Vezi rezolvarea

AO = 3

cm. Cât este

AA'

OA' = AO = 3 \text{ cm}

AA' = AO + OA' = 3 + 3 = 6 \text{ cm}

Simetric greșit

Radu spune că $B$ este simetricul lui $A$ față de $O$ pentru că $OB = OA$ Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Radu spune că

B

este simetricul lui

A

față de

O

Nu. Simetricul trebuie să fie pe dreapta $AO$ de cealaltă parte a lui $O$ $B$ nu este pe dreapta $AO$ deci $O$ nu este mijlocul lui $[AB]$

Mijloc și simetric împreună

$AB = 3$ cm, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ iar $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$ Află $AM$ și $AC$

Vezi rezolvarea

M

este mijlocul lui

[AB]

C

este simetricul lui

A

față de

B

AM = 3 : 2 = 1{,}5 \text{ cm}

BC = AB = 3 \text{ cm}, \quad AC = 3 + 3 = 6 \text{ cm}

Greșeli frecvente

Scriu $[AB] = 5$ cm.
Lungimea se scrie fără paranteze: $AB = 5$ cm. $[AB]$ este segmentul.
Măsor punând capătul $A$ în dreptul lui $1$ și citesc gradația lui $B$
Capătul se pune în dreptul lui $0$ Dacă ai pornit de la $1$ scazi $1$ din ce citești.
$M$ este la fel de departe de $A$ și de $B$ deci este mijlocul.
Trebuie să fie și pe segment. Un punct aflat deasupra segmentului poate fi egal depărtat de capete fără să fie mijloc.
Segmentele congruente sunt paralele.
Congruente înseamnă doar că au aceeași lungime. Poziția lor nu contează.
Simetricul lui $A$ față de $O$ este orice punct aflat la distanța $OA$ de $O$
Este un singur punct: pe dreapta $AO$ de cealaltă parte a lui $O$ cu $OA' = OA$

Exerciții

Ușor

Ce lungime are segmentul $[CD]$
Arată răspunsul
Răspuns: $CD = 6$ cm
$C$ este în dreptul lui $0$ $D$ în dreptul lui $6$
Ce lungime are segmentul $[PQ]$ Scrie-o în centimetri și în milimetri.
Arată răspunsul
Răspuns: $4{,}5$ cm $= 45$ mm
$Q$ este la liniuța scurtă dintre $4$ și $5$ adică la jumătate: $PQ = 4{,}5$ cm. $1$ cm $= 10$ mm, deci $4{,}5$ cm $= 45$ mm.
Care scriere este corectă: $[MN] = 4$ cm sau $MN = 4$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: $MN = 4$ cm.
Care segmente sunt congruente? Scrie cu simbolul $\equiv$
Arată răspunsul
Răspuns: $[GH] \equiv [MN]$
$[GH]$ și $[MN]$ au același număr de liniuțe (două), deci au aceeași lungime, chiar dacă $[MN]$ este oblic. $[KL]$ are o singură liniuță: are altă lungime.
$[PQ] \equiv [RS]$ și $PQ = 6$ cm. Cât este $RS$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm
Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$ ce relație există între $AM$ și $MB$
Arată răspunsul
Răspuns: $AM = MB$
Care sunt cele două condiții pentru ca $M$ să fie mijlocul lui $[AB]$
Arată răspunsul
Răspuns: $M \in [AB]$ și $AM = MB$
$A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ Ce este $O$ pentru segmentul $[AA']$
Arată răspunsul
Răspuns: Mijlocul lui $[AA']$

Mediu

$N \in [PQ]$ $PN = 3{,}5$ cm, $NQ = 2$ cm. Află $PQ$
Arată răspunsul
Răspuns: $5{,}5$ cm
$PQ = PN + NQ = 3{,}5 + 2 = 5{,}5$ cm.
$E \in [DF]$ $DF = 9$ cm, $DE = 5{,}5$ cm. Află $EF$
Arată răspunsul
Răspuns: $3{,}5$ cm
$DE + EF = DF$ deci $EF = DF - DE = 9 - 5{,}5 = 3{,}5$ cm.
Ce condiție din definiția mijlocului nu este îndeplinită de punctul $M$ din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: $M \notin [AB]$
Este $N$ mijlocul lui $[RS]$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că $RN = 3$ cm $\ne 2{,}5$ cm $= NS$
$N$ este pe segment, dar nu la egală distanță de capete. Pe desen pare aproape de mijloc: hotărăsc lungimile, nu ochiul.
În figură, $[GH]$ a fost construit cu compasul pe semidreapta cu originea $G$ congruent cu $[EF]$ Descrie construcția și scrie cât este $GH$
Arată răspunsul
Răspuns: Compasul se deschide cât $EF$ și se pune cu vârful în $G$ arcul taie semidreapta în $H$ $GH = EF = 2{,}5$ cm.
Semidreapta poate avea orice direcție: compasul transportă doar lungimea. $[GH] \equiv [EF]$ deci $GH = 2{,}5$ cm.
$B'$ este simetricul lui $B$ față de $P$ și $BP = 2{,}5$ cm. Află $PB'$ și $BB'$
Arată răspunsul
Răspuns: $PB' = 2{,}5$ cm, $BB' = 5$ cm.
$P$ este mijlocul lui $[BB']$ deci $PB' = BP = 2{,}5$ cm și $BB' = 2{,}5 + 2{,}5 = 5$ cm.
Scrie pașii construcției simetricului unui punct $A$ față de un punct $O$
Arată răspunsul
Răspuns: 1) Trasez semidreapta $[AO$ și o prelungesc dincolo de $O$ 2) Deschid compasul cât $OA$ 3) Cu vârful în $O$ tai semidreapta dincolo de $O$ obțin $A'$
$M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $AM = 2{,}5$ cm. Află $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm
$AB = 2 \cdot AM = 5$ cm.
Simetricul lui $A'$ față de $O$ este $\ldots$
Arată răspunsul
Răspuns: $A$
Ce este simetricul punctului $O$ față de el însuși?
Arată răspunsul
Răspuns: Chiar $O$
Segmentul $[OO]$ se reduce la punctul $O$ care este „mijlocul” lui.

Provocare

Pe lângă $OA = OB$ ce condiție trebuie verificată pentru ca $B$ să fie simetricul lui $A$ față de $O$
Arată răspunsul
Răspuns: Punctele $A$ $O$ $B$ trebuie să fie coliniare, cu $O$ între $A$ și $B$
$DE = 4$ cm, iar $F$ este simetricul lui $D$ față de $E$ Află $EF$ și $DF$
Arată răspunsul
Răspuns: $EF = 4$ cm, $DF = 8$ cm.
Simetria față de punctul $E$ dă $ED = EF$ deci $EF = 4$ cm. $E$ este mijlocul lui $[DF]$ $DF = 4 + 4 = 8$ cm.
Punctele $A$ $B$ $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB = 4$ cm și $BC = 6$ cm. $M$ este mijlocul lui $[AC]$ Află $AM$ și $BM$
Arată răspunsul
Răspuns: $AM = 5$ cm, $BM = 1$ cm.
$AC = 10$ cm, $AM = 5$ cm; $B$ este între $A$ și $M$ deci $BM = 5 - 4 = 1$ cm.
$O$ este mijlocul lui $[AB]$ și $AB = 10$ cm. Punctul $C$ este simetricul lui $O$ față de $B$ Află $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm
$OB = 5$ cm, $BC = OB = 5$ cm, deci $AC = AB + BC = 10 + 5 = 15$ cm.
Adevărat sau fals? a) Dacă $[AB] \equiv [CD]$ atunci $AB = CD$ b) Orice punct egal depărtat de $A$ și $B$ este mijlocul lui $[AB]$ c) Dacă $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ atunci $AA' = 2 \cdot AO$
Arată răspunsul
Răspuns: a) A; b) F; c) A.
Un elev măsoară $[AB]$ cu $A$ în dreptul gradației $2$ și citește $9$ în dreptul lui $B$ Cât este $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm
$9 - 2 = 7$ Corect era să pună $A$ în dreptul lui $0$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce lungime are segmentul?
1. $2$ cm
2. $2{,}5$ cm
3. $3$ cm
4. $25$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: $2{,}5$ cm
$L$ este la liniuța scurtă dintre $2$ și $3$ adică la jumătate: $KL = 2{,}5$ cm.
2. Ce înseamnă $[AB] \equiv [CD]$
1. $[AB]$ și $[CD]$ sunt paralele
2. $AB = CD$
3. $A = C$ și $B = D$
4. segmentele se intersectează
Arată răspunsul
Răspuns: $AB = CD$
3. Este $T$ mijlocul lui $[GH]$
1. Nu, pentru că $T \notin [GH]$
2. Da, pentru că $GT = TH$
3. Da, pentru că e la jumătatea înălțimii lui $[GH]$
4. Nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că $T \notin [GH]$
$GT = TH$ dar $T$ nu este pe segmentul $[GH]$ deci nu este mijlocul lui.
4. $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $AB = 12$ cm. Cât este $MB$ (în cm)?
Arată răspunsul
Răspuns: 6
5. Care scriere arată lungimea segmentului?
1. $[AB]$
2. $[AB$
3. $AB = 4$ cm
4. $[AB] = 4$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: $AB = 4$ cm
6. $C \in [AB]$ $AC = 3$ cm, $CB = 5$ cm. Cât este $AB$ (în cm)?
Arată răspunsul
Răspuns: 8
7. Care punct din figură este simetricul lui $C$ față de $Q$
1. $X$
2. $Y$
3. $Z$
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: $Z$
$Z$ este pe dreapta $CQ$ de cealaltă parte a lui $Q$ și $QZ = CQ$ $X$ are aceeași distanță, dar nu este pe dreapta $CQ$ $Y$ este pe dreaptă, dar mai aproape de $Q$
8. $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$ și $AA' = 10$ cm. Cât este $AO$ (în cm)?
Arată răspunsul
Răspuns: 5
9. Cu ce construiești un segment congruent cu $[AB]$ fără să citești lungimea?
1. Cu echerul
2. Cu raportorul
3. Cu compasul
4. Nu se poate
Arată răspunsul
Răspuns: Cu compasul
10. Ce lipsește ca $P$ să fie mijlocul lui $[EF]$
1. $P$ trebuie să fie pe segment
2. $EP$ trebuie să fie egal cu $PF$
3. Nimic, $P$ este mijlocul
4. $EF$ trebuie să fie $10$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: Nimic, $P$ este mijlocul
$P$ este pe $[EF]$ și $EP = PF = 3{,}5$ cm: ambele condiții sunt îndeplinite.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre

[AB]

și

AB

$[AB]$ este segmentul, adică figura geometrică. $AB$ este lungimea lui, un număr cu unitate de măsură, de exemplu $AB = 5$ cm.

Ce înseamnă segmente congruente?

Segmente care au aceeași lungime. Scriem $[AB] \equiv [CD]$ și pe desen le marcăm cu același număr de liniuțe.

Când este un punct mijlocul unui segment?

Când este pe segment și la aceeași distanță de cele două capete. Ambele condiții sunt obligatorii.

Cum construiesc simetricul unui punct față de un punct?

Trasezi semidreapta de la punct prin centru, o prelungești dincolo de centru și, cu compasul deschis cât distanța de la centru la punct, marchezi pe prelungire simetricul.

Cum măsor corect un segment cu rigla?

Pui gradația $0$ exact în dreptul unui capăt, citești gradația din dreptul celuilalt capăt și scrii unitatea de măsură.

Lungimea segmentului. Segmente congruente. Mijloc. Simetricul unui punct față de un punct

Ce vei învăța

Ideea de bază

Segmentul și lungimea lui

Măsurarea cu rigla

Segmente congruente

Construcția unui segment congruent cu un segment dat

Mijlocul unui segment

Simetricul unui punct față de un punct

Exemple rezolvate

Citește lungimea pe riglă

Jumătăți de centimetru

Lungimea întregului

Lungimea lipsă

Segmente congruente

Construcție cu compasul

Jumătatea unui segment

Construiește mijlocul cu rigla

Contraexemplu: egal depărtat, dar în afara segmentului

Contraexemplu: pe segment, dar nu la mijloc

Construiește simetricul

Lungimi la simetric

Simetric greșit

Mijloc și simetric împreună

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a